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辽宁省沈阳二中2016届高三数学上学期期中试题 理


沈阳二中 2015—2016 学年度上学期期中考试 高三(16 届)数学(理科)试题
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分. 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上. 第Ⅰ卷(60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个正确答案,将正确答 案的序号涂在答题卡上.) 1.数列 2,5,11,20,

x ,47,?中, x 的值等于( A.28 B.32 C.33 ) D.27

2.已知集合 A ? ??1,1? , B ? ?x | ax ? 2 ? 0? ,若 B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集合为 ( A. )

??2?

B.

?2?
B. y =

C.

??2, 2?


D.

??2,0, 2?

3. 下列函数中,最小值为 4 的是( A. y ? x ? 4 x C. y = e x + 4ex

2( x 2 + 3) x2 + 2
4 ?0 ? x ? ? ? sin x
) C. a ? b ? c D. b ? c ? a

D. y = sin x +

4.设 a ? 30.5 , b ? log 3 2 , c ? cos 2 ,则( A. c ? b ? a B. c ? a ? b )

5. 下列叙述中,正确的个数是(

①命题 p :“ ?x ? R,x2 ? 2 ≥ 0 ”的否定形式为 ?p :“ ?x ? R,x2 ? 2 ? 0 ”;
??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? ②O 是△ABC 所在平面上一点,若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 是△ABC 的垂心;

2 2 ③“M>N”是“ ( )M ? ( ) N ”的充分不必要条件; 3 3
④命题“若 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,则 x ? 4 ”的逆否命题为“若 x ? 4 ,则 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ”. A.1 B.2 C.3 D.4 6.四面体 SABC 的各棱长都相等,如果 E、F 分别为 SC、AB 的中点,那么异面直线 EF 与 SA 所 成的角等于( ) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°

7. 已知

是等差数列

的前 项和,若 a7 ? 9a3 ,则

S9 ? ( S5

)

-1-

A.

B.

C. )

D.

8. 某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( A. 4 C. B.

20 3

26 3

D. 8
(第 8 题图)

??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ??? ? ???? 9.如图,平面内有三个向量 OA , OB , OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120? ,OA 与 OC 的夹角
??? ? ??? ? 3 ???? ???? ??? ? ??? ? 为 30? ,且 | OA |? 2 , | OB |? , | OC |? 2 3 ,若 OC ? ?OA ? ?OB (? , ? ? R) ,则( 2 8 3 A. ? ? 4 , ? ? 2 B. ? ? , ? ? 3 2 4 3 4 C. ? ? 2 , ? ? D. ? ? , ? ? 3 2 3
(第 9 题图)

)

10.定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,当 x ? 0 时, f ( x) ? ?

? log 1 ( x ? 1), x ? ? 0, 2 ? ? 3

? ?1 ? x ? 4 , x ? ? 2, ?? ?
) D. 1 ? 3
?a

,则关于 x 的函

数 F ( x) ? f ( x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为(
a A. 3 ? 1

B. 1 ? 3

a

C. 3

?a

?1

11.如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2,甲同学在 ?ABC 中用余弦定理解得

A B E

AC ? 8 ? 8cos108? ,乙同学在 Rt ?ACH 中解得 AC ?
可得 cos 72 的值所在区间为( A.
?

1 ,据此 cos 72?

) C.

C

H

D

? 0.1,0.2?
2x

B.

? 0.2,0.3?

? 0.3,0.4?

D.

?0.4,0.5 ?

(第 11 题图)

12.已知 f ( x) ? e , g ( x ) ? ln x ? 的最小值为( A. 1 ? )

1 (0, ?? ) ,使得 f (a) ? g (b) ,则 b ? a ,对 ?a ? R, ?b ? 2
1 ln 2 2
C.

1 ln 2 2

B. 1 ?

e?

1 2

D.

e2 1 ? 2 4

-2-

第Ⅱ卷(90 分) 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.由直线 x ? 0 , x ?

2? , y ? 0 与曲线 y ? 2sin x 所围成的图形的面积等于 3


.

?x ? 2 y ? 4 ? 0 x? y?3 ? x?2 14.已知变量 x, y 满足 ? ,则 的取值范围是 x?2 ? x? y?2?0 ?
15.如图,在棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱 A 1 A和B 1 B 上各有

B1

C1

Q

A1

M 是棱 CA 上的动点, 一个动点 P, Q ,且满足 A 1 P ? BQ ,


B C M
(第 15 题图)

VM ? ABQP VABC ? A1B1C1 ? VM ? ABQP

P A

的最大值是



16. 设首项不为零的等差数列 {an } 前 n 项之和是 Sn , 若不等式 an 2 ? 正整数 n 恒成立,则实数 ? 的最大值为 .

Sn 2 ? ? a12 对任意 {an } 和 2 n

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) ( x ? R ).

17. (本小题满分 10 分)已知函数 (I)求函数 (II) 的单调递增区间; 内角 的对边长分别为 ,若



试求 B 和 C.

18. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 2an ? Sn ? 2n ? 1 (n ? N ) .
?

(Ⅰ)求证:数列 ?an ? 2? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn .

-3-

C

B

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形,E 为侧棱 PA 的中点. (Ⅰ)求证:PC//平面 BDE; (Ⅱ)若 PC⊥PA,PD=AD,求证:平面 BDE⊥平面 PAB.

D E P (第 19 题图)

A

20. (本小题满分 12 分)“水资源与永恒发展”是 2015 年联合国世界水资源日主题.近年来, 某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约 4 万元,为了缓解供水压力,决定安装一个可使用 4 年的自动污水净化设备,安装这种净水设备的成本费 (单位:万元)与管线、主体装置的占地 面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为 0.2. 为了保证正常用水,安装后采用净水装置净 水和自来水厂供水互补的用水模式.假设在此模式下,安装后该企业每年 向自来水厂缴纳的 .. 水费 C(单位:万元)与安装的这种净水设备的占地面积 x(单位:平方米)之间的函数关系是

C ( x) =

k (x≥0,k 为常数).记 y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业 4 年 50 x + 250

共将 消耗的水费之和. .. (Ⅰ) 试解释 C (0) 的实际意义,请建立 y 关于 x 的函数关系式并化简; (Ⅱ) 当 x 为多少平方米时,y 取得最小值?最小值是多少万元?

1 3 1 2 ax ? bx ? cx(a, b, c ? R, a ? 0) 的图象在点 3 2 1 ? x, f ( x) ? 处的切线的斜率为 k ( x) ,且函数 g ( x) ? k ( x) ? 2 x 为偶函数.若函数 k ( x) 满足下列 1 2 1 条件:① k (?1) ? 0 ;②对一切实数 x ,不等式 k ( x) ? x ? 恒成立. 2 2 (Ⅰ)求函数 k ( x) 的表达式; 1 1 1 2n ? ??? ? (Ⅱ)求证: (n ? N? ) . k (1) k (2) k ( n) n ? 2
21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

22. (本题满分12分)已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?

x3 ? x 2 ? 2ax(a ? R) . 3

(Ⅰ)若 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? ?
3 1 1? x? b 时,方程 f (1 ? x) ? ? ? 有实根,求实数 b 的最大值. 2 3 x

-4-

沈阳二中 2015—2016 学年度上学期期中考试 高三(16 届)数学(理科)试题 参考答案及评分标准

1-5:BDCAC 13.3

6-10:CABCB

11-12:CA 15.

14. ? , ? ?4 2?

?5 5?

1 2

16.

1 5
?2 分

17.解: (Ⅰ)∵

∴故函数

的递增区间为

(

Z) ??????4 分

(Ⅱ)

,∴





,∴

,∴

,即

. ???6 分

由正弦定理得:

,∴





,∴



.???8 分



时,

;当

时,

. (舍)所以

,

. ????10 分

18.解: (Ⅰ)因为 2an ? Sn ? 2n ?1 ,所以有 2an?1 ? Sn?1 ? 2n ? 3 成立. 两式相减得: 2an?1 ? 2an ? an?1 ? 2 . ????1 分 ????3 分

所以 an?1 ? 2an ? 2 (n ? N? ) ,即 an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) .

所以数列 ?an ? 2? 是以 a1 ? 2 ? 5 为首项,公比为 2 的等比数列. ?????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得: an ? 2 ? 5 ? 2n?1 ,即 an ? 5 ? 2n?1 ? 2 (n ? N ) . 则 nan ? 5n ? 2n?1 ? 2n (n ? N ) . ?????7 分
n ?1 设数列 5n ? 2 的前 n 项和为 P n,

?

?

?

?

-5-

0 1 2 n ?2 则P ? 5? n ? 2n?1 , n ? 5 ?1? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ? 3? 2 ? ... ? 5 ? (n ? 1) ? 2 1 2 3 n?1 所以 2P ? 5n ? 2n , n ? 5 ?1? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? 2 ? ... ? 5(n ?1) ? 2 1 2 n?1 所以 ?P ) ? 5n ? 2n , n ? 5(1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2

? n 即P n ? (5n ? 5) ? 2 ? 5 (n ? N ) . ?????11 分
n 所以数列 ?n ? an ? 的前 n 项和 Tn = (5n ? 5) ? 2 ? 5 ? 2 ?

n(n ? 1) , 2

整理得, Tn ? (5n ? 5) ? 2n ? n2 ? n ? 5 (n ? N? ) .?????12 分

19.证明: (1)连结 AC,交 BD 于 O,连结 OE. 因为 ABCD 是平行四边形,所以 OA=OC.?????????????????2 分 因为 E 为侧棱 PA 的中点,所以 OE∥PC.??????????????????4 分 因为 PC?平面 / BDE,OE?平面 BDE,所以 PC //平面 BDE.???????????6 分 (2)因为 E 为 PA 中点,PD=AD,所以 PA⊥DE.??????????????8 分 因为 PC⊥PA,OE∥PC,所以 PA⊥OE. 因为 OE?平面 BDE,DE?平面 BDE,OE∩DE=E, 所以 PA⊥平面 BDE.????????????10 分 因为 PA?平面 PAB,所以平面 BDE⊥平面 PAB.?????12 分 D E P 20. (Ⅰ) C (0) 表示不安装设备时每年缴纳的水费为 4 万元 ????2 分 A C O B

? C (0) =

k = 4 ,? k ? 1000 ;????3 分 250 1000 80 y ? 0.2 x ? ? 4 ? 0.2 x ? (x≥0)﹒????5 分 50 x ? 250 x?5 80 ? 1 ? 2 16 ? 1 ? 7 ????8 分 (Ⅱ) y ? 0.2( x ? 5) ? x?5 80 ? 4 时,即 x ? 15 时有最小值,最小值为 ymin = 7 ????11 分 当 0.2( x ? 5) ? x?5

? 当 x 为 15 平方米时,y 取得最小值 7 万元 ????12 分
21.(Ⅰ)解:由已知得: k ( x) ? f ?( x) ? ax ? bx ? c . ????1 分
2
2 由 g ( x) ? ax ? bx ? c ?

1 1 x 为偶函数,有 b ? . ????2 分 2 2

-6-

又 k (?1) ? 0 ,所以 a ? b ? c ? 0 ,即 a ? c ? 因为 k ( x) ?

1 . ????3 分 2

1 2 1 x ? 对一切实数 x 恒成立,即对一切实数 x ,不等式 2 2

1 1 1 1 (a ? ) x 2 ? x ? c ? ? 0 恒成立. 当 a ? 时,不符合题意. ????4 分 2 2 2 2

1 ? a ? ? 0, ? 1 ? 2 当 a ? 时, ? 2 ?? ? 1 ? 4( a ? 1 )(c ? 1 ) ? 0. ? ? 4 2 2
所以 k ( x) ?

a?c ?

1 1 ,得 a ? c ? . 2 4

1 2 1 1 x ? x? . 4 2 4

?????6 分

(Ⅱ)证明: k (n) ?

n 2 ? 2n ? 1 (n ? 1) 2 1 4 ? ? ,所以 . 4 4 k (n) (n ? 1) 2

因为

1 1 1 1 ? ? ? ,????10 分 2 (n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

所以 4 ?

?1 1 1 ? 1 1 ? 4n ?1 1 1 1 ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ??? ? ?11 分 ?? 2? 2 2 n ? 1 n ? 2 ? 2n ? 4 ?2 3 3 4 ? n ? 1? ? ?2 3 ? ?

所以

1 1 1 2n ? ??? ? 成立????12 分 k (1) k (2) k ( n) n ? 2

22. 解: (Ⅰ) f '( x) ?

x? 2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) ? 2a ? ? .??1 分 2 ? x ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1

因为 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点,所以 f '(2) ? 0 . 即

2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 .??2 分 4a ? 1

又当 a ? 0 时, f '( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2 为 f ( x ) 的极值点成立.????3 分 (Ⅱ)因为 f ( x ) 在区间 ?3, ?? ? 上为增函数, 所以 f '( x) ?
2 2 x? ?2ax ? (1 ? 4a) x ? (4a ? 2) ? ?

2ax ? 1

? 0 在区间 ?3, ?? ? 上恒成立.???4 分

①当 a ? 0 时, f '( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立,所以 f ( x ) 在 ?3, ?? ? 上为增函数, 故 a ? 0 符合题意.????????????????5 分 ②当 a ? 0 时, 由函数 f ( x ) 的定义域可知, 必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立, 故只能 a ? 0 , 所以 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立. ??????6 分

-7-

令 g ( x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ? 因为 a ? 0 所以 1 ?

1 , 4a

1 ? 1 ,从而 g ( x) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可, 4a

因为 g (3) ? ?4a2 ? 6a ? 1 ? 0 , 解得

3 ? 13 3 ? 13 .????????????7 分 ?a? 4 4 3 ? 13 . 4
? 3 ? 13 ? ? .?????????8 分 4 ? ?

因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ?

综上所述, a 的取值范围为 ? 0,

(Ⅲ)若 a ? ?

3 1 ?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? (1 ? x)2 ? (1 ? x) ? b . 时,方程 f (1 ? x) ? 2 x 3 x

问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x)2 ? x(1 ? x) ? x ln x ? x2 ? x3 在 ? 0, ??? 上有解, 即求函数 g ( x) ? x ln x ? x2 ? x3 的值域.??????????9 分 因为 g ( x) ? x(ln x ? x ? x2 ) ,令 h( x) ? ln x ? x ? x2 , 则 h '( x) ?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ?1? 2x ? ,??????????10 分 x x

所以当 0 ? x ? 1 时 h '( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 ? 0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时 h '( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 ?1, ?? ? 上为减函数,?????11 分 因此 h( x) ? h(1) ? 0 .而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值 0.?????????????12 分

-8-


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