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数学:3.1.2《空间向量及其运算-数乘运算》PPT课件(新人教A版-选修2-1)


新课标人教版课件系列

《高中数学》
选修2-1

教学目标
? 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量的 数乘运算. ? 2.用空间向量的运算意义和运算律解决立 几问题.. ? 教学重点:空间向量的数乘运算及运算律. ? 教学难点:用向量解决立几问题.

3.1.2《空间向量及其运算 -数乘运算》

空间向量及其运算(二)
复习回顾
数乘运算

思考1

向量的平 行

作业:课本 P A 组第 1、2 题 106

上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运 算扩展到了空间.
加法 减法 运算 运 算 律 平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律 ? ? ? ? a?b ? b?a 加法结合律: ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c ) 空间向量

空间向量及其运算(二)

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 ? ? ? ? 加法交换律 a ? b ? b ? a

? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c )

加法结合律 ? ? ? ?

注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.因为 ……. 很奇妙,这样定义出来的运算竟然和实数的运算 在运算律方面有共同特点.

b
b

a
结论:1)空间任意两个向量都是共面向量。 2)涉及空间任意两个向量问题,平 面向量中有关结论仍适用它们。
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?

a

思考2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

???? ????? ???? ? ? ???? (1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
???? ???? ? ? ???? ? (2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 ??? ???? ???? ? ? ? ???? ? (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A A1

D1 B1

C1

D B

C

课外思考题: 如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量 ??? ? ???? ? ??? ? ? ? AB ? a , AC ? b , AD ? c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为 ? ? ? △BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量: ???? ? ???? ⑴ DM ⑵ AG ? ? ?

1 ? ? ? ( ? b) ? c a 2
B

A

1 ( ? b ? c) a 3
D

G M C

定义: 数乘空间向量的运算法则
? ? a 仍然是一个向量.

? 与平面向量一样,实数 ? 与空间向量 a 的乘积

? ? ⑴当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ? ? ⑵当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ? ⑶当 ? ? 0 时, ? a 是零向量.

? 例如:

? 3a

? a ? ?3a

显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律

? ? ? ? 即:? (a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? (? ? ?) ? ? a ? ? a a ? ? ? ( ? a) ? (?? )a

1、空间共线向量充要条件:

对于空间任意两个向量 , b(b ? 0), a // b ? a ? ? b a 推论: 对于空间一点 点P在直线l上的充要条件是 O,
存在实数 ,使OP ? OA ? t a t
2、与a , b共面的充要条件是 p 存在唯一的有序实数对 x , y )使 p ? x a ? y b (

空间一点 在平面ABC内的充分必要条件是 P 使 AP ? x AB ? y AC

探究:
已知空间任意一点 和不共线的三点 B, C,满足向量 O A, 关系式OP ? xOA ? yOB ? zOZ (其中x ? y ? z ? 1)的点P与 点A, B, C是否共面?

例:已知平行四边形 ABCD, 过平面AC外一点O作射线 OA, OB, OC, OD, 在四条射线上分别取点 F, G, H, 并且 E,

OE OF OG OH 使 ? ? ? ? k,求证: F, G, H四点共面。 E, OA OB OC OD

向量的平行与重合
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量) ? ? ? ? 思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a ? ? b ,那 ? ? 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢? ? ? ? ? 类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b ? 0 ), ? ? ? ? a // b ? ? ? ? R , a ? ? b . ? c ? b

? a
思考(2)

? 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,

那么如何表示直线 l 上的任一点 P ?

A?

?

l

? a

P

? 注:非零向量 a 叫做 直线 l 的方向向量.

作业:课本 P A 组第 1、2 题 106

???? ??? ? ???? ??? ? ? ???? ???? ? ? ( AD ? AB ) ? ( AA1 ? AB ) ? ( AA1 ? AD ) ???? ??? ???? ? ? ? 2( AD ? AB ? AA1 )
???? ? ? 2AC1
A1 D1 B1 C1

???? ???? ???? ? ? (3) AC ? AB1 ? AD1

??? ???? ???? ? ? ? ???? ? (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

? x ? 2.
向量的平行
A

D B

C

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC ???? ????? ???? ? ? 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
???? ????? ???? ? ? ? AB1 ? B1C1 ? C1C ???? ? AC ? x ? 1.
A A1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。 ???? ???? ????? ???? ? ?
D1 B1 C1

D B

C

???? ???? ? ? ???? ? (2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 ??? ???? ???? ? ? ? ???? ? (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

D1 A1 B1

C1

a
D C B

A

平行六面体:平行四边形ABCD按向量 a 平移 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1 注:始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

???? ? ???? ? ???? ???? ? ? ???? ? (2) 2AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
???? ???? ? ? (2) 2 AD1 ? BD1 ???? ???? ???? ? ? ? ? AD1 ? AD1 ? BD1 ???? ???? ???? ? ? ? ? AD1 ? ( BC1 ? BD1 ) ???? ????? ? ? AD1 ? D1C1 ???? ? ? AC1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。 ??? ???? ? ?

D1 A1 B1

C1

D A B

C

? x ? 1.


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