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三角函数的图象和性质及三角恒等变换


三角函数及三角恒等变换
一、选择题 1.函数 y ? 2 cos 2 ( x ?
?
4 ) ?1是

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为
?
2

B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为
? 4? ? 3

的奇函数
<

br />?
2

的偶函数

2.如果函数 y= 3 c o s ? 2 x+ ? ? 的图像关于点 ? ( A .
?
6

? , 0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ?

) B.
?
4

C.

?
3

D.

?
2

3.已知 a 是实数,则函数 f ( x ) ? 1 ? a s in a x 的图象不可能是 ( ...

)

4.已知 a 是实数,则函数 f ( x ) ? 1 ? a s in a x 的图象不可能是( ...



1

5.将函数 y ? s in 2 x 的图象向左平移 式是( A. y ? c o s 2 x ). B. y ? 2 c o s x
2

?
4

个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析

C. y ? 1 ? sin( 2 x ?
?
4

?
4

)

D. y ? 2 s in x
2

6.将函数 y ? s in 2 x 的图象向左平移 式是( A. y ? 2 c o s x
2

个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析

). B. y ? 2 s in x
2

C. y ? 1 ? sin( 2 x ? ,y
? f (x)

?
4

)

D. y ? c o s 2 x

7.已知函数

f (x) ?

3 s in ? x ? c o s ? x ( ? ? 0 )

的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点

的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 A. [ k ? C. [ k ?
?

?
12

, k? ?

5? 12

], k ? Z

B. [ k ? D. [ k ?

?

5? 12

, k? ?

1 1? 12

], k ? Z

?

?
3

, k? ?

?
6

], k ? Z

?

?
6

, k? ?

2? 3

], k ? Z

8.函数 f ( x ) ? (1 ? A. 2 ?

3 ta n x ) c o s x 的最小正周期为

B.

3? 2

C. ? ,0 ? x ?
?
2

D.

?
2

9.若函数 f ( x ) ? (1 ?

3 ta n x ) c o s x

,则 f ( x ) 的最大值为

A.1

B. 2
? ?

C. 3 ? 1
? ?

D. 3 ? 2
?

10.若将函数 y ? ta n ? ? x ?

? ? ? ? 0 ? 的图像向右平移 个单位长度后,与函数 4 ? 6

? ? ? y ? ta n ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6 ? ?

A.

1 6

B.

1 4

C. ( C.
1 2

1 3

D. ) D.1
?
2 ) ? ? 2 3

1 2

11.函数 f ( x ) ? sin x c o s x 最小值是 A.-1 B. ?
1 2

12.已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( A. ?
2 3

,则 f ( 0 ) =(
1 2

)

B.

2 3

C.-

1 2

D.

2

13.如果函数 y ? 3 c o s ( 2 x ? ? ) 的图像关于点 ( A.
?
6

4? 3

, 0 ) 中心对称,那么 ? 的最小值为

B.

?
4

C.

?
3

D.

?
2

14.将函数 y=sinx 的图象向左平移 ? ( 0 ? ? <2 ? ) 的单位后,得到函数 y=sin ( x ? 图象,则 ? 等于 A.
?
6

?
6

)的

(D) B.
5? 6

C.
?
4

7? 6

D.

1 1? 6

15.已知函数 f ( x ) ? s in (? x ?

)( x ? R , ? ? 0 ) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数

g ( x ) ? c o s ? x 的图象,只要将 y ? f ( x ) 的图象

A 向左平移 C 向左平移 二、填空题

?
8

个单位长度 个单位长度

B 向右平移 D 向右平移

?
8

个单位长度 个单位长度

?
4

?
4

16.函数 y ? A s in ( ? x ? ? ) ( A , ? , ? 为常数, A ? 0 , ? ? 0 )在闭区间 [ ? ? , 0 ] 上的图象如 图所示,则 ? = .

17.已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示,则 (
? =________________

3

18.已知函数 f ( x ) ? 2 s in ( ? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7? ? ? ? ? 12 ?



19.函数 y ? 2 c o s x ? s in 2 x 的最小值是_____________________ .
2

20.已知函数 f ( x ) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?a n ? 满足 a n ? ? ?
?

?

?

? ? , ? ,且公 2 2 ?

差 d ? 0 .若 f ( a 1 ) ? f ( a 2 ) ? ? ? f ( a 27 ) ? 0 ,则当 k =____________时 f ( a k ) ? 0 . 21.函数 f ( x ) ? 2 c o s x ? s in 2 x 的最小值是
2



22.已知函数 f ( x ) ? s in ( ? x ? ? )( ? ? 0 ) 的图象如图所示, 则? =

三、解答题 23.已知函数 f ( x ) ? 2 s in ( ? ? x ) c o s x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;
? ?

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

?
6

,

? ?
2 ? ?

上的最大值和最小值.

24.设函数 f(x)=cos(2x+ (1)

?
3

)+sin x.
2

求函数 f(x)的最大值和最小正周期.

4

25. 已知函数 f ( x ) ? A s in ( ? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? 的交点中,相邻两个交点之间的距离为 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [
?
12

?
2 2? 3

)的图象与 x 轴
, ?2) .

?
2
,

,且图象上一个最低点为 M (
?
2 ] ,求 f ( x ) 的值域.

26.

已知函数 f ( x ) ? s in ( ? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 c o s
?
4 c o s , ? ? s in ?? 4 s in ? ? 0 , 求 ? 的值;

?
2

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

?
3

,求

函数 f ( x ) 的解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应 的函数是偶函数。

27.设函数 f ( x ) ? s in (

?x
4

?

?
6

) ? 2 cos

2

?x
8

?1.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x ) 与 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [ 0 , ] 时 y ? g ( x )
3 4

的最大值.

5

28.设函数 f ( x ) ? ( s in ? x ? c o s ? x ) ? 2 c o s ? x ( ? ? 0 ) 的最小正周期为
2 2

2? 3



(Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x ) 的图像是由 y ? f ( x ) 的图像向右平移
y ? g ( x ) 的单调增区间.

?
2

个单位长度得到,求

一、选择题 29.函数 y ? ln c o s x ( ?
?
2 ? x ?

?
2

) 的图象是





30.已知函数 y ? 2 s in ( ? x ? ? )( ? ? 0 ) )在区间 ? 0, ? ? 的图像如下:那么 ? =( 2 A.1 B.2 C.
1 2



D.

1 3

y 1 O 1



x

31、已知函数 f ( x ) ? (1 ? c o s 2 x ) s in x , x ? R ,则 f ( x ) 是(
2

) 的奇函数 的偶函数

A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数

B、最小正周期为 D、最小正周期为

?
2

?
2

6

32.函数 f ( x ) ? c o s 2 x ? 2 s in x 的最小值和最大值分别为( A. -3,1 B. -2,2
? ?

) D. -2,
3 2

C. -3,

3 2

33.已知函数 f ( x ) ? s in ? ? x ?
? ? ? , ? 对称 0 ? ? ? ? ? ? , ? 对称 0 ? ? ?
2

? ? ? ( ? ? 0 ) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ? ?



A.关于点 ?

B.关于直线 x ?

? ? ? ?

对称

C.关于点 ?

D.关于直线 x ?
1 2

对称

34.若函数 f ( x ) ? s in x ? A.最小正周期为
π 2

( x ? R ) ,则 f ( x ) 是(



的奇函数

B.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 )

C.最小正周期为 2 π 的偶函数 35.函数 y ? s in ? 2 x ?
? ?

π ? ? π ? ? 在区间 ? ? , π ? 的简图是( 3 ? ? 2 ?

36.若函数 f ( x ) ? 2 s in ( ? x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 , ? ?
f (0 ) ? 3 ,则(

? 2

)的最小正周期是 ? ,且

) B. ? ?
1 2 ,? ? ? 3 ? 3
7

A. ? ?

1 2

,? ?

? 6 ? 6

C. ? ? 2, ? ?

D. ? ? 2, ? ?

37.已知函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x ( a、b为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 小值,则函数 y ? f (
3? 4 ? x ) 是(

?
4

处取得最

) B.偶函数且它的图象关于点 (
3? 2 , 0 ) 对称

A.偶函数且它的图象关于点 ( ? , 0 ) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 ( 二、填空题 38. f ( x ) ? c o s ( w x ?
?
6 ) 的最小正周期为

3? 2

, 0 ) 对称

D.奇函数且它的图象关于点 ( ? , 0 ) 对称

?
5

,其中 w ? 0 ,则 w ? .

39.已知函数 f ( x ) ? (s in x ? c o s x ) s in x , x ? R ,则 f ( x ) 的最小正周期是
? ?

40.函数 f ( x ) ? 3 s in ? 2 x ? 确结论的编号) .. . ①图象 C 关于直线 x ?
? 2π

π ? ? 的图象为 C ,如下结论中正确的是__________(写出所有正 3 ?

11 12

π 对称;

②图象 C 关于点 ?

? , ? 对称; 0 ? 3 ? ? ? 5π ? , ? 内是增函数; 12 12 ? π

③函数 f ( x ) 在区间 ? ?

④由 y ? 3 s in 2 x 的图角向右平移 41.下面有五个命题:

π 3

个单位长度可以得到图象 C

①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? . ②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=
k? 2 , k ? Z }.

4

4

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?
? 2 ? 3 ) 在〔 0, ? 〕上是减函数 ) 的图象向右平移 ? 6 . 得到 y ? 3 sin 2 x 的图象 .

其中真命题的序号是

8

三、解答题 42.已知函数 f(x)= 3 sin( ? x ? ? ) ? cos( ? x ? ? )( 0 ? ? ? π , ? ? 0 ) 为偶函数,且函数 y

=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(Ⅰ)求 f(
π 8

π 2

.

)的值;
π 6

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到

原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

43.已知函数 f ( x ) ? A s in ( x ? ? )( A ? 0, ? ? ? π ) , x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 0
? π 1 ? M ? , ?. ? 3 2 ?

(1)求 f ( x ) 的解析式;
? ? π ? 2 ?

(2)已知 ? , ? ? ? 0 , ? ,且 f ( ? ) ?

3 5

, f (? ) ?

12 13

,求 f (? ? ? ) 的值.

44.已知函数 f ( x ) ? c o s ? x ?
2

? ?

π ? 1 ? , g ( x ) ? 1 ? s in 2 x . 12 ? 2

(I)设 x ? x 0 是函数 y ? f ( x ) 图象的一条对称轴,求 g ( x 0 ) 的值. (II)求函数 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调递增区间.

9

一、选择题 45.为了得到函数 y= sin A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移
?
6
2

x ?

3 sin x cos x 的图象,可以将函数 y=sin2x 的图象(

)

个单位长度,再向下平移 个单位长度,再向上平移

1 2

个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度

?
6

1 2

?
12

个单位长度,再向下平移 个单位长度,再向上平移
2 2

1 2 1 2

?
12

46.把函数 y ? 变化可以是 (

( c o s 3 x ? s in 3 x ) 的图象适当变化就可以得到 y ? ? s in 3 x 的图象,这个


?
4

A.沿 x 轴方向向右平移

B.沿 x 轴方向向左平移

?
4

C.沿 x 轴方向向右平移

?
12

D.沿 x 轴方向向左平移
?
2

?
12

47.已知 f ( x ) ? s in ( x ? A.与 g ( x ) 的图象相同 C.向左平移
?
2

?
2

), g ( x ) ? c o s ( x ?

) ,则 f ( x ) 的图象

B.与 g ( x ) 的图象关于 y 轴对称 D.向右平移 (
?
2

个单位,得到 g ( x ) 的图象
?
3

个单位,得到 g ( x ) 的图象 )

48.设函数 f ( x ) ? s in ( 2 x ?

) ,则下列结论正确的是

A. f ( x ) 的图像关于直线 x ? B. f ( x ) 的图像关于点 (
?
4

?
3

对称

, 0 ) 对称

C.把 f ( x ) 的图像向左平移

?
12

个单位,得到一个偶函数的图像
?
6 ] 上为增函数
??

D. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 [ 0 ,

2 49.函数 f(x)=sin x+ 3 s in x c o s x 在区间 ? , ? 上的最大值是( ?4 2 ?

? ?

)

A.1

B

1? 2

3

C.

3 2

D.1+ 3

10

50.若函数 y ? 2 sin( 2 x ? ? ) 的图象过点 ( A. x ?
?
12

?
6

,1 ) ,则它的一条对称轴方程可能是

B. x ?

?
6
2

C. x ?

?
3

D. x ?

5? 12

51.已知函数 f ( x ) ? (1 ? c o s 2 x ) s in x , x ? R ,则 f ( x ) 是 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 二、填空题 52. 函数 y ? s in π x 的最小正周期是 53.函数 y ? x ? 2 sin x 在区间 [ ? 54.函数 y ? 1 ? sin ( x ?
2
4 4

B.最小正周期为 D.最小正周期为

?
2

的奇函数 的偶函数

?
2

.
, 2? 3 ] 上的最大值为

2? 3

?
3

) 的最小正周期是



55.函数 y ? s in x ? c o s x 的单调递增区间是______________. 三、解答题 56.已知函数 f ( x ) ? sin
的最小正周期为
2

?x ?

3 sin ? x sin( ? x ?

?
2

)( ? ? 0 )

?

(1)求 f ( x ); (2)当 x ? [ ?
?
12 ,

?
2

]时 , 求函数 f ( x ) 的值域。

57.已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? sin( 2 x ?

?
6

. ) ? cos 2 x ? a ( a ? R , a 为常数)

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (3) 若 x ? [ 0 ,
?
2 ] 时, f ( x ) 的最小值为 ? 2 ,求 a 的值.

11

58.已知函数 f ( x ) ? 2 s in x c o s (

?
2

? x) ?

3 s in ( ? ? x ) c o s x ? s in (

?
2

? x) cos x

(1)求函数 y ? f ( x ) 的最小正周期和最值; (2)指出 y ? f ( x ) 图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。

59.设函数 f ( x ) ?

3 sin x cos x ? cos

2

x ? a。

(1)写出函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间;
?

(2)当 x ? ? ? , ? 时,函数 f ( x ) 的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值。 2 ? 6 3?

?

? ?

3

60.已知函数 f ( x ) ? s in

x 2

cos

x 2

? cos

2

x 2

? 2.

(Ⅰ)将函数 f ( x ) 化简成 A s i n (? x ? ? ) ? B ( A ? 0 ? ? 0 ? ? [ 0 , ? ) ) , , 2 的形式,并指出
f ( x ) 的最小正周期;

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ ? ,

1 7? 12

] 上的最大值和最小值

61.已知 f ( x ) ? sin

2

?x ?

3 2

sin 2 ? x ?

1 2

( x ? R , ? ? 0 ). 若 f ( x ) 的最小正周期为 2 ? 。

(I)求 f ( x )的表达式和 (II)求 f ( x ) 在区间 [ ?
?
6

f ( x ) 的单调递增区间;

,

5? 6

] 的最大值和最小值

12

62.已知函数 f ( x ) ? sin x ? cos x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的单调递增区间;

3 cos

2

x ?

1 2

3(x ? R) .

(3)求 f ( x ) 图象的对称轴方程和对称中心的坐标.

63.已知函数 f ( x ) ? A s in ( a x ? ? ), ( A ? 9 , ? ? 0 , | ? |? 示。 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)当 x ? [ ? 6 , ?
2 3

?
2

, x ? R ) 的图象的一部分如下图所

] 时,求函数 y ? f ( x ) ? f ( x ? 2 ) 的最大值与最小值及相应的 x 的值。

9 月份更新
64.已知 f ( x ) ? s in ( x ?
?
2 ), g ( x ) ? c o s ( x ?

?
2

) ,则 f ( x ) 的图象

A.与 g ( x ) 的图象相同 C.向左平移
?
2

B.与 g ( x ) 的图象关于 y 轴对称 D.向右平移
?
2

个单位,得到 g ( x ) 的图象

个单位,得到 g ( x ) 的图象

13

65.设函数 f ( x ) ? s in ( 2 x ?

?
3

) ,则下列结论正确的是

A. f ( x ) 的图像关于直线 x ? B. f ( x ) 的图像关于点 (
?
4

?
3

对称

, 0 ) 对称

C.把 f ( x ) 的图像向左平移

?
12

个单位,得到一个偶函数的图像
?
6 ] 上为增函数

D. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 [ 0 ,

66.已知函数 f ( x ) ? c o s x s in x ( x ? R ) ,给出下列四个命题: ①若 f ( x 1 ) ? ? f ( x 2 ) ,则 x 1 ? ? x 2 ; ③ f ( x ) 在区间 [ ? A.①②④ 67.设函数 f ( x ) ?
?
4 ,

② f ( x ) 的最小正周期是 2 ? ; ④ f ( x ) 的图象关于直线 x ? D.③④
3? 4

?
4

] 上是增函数;

对称

B.①③

C.②③
2

3 sin x cos x ? cos

x ? a。

(1)写出函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间;
?

(2)当 x ? ? ? , ? 时,函数 f ( x ) 的最大值与最小值的和为 ,求 f ( x ) 的图象、y 2 ? 6 3? 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积。

?

? ?

3

68.已知函数 f ( x ) ? sin
的最小正周期为

2

?x ?

3 sin ? x sin( ? x ?

?
2

)( ? ? 0 )

?

(1)求 f ( x ); (2)当 x ? [ ?
?
12 ,

?
2

]时 , 求函数 f ( x ) 的值域。

14

一、选择题 69.(已知 f ( x ) ? cos( π A. 6 π B. 3
3x ? ? ) ? 3 sin( 3 x ? ? ) 为偶函数, ? 可以取的一个值为 则 (



π C.- 6

π D.- 3

π 70.已知函数 f(x)=asinx-bcosx(a、b 为常数,a≠0,x∈R)在 x= 处取得最小值,则 4 3π 函数 y=f( -x)是( 4

A.偶函数且它的图象关于点(π ,0)对称 C.奇函数且它的图象关于点(

B.偶函数且它的图象关于点(

3π ,0)对称 2

3π ,0)对称 D.奇函数且它的图象关于点(π ,0)对称 2

71. 把 函 数 y = s in 2 x 的 图 象 按 向 量 a ? ( ?
y ? A s in ? ? x ? ?

?
6

, ?3平 移 后 , 得 到 函 数 )

??

B ( A ? 0,? ? 0, ? ?

?
2

) 的图象,则 ? 和 B 的值依次为

A.

?
12

, ?3

B.

?
3

,3

C.

?
3

, ?3

D. ?

?
12

,3

72.已知函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
6

) cos( x ?

?
6

), 则下列判断正确的是





A. f ( x ) 的最小正周期为 2π ,其图象的一条对称轴为 x ? B. f ( x ) 的最小正周期为 2π ,其图象的一条对称轴为 x ? C. f ( x ) 的最小正周期为π ,其图象的一条对称轴为 x ? D. f ( x ) 的最小正周期为π ,其图象的一条对称轴为 x ?
2 73.若 f ( x ) ? 2 c o s x ?

?
12

?
6

?
12

?
6

3 s in 2 x ? a

( a 为实常数)在区间 [ 0 ,

?
2

] 上的最小值为-4,则

a

的值为 A.4 C. -4 B. -3 D. -6

15

74.我们知道,函数 y 可以是 ( )
?
4

? s in 2 x

的图象经过适当变换可以得到 y

? cos 2 x

的图象,则这种变换

A.沿 x 轴向右平移 C.沿 x 轴向左平移

个单位 个单位
? ?

B.沿 x 轴向左平移 D.沿 x 轴向右平移
? ?

?
4

个单位 个单位

?
2

?
2

? 75. f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ?? x ? R , A ? 0, ? ? 0, ?

? 的图象(部分)如图所 f ? x ? 的 2 ?

解析式是 A. f ? x ? ?
? ? ? 2 sin ? ? x ? ??x ? R ? 6 ? ?
? ? ? 2 sin ? 2 ? x ? ??x ? R ? 6 ? ?
? ? ? 2 sin ? ? x ? ??x ? R ? 3 ? ?
? ? ? 2 sin ? 2 ? x ? ??x ? R ? 3 ? ?

( y 2



B. f ? x ? ? C. f ? x ? ? D. f ? x ? ?

5 6

O

1 3

x

-2

二、填空题 76.函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 ) 的图象如图所示,则
f (1 ) ? f ( 2 ) ? f ( 3 ) ? ? ? f ( 2007 ) 的值等于



77.函数 f ( x ) ? a s in ( x ? 78.下面有五个命题:

?
4

) ? 3 s in ( x ?

?
4

) 是偶函数,则 a =___________________.

①函数 y=sin x-cos x 的最小正周期是 ? . ②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=
k? 2 , k ? Z }.

4

4

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. ④把函数 y ? 3 sin( 2 x ? ⑤函数 y ? sin( x ?
? 2 ? 3 ) 在〔 0, ? 〕上是减函数 ) 的图象向右平移 ? 6 . 得到 y ? 3 sin 2 x 的图象 .

所有正确命题的序号是

.(把你认为正确命题的序号都填上)

16


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