当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中考试 数学理试题


广东省汕头市金山中学 2013 届高三上学期期中考试 数学理试题
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 (选择题 共 40 分) 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)

1. sin 660 o 等于(
A.



3 2

B.

1 2

C. ? )

1 2

D. ?

3 2

2.设 x ? R , 那么“ x ? 0 ”是“ x ? 3 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

3.已知单位向量 i, j 满足 (2 j ? i ) ? i ,则 i, j 夹角为(

??

? ?

?

??



A.

? 4

B.

? 6
? ?

C.

? 3

D.

2? 3

4.已知函数 y ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, 0 ? ? ? 的坐标是( A. ? 2, )

??

? ,且此函数的图象如图所示,则点 ?? , ? ? 2?

? ?

??
? 4?

B. ? 2,

? ?

??
? 2? ? 2?

C. ? 4,

? ?

??
? 4?
ln x

D. ? 4,

? ?

??

5.函数 y ? e

? x ? 1 的图象大致是(



? x ? y ?1 ? 0 ? 6.已知 x, y 满足线性约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若 a ? ( x, ?2) , b ? (1, y) ,则 z ? a ? b 的 ?x ? 4 y ?1 ? 0 ?
最大值是( A. ?1 ) B. 5
x

C. ?

7.若函数 f ? x ? 的零点与函数 g ? x ? ? 4 ? 2 x ? 2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则
第 1 页 共 13 页

5 2

D. 7

f ? x ? 可以是(
A.

) B.

f ? x ? ? ex ?1

1? ? f ? x ? ? ln ? x ? ? 2? ?

C.

f ? x ? ? 4x ?1

D.

f ? x ? ? ( x ? 1) 2
8.对于下列命题:①在△ ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2B ,则△ ABC 为等腰三角形;②已知 a,b, c 是△ ABC 的三边长,若 a ? 2 , b ? 5 , A ?
b ? cos

?
6

,则△ ABC 有两组解;③设 a ? sin

2012? , 3

?? ? 2012? 2012? ? , c ? tan ,则 a ? b ? c ;④将函数 y ? 2sin ? 3x ? ? 图象向左平移 个单位,得 6? ? 3 3 6
? 6?

? 到函数 y ? 2cos ? 3x ? ? 图象。其中正确命题的个数是( ? ?

) D. 3

A. 0

B. 1

C. 2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 110 分) 二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)

b c 9. 已知向量 a ? ?1, 2 ? , ? ?1, 0 ? , ? ? 3, 4 ? . ? 为实数, a ? ? b // c , ? ? 若 则
10.设 ? ? (0,

?

?

?

?

?

?

?

?

。 。 。

?
2

), 且函数y ? (sin ? ) x

2

?6 x ?5

的最大值为 16,则 ? ?

11.已知 sin? ? ?

? ?

??

4 3 2? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ,0 ? ,则 cos? ? ? ? ? sin ? ? ? ?? 3? 5 3 ? ? 2 ? ?

12.在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? 5 , b ?

5 2 , 3

A?

?
4

,则 cos B ?

。 。

13. 若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解, 则实数 a 的取值范围是 14.函数 f ( x ) ?

x2 ? x4 .给出函数 f ( x) 下列性质:①函数的定义域和值域均为 ? ?1,1? ; x?2 ?2

②函数的图像关于原点成中心对称; ③函数在定义域上单调递增; ④

?

A

f (x)dx ? 0(其中 A

为函数的定义域) ;⑤ A 、 B 为函数 f ( x) 图象上任意不同两点,则 2< AB ? 2 。请写出 所有关于函数 f ( x) 性质正确描述的序号 。

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? ? x | | x ? a |? 2? , B ? ? x | (Ⅰ)求集合 A 和集合 B ; (Ⅱ)若 A ? B ? R ,求 a 的取值范围。

? ?

2x ? 6 ? ? 1? . x?2 ?

第 2 页 共 13 页

16. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系中,已知 A ( cos x , x ) , B (1, , O 为坐标原点, OA ? OB ? OC , 1) sin

??? ??? ? ?

??? ?

???? f ( x) ? | OC |2 .
(Ⅰ)求 f ? x ? 的对称中心的坐标及其在区间 ? ?? , 0? 上的单调递减区间; (Ⅱ)若 f ? x0 ? ? 3 ? 2 , x0 ? ? 17. (本小题满分 14 分)
2 已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

? ? 3? ? ,求 tan x0 的值。 , ?2 4 ? ?
1 , x ? R. 2

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值和最小正周期;

i (Ⅱ) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别 a, b, c, 且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , n 设 若s
求 a, b 的值. 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ?

n s ? ? A ?C ?2i

A ,

1 3 x ? ?a ? 6?x ? ?4 ? 2a ? ln x , g ?x ? ? ? x 2 ? 2 x ? b 3

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,对 ?x1 , x2 ? ?0,??? ,都有 f ?x1 ? ? g ?x 2 ? ,求实数 b 的取值范 围; (Ⅲ)若 f ? x ? 在 ?0, m ? , ?n,??? 上单调递增,在 ?m, n ? 上单调递减,求实数 a 的取值范围。 19. (本小题满分 14 分) 如图:某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 (ABCD) 的池底水 平铺设污水净化管道 ( Rt? FHE , H 是直角顶点)来处理污水, 管道越短,铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口 H 是 AB 的 中 点 , E, F 分 别 落 在 线 段 BC, AD 上 。 已 知 AB ? 20 米 ,

D F

C E

A

H

θ

B

AD ? 10 3 米,记 ?BHE ? ? 。
(Ⅰ)试将污水净化管道的长度 L 表示为 ? 的函数,并写出定义域; (Ⅱ)若 sin ? ? cos ? ?

3 ?1 ,求此时管道的长度 L ; 2

(Ⅲ)问:当 ? 取何值时,铺设管道的成本最低?并求出此时管道的长度。 20. (本小题满分 14 分)

第 3 页 共 13 页

已知函数 f ( x) ?

4x ? a 的单调递增区间为 ? m, n ? , 1 ? x2

(Ⅰ)求证: f (m) f (n) ? ?4 ; (Ⅱ)当 n ? m 取最小值时,点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )(a ? x1 ? x2 ? n) 是函数 f ( x) 图象上的 两点,若存在 x0 使得 f ( x0 ) ?
'

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求证: x1 ? x0 ? x2 x2 ? x1

第 4 页 共 13 页

汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高三理科数学 答题卷
班级 一、选择题(40 分) 题号 答案 二、填空题(30 分) 9. 14. 10. 。 11. 12. 13. 1 2 3 4 5 6 7 8 姓名 学号 评分

三、解答题(80 分) 15. (本小题满分 12 分)

16. (本小题满分 12 分)

第 5 页 共 13 页

17. (本小题满分 14 分)

姓名 学号 18. (本小题满分 14 分)

第 6 页 共 13 页

19. (本小题满分 14 分)

D F

C E

A

H

θ

B

20. (本小题满分 14 分)

第 7 页 共 13 页

汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试

高三理科数学 参考答案
一、选择题(40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

D
10.

A
11.

C
4 5
12.

A
2 2 3

D

B

C
14.②④

C

二、填空题(30 分) 9.

1 2

? 6

13. ? ??, ?3? ? ?3, ?? ?

三、解答题(80 分) 15.解: (Ⅰ)由 | x ? a |? 2 ,得 a ? 2 ? x ? a ? 2 ,即 A ? (a ? 2, a ? 2) …………………3 分 由

2x ? 6 x?4 ?1? ? 0 ? x ? ?4 或 x ? ?2 , x?2 x?2


B ? (??, ?4) ? (?2, ??) ………………………………………………………………………6
分 (Ⅱ) A ? B ? R ? ?

? a ? 2 ? ?4 ? ?4 ? a ? ? 2 , ? a ? 2 ? ?2

的 取 值 范 围 是 ?a ?4 ? a ? ?2 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 2 分 ??? ? ??? ? sin 1) 16.解:? OA ? (cos x , x) , OB ? (1 , , 则 OC ? OA ? OB ? (1 ? cos x ,? sin x) … … … … … 1

??? ?

??? ??? ? ?
????

……………………2 分

? f ( x) ?| OC |2 ? (1 ? cos x)2 ? (1 ? sin x)2
? 3 ? 2(sin x ? cos x) ? 3 ? 2 2 sin( x ? ) ……………………………………………………4 4


?

? ? ? 3) ? k? ,k ? Z ,即 x ? k? ? ,k ? Z ?对称中心是 (k? ? , ,k ? Z 4 4 4 ? ? 3? 当 2k? ? ? x ? ? 2k? ? ,k ? Z 时 f ( x) 单 调 递 减 , 即 2 4 2 ? 5? 2k? ? ? x ? 2k? ? ,k ? Z 4 4 ? 5? 2 ? f ( x) 的单调递减是 [2k? ? , k? ? ] k ? Z ………………………………………6 4 4
(Ⅰ)由 x ? 分
第 8 页 共 13 页

3? ? ? f ( x) 在区间 ? ?? , 0? 上的单调递减区间为 ? ?? , ? ? .………………………………………8 4 ? ?


? 1 ) ? 3 ? 2 ? sin( x0 ? ) ? 4 4 2 ? 3? ? 3? ? 5? 7? ……………………………………10 ? x0 ?[ , ],? x0 + ?[ , ? ]? x0 + = 即x0 = 2 4 4 4 4 6 12
(Ⅱ) ? f ( x0 ) ? 3 ? 2 2sin( x0 ? 分

?

? tan x0 ? tan
1

7? ?? ? ? ? tan ? ? ? ? ?2 ? 3 。………………………………………………… 12 ?3 4?
2 分

17.解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x ? ? ? sin(2 x ? ) ? 1 …………………………2 2 2 2 6


则 f ( x) 的最大值为 0,最小正周期是 T ?

2? ? ? ……………………………………………4 2


(Ⅱ) f (C ) ? sin(2C ?

?

) ? 1 ? 0 则 sin(2C ? ) ? 1 6 6

?

? 0 ? C ? ? ? 0 ? 2C ? 2? ??
? 2C ?


?
6

? 2C ?

?
6

?

11 ? 6

?
6

?

?
2

?C ?

?
3

………………………………………………………………………… 6 分

? sin( A ? C ) ? 2sin A 由 正 弦 定 理 得
由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos
2 2 2

a 1 ? ①………… …………………9 分 b 2

?
3

即 a ? b ? ab ? 9 ②……………………………………………………………………………12
2 2

分 由①②解得 a ? 3 , b ? 2 3 …………………………………………………………………14 分 18.解: (Ⅰ) f (x) 定义域为 (0,??)

第 9 页 共 13 页

当 a ? 2 时, f ( x) ?

1 3 x ? 4 x , f ' ( x) ? x 2 ? 4 ,令 f ' ( x) ? 0 得 x ? 2 或 x ? ?2 (舍) 3
(0,2) ↘ 2 0

x
f ' ( x) f (x)

(2,??)
+ ↗

∴ f (x) 的递减区间为(0,2) ,递增区间为 (2,??) …………………………………………4 分 (Ⅱ)∵ ?x1 , x2 ? (0,??) 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立 ∴ g ( x) max ? f ( x) min ……………………………………………………………………………… 5 由(Ⅰ)知 f ( x) min ? f (2) ? ? 分

16 3 2 g ( x) ? ?( x ? 1) ? 1 ? b , g ( x) max ? g (1) ? 1 ? b ……………………………………………7


∴1 ? b ? ? (

16 19 ,∴ b ? ? ……………………………………………………………………8 3 3
分 Ⅲ
3



4 ? 2a x ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? …………………………………9 分 x x 由条件知 m, n 恰为 f ?( x) ? 0 的两个不相等正根, 即 恰 有 两 个 不 相 等 正 x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? 0 f ?( x) ? x 2 ? (a ? 6) ?
根 , … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 0 对 于 方 程 a( x ? 2) ? x ? 6 x ? 4 ? 0 解 , … … … … … …
3 2 2



显 然 x?2 … … …

是 方 程 的 一 个 … … 1 1 分

当 x ? 2 时, a ? ? x ? 2 x ? 2 ? ?( x ? 1) ? 3 ( x ? 0 且 x ? 2 ) 当 x ? 0 时, ? x ? 2 x ? 2 ? 2 当 x?2
2 2





? x ? 2 x ? 2 ? ?6 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 3 分 ∴ a ? 2 且 a ? ?6 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 4 分 10 10 10 19.解: (Ⅰ) EH ? , FH ? , EF ? sin ? cos ? cos ? sin ?
由于 BE ? 10 ? tan ? ? 10 3 ,AF ?

3 10 ? ? ……3 ? 10 3 , ? tan ? ? 3 , ? [ , ] 。 ? 3 tan ? 6 3


? ? 10 10 10 , ? [ , ] ………………………………………………5 ? ? ? 6 3 cos ? sin ? sin ? ? cos ? 分 3 ?1 3 (Ⅱ) ? ? cos ? ? 时, ? cos ? ? ,L ? 20( 3 ? 1) ; …………………………10 sin sin 2 4 分
所以 L ?

第 10 页 共 13 页

10 (Ⅲ) L ? 10 ? 10 ? = 10 ? sin ? ? cos ? ? 1 ? ,设 sin ? ? cos? ? t , ? ? cos ? sin ? sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ?

则 sin ? ? cos ? ?

t 2 ?1 ? ? ,由于 ? ? [ , ] , 2 6 3
在[ 最

20 所以 t ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ? ) ? [ 3 ? 1 , 2] , L ? t ?1 4 2
于 是 当

t? 2



??

?

3 ?1 , 2] 内单调递减, 2
小 值

4

.

L



20( 2 ? 1)


米 … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 3 答: ? ? 当

?

4

时, 所铺设管道的成本最低, 此时管道的长度为 20( 2 ? 1) 米………………14 分

20. (Ⅰ)f ?( x ) ? 解:

?4 x 2 ? 2ax ? 4 ……………………………………………………………2 (1 ? x 2 ) 2








m, n







?4 x2 ? 2ax ? 4 ? 0











a ? ?m ? n ? ? 2 ? ?mn ? ?1 ?

























4



f ( m) f ( n ) ?

4m ? a 4n ? a 16mn ? 4a(m ? n) ? a 2 ?(16 ? a 2 ) ? ? ? ? ?4 …………… a2 1 ? m2 1 ? n 2 (mn 2 ) ? (m ? n) 2 ? 2mn ? 1 ?4 4


6 (Ⅱ)? n ? m ?

(m ? n) ? 4mn ?
2

a2 ?4 ?2 4

?n ? m 取最小值时,a ? 0, n ? 1, m ? ?1 ,……………………………………………………7


? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数,? 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,

? f ' ? x0 ? ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1

?0







x0 ? ? ?1,1? … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8



f ?( x0 ) ?

2 4 ?1 ? x0 ?

?1 ? x ?

2 2 0

?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1

?

?1 ? x ??1 ? x ?
2 1 2 2

4 ?1 ? x1 x2 ?

第 11 页 共 13 页

?1 ? x ? ? 1 ? x x 即 ?1 ? x ? ?1 ? x ??1 ? x ?
2 0 1 2 2 2 0 2 1 2 2
2 2 2 ? (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ? x12 x2 ? x12 ? x2 ? 1 ? ( x1 x2 )2 ? 2 x1 x2 ? 1 ? (1 ? x1 x2 ) 2

?1 ? x ?
0

1 ? x0 2

2 2

?

1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 … … … … … … … ? 2 2 ?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ?1 ? x1x2 ?2
1? x
2 '

… … … … 1 0 分

? x ? 1? ? 2 ,故当 x ? 0,1 时,有 g ' x ? 0 , 考虑函数 g ? x ? ? ,因 g ? x ? ? ? ? ? ? 2 4 ?1 ? x ? ?1 ? x ?
所以 g ( x ) 是 (0,1) 上是减函数.
2 2 ?由 g ( x0 ) ? g ( x1 x2 ) ,得 x0 ? x1 x2 ? x12 . ? x0 ? x1. ……… …………………………12 分

2 1 ? x0 1 ? x1 x2 2 ? 由 及 0 ? 1 ? x0 ? 1 ? x1 x2 得 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )

?1 ? x ? ? ?1 ? x ??1 ? x ? ? ?1 ? x ?
2 2 2 2 0 1 2 2

2 2

2 2 故 1 ? x0 ? 1 ? x2 ,即 x0 ? x2 .

? x1 ? x0 ? x2 …………………………………………… ……………………………14 分

第 12 页 共 13 页

第 13 页 共 13 页


相关文章:
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中数学理试题_...
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中数学理试题 广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中数学理试题广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中数学理试题隐藏>...
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中 数学理试题
x 0 ? x 2 汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试 高三理科数学 答题卷班级 一、选择题(40 分) 题号 答案 二、填空题(30 分) 9. 14. 10...
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中考试数学(理...
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题 隐藏>> 1 一、选 择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项...
...汕头市金山中学2017届高三上学期期中考试 数学理(含...
广东省汕头市金山中学2017届高三上学期期中考试 数学理(含答案)word版 金山中学 2017 届高三上学期期中考试试题 高三数学(理) 本试卷满分 150 分,考试时间 120 ...
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中理综试题
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中理综试题_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2012-2013 学年度第一学期金山中学高三期中考试试卷 理科综合一、单项选择...
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中数学文试题
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期中数学文试题_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期中考试 高三文科数学 试题...
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期末数学理试题
广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期末数学理试题 高三,期中测试高三,期中测试隐藏>> 汕头市金山中学 2012-2013 学年度第一学期期末考试 高三理数第Ⅰ卷 (选择...
2016届广东省汕头金山中学高三上学期期中考试理科数学...
2016届广东省汕头金山中学高三上学期期中考试理科数学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。汕头市金山中学 2015-2016 学年度第一学期期中考试 高三理科数学 试题卷 ...
广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中数学理试题
广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中数学理试题_数学_高中教育_教育专区。一模试题答案,二模试题答案,期中期末,月考,学业水平测试,高考预测,高考模拟,高考压轴...
广东省汕头市金山中学2015届高三上学期期中数学试卷(理...
a∈R,存在 ξ∈(1,e) ,使 f′(ξ)= . 2 广东省汕头市金山中学 2015 届高三上学期期中数学试卷 (理科)参考答案与试题解析 一、选择题: (本大题共 8 ...
更多相关标签: