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8.4圆(1)教案


【课题】8.4 圆(一)

【教学目标】
知识目标: (1)了解圆的定义; (2)掌握圆的标准方程和一般方程. 能力目标: 培养学生解决问题的能力与计算能力.

【教学重点】
圆的标准方程和一般方程的理解与应用.

【教学难点】
对圆的标准方程和一般方程的正确认识.

【教学设计】
用 “解析法” 推导圆的标准方程的过程, 学生比较容易掌握, 可以引导学生自己完成. 要
2 强 化 对 圆 的 标 准 方 程 ? x ? a? ? ? y ? b? ? r 的 认 识 , 其 中 半 径 为 r , 圆 心 坐 标 为 2 2

O? ? a, b ? .经常容易发生错误的地方是认为半径是 r 2 ,圆心坐标为 O? ? ?a, ?b? .教学中应
予以强调,反复强化. 例 1 和例 2 是圆的标准方程的知识巩固性题目,属于基础性题目.可以由学生自己完 成.通过例题,进一步熟悉圆的标准方程. 再介绍圆的一般方程时,教材首先将圆的标准方程展开,分析系数特点,然后将方程配 方成圆的标准方程.这一系列的过程,不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系,还显 示出用代数的方法研究几何问题的魅力. 例 3 是圆的方程巩固性题目.题中的两种解法,都是经常使用的方法.特别是解法 1, 通常采用配方法,将方程化为标准方程,求出圆心坐标与半径.这类题目的训练,有助于学 生数学运算能力的提高. 求圆的方程,基本有两种基本方法.一种是根据已知条件求出圆心和半径,然后写出圆 的标准方程,例 4 就是这种类型的基础性题目;另一种是,设出圆的方程,然后,利用待定 系数法确定相应的常数,例 5 就是这种类型的基础性题目.

【教学备品】
教学课件.

【课时安排】
第 8 章 直线和圆的方程(教案)

2 课时.(90 分钟)

【教学过程】 教 过
*揭示课题 8.4 圆(一) *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 圆是平面内到定点的距离为定长的点的轨迹,定点叫做圆 心,定长叫做半径.如图 8-18 所示,将圆规的两只脚张开一 定的角度后,把其中一只脚放在固定点 O,另一只脚紧贴点所 在平面上,然后转动圆规一周(圆规的两只脚张开的角度不 变) ,画出的图形就是圆. 介绍 了解 0

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

质疑

思考 启发 学生 思考

引导 分析 10

图 8-18 【说明】 圆心和半径是圆的两个要素. *动脑思考 探索新知 【新知识】 下面我们在直角坐标系中研究圆的方程. 讲解 说明 思考

带领 学生 分析
第 8 章 直线和圆的方程(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
引领 分析 理解 记忆

图 8-19 设圆心的坐标为 C (a, b) , 半径为 r, 点 M ( x, y ) 为圆上的任 意一点(如图 8-19) ,则
MC ? r ,

25

由公式(8.1) ,得 将上式两边平方,得

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r ,

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

(8.8)

这个方程叫做以点 C (a, b) 为圆心,以 r 为半径的圆的标准 方程. 特别地,当圆心为坐标原点 O(0,0) 时,半径为 r 的圆的标准方 程为

x2 ? y 2 ? r 2
*巩固知识 典型例题

(8.9)

例 1 求以点 C (?2,0) 为圆心, r ? 3 为半径的圆的标准方 程. 解 因为 a ? ?2, b ? 0, r ? 3 , 故所求圆的标准方程为

说明 强调

观察

( x ? 2)2 ? y 2 ? 9 .
例 2 写出圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 的圆心的坐标及半径. 解 可化为 所以 方程 引领 思考

通过 例题 进一 步领 会 讲解 说明 主动 求解

( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 5

( x ? 2)2 ? ? y ? (?1)? ? ( 5)2 ,
2

a ? 2, b ? ?1,

r? 5,

故,圆心的坐标为 C (2, ?1) ,半径为 r ? 5 . 【说明】 使用公式(8.8)求圆心的坐标时,要注意公式中两个括号 内都是“-”号. *运用知识 强化练习 1.根据下面条件,求出圆的标准方程,并画出图形. (1)圆心 C (?1, 2) ,半径 r ? 2 ; 提问 (2)圆心 C (0, ?3) ,半径 r ? 3 . 2.根据下列圆的标准方程,分别求出圆心的坐标与半径, 巡视 并画出图形. 指导
第 8 章 直线和圆的方程(教案)

30 及时 了解 学生 思考 求解 知识 掌握

教 过
(1) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ; (2) x2 ? ( y ? 2)2 ? 3 . *创设情境 兴趣导入 【观察】

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
得情 况 35

将圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 展开并整理,可得

x2 ? y 2 ? (?2a) x ? (?2b) y ? (a2 ? b2 ? r 2 ) ? 0 .

D ? ?2a
2 2

质疑



E ? ?2b



F ? a 2 ? b2 ? r 2

, 则 思考 启发 学生 思考 引导 分析 40

(1) x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 这是一个二元二次方程.观察方程(1) ,可以发现它具有 下列特点: ⑴ 含 x 2 项的系数与含 y 2 项的系数都是 1; ⑵ 方程不含 xy 项. 那么,具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程 吗? *动脑思考 探索新知 将方程(1)配方整理得
D? ? E? D2 ? E 2 ? 4F ? , ?x? ? ?? y? ? ? 2? ? 2? 4 ?
D2 ? E 2 ? 4F D E 圆心在 (? , ? ) ,半径为 . 2 2 2 方程
2 2

讲解 (2) 说明

思考 引导 式启 发学

当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程(2)为是圆的标准方程,其 引领 分析 理解

生得 出结 果

x2 ? y2 ? Dx ? E y ? F ? 0

( 其 中

D2 ? E 2 ? 4F ? 0 )

(8.10) 叫做圆的一般方程.其中 D、 E、 F 均为常数. 【想一想】 为什么必须有 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 的条件? *巩固知识 典型例题 例 3 判断方程 x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 3 ? 0 是否为圆的方程, 如果是,求出圆心的坐标和半径. 解 1 将原方程左边配方,有

仔细 分析 讲解 关键 词语 45 记忆

x2 ? 4x ? 22 ? 22 ? y 2 ? 6 y ? 32 ? 32 ? 3 ? 0 ,


说明 强调

观察 通过 例题 进一

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 42 . 3) ,半径为 4 的一个圆. 所以方程表示圆心为 ( ?2, 解 2 与圆的一般方程相比较, 知 D ? 4, E ? ?6, F ? ?3 . 故

引领

思考

步领

第 8 章 直线和圆的方程(教案)

教 过

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间


D2 ? E 2 ? 4F ? 16 ? 36 ? 4 ? (?3) ? 64 ? 0 , 所以方程为圆的一般方程,由
D E D2 ? E 2 ? 4F ? 2, ? ?3, ?4 2 2 2 知,圆心的坐标为 (?2,3) ,半径为 4.

讲解 说明

主动 求解

【说明】 给出方程求圆心和半径时,经常通过配方法将圆的一般方 程化为圆的标准方程.解 1 是经常使用的方法. *运用知识 强化练习 提问 1.判断方程 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 1 ? 0 是否表示圆.如果是, 巡视 指出圆心和半径. 2. 已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 0 , 求圆心的坐标和半径. 指导 3. 已知圆的方程为 x2 ? y 2 ? 6 y ? 0 , 求圆心的坐标和半径. *动脑思考 探索新知 观察圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 和圆的一般方程 介绍 了解 带领 学生 讲解 说明 思考 分析 思考 求解 了解 学生 知识 掌握 情况

55

60

x ? y ? Dx ? E y ? F ? 0 ,可以发现:这两个方程中分别含有 三个字母系数 a, b, r 或 D, E , F .确定了这三个字母系数, 圆的方程也就确定了.因此,求圆的方程时,关键是确定字母 系数 a, b, r (或 D, E , F )的值.
*巩固知识 典型例题 例 4 根据下面所给的条件,分别求出圆的方程: (1) 以点 (?2,5) 为圆心,并且过点 (3, ?7) ; (2) 设点 A(4,3) 、 B (6, ?1) ,以线段 AB 为直径; ( 3 ) 经 过 点 P(?2, 4) 和 点 Q(0, 2) , 并 且 圆 心 在 直 线 x ? y ? 0 上. 分析 根据已知条件求出圆心的坐标和半径,从而确定字 母系数 a、b、r,得到圆的标准方程.这是求圆的方程的常用 方法. 解 ⑴ 由于点(?2,5)与点(3,?7)间的距离就是半 径,所以半径为

2

2

65

说明 强调

观察

r ? (3 ? 2)2 ? (?7 ? 5)2 ? 13 ,
故所求方程为

通过 例题 进一

( x ? 2) ? ( y ? 5) ? 169 .
(2) 设所求圆的圆心为 C,则 C 为线段 AB 的中点,即 ? 4 ? 6 3 ?1? C? , ? .半径为线段 AB 的长度的一半,即 2 ? ? 2
第 8 章 直线和圆的方程(教案)

2

2

引领

思考

步领 会

教 过
r?
故所求圆的方程为

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

1 1 (4 ? 6)2 ? (3 ? 1)2 ? 20 ? 5 , 2 2
讲解 说明 主动 求解

( x ? 5)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 . (3) 由于圆心在直线 x? y?0 上,故设圆心为
C ( x0 , ? x0 ) ,于是有

CP ? CQ ,



( x0 ? 2)2 ? (? x0 ? 4)2 ? ( x0 ? 0)2 ? (? x0 ? 2)2 ,
x0 ? ?2 . 解得 因此,圆心为(-2,2).半径为

r ? (?2 ? 0)2 ? (2 ? 2)2 ? 2 ,
故所求方程为

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .
【想一想】 例 4(3)是否还有其它解法? 【知识巩固】 例 5 求经过三点 O(0,0) ,A(1,1) ,B(4, 2) 的圆的方程 (图 8-20) .

引领

思考 注意 观察 学生 是否 理解

图 8-20 解 设所求圆的一般方程为 x2 ? y2 ? Dx ? E y ? F ? 0 , 将 点O(0,0) ,A(1,1) ,B(4,2)的坐标分别代入方程,得 2 2 ? 0 ? 0 ? D? 0 ? E ?0 ? F ? 0, ? ? 2 2 ? 1 ? 1 ? D? 1 ? E ?1 ? F ? 0, ? 2 2 ? ? 4 ? 2 ? D? 4 ? E ?2 ? F ? 0, 即 ? F ? 0, ? ? D ? E ? F ? ?2, ?4 D ? 2 E ? F ? ?20, ? 解得
D ? ?8 , E ? 6 , F ? 0 .
第 8 章 直线和圆的方程(教案)

知识 点 讲解 说明 主动 求解

教 过
故所求圆的一般方程为

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间

x2 ? y 2 ? 8 x ? 6 y ? 0 .
【试一试】 例 5 的解法中, 如果设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 是 否可以?比较一下哪种方法简单? 75 *运用知识 强化练习 1.求以点 (4, ?1) 为圆心,半径为 1 的圆的方程. 2.求经过直线 x ? 3 y ? 7 ? 0 与 3x ? 2 y ? 12 ? 0 的交点,圆 心为 C (?1,1) 的圆的方程. 3.求经过三点 O(0,0) , M (1, 0) , N (0, 2) 的圆的方程. *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题: 圆的标准方程及一般方程? 结论 及时 了解 质疑 了解 提问 巡视 指导 思考 求解 学生 知识 掌握 得情 况 80

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2
回答 这个方程叫做以点 C (a, b) 为圆心,以 r 为半径的圆的标准 方程. 归纳

学生 知识 掌握 情况 85

x2 ? y2 ? Dx ? E y ? F ? 0 (其中 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 )
叫做圆的一般方程.其中 D、 E、 F 均为常数. *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容?重点和难点各是什么? *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法?你是如何进行学习的? 你的学习效果如何? 判 断 方 程 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 8 ? 0 是 圆 的 方 程 吗 ? 为 什 么? *继续探索 活动探究 (1)读书部分:教材 (2)书面作业:教材习题 8.4 A 组(必做) ;8.4 B 组(选 做)

强调

引导

回忆

提问 巡视 指导

反思 动手 求解

检验 学生 学习 效果 88

说明

记录

分层 次要 求

第 8 章 直线和圆的方程(教案)

教 过
程 【教师教学后记】 项目

学 程

教师 学生 教学 时 行为 行为 意图 间
90

(3)实践调查:对任意二元二次方程,判断是否是圆的方

反思点 学生是否真正理解有关知识;

学生知识、技能的掌握情况

是否能利用知识、技能解决问题; 在知识、技能的掌握上存在哪些问题; 学生是否参与有关活动;

学生的情感态度

在数学活动中,是否认真、积极、自信; 遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服; 学生是否积极思考; 思维是否有条理、灵活;

学生思维情况 是否能提出新的想法; 是否自觉地进行反思; 学生是否善于与人合作; 学生合作交流的情况 在交流中,是否积极表达; 是否善于倾听别人的意见; 学生是否愿意开展实践; 能否根据问题合理地进行实践; 学生实践的情况 在实践中能否积极思考; 能否有意识的反思实践过程的方面;

第 8 章 直线和圆的方程(教案)


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