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11月13日三角函数大题理科解答题高考题目及答案


2011 年高考数学解答题专题攻略——三角函数
一.2011 年高考大纲对三角函数的考试范围和考试要求:
考试内容: 角的概念的推广.弧度制. 任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式:sin2 α+cos2α=1,sinα/cosα=tanα,tanαcotα=1.正弦、余弦的诱导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余

弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ωx+φ)的图像.正切 函数的图像和性质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法. 考试要求: (1)了解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算. (2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义 .了解余切、正割、余割的定义.掌握 同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周 期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、 正切公式. (4)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 . (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用"五点法"画正弦函 数、余弦函数和函数 y=Asin(ωx+φ)的简图,理解 A,ω,φ 的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx arccosx arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形 .

二.2011 年高考三角函数分析与预测:
三角函数解答题是高考中必考题,在高考试题中,三角题多以低档或中档题目为主, 一般不会出现较难题,更不会出现难题,因而三角题是高考中的得分点.三角函数的考 查有以下一些类型与特点: 1.三角函数的性质、图像及其变换,主要是 y ? A sin(? x ? ? ) 的性质、图像及变换.考查三 角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.高考试题对三 角函数单一的性质考查较少,一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上,考查的
1

知识点来源于教材,且高于教材。 2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、 变换能力, 一般要运用和角、 差角与二倍角公式, 尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查. 3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体,或者用解三角形来考查学生对三角 恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用 和跨知识点的应用,注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析 几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现,属中档题. 常用解题思想方法: 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是 “1”的代换,如 1=cos θ +sin θ =tanx·cotx=tan45°等。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配 凑角α =(α +β )-β ,β = ? ? ? - ? ? ? 等。 2 2 (3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 (4)化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 。 (5)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a ? b sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? = 2.证明三角等式的思路和方法。

b 确定。 a

(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利 用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
2

复习指导,备考指南: 要想做好三角函数解答题,考生必须要熟练记忆诱导公式,两角和、差的三角函数 公式及二倍角公式。另外对与特殊角的三角函数值应非常熟悉。掌握一些技巧,培养自 己的观察能力,寻找角与角之间联系的能力都将有助于高考三角函数题的解答。

三.例题解析
例 1:2004 年云南高考第 17 题
已知锐角三角形 ABC 中, sin( A ? B) ? (Ⅰ)求证: tan A ? 2 tan B ; (Ⅱ)设 AB=3,求 AB 边上的高.

3 1 , sin( A ? B) ? . 5 5

例 2:2005 年云南高考第 19 题
在 ?ABC ,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.已知 a,b,c 成等比数列,且 cosB= ①求 cotA+cotB 的值。 ②设 BA? BC ?
? ?

3 . 4

3 ,求 a + c 的值。 2

3

例 3:2006 年云南高考第 17 题 ? ? ? ? 已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? ? ? ? . 2 2 ? ? ?; (I)若 a ? b, 求 ? ? (II)求 a ? b 的最大值。

例 4:2007 年云南高考第 17 题 ? 在 △ ABC 中,已知内角 A ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

例 5:2008 年云南高考第 17 题 5 4 在 △ ABC 中, cos B ? ? , cos C ? . 13 5 (Ⅰ)求 sin A 的值; 33 (Ⅱ)设 △ ABC 的面积 S△ ABC ? ,求 BC 的长. 2

4

课后习题 (1)2009 年云南高考第 17 题
设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c , cos( A ? C ) ? cos B ?

3 , 2

b2 ? ac ,求 B 。

(2)2010 年云南高考第 17 题
? ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD ? 33 ,sin B ?

5 3 cos , ?ADC ? , AD 。 求 13 5

(3)2010 年辽宁高考理科第 17 题
在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

5

(4)2010 年重庆高考理科第 16 题 设函数 f ? x ? ? cos ? x ? (1)求 f ? x ? 的值域; 的值。

? ?

2 ? x ? ? ? 2cos2 , x ? R 。 3 ? 2

(2)记 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ? B ? =1,b=1,c= 3 ,求 a

(5)2010 年北京高考理科第 15 题 已知函数 f (x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。
2

(Ⅰ)求 f ? ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值。

(6)2010 年全国卷 1 高考理科第 17 题 已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a , b C.

满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角

6

(7)2010 年安徽高考理科第 17 题 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3 (Ⅰ)求角 A 的值; ??? ??? ? ? (Ⅱ)若 AB?AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c ) 。

?

?

(8)2010 年浙江高考理科第 18 题 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ? (I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

(9)2010 年天津高考理科第 17 题 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 ? 0, (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

? ?? 上的最大值和最小值; ? 2? ?

6 ?? ? ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2x0 的值。 5 ?4 2?

7


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