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炎德英才大联考·师大附中2015届高三月考试卷(二)理科数学


炎德英才大联考〃湖南师大附中 2015 届高三月考试卷(二) 数
求的。 ) 1、在复平面内,复数 z ? A、第一象限

学(理科)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
2i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 ( 1? i
B、第二象限 C、第三象限

)D D、第四象限 )D
6

2、若角 ? 的终边落在直线 x ? y ? 0 上,则

sin ? 1 ? sin ?
2

?

1 ? cos ? 的值等于( cos ?
2

A、 ?2 B、2 C、 ?2 或 2 D、0 3、如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( A、54 B、27 6 C、18 D、9 D 【解析】由三视图可知, 该几何体是一个四棱锥, 其体积为 V ?

)C
C 3 B P

3 正视图 3 3 俯视图 侧视图

1 ? 6 ? 3 ? 3 ? 18 。 3

A

故选 C。 4、我校三个年级共有 24 个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为 1 到 24,现用系统抽 样方法,抽取 4 个班进行调查,若抽到编号之和为 48,则抽到的最小编号为( )B A、2 B、3 C、4 D、5 5、若等边△ABC 边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ? A、 ?1 C、 ?2 B、 2 D、 2 3

1 2 CB ? CA ,则 MA ? MB =( 2 3

)C
y

【解析】建立如图所示的直角坐标系,根据题设条件可知: A? 0,3? , B ? 3, 0 ,

C

?

3, 0 , M ? 0, 2? ,所以 MA ? ? 0,1? , MB ? ? 3, ?2

?

?

?

?

?

3 A M

3
B O C x

因此 MA ? MB ? ?2 。故选 C。 6、设函数 f ? x ? ? ? A、 ? ??, ?3? 解集为(

? ??2, ? x ? 0 ? ,若 f ? ?4? ? f ? 0? ,且 f ? ?2? ? 0 ,则关于 x 的不等式 f ? x ? ? 1 的 2 x ? bx ? c , x ? 0 ? ? ? ?
)C B、 ? ?3, ?1?

??1, ??? C、 ? ?3, ?1? ? 0, ???
2

D、 ? ?3, ?? ?

【解析】当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? bx ? c ,且 f ? ?4? ? f ? 0? ,故其对称轴为 x ? ? 又 f ? ?2? ? 0 ? 4 ? 8 ? c ? 0 ? c ? 4 ;因此当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? 4x ? 4 ;
2

b ? ?2 ? b ? 4 ; 2

令 f ? x ? ? 1 ,解得 ?3 ? x ? ?1 ; 7、已知 x, y 取值如下表:

当 x ? 0 时, f ? x ? ? ?2 ? 1,满足条件。故不等式 f ? x ? ? 1 的解集为 ? ?3, ?1?

? 0, ??? 。故选 C。
8 9.3 )B

x
y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

从所得散点图中分析可知: y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95x ? a ,则 x ? 13 时, y =( A、1.45 B.13.8 C、13 D、12.8
-1-

1 1 ? 0 ? 1 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8? ? 4 , y ? ?1.3 ? 1.8 ? 5.6 ? 6.1 ? 7.4 ? 9.3? ? 5.25 。 6 6 又回归直线 y ? 0.95x ? a 必过样本中心点 x, y ,即有 5.25 ? 0.95 ? 4 ? a ? a ? 1.45 。
【解析】依题意得 x ?

? ?

从而当 x ? 13 时,有 y ? 0.95 ?13 ? 1.45 ? 13.8 。故选 B。 8、已知函数 f ? x ? ? x2 ? ax ? b ( a, b ? R )的值域为 ?0, ??? ,若关于 x 的不等式 f ? x ? ? c 的解集为

? m, m ? 6? ,则实数 c 的值为(
A、0 【解析】 9、已知双曲线 B、3

)D C、6 D、9

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若在双曲线右支上存在点 P,使得 a 2 b2
)C D、 ?1, ?? ?

PF1 ? 3 PF2 ,则双曲线离心率的取值范围是(
A、 1, 3 ?

?

?

B、

?

3, 2? ?

C、 ?1, 2?

【解析】 。 10、已知函数 f ? x ? 满足 f ?1? ? B A、

1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ? ( x, y ? R ) ,则 f ? 2015? =( 4
C、 ?



1 2

B、

1 4

1 4

D、0

【解析】 题 号 答 案 1 A 2 D 3 D 4 C 5 B 6 C 7 C 8 D 9 B 10 D

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 )
11、已知曲线 y ? x
? 1 2

在点 ?1,1 ? 处的切线为直线 l ,则 l 与两坐标轴所围成的三角形面积为



12、从区间 ? ?5,5? 内随机取出一个数 x,从区间 ? ?3,3? 内随机取出一个数 y,则使得 x ? y ? 4 的概率 为 ;

9 4

1 2

13、将 6 位志愿者分成 4 组,其中两组各 2 人,另两组各 1 人,分赴 4 个不同的学校支教,则不同的分配方案 共有 种(用数字作答) ; 【解析】因为

? f ? x ? dx 为常数,不妨设为 m,则 f ? x? ? x ? m ,
0

1

1 2 1 1 1 x ? mx ? C ( C 为常数) ,于是有 m ? ? m ,即 m ? ,故 f ? x ? ? x ? 。 2 2 4 4 ?? ? 14、 已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ? (其中 ? 为实数) , 若 f ? x ? ? f ? ? 对 x ? R 恒成立, 且 sin ? ? 0 , 则 f ? x? ?6? ? 2? ? ? 的单调递增区间是 ; ? k? ? , k? ? (k ?Z ) 6 3 ? ? ?
其原函数 F ? x ? ? 【解析】 。 15、将自然数按如下图排列,其中处于从左到右第 m 列从下到上第 n 行的数记为 A ? m, n ? ,如 A ? 3,1? ? 4 ,

A ? 4, 2? ? 12 ,

-2-

28 21 27 15 20 26 10 14 19 25 6 3 1 9 5 2 13 18 24 8 12 17 23 4 7 11 16 22

则 A ?1, n ? = 【解析】 。

; A?1 0 , 1?0 =



三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16、 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ?

?1 ? , cos 2 ? ? 在角 ? 的终边上,点 Q ? sin 2 ? , ?1? 在角 ?2 ?

? 的终边上,且 OP ? OQ = ? 。
(Ⅱ)求 sin ?? ? ? ? 的值。 【解析】 (Ⅰ ) …………………………6 分 (Ⅱ ) ………………………………………………………12 分 17、 (本小题满分 12 分)坛子中有 6 个阄,其中 3 个标记为“中奖” ,另外三个标记是“谢谢参与” ,甲、乙、 丙三人份两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序依次抽取,当有人摸到“中奖”阄时,摸奖随即结束。 (1)若按有放回抽取,甲、乙、丙的中奖概率分别是多少? (2)若按不放回抽取,甲、乙、丙的中奖概率分别是多少? (3)按不放回抽取,第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金 10000 元,第二轮摸奖时才中奖可获得奖金 6000 元,求甲、乙、丙三人所获奖金总额 ? 的分布列和数学期望。 【解析】 (1) …………………………5 分 (2) (3)依题设,可知 ? 的所有可能取值为 1, 2,3 。 且由题设,可得 P ?? ? 1? ? p1 , P ?? ? 2? ? ?1? p1 ? p2 , P ?? ? 3? ? ?1 ? p1 ??1 ? p2 ? p3 。 故 ? 的分布列为

1 2

2 的值; (Ⅰ)求 c o s ?

?
P

1

2

3

p1

?1 ? p1 ? p2

?1 ? p1 ??1 ? p2 ? p3
…………………………8 分

E? ? p1 ? 2 ?1? p1 ? p2 ? 3?1? p1 ??1? p2 ? p3 。

分别计算当甲选手按 C→B→A,C→A→B,B→A→C,B→C→A, A→B→C,A→C→B 的顺序参加测 试时的 E? 的值,得当甲选手按 C→B→A 的顺序参加测试时,最小,因为参加测试的次数少的选手优先进入 正赛,故该选手选择将自己的优势项目放在前面,即按 C→B→A 的顺序参加测试,更有利于进入正赛。 …………………………12 分

-3-

18、 (本小题满分 12 分)如图,四面体 A-BCD 中,AD⊥面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD= 2 2 ,M 是 AD 的 中点,P 是△BMD 的外心,点 Q 在线段 AC 上,且 AC ? 4QC 。 (Ⅰ )证明:PQ∥平面 BCD; (Ⅱ )若二面角 C-BM-D 的大小为 60°,求四面体 A-BCD 的体积。 【解析】 (Ⅰ )方法一: (向量法) 方法二: (几何法) ……………………6 分 (Ⅱ )
A O M C E

D B

…………………………………………………………………12 分 19、 (本小题满分 13 分)甲、乙两超市同时开业,第一年的年销售额都为 a 万元,甲超市前 n ( n ? N? )年的 总销售额为

a 2 ?2? n ? n ? 2 ? 万元;从第二年开始,乙超市第 n 年的销售额比前一年的销售额多 ? ? ? 2 ?3? (Ⅰ )设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别为 an , bn 万元,求 an , bn 的表达式;

n ?1

a 万元。

(Ⅱ )若在同一年中,某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%,则该超市将被另一超市收购。 若今年(2014 年)为第一年,问:在今后若干年内,乙超市能否被甲超市收购?若能,请推算出在哪一年底被 收购;若不能,请说明理由。 【解析】 (Ⅰ ) ………………………………………5 分 (Ⅱ ) ……………………13 分

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若以 F2 为圆心,b ? c a 2 b2 3 为半径作圆 F2 ,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T,且 PT 的最小值不小于 ?a ? c? 。 2 (Ⅰ )证明:椭圆上的点到 F2 的最短距离为 a ? c ; (Ⅱ )求椭圆离心率 e 的取值范围; (Ⅲ)设椭圆短半轴长为 1,圆 F2 与 x 轴的右交点为 Q,过点 Q 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两 点,若 OA ? OB ,求直线 l 被圆 F2 截得的弦长 L 的最大值。
20、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 【解析】 (Ⅰ )
y B

P O F

Q x

………………13 分

-4-

21、 (本小题满分 13 分)记函数 f n ? x ? ? ?1 ? x ? ? 1 (其中 n ? 2 , n ? N? )的导函数为 f n' ? x ? ,函数
n

g ? x ? ? fn ? x ? ? nx 。

(Ⅰ )讨论函数 g ? x ? 的单调区间和极值; (Ⅱ)若实数 x0 和正数 k 满足

f' f ?k ? n ? x0 ? ,求证 0 ? x0 ? k 。 ? n f' f n?1 ? k ? n ?1 ? x0 ?

【解析】 (Ⅰ )………………6 分 (Ⅱ ) ……………………………………………………13 分

-5-


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