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复习三角函数图象的平移和伸缩


三角函数图象的平移和伸缩
函 数 y ? As i n? x? ? ? k的 图 象 与 函 数 y ? sin x 的 图 象 之 间 可 以 通 过 变 化 A ?,?,k 来 相 互 转 ( ) , 化. A,? 影响图象的形状, ?,k 影响图象与 x 轴交点的位置.由 A 引起的变换称振幅变换,由 ? 引起的变 换称周期变换,它们都是伸缩变换;由 ? 引起的变

换称相位变换,由 k 引起的变换称上下平移变换,它们都 是平移变换. 既可以将三角函数的图象先平移后伸缩也可以将其先伸缩后平移. 变换方法如下:先平移后伸缩 y ? sin x 的图象 得 y ? sin( x ? ? ) 的图象 得 y ? sin(? x ? ? ) 的图象 得 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象 得 y ? A sin( x ? ? ) ? k 的图象.

y ? s in x

y ? s in(x ?

?
3

)

y ? s in(2 x ?

?
3

)

y ? 3 s in(2 x ?

?
3

)

先伸缩后平移 y ? sin x 的图象 得 y ? A sin x 的图象 得 y ? A sin(? x) 的图象 得 y ? A sin x(? x ? ? ) 的图象

得 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象.

y ? s in x

y ? sin 2 x
y ? s in(2 x ?

?
3

)

y ? 3 s in(2 x ?

?
3

)

π? ? 例 1 将 y ? sin x 的图象怎样变换得到函数 y ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 的图象. 4? ?

π? ? 例 2 将 y ? sin 2 x 的图象怎样变换得到函数 y ? cos ? 2 x ? ? 的图象. 4? ?

练习 1.(2009 山东卷理)将函数 ( A. ).

y ? sin 2 x 的图象向左平移

? 个单位, 4

再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是

y ? cos 2 x

B.

y ? 2 cos2 x

C.

y ? 1 ? sin(2 x ?

?
4

)

D.

y ? 2sin 2 x

2.(2009 天津卷理)已知函数 图象,只要将

f ( x) ? sin(? x ? )( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ( x) ? cos? x 的 4

?

y ? f ( x) 的图象
B 向右平移 D

A 向左平移 C

? 个单位长度 8 ? 向左平移 个单位长度 4

? 个单位长度 8 ? 向右平移 个单位长度 4


3. (07 山东文)4.要得到函数

?? ? y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? ? 的图象( ?? ?

A.向右平移

? 个单位 ?

B.向右平移

? ? 个单位 C.向左平移 个单位 ? ?

D.向左平移

? 个单位 ?

4. (06 江苏卷)为了得到函数 y ? 2 sin(

x ? ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像上所有的点 3 6 1 倍(纵坐标不变) 3 1 倍(纵坐标不变) 3

? 6 ? (B)向右平移 6 ? (C)向左平移 6 ? (D)向右平移 6
(A)向左平移

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

y ? sin(2 x ? ) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 3 6 ? ? (A)向左平移 个长度单位 (B)向右平移 个长度单位 4 4 ? ? (C)向左平移 个长度单位 (D)向右平移 个长度单位 2 2 4? ? 6、 (2010 辽宁文数) (6)设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? ) ? 2 的图像向右平移 个单位后与原图像重合,则 ? 的最小值 3 3
5、 (2010 全国卷 2 理数) (7)为了得到函数 是

?

?

(A)

2 3

(B)

4 3

(C)

3 2

(D) 3

7(2010 福建)将函数 (A)4

f ? x ? ? sin ??x ? ? ? 的图像向左平移
4 3
(C) 8

? 2

个单位,若所得图像与原图重合,则 ? 的值不可能是( )

2 3

(B) 6

3 2

(D) 12

作业 1.为了得到函数 (A)向左平移

? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
2.函数 f (x)=2sinxcosx 是( (A)最小正周期为 2π 的奇函数 (C)最小正周期为π 的奇函数 3.设 ?

y ? sin(2 x ? ) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像( 3 6

?

?



? 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移

) (B)最小正周期为 2π 的偶函数 (D)最小正周期为π 的偶函数 个单位后与原图像重合,则 ? 的最小值是( )

4? ? ? 0 ,函数 y ? sin(? x ? ) ? 2 的图像向右平移 3 3 2 4 3 (A) (B) (C) (D) 3 3 3 2

4.将函数 y=sin(x+π /6) (x 属于 R)的图象上所有的点向左平行移动π /4 个单位长度, 再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象的解析式为( (A) y=sin(2x+5π /12) (C) y=sin(x/2+π /12) (x 属于 R) (x 属于 R) )

(B) y=sin(x/2+5π /12) (x 属于 R) (D) y=sin(x/2+5π /24) (x 属于 R)

5.将函数 y=sin(x-π /3)的图像上所有的点的横坐标伸长带原来的 2 倍 (纵坐标不变) 再将所得的图象向左平移π /3 个单位, , 得到的图象对应的解析式为( ) (A) (C) y=sin(x/2-π /6) 6.将函数 y=sin(x/2) (B)y=sin(x/2-π /2)

(D)sin(2x-π /6)

y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动
) (B)

? 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 10

所得图像的函数解析式是( (A )

10 1 ? ) (C) y ? sin( x ? 2 10

y ? sin(2 x ?

?

)

y ? sin(2 x ? ) 5 1 ? ) (D) y ? sin( x ? 2 20

?

7. 右图是函数y

? ? 5? ? 为了得到这个函数的图象,只要将 ? A sin ? x +?)(x ? R)在区间 ?- , ? 上的图象, ( ? 6 6 ?


的图象上所有的点( y ? sin x(x ? R)

(A)向左平移

? 3

个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍,纵坐标不变 (B) 向左平移 坐标不变 (C) 向左平移 (D)

? 个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 3

倍, 纵

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 ? 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6
) y=2(cosx)*(cosx) y=1+sin(2x+π /4) y=2(sinx)*(sinx)

8、将函数 y=sin2x 的图象向左平移π /4 个单位,再向上平移 1 个单位所得到函数解析式( y=cos2x


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