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数列求和的常用方法


数列求和的常用方法
方法一:公式法:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前 n 项和公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d ? na1 ? 2 2

?na1 (q ? 1) ? 2、等比数列的前 n 项和公式: S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
3、常用几个数列的求和公式 (1) 、 Sn ?
n

? k ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2 n(n ? 1)
k ?1 n

1

(2) 、 Sn ?

?k
k ?1 n

2

? 12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6

(3) 、 Sn ?

?k
k ?1

3

1 ? 13 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ? [ n(n ? 1)]2 2

例 1、已知 log3 x ?

?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

例 2 、在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.

方法二:错位相减法:这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数 列 {an ? bn }的前 n 项和,其中 {an } , {bn } 分别是等差数列和等比数列。 例 3:求数列 {nq
n?1

} ( q 为常数)的前 n 项和。

例 4、求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

(1)
1

方法三:裂项相消法:裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些 项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如: 1、乘积形式,如: (1) 、 an ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2) 、 an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

(3) 、 an ?

(4) 、 an ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

2、根式形式,如:

an ?

1 n ?1 ? n

? n ?1 ? n

例 5、求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

例 6、求数列

1 1 1 1 , , ,…, ,…的前 n 项和 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n ( n ? 2)

例 7、求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

例 8、在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

(2)
2

方法四: 倒序相加法:这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列 (反 序) ,再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? a n ) 。 例 9、若函数 f ( x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 。 (1) a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( (2)求数列 {

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) ,数列 {an } 是等差数列吗?是证明你的结论; n

1 } 的的前 n 项和 Tn 。 an ? an?1

例 10、求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

例 11、 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值.

方法五:分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。 例 12、求数列{

1 n ?1 + n ? 2 }的前 n 项和 S n n(n ? 1)

例 13 、求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

(3)
3

方法六:拆项求和法 在这类方法中,我们先研究通项,通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式,再代入公式 求和。 例 14、求数列 9,99,999,… 的前 n 项和 S n

例 15、 S n = 1

1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n n 2 4 8 2

(4)
4


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