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内蒙古赤峰市2015届高三上学期第一次统一考试数学文试题含解析


内蒙古赤峰市 2015 届高三(上)第一次统考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 A={x|y=lg(4﹣x )},B={y|y>1},则 A∩ B=( ) A. {x|﹣2≤x≤1} B.{x|1<x<2} C.{x|x>2} D.{x|﹣2<x<1 或 x>2} 2 分析:由集合 A 和集合 B 的公共元素构成集合 A∩ B,由此利用集合 A={x|y=lg(4﹣x )}={x| ﹣2<x<2},B={y|y>1},能求出 A∩ B. 解答: 解:∵ 集合 A={x|y=lg(4﹣x )}={x|4﹣x >0}={x|﹣2<x<2}, B={y|y>1}, ∴ A∩ B={x|1<x<2}. 故选 B. 点评:本题考查对数的定义域的求法,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答. 2.复数 (i 为虚数单位)的值为( ) C.﹣i D.﹣1
2 2 2

A. i B.1 分析:分子分母同乘以 i,由 i 的性质可得. 解答: 解:化简可得 = =i

故选:A 点评:本题考查复数的代数形式的乘除运算,属基础题. 3.下列有关命题的说法正确的是( ) 2 2 A. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x =1,则 x≠1” 2 B. “x=6”是“x ﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 2 2 C. 命题“对任意 x∈R,均有 x ﹣x+1>0”的否定是:“存在 x∈R 使得 x ﹣x+1<0” D. 命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆否命题为真命题 考点:命题的真假判断与应用. 专题:综合题. 分析: 根据否命题的定义,写出原命题的否命题,比照后可判断① ; 2 根据充要条件的定义,判断“x=6”是“x ﹣5x﹣6=0”的充要关系,可判断② ; 根据全称命题的否定方法,求出原命题的否定命题,可判断③ ; 根据三角函数的定义,可判断原命题的真假,进而根据互为逆否命题的真假性相同,可判断④ ; 2 2 解答: 解:命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为:“若 x ≠1,则 x≠1”,故 A 错误; 2 2 “x=6”时,“x ﹣5x﹣6=0”成立,但“x ﹣5x﹣6=0”时“x=6 或 x=﹣1”,“x=6”不一定成立,故“x=6” 2 是“x ﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件,故 B 错误; 2 2 命题“对任意 x∈R,均有 x ﹣x+1>0”的否定是:“存在 x∈R 使得 x ﹣x+1≤0”,故 C 错误; 命题“若 x=y,则 cosx=cosy”为真命题,故命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆否命题也为真命题, 故 D 正确; 故选 D

-1-

点评:本题以命题的真假判断为载体考查了四种命题,全称命题的否定,是命题与逻辑的综 合应用,难度不大,属于基础题. 4.已知函数 y=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ≤ 的坐标是( ) ) ,且此函数的图象如图所示,由点 P(ω,φ)

A. (2,



B.(2,



C.(4,



D.(4,



考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题. 分析:先利用函数图象计算函数的周期,再利用周期计算公式解得 ω 的值,再将点( ,0)

代入函数解析式,利用五点作图法则及 φ 的范围求得 φ 值,最后即可得点 P(ω,φ)的坐标 解答: 解:由图象可得函数的周期 T=2×( 将( ,0)代入 y=sin(2x+φ)可得 sin( ﹣ )=π∴ =π,得 ω=2, +φ=π+2kπ (注意此点位于

+φ)=0,∴

函数减区间上) ∴ φ= +2kπ,k∈Z 可得 φ= , ) ,

由 0<φ≤

∴ 点(ω,φ)的坐标是(2,

故选 B. 点评:本题主要考查了 y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,利用函数的部分图象求函数解 析式的方法,五点作图法画函数图象的应用

5.已知 x,y 满足线性约束条件

,若 =(x,﹣2) , =(1,y) ,则 z= ? 的最

大值是( A.﹣1

) B. C.7 D.5

考点:简单线性规划;平面向量数量积的运算. 专题:计算题.

-2-

分析:作出不等式组表示的可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 z=x﹣2y 过点 C 时,z 最大值即可. 解答: 解:由题意可得, 由 z=x﹣2y,可得 y= =x﹣2y ,则﹣ 表示直线在 y 轴上的截,则截距越大,z 越小

作出不等式组表示的平面区域,如图所示 直线 z=x﹣2y 过点 C 时,z 取得最大值 由 此时 z=5 故选 D 可得 C(3,﹣1)

点评:本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 6.设 a 为非零实数,则关于函数 f(x)=x +a|x|+1,x∈R 的以下性质中,错误的是( ) A. 函数 f(x)一定是个偶函数 B. 函数 f(x) 一定没有最大值 C. 区间[0,+∞)一定是 f(x)的单调递增区间 D.函数 f(x)不可能有三个零点 分析:根据偶函数的定义,判断 f(﹣x)=f(x)则函数为偶函数;根据函数图象开口向上, 函数没有最大值;取特殊值法,然后结合函数图象,判定单调递增区间;把函数转化成方程解 的问题解答即可. 解答: 解: (1)∵ ﹣x∈R 2 2 ∴ f(﹣x)=(﹣x) +a|﹣x|+1=x +a|x|+1=f(x) ∴ 函数 f(x)一定是个偶函数. 2 (2)∵ 二次函数 f(x)=x +a|x|+1,开口向上,所以函数 f(x)一定没有最大值.
2

-3-

(3)令 a=﹣2,则 f(x)=x ﹣2|x|+1 画出如上图所示的函数图象,可知在区间[0,∞]不是 f (x)的单调递增区间,所以 C 项错误. (4)方程 x +ax+1=0,△ =a ﹣4≥﹣4,此方称可能无解、一个解或者两个解,所以函数 f(x) 2 =x +a|x|+1 可能无零点、两个零点、或者四个零点. 故选 C. 点评:本题考查了二次函数的奇偶性,通过图象观察最值以及单调性,数形结合有助于我们 的解题,形象直观. 7. (已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
2 2

2

A.

B.1

C.

D.3

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由三视图知几何体为三棱锥,且三棱锥的高为 3,底面三角形的一条边长为 3,该边上 的高为 1,把数据代入棱锥的体积公式计算可得答案. 解答: 解:由三视图知几何体为三棱锥,且三棱锥的高为 3, 底面三角形的一条边长为 3,该边上的高为 1, ∴ 几何体的体积 V= × ×3×1×3= . 故选 C. 点评:本题考查了由三视图求几何体的体积,解题的关键是由三视图判断几何体的形状及数 据所对应的几何量.

-4-

8.已知图甲中的图象对应的函数 y=f(x) ,则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中 只可能是( )

A. y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(﹣|x|) D.y=﹣f(|x|) 考点:函数图象的作法;函数解析式的求解及常用方法. 专题:作图题. 分析:由题意可知,图 2 函数是偶函数,与图 1 对照,y 轴左侧图象相同,右侧与左侧关于 y 轴对称,对选项一一利用排除法分析可得答案. 解答: 解:由图二知,图象关于 y 轴对称,对应的函数是偶函数, 对于 A,当 x>0 时,y=f(|x|)=y=f(x) ,其图象在 y 轴右侧与图一的相同,不合,故错; 对于 B:当 x>0 时,对应的函数是 y=f(x) ,显然 B 也不正确. 对于 D:当 x<0 时,y=﹣|f(﹣|x|)|=﹣|f(x)|,其图象在 y 轴左侧与图一的不相同,不合, 故错; 故选 C. 点评:本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化,考查学生读图能力,分析问题解决问 题的能力,是基础题. 9.已知某算法的程序框图如图,若将输出的(x,y)值一次记为(x1,y1) , (x2,y2) , (x3, y3)…, (xn,yn)…若程序进行中输出的一个数对是(x,﹣8) ,则相应的 x 值为( )

A. 80 B.81 C.79 D.78 考点:程序框图. 专题:算法和程序框图. 分析:根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作用 是依次输出的(x,y)值,其中每一组有序实数对中,x 是每次变为原来的 3 倍,y 每次减小 2.

-5-

解答: 解:程序在运行过程中各变量值如下表: 输出结果 n x y 循环前:1 1 0 第 1 次: (1,0)3 3﹣2 第 2 次: (3,﹣2)5 9﹣4 第 3 次: (9,﹣4)7 27﹣6 第 4 次: (27,﹣6)9 81﹣8 … 则 x=81. 故选:B. 点评:根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理 方法是: :① 分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又要 分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管理) ?② 建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③ 解模,本题属于基础题. 10.已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=﹣8,则 a1+a10=( ) A. 7 B.5 C.﹣5 D.﹣7 考点:等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题:计算题. 分析:由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=﹣8 可求 a4,a7,进而可求公比 q,代入等比数列的通项可求 a1,a10,即可 解答: 解:∵ a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=﹣8 ∴ a4=4,a7=﹣2 或 a4=﹣2,a7=4 当 a4=4,a7=﹣2 时, ,

∴ a1=﹣8,a10=1, ∴ a1+a10=﹣7 3 当 a4=﹣2,a7=4 时,q =﹣2,则 a10=﹣8,a1=1 ∴ a1+a10=﹣7 综上可得,a1+a10=﹣7 故选 D 点评:本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用,考查了基本运算的能力. 11. 已知双曲线 mx ﹣ny =1 (m>0, n>0) 的离心率为 2, 则椭圆 mx +ny =1 的离心率为 ( A. B. C. D.
2 2 2 2



考点:椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析:双曲线、椭圆方程分别化为标准方程,利用双曲线 mx ﹣ny =1(m>0,n>0)的离心 2 2 率为 2,可得 m=3n,从而可求椭圆 mx +ny =1 的离心率. 解答: 解:双曲线 mx ﹣ny =1 化为标准方程为: ∵ 双曲线 mx ﹣ny =1(m>0,n>0)的离心率为 2,
2 2 2 2

-6-



∴ m=3n

椭圆 mx +ny =1 化为标准方程为:

2

2

∴ 椭圆 mx +ny =1 的离心率的平方为

2

2

=

∴ 椭圆 mx +ny =1 的离心率为 故选 C. 点评:本题考查椭圆、双曲线的离心率,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 12. 已知函数 f (x) =x ﹣log2 (
3

2

2

﹣ x) , 则对于任意实数 a、 b (a+b≠0) ,

的值( ) A.恒大于 0 B.恒小于 1 C.恒大于﹣1 D.不确定 考点:对数函数图象与性质的综合应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数式子可判断 f(x)为单调递增函数,f(x)为单调递增函 数. =
3 3

判断符号即可.

解答: 解:∵ f(x)=x ﹣log2(

﹣x)=x +log2(

+x) ,

∴ 根据解析式可判断 f(x)为单调递增函数. ∴ f(x1)<f(x2) , ∴
3

>0,
3

∵ f(﹣x)=(﹣x) +log2(

)=﹣(x +log2(

)=﹣f(x)

∴ f(﹣x)=﹣f(x)即 f(x)为单调递增函数. ∵ >0,a ﹣ab+b >0,任意实数 a、b(a+b≠0) , = >0
2 2



故选:A 点评:本题综合考查了函数的性质,运用解决问题,属于中等题.

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二、填空题:共 4 题,每题 5 分,共 20 分 13.已知函数 f(x)= ,则 f(f( ) )的值是 .

考点:函数的值. 专题:计算题. 分析:根据对数的运算法则可求出 f(4)的值,从而可将 f(f(4) )从内向外去除括号,求 出所求. 解答: 解:由题意可得:函数 f(x)= ,

∴ f( )=log2 =﹣2 ∴ f(f( ) )=f(﹣2)=3 +1= 故答案为: .
﹣2



点评:本题主要考查了函数求值,解决此类问题的关键是熟练掌握对数的有关公式,并且加 以正确的运算,属于基础题.

14.已知抛物线 y =﹣8x 的准线过双曲线

2

的右焦点,则双曲线的离心率为 2 .

考点:双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 分析:抛物线 y =﹣8x 的准线为 x=2,故有 c =m+3=4,求得 c 值,即得双曲线的离心率的值. 解答: 解:抛物线的焦点坐标为(﹣2,0) ) ,准线方程为 x=2. 2 则 c=2.所以 c =m+3=4,解得 m=1, 所以双曲线的离心率为 e= =2, 故答案为:2. 点评:本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质,双曲线的标准方程,以及双曲线的简单 2 性质的应用,得到 c =m+3=4,求出 c 值,是解题的关键. 15.曲线 y=xe +2x+1 在点(0,1)处的切线方程为 y=3x+1 . 考点:导数的几何意义. 专题:计算题. 分析:根据导数的几何意义求出函数 y 在 x=0 处的导数,从而求出切线的斜率,再用点斜式 写出切线方程,化成斜截式即可; x x 解答: 解:y′ =e +x?e +2,y′ |x=0=3, ∴ 切线方程为 y﹣1=3(x﹣0) ,∴ y=3x+1. 故答案为:y=3x+1 点评:本题考查了导数的几何意义,同时考查了导数的运算法则,本题属于基础题.
x

-8-

16.设 A、B、C、D 是半径为 2 的球面上的四点,且满足 AB⊥ AC,AD⊥ AC,AB⊥ AD,则 S△ABC+S△ABD+S△ACD 的最大值是 8 . 考点:球内接多面体. 分析:根据题意,以 AB、AC、AD 为长、宽、高作长方体,可得长方体与三棱锥 D﹣ABC 有相同的外接球.从而算出长方体的对角线长为 4,得 AB +AC +AD =16.再利用基本不等 式求最值即可算出 S△ABC+S△ABD+S△ACD 的最大值. 解答: 解:∵ AB⊥ AC,AD⊥ AC,AB⊥ AD, ∴ 以 AB、AC、AD 为长、宽、高,作长方体如图所示 可得长方体的外接球就是三棱锥 D﹣ABC 的外接球 ∵ 球的半径为 2,可得直径为 4 ∴ 长方体的对角线长为 4,得 AB +AC +AD =16 ∵ S△ABC= AB?AC,S△ABD= AB?AD,S△ACD= AC?AD ∴ S△ABC+S△ABD+S△ACD= (AB?AC+AB?AD+AC?AD) ∵ AB?AC+AB?AD+AC?AD≤AB +AC +AD =16 当且仅当 AB=AC=AD 时,等号成立 ∴ 当且仅当 AB=AC=AD 时,S△ABC+S△ABD+S△ACD 的最大值为 8 故答案为:8
2 2 2 2 2 2 2 2 2

点评:本题求内接于球的三棱锥的侧面积的最大值,着重考查了球内接多面体、长方体的性 质和基本不等式求最值等知识,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 2 17. (12 分)已知函数 f(x)=(sinx+cosx) +cos2x, (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)当 时,求函数 f(x)的最大值,并写出 x 的相应的取值.

考点:三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值. 专题:计算题. 分析: (1)利用两角和差的三角函数化简函数,得到 f(x)=1+ T= 求得周期. ,由

-9-

(2)当

时,求出 2x+

的范围,进而得到 sin(2x+

)的范围,从而得到

函数 f(x)的 范围, 从而求得函数 f(x)的最大值. 解答: 解: (1)函数 f(x)=(sinx+cosx) +cos2x=1+sin2x+cos2x=1+ 故最小正周期为 T= (2)当 ∴ 0≤1+ 此时,2x+ = ,x= = =π. ,∴ ≤2x+ ≤ ,∴ ﹣ ≤sin(2x+ . )≤1,
2



时,∵ 0≤x≤ ≤1+ .

,故函数 f(x)的最大值为 1+

点评:本题考查两角和差的三角函数,三角函数的周期的求法,求三角函数的值域,求三角 函数的值域是解题的难点. 18. (3 分)如图甲,△ ABC 是边长为 6 的等边三角形,E,D 分别为 AB,AC 靠近 B,C 的三 等分点,点 G 为边 BC 边的中点,线段 AG 交线段 ED 于点 F.将△ AED 沿 ED 翻折,使平面 AED⊥ 平面 BCDE,连接 AB,AC,AG,形成如图乙所示的几何体. (Ⅰ )求证:BC⊥ 平面 AFG (Ⅱ )求四棱锥 A﹣BCDE 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 专题:计算题;证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ )由图形折叠前后的特点可知 DE⊥ AF,DE⊥ GF,ED∥ BC,由线面垂直的判定和 性质定理,即可得证; (Ⅱ )由面面垂直的性质定理,得到 AF⊥ 平面 BCDE,再由棱锥的体积公式即可得到答案. 解答: (Ⅰ )证明:在图甲中,由△ ABC 是边长为 6 的等边三角形, E,D 分别为 AB,AC 靠近 B,C 的三等分点, 点 G 为边 BC 边的中点,得 DE⊥ AF,DE⊥ GF,ED∥ BC, 在图乙中仍有,DE⊥ AF,DE⊥ GF,且 AF∩ GF=F, ∴ DE⊥ 平面 AFG, ∵ ED∥ BC,∴ BC⊥ 平面 AFG; (Ⅱ )解:∵ 平面 AED⊥ 平面 BCDE,AF⊥ ED,

- 10 -

∴ AF⊥ 平面 BCDE, ∴ VA﹣BCDE= AF?SBCDE= × ×4×( 36﹣ ×16)=10.

点评:本题考查空间直线与平面的位置关系,考查线面垂直的判定和性质定理,以及面面垂 直的性质定理,同时考查棱锥的体积计算,属于基础题. 19. (3 分)某公司生产 A、B 两类产品,每类产品均有一般品和优等品两种,某月的产量如 下表: A B 100 x 优等品 300 400 一般品 按分层抽样的方法在该月生产的产品中抽取 50 个,其中 A 类 20 个. (Ⅰ )求 x 的值; (Ⅱ )用分层抽样的方法在 B 类中抽取一个容量为 6 个的样本,从样本中任意取 2 个,求至少 有一个优等品的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ )由每个个体被抽到的概率都相等,可得 = ,由此求

得 x 的值. (Ⅱ )先求出抽出的产品中,优等品为 2 个,一般品为 4 个,求出没有优等品的概率,再用 1 减去此概率,即得所求. 解答: 解: (Ⅰ )由每个个体被抽到的概率都相等,可得 解得 x=200. …(4 分) (Ⅱ )抽取容量为 6 的样本,由于优等品所占的比例为 = , 则抽出的产品中,优等品为 6× =2 个,一般品为 6× =4 个. 从样本中任意取 2 个,所有的取法种数为 故没有优等品的概率为 = , =15,其中没有优等品的取法种数为 =6, = ,一般品所占的比例为 = ,

- 11 -

所以至少有一个优等品的概率是 1﹣ = . …(12 分) 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和方法,用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率 等于该层应抽取的个体数, 一个事件的概率与它的对立事件的概率间的关系,属于基础题.

20. (3 分)已知椭圆 C: 的距离为 . (1)求椭圆 C 的方程.

的离心率为

,短轴一个端点到右焦点

(2) 设直线 l: y=kx+m 与椭圆 C 交于 A、 B 两点, 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 的面积为 ,求:实数 k 的值.

, 且△ AOB

考点:椭圆的简单性质;椭圆的标准方程. 专题:综合题. 分析: (1)因为椭圆离心率为 e= = 故 c=
2 2 2

,又因为短轴一个端点到右焦点的距离为 a= .



,从而 b =a ﹣c =1,椭圆 C 的方程为 ,得等式

(2)先由原点 O 到直线 l 的距离为 利用韦达定理和△ AOB 的面积为 两等式联立解方程即可得 k 值

,再将直线 l 与椭圆联立, = ,最后将

,得等式

?

解答: 解: (1)设椭圆的半焦距为 c,依题意



∴ b=1,∴ 所求椭圆方程为

. ,得 .

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由已知

又由

,消去 y 得:

(3k +1)x +6kmx+3m ﹣3=0,∴

2

2

2





- 12 -

∴ |AB| =(1+k ) (x2﹣x1) =

2

2

2

=

=

又 化简得:9k ﹣6k +1=0 解得:
4 2



点评:本题考察了椭圆的标准方程,直线与椭圆相交的性质,解题时要特别注意韦达定理在 解题中的重要应用,巧妙地运用设而不求的解题思想提高解题效率. 21. (3 分)已知函数 f(x)=x ln|x|. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若关于 x 的方程 f(x)=kx﹣1 有实数解,求实数 k 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先看当 x>0 时,根据导函数 f'(x)大于 0 或小于 0 时的 f(x)的单调区间, 再根据函数的奇偶性判断求得其它的单调区间. (2)要使方程 f(x)=kx﹣1 有实数解,即要使函数 y=f(x)的图象与直线 y=kx﹣1 有交点, 先看当 k>0 时,用导函数求出当直线 y=kx﹣1 与 f(x)的图象相切时 k 的值,再根据对称性 求出 k<0 时直线 y=kx﹣1 与 f(x)的图象相切时 k 的值,进而求出 f(x)=kx﹣1 有实数解, 求实数 k 的取值范围. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域为{x|x∈R 且 x≠0} 当 x>0 时,f′ (x)=x(2lnx+1)若 0<x< 若 x> ,则 f'(x)>0,f(x)递增. ,0)和( ,+∞) ; ) . ,则 f'(x)<0,f(x)递减;
2

递增区间是(﹣

递减区间是(﹣∞,﹣

)和(0,

(2)要使方程 f(x)=kx﹣1 有实数解,即要使函数 y=f(x)的图象与直线 y=kx﹣1 有交点. 函数 f(x)的图象如图. 先求当直线 y=kx﹣1 与 f(x)的图象相切时 k 的值. 当 k>0 时,f'(x)=x?(2lnx+1) 设切点为 P(a,f(a) ) ,则切线方程为 y﹣f(a)=f'(a) (x﹣a) , 将 x=0,y=﹣1 代入,得﹣1﹣f(a)=f'(a) (﹣a) 2 2 即 a lna+a ﹣1=0(*) 显然,a=1 满足(*)

- 13 -

而当 0<a<1 时,a lna+a ﹣1<0, 2 2 当 a>1 时,a lna+a ﹣1>0 ∴ (*)有唯一解 a=1 此时 k=f'(1)=1 再由对称性,k=﹣1 时,y=kx﹣1 也与 f(x)的图象相切, ∴ 若方程 f(x)=kx﹣1 有实数解,则实数 k 的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪ [1,+∞) .

2

2

点评:本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用.在解决函数的单调性问题时,常利 用导函数的性质. 四、选做题:满分 9 分,在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分. 22. (3 分) (2013?郑州二模)如图,已知⊙ O 和⊙ M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙ M 的直径,直 线 BD 交⊙ O 于点 C,点 G 为 BD 中点,连接 AG 分别交⊙ O、BD 于点 E、F 连接 CE. (1)求证:AG?EF=CE?GD; (2)求证: .

考点:圆的切线的性质定理的证明;与圆有关的比例线段. 专题:证明题;压轴题. 分析: (1)要证明 AG?EF=CE?GD 我们可以分析积等式中四条线段的位置, 然后判断它们 所在的三角形是否相似,然后将其转化为一个证明三角形相似的问题. (2)由(1)的推理过程,我们易得∠ DAG=∠ GDF,又由公共角∠ G,故△ DFG∽ △ AGD,易得 2 DG =AG?GF,结合(1)的结论,不难得到要证明的结论. 解答: 证明: (1)连接 AB,AC, ∵ AD 为⊙ M 的直径,∴ ∠ ABD=90°,

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∴ AC 为⊙ O 的直径,∴ ∠ CEF=∠ AGD, ∵ ∠ DFG=∠ CFE,∴ ∠ ECF=∠ GDF, ∵ G 为弧 BD 中点,∴ ∠ DAG=∠ GDF, ∵ ∠ ECB=∠ BAG,∴ ∠ DAG=∠ ECF, ∴ △ CEF∽ △ AGD, ∴ ,

∴ AG?EF=CE?GD (2)由(1)知∠ DAG=∠ GDF, ∠ G=∠ G, ∴ △ DFG∽ △ AGD, ∴ DG =AG?GF, 由(1)知 ,
2





点评:证明三角形相似有三个判定定理: (1)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两 条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相 等,两个三角形相似(2)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那 么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似(3)如果两个三角形的两 个角分别对应相等(或三个角分别对应相等) ,则有两个三角形相似.我们要根据已知条件进 行合理的选择,以简化证明过程. 23. (3 分)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平

面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 与直线 l 相交于 P、Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩形 的面积. 考点:参数方程化成普通方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题:直线与圆. 分析: (1)利用公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ 即可把曲线 C 的极坐标方程化为普通方程;消去参 数 t 即可得到直线 l 的方程; (2) 利用弦长|PQ|=2 和圆的内接矩形,得对角线是圆的直径即可求出圆的内接矩形

的面积. 2 2 2 解答: 解: (1)对于 C:由 ρ=4cosθ,得 ρ =4ρcosθ,进而 x +y =4x;

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对于 l:由

(t 为参数) ,



,即



(2)由(1)可知 C 为圆,且圆心为(2,0) ,半径为 2, 则弦心距 ,

弦长



因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积 . (10 分) 点评:本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程向直角坐标方 程转化,参数方程向普通方程转化,以及圆内几何图形的性质等. 24. (3 分)已知函数 f(x)=|x﹣2|,g(x)=﹣|x+3|+m. (1)解关于 x 的不等式 f(x)+a﹣1>0(a∈R) ; (2)若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,求 m 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1>0,对参数 a 进行分类讨论,分类解不等式; (2)函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|>m 恒成立, 利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值,就可以求出 m 的范围. 解答: 解: (Ⅰ )不等式 f(x)+a﹣1>0 即为|x﹣2|+a﹣1>0, 当 a=1 时,解集为 x≠2,即(﹣∞,2)∪ (2,+∞) ; 当 a>1 时,解集为全体实数 R; 当 a<1 时,解集为(﹣∞,a+1)∪ (3﹣a,+∞) . (Ⅱ )f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,即为|x﹣2|>﹣|x+3|+m 对任意实数 x 恒成立, 即|x﹣2|+|x+3|>m 恒成立, (7 分) 又由不等式的性质,对任意实数 x 恒有|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5,于是得 m<5, 故 m 的取值范围是(﹣∞,5) . 点评:本题考查绝对值不等式的解法,分类讨论的方法,以及不等式的性质,涉及面较广, 知识性较强.

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