当前位置:首页 >> 数学 >>

山西省山大附中2012-2013学年高二上学期期中数学试题


山西大学附中

2012~2013 学年第一学期高二年级期中考试

数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π) π 3π B.[

0, ]∪[ ,π) 4 4 π C.[0, ] 4 π π D.[0, ]∪( ,π) 4 2 ( D. 150 ) )

2.直线 x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角的大小为 A. 30
2 2

B. 60
2 2

C. 120

3.圆 x ? y ? 9 和圆 x ? y ? 6x ? 8 y ? 11 ? 0 的位置关系是 ( ) A.相离 B.内切 C.外切 D. 相交 4.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ( ) A. ? a
2

B.

5. 设 a、b、c 表示三条直线, ? 、 ? 表示两个平面,则下列命题的逆 命题不成立 的是 . ... ( ) A. c ⊥ ? ,若 c ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ;B. b ? β , c 是 a 在 ? 内的射影,若 b ⊥ c ,则 a ⊥ b ; C. b ? β ,若 b ⊥ ? 则 ? ⊥ ? ; D. b ? ? , c ? ? ,若 c ∥ ? ,则 b ∥ c ; 6.若直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 与 l2 : 2 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 的值是( ) A.-3 B.2 C.-3 或 2 D. 3 或-2 7.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, O 是底面 ABCD 的中心, E 为 CC1 的中点,异面 直线 OE 与 AD1 所成角的余弦值等于 ( )

7 2 ?a 3

C.

11 2 ?a 3

D. 5? a

2

6 3 2 C. D. 3 3 2 8.在三棱锥 A ? BCD 中, AC ? 底面 BCD , BD ? DC , BD ? DC , AC ? a , ?ABC ? 30 ? ,则点 C 到平面 ABD 的距离是( )
A. B. A.

6 2

5 a 5

B.

15 a 5

C.

3 a 5

D.

15 a 3

9.已知直线 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 和 4 x ? m y ? 2 ? 0 互相平行,则两直线之间的距离是( )

A.

7 13 26

B.

5 13 26

C.

4 13 13

D.

4

?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? 10.满足线性约束条件 ? 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是( x ? 0, ? ? ? y ? 0,



A. 1

B.

3 2

C. 2

D. 3

11.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程 为 ( ) 2 2 2 2 A.(x+1) +(y-1) =2 B.(x-1) +(y+1) =2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 12.如图,在长方形 ABCD 中, AB ? 3 , BC ? 1 , E 为线段 DC 上一动点,现将 ? AED 沿 AE 折起,使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C ,则 K 所形成 轨迹的长度为 ( ) A.
D

3 2
E C

B.

2 3 3
D D' K

C.

? 2
C

D.

? 3

E

B

A

B

A

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与曲线 ? 取值范围是____________. 14. 过点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 的直线交直线 l : 3x ? 2 y ? 6 ? 0 于点 Q ,则点 Q 分有向线段

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的 ? y ? ?2 ? sin ?

PQ ? ?QP2 ,则 ? 的值为________. 1
?x ? 0 ? 2 2 2 15.已知平面区域 ? y ? 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 及其内部 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?
所覆盖,则圆 C 的方程为_________. 16.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为_________. 三.解答题:(本大题共 5 小题共 48 分,解答应写出文字说明、证明过程或演步骤) 1 17.( 本小题满分 8 分)求倾斜角是直线 y=- 3x+1 的倾斜角的 ,且分别满足下列条件的 4 直线方程: (1)经过点( 3,-1); (2)在 y 轴上的截距是-5.

18.(本小题满分 10 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=2,BC= 2 , E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB; (Ⅱ)求异面直线 AD 与 BE 所成角的大小.

19. (本小题满分 10 分) 已知圆 x2 ? y 2 ? 25 ,Δ ABC 内接于此圆,A 点的坐标(3,4), O
为坐标原点. (Ⅰ)若Δ ABC 的重心是 G ( , 2) ,求 BC 直线的方程; (Ⅱ)若直线 AB 与直线 AC 的倾斜角互补,求证:直线 BC 的斜率为定值.

5 3

20. (本小题满分 10 分)如图,在多面体 ABCDEFG 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,平 面 ABG、平面 ADF、平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直,且Δ ABG, Δ ADF, Δ CDE 都是正三角形. (I) 求证:AC// EF ; (II) 求多面体 ABCDEFG 的体积.

21. (本小题满分 12 分)已知过点 A(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 相交于 M , N 两点。 (1)求实数 k 的取值范围;

(2)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 12 ,求直线 l 的方程.

山西大学附中

2012~2013 学年第一学期高二年级期中考试

数学参考答案试题
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A D B C A B 8 B 9 C 10 C 11 B 12 D

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. m ? 0 或 m ? 10 ; 14. ?

3x1 ? 2 y1 ? 6 ; 3x2 ? 2 y2 ? 6

15. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 5 ; 16. 8 3 . 三.解答题:(本大题共 5 小题共 48 分,解答应写出文字说明、证明过程或演步骤) 1 17.( 本小题满分 8 分)求倾斜角是直线 y=- 3x+1 的倾斜角的4,且分别满足下列条件的直线方 程: (1)经过点( 3,-1); (2)在 y 轴上的截距是-5. 解:∵ 直线的方程为 y=- 3x+1,∴k=- 3,倾斜角 α=120°, 3 由题知所求直线的倾斜角为 30°,即斜率为 3 . ……………1 分 (1)∵ 直线经过点( 3,-1),所求直线方程为 y+1= 即 3x-3y-6=0. 3 (x- 3), 3

……………5 分 3 (2)∵ 直线在 y 轴上的截距为-5,∴ 由斜截式知所求直线方程为 y= 3 x-5, 即 3x-3y-15=0. ……………8 分 18.(本小题满分 10 分)如图,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=2,BC= 2 ,E 是 PC 的中点. (Ⅰ)证明:PA∥平面 EDB; (Ⅱ)求异面直线 AD 与 BE 所成角的大小. 证明: (Ⅰ)连接 AC,设 AC∩BD=O,连接 EO, ∵四边形 ABCD 为矩形,∴O 为 AC 的中点. ∴OE 为△PAC 的中位线. ∴PA∥OE,而 OE ? 平面 EDB,PA ? 平面 EBD, ∴PA∥平面 EDB. ……………4 分 (Ⅱ)方法一: ∵AD∥BC,∴ ?CBE 就是异面直线 AD 与 BE 所成的角或补角. ………6 分 ∵PD⊥平面 ABCD, BC ? 平面 ABCD ,∴BC⊥PD.又四边形 ABCD 为矩形, ∴BC⊥DC.又因为 PD DC= D,所以 BC⊥平面 PDC.

1 ? PC ? 2 ,∴ ?CBE ? . 2 4 ? 即异面直线 AD 与 BE 所成角大小为 . ……………10 分 4
在 rt BCE 中,BC= 2 ,EC= ?

19. (本小题满分 10 分)已知圆 x2 ? y 2 ? 25 ,Δ ABC 内接于此圆,A 点的坐标(3,4), O 为坐
标原点. (Ⅰ)若Δ ABC 的重心是 G ( , 2) ,求 BC 直线的方程; (Ⅱ)若直线 AB 与直线 AC 的倾斜角互补,求证:直线 BC 的斜率为定值. 解:设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 )

5 3

? x1 ? x2 ? 3 5 ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? x12 ? y12 ? 25 ? ? 2 3 3 由题意可得: ? 即? ……2 分 又? 2 2 ? x2 ? y2 ? 25 ? y1 ? y2 ? 4 ? 2 ? y1 ? y2 ? 1 ? ? 3 ? 2 ? 相减得: ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 y1 ? y2 ? ?1 ∴ …………………………3 分 x1 ? x2 ∴直线 BC 的方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0 .…………………………5 分 (2)设 AB : y ? k ( x ? 3) ? 4 ,代入圆的方程整理得: (1 ? k 2 ) x2 ? (8k ? 6k 2 ) x ? 9k 2 ? 24k ? 9 ? 0 ∵ 3, x1 是上述方程的两根
3k 2 ? 8k ? 3 ?4k 2 ? 6k ? 4 , y ? 1 1? k 2 1? k 2 3k 2 ? 8k ? 3 ?4k 2 ? 6k ? 4 同理可得: x2 ? , y ? 2 1? k 2 1? k 2 y ?y 3 k BC ? 1 2 ? x1 ? x2 4 . ∴
∴ x1 ? ………………………8 分 ………………………10 分

20. (本小题满分 10 分)如图,在多面体 ABCDEFG 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,平面 ABG、 平面 ADF、平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直,且Δ ABG, Δ ADF, Δ CDE 都是正三角形. (I) 求证:AC// EF ; (II) 求多面体 ABCDEFG 的体积. 解: (Ⅰ) 证明:方法一,如图,分别取 AD、CD 的中点 P、Q,连接 FP,EQ. ∵△ ADF 和△ CDE 是为 2 的正三角形, ∴FP⊥AD,EQ⊥CD,且 FP=EQ= 3 . 又∵平面 ADF 、平面 CDE 都与平面 ABCD 垂直, ∴FP⊥平面 ABCD , EQ⊥平面 ABCD ,∴FP∥QE 且 FP=EQ, ∴四边形 EQPF 是平行四边形,∴EF∥PQ. ∵ PQ 是 ?ACD 的中位线,∴PQ∥AC,∴ EF∥AC………6 分 方法二,以 A 点作为坐标原点,以 AB 所在直线为 x 轴,以 AD 所在直线为 y 轴,过点 A 垂直于 xOy 平面的直线为 z 轴,建立 空间直角坐标系,如图所示. 根据题意可得,A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0), D(0,2,0),E(1,2, 3 ),F(0,1, 3 ),G(1,0, 3 ). ∴ AC =(2,2,0), FE =(1,1,0),则 AC = 2 FE , ∴ AC ∥ FE ,即有 AC ∥ FE …………6 分

2 3 8 3 …………10 分 ? 3 3 21. (本小题满分 10 分) 已知过点 A(0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 相交于 M , N 两点。 (1)求实数 k 的取值范围;
(Ⅱ) V多面体ABCDEFG ? V三棱柱ABG?CDE ? V四棱锥F ? ADEG ? 2 3 ? (2)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 12 ,求直线 l 的方程. 解: (1)设过点 A(0,1) 的直线方程: y ? kx ? 1 ,即: kx ? y ? 1 ? 0 。………2 分 已知,圆 C 的圆心 C: (2,3) ,半径 R=1。 故

| 2k ? 3 ? 1| k ?1
2

? 1,解得: k1 ?

4? 7 4? 7 , k2 ? 。 3 3

此时,当

4? 7 4? 7 时,过点 A(0,1) 的直线与圆 C: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1相交于 ?k? 3 3
……………4 分

M , N 两点。

(2)设圆 C 上两点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,经过 M、N、A 的直线方程: y ? y1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,圆 C: x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 。 由已知条件,可列:

y2 ? y1 ( x ? x1 ) , x2 ? x1

x12 ? y12 ? 4x1 ? 6 y1 ?12 ? 0 ,
2 2

……………………………①

……………………………② x2 ? y2 ? 4x2 ? 6 y2 ? 12 ? 0 , ……………………………③ x1 x2 ? y1 y2 ? 12 , y ?y ……………………………④ 1 ? y1 ? ? 2 1 x1 , x2 ? x1 ① -②: ( x1 ? x2 ? 4)( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ? 6)( y1 ? y2 ) ? 0, y ? y2 x ? x ?4 即: 1 ……………………………⑤ ?? 1 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ? 6 x ? x2 ? 4 由④和⑤得, 1 ? y1 ? 1 ……………………………⑥ x1 , y1 ? y2 ? 6 解之为, x1 ? x2 ? 4 , y1 ? y2 ? 6 。 x ? x2 y1 ? y2 , ) 为(2,3) 恰好 ( 1 ,即为圆心 C。 ……………8 分 2 2 故,直线 l 的方程为: y ? x ? 1 ,写成一般式为: x ? y ? 1 ? 0 。……………10 分


相关文章:
山西省山大附中2012-2013学年高二上学期期中数学试题
山西省山大附中2012-2013学年高二上学期期中数学试题_数学_高中教育_教育专区。山西...山西大学附中 2012~2013 学年第一学期高二年级期中考试 数学试题一、选择题(...
山西省山大附中2013-2014学年高二上学期期中数学试卷 Word版含答案
山西省山大附中2013-2014学年高二上学期期中数学试卷 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。山西大学附中 2013——2014 上学期高二期中考试 数学试题考试时间:90 分...
山西省山大附中2014-2015学年高二数学上学期期中试题
山西省山大附中2014-2015学年高二数学上学期期中试题_数学_高中教育_教育专区。山西大学附中 2014-2015 高二上学期期中考试 数学试题考试时间:90 分钟 一、选择题:...
2012-2013学年山西省山大附中高二上学期期中英语试卷
2012-2013学年山西省山大附中高二上学期期中英语试卷_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。山西大学附中 2012~2013 学年第一学期高二期中考试 英语试题(考试时间:...
2012-2013学年山西省山大附中高二上学期期中历史文试卷
2012-2013学年山西省山大附中高二上学期期中历史文试卷_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。山西大学附中 2012~2013 学年第一学期高二期中考试 历史试题( 文科 ...
山西省山大附中2012-2013学年高二下学期期中数学(理)试题
山西省山大附中2012-2013学年高二学期期中数学(理)试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。山西大学附中 2012~2013 学年第二学期高二期中考试 数学试题(理科) ...
山西省山大附中2012-2013学年高二3月月考数学理试题
山西省山大附中2012-2013学年高二3月月考数学理试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。山西大学附中 2013 高二第二学期 3 月考试 数学试题(理科) (考试时间:120...
2012-2013学年山西省山大附中高二上学期期中生物理试卷
2012-2013学年山西省山大附中高二上学期期中生物理试卷_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。山西大学附中 2012-2013 学年第一学期高二期中考试 生物试题(理科)...
山西省山大附中2012-2013学年高二10月月考_数学理试题
山西省山大附中2012-2013学年高二10月月考_数学理试题_数学_高中教育_教育专区。山西大学附中 2012~2013 学年第一学期高二(10 月)月考 数学试题(理科)(考试...
更多相关标签:
山西省山大一院 | 山西省山大二院 | 山西省山大二院官网 | 山西省山大一院出诊表 | 山大附中 | 山大附中官网 | 山大二附中 | 山大附中实验学校 |