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辽宁省大连市2012-2013学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


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2012——2013 学年度第一学期期末测试卷

高二数学(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本 试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设 x 是实数,则“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的 (A)充分不必要条件 (C) 充要条件
2





(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 )

2.若抛物线 y ? ?4 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 5,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 12 )

3. 已知向量 a=(-3,2) , b=(x,-4) ,若 a ∥ b ,则 x 的值为( (A)7 (B)6
2 2

(C)5

(D)4 )

4.若双曲线方程为 4 x ? 5 y ? 20 ,则它的右焦点坐标为( (A ) (1,0) (B ) (0,1) (C) (3,0) ) (D) (0,3)

5.函数 y ? cos x 的一个单调递增区间为( (A) (?

? ?

, ) 2 2

(B) (0, ? )

(C) (

? 3?
2 , 2

)

(D) (? , 2? ) ( ) (D)

6.若 m 和 n 满足 mn ? 1 ,则 3m ? n 的最小值是 (A) 2 2 7.下列说法错误的是 (B) 2 3 ( ) (C)2

5 2

(A)命题:“已知 f ( x) 是 R 上的增函数,若 a ? b ? 0 , 则 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ”的逆否命题为真命题 (B)“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的必要不充分条件 (C)若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 (D)命题 p :“ ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”,则 ?p :“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”
2 2

8.函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?

2 分如图所示,则 ? 、 ? 的值分别是

) 的图象的一部
( )

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1

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(A)1,

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? ? (B)1, ? 3 3 ? ? (C)2, (D)2, ? 3 3 2 2 x y 9. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , 右顶点为 A , 点 B 在椭圆上, 且 BF ? x 轴, 直线 AB a b
交 y 轴于点 P ,若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率为 ( (A)

??? ?

??? ?

)

3 2

(B)

2 2

(C)

1 3

(D)

1 2


? x ? y ? ?1 10.若变量 x, y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为( ?y ? 2 ?

A.10

B.12

C.13

D.14

MF2 11.已知双曲线的两个焦点为 F1 (- 10,0)、 F2 ( 10,0), M 是此双曲线上的一点,且满足 MF1 ·
=0,| MF1 |· | MF2 |=2,则该双曲线的方程是 (A)

????? ?????

?????

?????

(

) (D)

x2 ? y2 ? 1 9

( B) x ?
2

y2 ?1 9

(C)

x2 y 2 ? ?1 3 7

x2 y 2 ? ?1 7 3

12.定义函数 f ( x) ? ?

?sin x,sin x ? cos x , ?cos x,sin x ? cos x

给出下列四个命题:(1)该函数的值域为 [?1,1] ;(2)当且仅当 x ? 2k? ?

?
2

(k ? z ) 时,该函数取得最大值;
3? ( k ? Z ) 时,f ( x ) ? 0 . 2

(3)该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数; (4)当且仅当 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 上述命题中正确的个数是 ( (A) 1 个 (B)2 个 ) (C)2 个 (D)2 个

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 等差数列 ? an ? 中, a2 ? 2 , a14 ? 18 ,则 a8 的值为 . ??? ? ???? ???? ??? ? 14.在平面四边形 ABCD 中,若 AC ? 3 , BD ? 2 ,则 ( AB ? DC ) ? ( AC ? BD) 的值为



x2 y 2 15. 设 F1 、 F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点 . 若在双曲线右支上存在点 P ,满足 a b
PF2 ? F1 F2 , 且 F2 到 直 线 PF1 的 距 离 等 于 双 曲 线 的 实 轴 长 , 则 该 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程
为 .

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________.

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??? ? ??? ?

16.已知圆 O 的半径为 1 , PA 、 PB 为该圆的两条切线, A 、 B 为两切点,那么 PA ? PB 的最小值为

三.解答题:本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 解关于 x 的不等式 (1 ? ax) ? 1 .
2

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 ?x ? 3 sin ?x sin(?x ? (Ⅰ)求 f ( x) ; (Ⅱ)当 x ? [?

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为 ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的值域. 12 2

? ?

19.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长,已知 cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 . (Ⅰ)若 a ? c ? b ? mbc ,求实数 m 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值. 20.(本小题满分 12 分) 数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 , an ?1 ? 2Sn (n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn . 21.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y

? kx ? b(k ? 0) 与抛物线 C 交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
|? a(a ? 0) ,求证: a 2 ?

且 | y1 ? y 2

16(1 ? kb) k2

.

22.(本小题满分 12 分) 若椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,短轴的一个端点与左右焦点 F1 、 F2 组成一个正三角形,焦 点到椭圆上的点的最短距离为 3 .

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(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

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(Ⅱ) 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,线段 AB 的中点为 M ,求直线 MF1 的斜率 k 的取值 范围.

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2012——2013 学年度第一学期期末测试卷

高二数学(理科)参考答案与评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一.选择题 1.A;2.B;3. B;4.C;5.D;6.B;7.C;8.C;9.D;10.C;11.A ;12.B. 二、填空题 13.8;14.5;15. 4 x ? 3 y ? 0 ;16. ?3 ? 2 2 . 三.解答题 17.解:由 (1 ? ax) ? 1 得 a x ? 2ax ? 1 ? 1 ,即 ax(ax ? 2) ? 0 . ········ 2 分
2

2

2

(1)当 a ? 0 时,不等式转化为 0 ? 0 ,故 x 无解. ·············· 4 分 (2)当 a ? 0 时,不等式转化为 x( x ? ) ? 0 .

2 a



2 ? 2 ? ? 0 ,∴不等式的解集为 ? x | ? x ? 0 ? . ·············· 6 分 a a ? ? 2 a

(3)当 a ? 0 时,不等式转化为 x( x ? ) ? 0 ,



2? 2 ? ? 0 ,∴不等式的解集为 ? x | 0 ? x ? ? . ············· 8 分 a? a ?

综上所述:当 a ? 0 时,不等式解集为 ? ; 当 a ? 0 时,不等式解集为 ? x |

? ? ? ?

2 ? ? x ? 0? ; a ? 2? ? . ············· 10 分 a?

当 a ? 0 时,不等式解集为 ? x | 0 ? x ? 18.解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 ? cos 2?x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ? 3 sin ?x cos?x .· 2

?

3 1 1 ? 1 sin 2?x ? cos 2?x ? ? sin(2?x ? ) ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 2 2 2 6 2

∵函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ,且 ? ? 0 ,

?

2? ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ? ? , 解得? ? 1. ? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? . · 2? 6 2

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(Ⅱ)? x ? [?

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? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ]. 12 2 6 3 6
?
6 ?

? ?

根据正弦函数的图象可得:当 2 x ?

?

? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 f ( x)max ? f ( ) ? . · 3 2
当 2x ?

2

,即x ?

?
3

时,

?

6

??

?

3

,即x ? ?

?

12

时,

f ( x) ? f (?

?
12

)= ?

3 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? · 2 2

即 f ( x) 的值域为 [

1? 3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 , ]· 2 2
2

19.解:(Ⅰ) 由 cos 2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 得: 2cos A ? 3cos A ? 2 ? 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 解得: cos A ?
2 2 2

1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 2
b2 ? c2 ? a2 m · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ? · 2bc 2

而 a ? c ? b ? mbc 可以变形为 即 cos A ?

m 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ? ,所以 m ? 1 · 2 2
3 1 ,则 sin A ? ·················· 7 分 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ?



b2 ? c2 ? a2 1 ? ························· 8 分 2bc 2
2 2 2 2 2

所以 bc ? b ? c ? a ? 2bc ? a 即 bc ? a 故 S ?ABC

·············· 10 分

bc a2 3 3 3 ? sin A ? ? ? 2 2 2 4

················· 12 分

20.解: (Ⅰ)? an ?1 ? 2Sn ,? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,? 又? S1 ? a1 ? 1 ,

Sn ?1 ? 3 . ········· 2 分 Sn

?数列 ? S n ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n ?1 (n ? N* ) . ····· 4 分
3 当 n ≥ 2 时, an ? 2Sn ?1 ? 2?
n?2

(n ≥ 2) ,

n ? 1, ?1, ? an ? ? n ? 2 ························ 6 分 3 ,n ≥ 2. ???

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(Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan , 当 n ? 1 时, T1 ? 1 ; 当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? ? ? 2n ? 3
0 1 n ?2

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, ① ②

3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ? ? 2n ? 3n ?1 ,

① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ? ? ? 3n ?2 ) ? 2n ? 3n ?1 ········· 8 分
3(1 ? 3n ? 2 ) 3n?1 . ··········· 10 分 ? 2 ? 2? ? 2n ? 3n ?1 ? ?1 ? (1 ? 2n)? 1? 3
?Tn ? 1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ≥ 2) . 2 ? 2? 1 ? 1? ? ? n ? ? 3n ?1 (n ? N* ) . ······ 12 分 2 ? 2?

又?T1 ? a1 ? 1 也满足上式,?Tn ? 21 .解: (Ⅰ)由抛物线定义,抛物线 C :

y 2 ? 2 px( p ? 0) 上点 P(4, y0 ) 到焦点的距离等于它到准线

x??

p p 的距离,得 5 ? 4 ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 2 2
2

∴p=2,所以抛物线 C 的方程为 y

? 4x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

? y2 ? 4x , 得ky 2 ? 4 y ? 4b ? 0 , · (Ⅱ)由 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 ? y ? kx ? b
当 ? ? 16 ? 16kb ? 0,即kb ? 1 且 k

? 0 时,

4 4b ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 y1 ? y2 ? , y1 y2 ? k k
由 | y1 ? y 2 得

|? a ,即 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? a 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

16 k
2

?

16b 2 16(1 ? kb) ?a ,所以 a 2 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 k k2
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

22.解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

?a ? 2c, ? 由 ?a ? c ? 3, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
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x2 y2 1 · a ? 2 3, c ? 3, b ? 3 ,所以椭圆 C 的方程为 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ? 1. ??○ 12 9
(Ⅱ) F1 (? 3 ,0) 、 F2 ( 3 ,0) , 当直线 l 的斜率不存在时, AB 的中点为 F2 ,直线 MF1 的斜率 k ? 0 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 m ,直线 AB 的方程为 2 y ? m( x ? 3 ) ,??○ 1○ 2 联立消去 y ,并整理得: (3 ? 4m 2 ) x 2 ? 8 3m 2 x ? 12 m 2 ? 36 ? 0 . · 由○ · · · · · · · · · · · · · ·7 分

4 3m 2 ? 3 3m , y 0 ? m( x 0 ? 3 ) ? 设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 2 3 ? 4m 3 ? 4m 2
从而

k?

y0 x0 ? 3

?

? 3m , 8m 2 ? 3

⑴当 m ? 0 时, k ? 0 ; ⑵当 m ? 0 时, k ?

y0 x0 ? 3

?

? 3m , 8m 2 ? 3

| k |?

3| m| 1 1 6 ? ? ? . 2 8m ? 3 8 | m | ? 1 8 8 1 2 |m|? 3 |m| 3 |m|

??

6 6 ?k? 且 k ? 0. 8 8
6 6 , ]. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 8 8

综上所述,直线 MF1 的斜率 k 的取值范围是 [ ?

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