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欧拉公式


欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有,复变函数中的欧拉幅角公式--将复 数、指数函数与三角函数联系起来; 拓扑学中的欧拉多面体公式;初等数论中的欧拉函数 公式。 此外还包括其他一些欧拉公式,比如分式公式等等 (Euler 公式) 在数学历史上有很多公式都是欧拉 (Leonhard Euler 公元 1707-1783 年)发现的, 它们都 叫做 欧拉公式,分散在各个数学分支之中。 分式与欧拉公式 a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b) 当 r=0,1 时式子的值为 0 当 r=2 时值为 1 当 r=3 时值为 a+b+c 复变函数论与欧拉公式 e^ix=cosx+isinx, 是自然对数的底, 是虚数单位。 e i 它将三角函数的定义域扩大到复数, 建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx 的证明: 因为 e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在 e^x 的展开式中把 x 换成± ix. (± i)^2=-1, (± i)^3=?i, (±i)^4=1 …… e^± ix=1±ix/1!-x^2/2!?ix^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以 e^± ix=cosx± isinx 将公式里的 x 换成-x,得到: e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:

sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将 e^ix=cosx+isinx 中的 x 取作 π 就得到: e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学 里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底 e,圆周率

π,两个单位:虚数单位 i 和自然数的单位 1,以及被称为人类伟大发现之一的 0。数学家们 评价它是“上帝创造的公式” 那么这个公式的证明就很简单了, 利用上面的 e^± ix=cosx± isinx。 那么这里的 π 就是 x, 那么 e^iπ=cosπ+isinπ =-1

那么 e^iπ+1=0 这个公式实际上是前面公式的一个应用 [1] 三角形与欧拉公式 设 R 为三角形外接圆半径, 为内切圆半径, 为外心到内心的距离, r d 则: d^2=R^2-2Rr 拓扑学里的欧拉公式 事实上,欧拉公式有平面与空间两个部分: 空间中的欧拉公式 V+F-E=X(P),V 是多面体 P 的顶点个数,F 是多面体 P 的面数,E 是多面体 P 的棱的 条数,X(P)是多面体 P 的欧拉示性数。 如果 P 可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上) ,那么 X(P)=2,如果 P 同胚于一个接有 h 个环柄的球面,那么 X(P)=2-2h。 X(P)叫做 P 的欧拉示性数, 是拓扑不变量, 就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的 量,是拓扑学研究的范围。 在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数 V、面数 F 及棱数 E 间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。 平面上的欧拉公式 V+F-E=X(P),其中 V 是图形 P 的定点个数,F 是图形 P 内的区域数,E 是图形的边数。 在非简单多面体中,欧位公式的形式为: V-E+F-H=2(C-G) 其中 H 指的是平面上不完整的个数,而 C 指的是独立的多面体的个数,G 指的是多面 体被贯穿的个数。 初等数论与欧拉公式 欧拉 φ 函数:φ(n)是所有小于 n 的正整数里, n 互素的整数的个数。n 是一个正整数。 和 欧拉证明了下面这个式子: 如果 n 的标准素因子分解式是 p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众 pj(j=1,2,……,m)都是 素数,而且两两不等。则有 φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。 物理学与欧拉公式 众所周知, 生活中处处存在着摩擦力, 欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间 的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里: F=fe^ka 其中,f 表示我们施加的力,F 表示与其对抗的力,e 为自然对数的底,k 表示绳与桩之 间的摩擦系数,a 表示缠绕转角,即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。 此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。


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