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数学必修1、2f、4、5知识点总结


数学必修 1、2、4、5 基础知识

第1页

必修 1 数学基础知识
第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 、 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元 素 组成 的总体 叫做 集合。 集合 三要 素 : 确 定 性 、 互 异 性 、 无 dddddddddddddddddddddddddddddddd ddddddddd

ddddddddddddddddddddddd ddddddd 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的, 就 称 这 两 个 集 合 ddddddddddddddddddddddd 相等。 3、 常见集合:正整数集合: N
?

1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种 确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中 的任意一个数 x ,在集合 B 中都有惟 一确定的数 f (x ) 和它对应,那么就 称 f : A →B 为集合 A 到集合 B 的一个

A 函数,记作: y= f ( x ), x ∈ .
2、 一个函数的构成要素为:定义域、对 应关系、值域.如果两个函数的定义 域相同,并且对应关系完全一致,则 称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 、 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象 法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 、单调性与最大( 1、 注意函数单调性证明的一般格式:



N + ,整数集合:Z,dddddddddd 有
理数集合:Q,实数集合:R. 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间 ddddddd 的基本关系 、 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果 集合 A 中任意一 dddddd 个元素都是集 合 B 中的元素 dddddddd,则称集合 A 是集合 B 的子集。记作 A ?B . 2 、 如 果 集 合 A ?B , 但 存 在 元 素 x ∈ ,且 x ? ,则称集合 A 是集 B A 合 B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记 作: ? .并规定:空集合是任何集合 的子集. 4、 如果集合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 、 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ∪B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A∩ B . 3、全集、补集? §1.2.1、函数的概念 、
n

[ 解 : 设 x 1 , x 2∈ a , b ] 且 x 1< x 2 ,

? 则: f (x 1 ) f (x 2 ) =…
§1.3.2、奇偶性 、 1、 一般地,如果对于函数 f (x ) 的定义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有

f (? x )= f (x ) , 那 么 就 称 函 数 f (x ) 为偶函数.偶函数图象关于 y
轴对称. 2、 一般地,如果对于函数 f (x ) 的定义 域 内 任 意 一 个 x , 都 有

f (? x )= ? f ( x ) , 那 么 就 称 函 数 f (x ) 为奇函数.奇函数图象关于原
点对称.

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2、 a

loga N

=a .

3、 log a 1= 0 , log a a= 1 . 第二章、基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 、
n 1、 一般地,如果 x = a ,那么 x 叫做

4、当 a> 0, a≠ 1, M > 0, N > 0 时: ⑴ log a (MN )= log a M + loga N ;

a

N 的 n> 1, n ∈ + 次 方 根 。 其 中

M ⑵ log a N = log a M ? loga N ;
⑶ log a M = nlog a M .
n

( )

n> 1, n ∈N + .
2、 当 n 为奇数时, √ n = a ; a
n

5、换底公式: log a b=

logc b logc a

a a∣ 当 n 为偶数时, √ =∣ .
n n

(a> 0, a≠ 1, c> 0, c≠ 1, b> 0 ) .
6、 log a b= log a b

3、 我们规定: ⑴a =
n m m

1

√a n

(a> 0, m , n∈N ? , m> 1 ) ;
1 ?n ⑵ a = n (n> 0 ) ; a
4、 运算性质: ⑴a a =a ⑵ (a
r s
r s r+ s

(a> 0, a≠ 1, b> 0,b≠ 1 ) .
§2..2.2、对数函数及其性质 、 1、 记住图象: y= log a x (a> 0, a≠ 1 )

(a> 0, r , s∈ ) ; Q

) = a rs (a> 0, r , s∈ ) ; Q
r

⑶ (ab ) = a r br (a> 0, b> 0, r ∈ ) . Q §2.1.2、指数函数及其性质 、 1、 记住图象: y= a (a> 0, a≠ 1 )
x

§2.3、幂函数 、 1、几种幂函数的图象:

§2.2.1、对数与对数运算 、 1、 a = N ?log a N = x ;
x

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第三章、函数的应用 §3.1.1、方程的根与函数的零点 、 1、方程 f (x )= 0 有实根
? 函数 y= f ( x ) 的图象与 x 轴有交

必修 2 数学基础知识
1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见
的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。


? 函数 y= f ( x ) 有零点.

2 、 性 质 : 如 果 函 数 y= f ( x ) 在 区 间

⑵棱柱: 有两个面互相平行,其余各面都是
四边形,并且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行,由这些面所围成的多面体叫 做棱柱。

[a , b ]

上的图象是连续不断的一条

? 曲 线 , 并 且 有 f (a ) f (b )< 0 , 那
么,函数 y= f ( x ) 在区间 (a , b ) 内

⑶棱台: 用一个平行于棱锥底面的平面去截
棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多 面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投 影,中心投影的投影线交于一点;把在一 束平行光线照射下的投影叫平行投影,平 行投影的投影线是平行的。

( 有 零 点 , 即 存 在 c ∈a ,b ) , 使 得
f (c )= 0 , 这 个 c 也 就 是 方 程 f (x )= 0 的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解 、 1、掌握二分法. §3.2.1、几类不同增长的函数模型 、 §3.2.2、函数模型的应用举例 、 1、解决问题的常规方法:先画散点图, 再用适当的函数拟合,最后检验.

3、空间几何体的表面积与体积

r? ⑴圆柱侧面积; S 侧面 = 2π? l

r? ⑵圆锥侧面积: S 侧面 = π? l

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10、面面平行: ⑴判定: 一个平面内的两条相交直线与另一
个平面平行,则这两个平面平行。

⑵性质: 如果两个平行平面同时和第三个平
面相交,那么它们的交线平行。

r? R? ⑶圆台侧面积: S 侧面 = π? l + π? l

11、线面垂直: ⑴定义: 如果一条直线垂直于一个平面内的
任意一条直线,那么就说这条直线和这个 平面垂直。

⑷体积公式:

1 V 柱体 = S? ; V 锥体 = S? ; h h 3 V 台体 = 1 S + S ? + S 下 )h S 3( 上 √ 上 下

⑵判定: 一条直线与一个平面内的两条相交
直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

⑶ 性 质: 垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 条 直 线 平
行。

⑸球的表面积和体积: 4 S 球 = 4πR 2 , V 球 = πR3 . 3

12、面面垂直: ⑴定义: 两个平面相交,如果它们所成的二
面角是直二面角,就说这两个平面互相垂 直。

⑵判定: 一个平面经过另一个平面的一条垂 第二章:点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面
内,那么这条直线在此平面内。 线,则这两个平面垂直。

⑶性质: 两个平面互相垂直,则一个平面内
垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且
只有一个平面。

3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公
共点,那么它们有且只有一条过该点的公 共直线。

第三章:直线与方程

4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平
行.

y 2? y 1 1、倾斜角与斜率: k= tan α= x ? x 2 1
2、直线方程: ⑴点斜式: y? y 0 = k (x? x 0 ) ⑵斜截式: y= kx + b

5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应
平行,那么这两个角相等或互补。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系: 直线在平面内、直线和
平面平行、直线和平面相交。

8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定: 平面外一条直线与此平面内的一条
直线平行,则该直线与此平面平行。

y? y 1 x? x 1 ⑶两点式: y ? y = x ? x 2 1 2 1
⑷一般式: Ax + By + C = 0 3、对于直线:

⑵性质: 一条直线与一个平面平行,则过这
条直线的任一平面与此平面的交线与该直 线平行。

l 1 : y= k 1 x+ b1 , l 2 : y= k 2 x+ b 2 有:

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l 1 // l 2 ? k 1= k 2 ⑴ b1 ≠ b 2 ; ? ?{???
⑵ l 1 和 l 2 相交 ? k 1 = k 2 ;

d=

∣ 0 + By 0 + C∣ Ax

√A 2+ B 2

第四章:圆与方程 1、圆的方程: ⑴标准方程: (x? a ) + (y ? b ) = r
2 2
2 2 2

? k 1= k 2 ⑶ l 1 和 l 2 重合 b1 = b 2 ; ? ?{???
⑷ l 1 ⊥l 2 ? k 1 k 2 = ? 1 . 4、对于直线:

⑵一般方程: x + y + Dx + Ey + F= 0 .

O 2、两圆位置关系: d = ∣ 1 O 2∣
⑴外离: d > R+ r ; ⑵外切: d = R+ r ; ⑶相交: R? r< d < R+ r ; ⑷内切: d = R? r ; ⑸内含: d < R? r . 3、空间中两点间距离公式:

l 1 : A1 x+ B1 y+ C 1 = 0, l 2 : A2 x+ B2 y+ C 2 = 0 有:

l 1 // l 2 ? A1 B 2= A2 B 1 ⑴ B1 C 2≠ B2 C 1 ; ? ?{???
⑵ l 1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ≠ A 2 B1 ;

∣ 1 P 2∣ P =

√(x ? x ) + (y ? y ) + (z ? z )
2 2 2 1 2 1 2 1

2

必修 4 数学基础知识
第一章、三角函数 §1.1.1、任意角 、 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 α 终边相同的角的集合:

? A1 B 2= A2 B 1 ⑶ l 1 和 l 2 重合 B1 C 2= B2 C 1 ; ? ?{???
l ⑷ l 1 ⊥ 2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 .
5、两点间距离公式:

β= Z {β ∣ α+ 2kπ , k ∈ } .
§1.1.2、弧度制 、 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做 1 弧度的角. l α∣ 2、 ∣ = r . 3、弧长公式: l=

∣ 1 P 2∣ P =

√(x ? x ) + ( y ? y )
2 2 1 2 1

2

nπR = ∣∣ . αR 180
2

6、点到直线距离公式:

nπR 1 4、扇形面积公式: S= 360 = 2 lR .
§1.2.1、任意角的三角函数 、

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1、 设 α 是一个任意角,它的终边与单位 圆交于点 P (x , y ) ,那么:

sin ( α )= ? sin α , ? cos (? α )= cosα , tan ( α )= ? tan α . ?
3、诱导公式四:

? sin α= y ,?cos α= x , ?tan α= ?
2、 设点 A (x 0 , y 0 ) 为角 α 终边上任意一
2 x2 点,那么:(设 r = √ 0 + y 0 )

y . x

sin (π? α )= sin α , cos (π ? α )= ? cos α , tan (π? α )= ? tan α .
4、诱导公式五:

sin α=

y0 r



cos α=

x0 r



(π2 ? α)= cos α , π cos( ? α ) sin α . = 2
sin
5、诱导公式六:

tan α=
3、

y0 x0 .

sin

sin α , cos α , tan α 在四个象

限的符号和三角函数线的画法. 4、 诱导公式一:

(π + α)= cos α , 2 π cos( + α ) ? sin α. = 2

sin (α+ 2kπ )= sin α , cos (α + 2kπ )= cos α , ( 其 中 : tan (α+ 2kπ )= tan α .
k∈ ) Z

§1.4.1、正弦、 §1.4.1、正弦、余弦函数的图象 1、记住正弦、余弦函数图象:

5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270°的三角函数值.
α
π 6 π 4 π 3

cos α cos α tan α

§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 、 1、 平方关系: sin α+ cos α= 1 . 2、 商数关系: tan α=
2 2

sin α cos α .

§1.3、 §1.3、三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二:

sin (π+ α )= ? sin α , cos (π + α )= ? cos α , tan (π+ α )= tan α .
2、诱导公式三:

2、 能够对照图象讲出正弦、余弦函数的 相关性质:定义域、值域、最大最小 值、对称轴、对称中心、奇偶性、单 调性、周期性. 3、 会用五点法作图. §1.4.2、正弦、 §1.4.2、正弦、余弦函数的性质 1、 周期函数定义:对于函数 f (x ) ,如 果存在一个非零常数 T,使得当 x 取 定义域内的每一个值时,都有

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f (x+ T )= f (x ) ,那么函 数 f (x )
就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这 个函数的周期. §1.4.3、 §1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象:

AB 的大小,也就是向量 ? AB 的 2、 向量 ?
? AB 长度(或称模),记作 ∣ ∣;长度为
零的向量叫做零向量;长度等于 1 个 单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行 向量(或共线向量).规定:零向量与 任意向量平行. §2.1.3、 §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等 向量. §2.2.1、 §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形法则和平行四边形法则.

2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性 质:定义域、值域、对称中心、奇偶 性、单调性、周期性.

a ? b∣ ? ? a + b∣ 2、 ∣+ ?≤ ∣∣∣ .
§2.2.2、 §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 a 1、 与 ?长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. ? §2.2.3、 §2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
a 的积是一个 1、 规定:实数 λ 与向量 ? 向量,这种运算叫做向量的数乘.记 a , 作 : λ ? 它 的 长度 和 方 向规 定 如 下:

) §1.5、 §1.5、函数 y= Asin (ωx+ ? 的图象
1、 能够讲出函数 y= sin x 的图象和函

) 数 y= Asin (ωx+ ?+ b 的图象之间
的平移伸缩变换关系. 2、 对于函数:

y= Asin (ωx+ ?+ b (A> 0, ω> 0 ) )
2π 有:振幅 A,周期 T= ω ,初相
? , 相 位
ωx+ ? , 频 率
1 T ω 2π

f=

=

.

λ a∣ λ∣ = a ? ⑴ ∣? ∣∣∣, λ> 0 时, λ ? a 的方向与 a 的方 ? ⑵当 λ< 0 时, λ ? a 的方向 向相同;当 a 的方向相反. 与?

§1.6、 §1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第二章、平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 、 1、 了解四种常见向量:力、位移、速 度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 、 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向 线段包含三个要素:起点、方向、长 度.

? 0) ? 2、 平面向量共线定理:向量 a (a ≠ ?与

? 共线,当且仅当有唯一一个实数 b
λ ,使 ? λ ? b= a .

§2.3.1、 §2.3.1、平面向量基本定理

e2 ? 是同 1、 平面向量基本定理:如果 e 1 , ?
一平面内的两个不共线向量,那么对
a ,有且只有 于这一平面内任一向量 ?

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λ1 , λ2



使

2、

a ?在 ? 方 向 上 的 投 影 为 : b

a = e1+ λ e2 . ? λ1 ? 2 ?
§2.3.2、 §2.3.2 、 平面向量的正交分解及坐标表 示

∣ cosθ . a∣ ?

a 2= ∣ 2 a ? 3、 ?∣ .
a∣ ? a2 . 4、 ∣ = ?



? ? j= 1、 a = x i + y ?(x , y ) .
§2.3.3、 §2.3.3、平面向量的坐标运算

? a ⊥b ?? b= 5、 ? ? a? 0 .
§2.4.2、 面向量数量积的坐标表示、模 §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、 、夹角

? a= 1、 设 ?(x 1 , y 1 ), b= (x 2 , y 2 ) ,则:
a+ ? ⑴ ?b= (x1 + x 2 , y 1 + y 2 ) , a? ? ⑵ ?b= (x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ) ,

? a= 1、 设 ?(x 1 , y 1 ), b= (x 2 , y 2 ) ,则:

? a? b= ⑴ ? x 1 x 2+ y 1 y 2
2 2 a= ? ⑵ ∣∣ x 1 + y 1



a= ⑶ λ ?(λx 1 , λy 1 ) ,
a // b ? ⑷ ? ? x1 y2= x2 y1 .
2、 设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ,则:

a⊥ ? b ⑶ ?? x 1 x 2+ y 1 y 2= 0
2、 设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ,则:
2 2 ? ∣ ∣ (x 2 ? x 1 ) + (y 2 ? y 1 ) . AB =

?? x , y ? y ) AB = (x 2 1 2 1 .
§2.3.4、 §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1 、 设



§2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.1、平面几何中的向量方法 §2.5.2、 §2.5.2、向量在物理中的应用举例 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、 §3.1.1、两角差的余弦公式 1

A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ), C (x 3 , y 3 ) ,
则 ⑴线段 AB 中点坐标为 ⑵△ABC 的 重



(

x 1+ x 2

2

y + y2 , 1 , 2
坐 标 为

)

cos (α? β )= cos α cos β+ sin α sin β
2、记住 15°的三角函数值:
α
6? 2 √ √ 4



sin α
6? 2 √ √ 4

cos α
6+ 2 4

tan α

(

x 1+ x 2+ x 3

3

y + y2+ y3 , 1 . 3

)

2? √ 3

§2.4.1、 §2.4.1 、 平面向量数量积的物理背景及其含 义

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、 §3.1.2 、 两角和与差的正弦 、 余弦 、 正切公 式 1 、

? a∣ ? a? ? ∣ b= b 1、 ? ∣ ∣ cosθ .

cos (α+ β )= cos α cos β? sin α sin β
2 、

sin (α? β )= sin α cos β? cos α sin β

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3


tan α+ tan β 1? tan α tan β tan α? tan β 1+ tan α tan β

sin (α+ β )= sin α cos β + cosα sin β
4、 tan (α+ β )= 5、 tan (α? β )= . .

§3.1.3、 二倍角的正弦、 余弦、 §3.1.3 、 二倍角的正弦 、 余弦 、 正切公 式 1、 sin 2α = 2 sin α cos α , 变形: sin α cos α=
2 2
1 2

a = b + c ? 2 bc cos A , b 2 = a 2 + c 2 ? 2 ac cos B , c 2 = a 2 + b 2 ? 2 ab cos C . b2+ c2? a2 cos A= , 2 bc a 2+ c 2 ? b2 , cos B= 2 ac a 2+ b 2? c 2 cosC = . 2 ab
3、三角形面积公式:

2

2

2

sin 2α .
2

2、 cos 2α= cos α? sin α

S ? ABC = =
, .

1 1 ab sin C= bc sin A 2 2

= 2cos α? 1 2 = 1? 2 sin α ,
2 变形 1: cos α= 2 变形 2: sin α= 1+ cos 2α 2 1? cos 2α 2

1 ac sin B 2

第二章:数列 1、数列中 a n 与 S n 之间的关系:

3、 tan 2α =

2 tan α 1? tan 2 α

.

§3.2、 §3.2、简单的三角恒等变换 1、注意正切化弦、平方降次.

S 1 , 当n= 1 时, S n ? S n? 1 , 当n> 1时 . ? a n = ?{??? ?
2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一 项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵通项公式: a n = a1 + ( n? 1 ) d ⑶求和公式:

必修 5 数学基础知识
第一章:解三角形 1、正弦定理:

a b c = = = 2R . sin A sin B sin C
2、余弦定理:

S n = na 1 +

(a1 + a n)n n (n? 1 ) d= 2 2

3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一 项与它的前一项的比等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等比数列。

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⑵通项公式: a n = a1 q

n? 1

⑶求和公式: S n =

a 1 ? a n q a 1 (1? q = 1? q 1? q

n

)

第三章:不等式 当a ,b> 0 时, a+ b≥ 2 √ ab 1、 (当且仅当a= b 时取等号) 2、 (当且仅当a= b时取等号 ) 3、变形: ab ≤

当a ,b ∈R 时, a 2 + b 2≥ 2 ab

( )
a+ b 2

2

, ab ≤

a 2+ b 2 2


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