当前位置:首页 >> 数学 >>

第一讲


第一讲
一. 研读考纲: 二.

数列的概念与简单表示法

5.数列的前 n 项和 (1) Sn

?
? ?? ?

理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写 出数列的前几项. (2) an 与 Sn 的关系: an

二.基础知识回顾 1.数列的定义 按照 排列的一列数,叫做数列,一般用

6.递推公式

?an ? , ?bn ? 等表示,

如果已知数列

,且任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系可以用一个公 ?an ? 的第一项(或前几项)

数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2. 数列的分类 分类原则 类型 有穷数列 按项数分类 无穷数列 递增数列 项数 满足条件 项数

式来表示,则这个公式叫做这个数列的递推公式.如: 三、典例分析 题型一: 由数列的前几项求数列的通项 例 1.写出下面各数列的一个通项公式: (1) (2)

3,5,7,9, ,?;
1 3 7 15 31 , , , , , ?; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 ?1, , ? , , ? , , ?; 2 3 4 5 6

an ?1 an ?1

an
其中 (3) (4) (5)

递减数列 按项与项间的 大小关系分类 常数列

an

n? N*

3,33,333,3333, ?
3,5,3,5, ?

an?1 ? an
从第二项起,有些项大于它的前一项,

摆动数列 有些项小于它的前一项 3.数列与函数的关系 (1)从函数观点看,数列可以看成是以 序依次取值时所对应的一列 (2)数列同函数一样,有 4. 数列的通项公式 如果数列 . 、 、 三种表示方法 为定义域的函数 an

? f (n) ,当自变量按照从小到大的顺
变式训练 1.某数列{an}的前四项为 0, 2 ,0, 2 ,则以下各式: ① an= ③ an=

2 [1+(-1)n] 2

② an= 1 ? (?1)n

?an ? 的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,这个公式就叫做这个数列的
.并非每一个数列都有通项公式,即使有,通项公式也不一定都是唯一的.

? 2 ( n为偶数 ) ? ( n为奇数) ?0

其中可作为{an}的通项公式的是 A.① B.①②



) D.①②③

通项公式,记作:

C.②③

题型二:

由 an 与 Sn 的关系求通项 an

课堂练习 1. 数列 ?1,
2

例 2.已知数列 (1) Sn
n

?an ? 的前 n 项和为

? 3 ?1 ,求其通项公式 an .(2) Sn ? n ? 2n ? 1 ,求其通项公式 an .
A.

8 15 24 , ? , , ?的一个通项公式 an 是( 5 7 9



(?1) n

n2 2n ? 1

B.

( ?1) n

n( n ? 2) n ?1

C.

(?1)n

(n ? 2)2 ? 1 2(n ? 1)

D.

( ?1) n

n( n ? 2) 2n ? 1


2. 已知数列 A. 变式训练 2 :已知数列 {an} 的前 n 项的和 Sn 满足关系式 lg(Sn - 1) = n , (n∈N*) ,则数列 {an} 的通项公式 为 . 3. 设数列 A. 题型三: 由递推公式求通项 an

?an ?满足 an?2 ? an?1 ? an (n ? N * ) ,若 a1 ? 1, a2 ? 2 ,则 a5 ? (
B.

5

6

C.

7

D.

8


?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2(an ?1) ,则 a3 ? (
B.

8

4

C.

2

D.

1


4. 设数列 A.

?an ?的前 n 项和为 Sn ? (n ?1)2 ,则 a9 ? a10 ? (
B.

例 3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式. ⑴ a1=1,an=2an-1+1 ⑵ a1=1,an= a n ?1 ?3 n ?1
n ?1 a n ?1 ⑶ a1=1,an= n

(n≥2) (n≥2) (n≥2)

16

24

C.

32

D.

48


5. 数列

?an ?的通项公式为 an ? (?1) n (n ? 3) ,则此数列的前 5 项是
项.

?24 是这个数列的第

6. 若数列{an}的前 n 项和为 Sn

? log4 (2n ?1) ,则 a6 ?

7.写出下面各数列的一个通项公式:

变式训练 3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=

2a n (n∈N*),求该数列的通项公式. a n ?2

(1)

2, 4,6,8,

(2)

2 4 6 8 10 , , , , ,? 3 15 35 63 99

8. 已知数列{an}的前 n 项和为 S n 四.归纳小结 1. 根据数列的前几项, 写出它的一个通项公式, 关键在于找出这些项与项数之间的关系, 常用的方法有观察法、 通项法,转化为特殊数列法等. 2.由 Sn 求 an 时,用公式 an=Sn-Sn-1 要注意 n≥2 这个条件,a1 应由 a1=S1 来确定,最后看二者能否统一. 3.由递推公式求通项公式的常见形式有:an+1-an=f(n), 迭代法(或换元法) . 9. 已知数列 (1) Sn

?

2n ,求其通项公式 an . n ?1

?an ? 的前 n 项和为

an?1 =f(n),an+1=pan+q,分别用累加法、累乘法、 an

? ?2n2 ? 3n ,求其通项公式 an .(2) Sn ? n2 ? 1 ,求其通项公式 an .

第二讲 一研读考纲:

等差数列

(7) 项数为偶数 2 n 的等差数列

?an ?,有 S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? ? ? n(an ? an?1 )
? S奇 ? nd ;
S奇 S偶 ? an an?1


理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式,并能解决简单的实际问题. 二.基础知识回顾 1.等差数列的定义:如果一个数列从 等差数列,这个常数叫做等差数列的 2.等差数列的通项公式: 3.等差中项:若 a ,A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 和 b 的等差中项,记作 4. 等差数列的前 n 项和公式: 起,每一项与它的前一项的差等于 ,通常用字母 d 表示. ,这个数列叫做

( an 与 a n ?1 为中间的两项); S 偶

( 8 ) 项 数 为 奇 数 (2

( an 为 中 间 项 ) ; S奇 ? S偶 ? an ; n - 1) 的 等 差 数 列 ?an ? , 有 S 2n?1 ? (2n ? 1)an ,

S奇 S偶
A?

?

n 。 ( S 奇 、 S 偶 分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和. ) n ?1

三、典例分析 题型一:等差数列中基本量的计算 例 1. 在等差数列

?an ? 中, a3 ? 1, a5 ? ?3

5.主要性质及常见结论: (1)当 当 (2)若 m, n, 时, 时,

(1)求数列 时,

?an ?为递减数列;当 ?an ?为常数列.

?an ?为递增数列;

(2) ?193 是 ?an ? 中的第几项? ?an ? 的通项公式;

(3)求数列

?an ? 的前10 项和;(4)若数列 ?an ? 的前 k 项和 Sk ? ?40 ,求 k 的值.

p, q ? N * 且 m ? n ? p ? q ,则
? 2 p 时,有
.



特别地,当 m ? n

(3)在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列.即 (4)等差数列中连续 m 项之和构成的新数列仍然是等差数列. 即若 m ? N , (5)若数列
?

仍然成等差数列. 变式训练 1. 在等差数列{an}中, (1)已知 a15=10,a45=90,求 a60; (2)已知 S12=84,S20=460,求 S28; (3)已知 a6=10,S5=5,求 a8 和 S8.

?an ?与 ?bn ?均为等差数列,且 m , k 均为常数,则 ?man ? , ?m ? an ? , ?man ? kbn ?
Sn


(6)若

?an ?, ?bn ?均为等差数列,且前 n 项和分别为

Tn ,则

am S2 m?1 ? bm T2 m?1

题型二:等差数列的判定与证明 例 2.(1)已知数列

题型三:等差数列的性质及应用 例 3. 在等差数列 (1)若 a3 (2)若 S4

?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2n2 ? 3n ,求证:数列 ?an ? 是等差数列.

?an ? 中,前 n 项和为 Sn

? a17 ? 10 ,求 S19 的值;
? 1, S8 ? 4 ,求 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值;

(3)设等差数列 (2)数列

?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,若 S n
Tn

?

?an ? 中,

?1? an ?1 * ,其中 n ? 2, n ? N ,求证:数列 ? an ? ? 是等差数列. 2an ?1 ? 1 ? an ?

a7 3n ? 2 , 求 的值. b7 2n ? 1

变式训练 2.已知公比为 3 的等比数列

?bn ?与数列 ?an ?满足 bn ? 3
(2)若 C n

变式训练 1.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+…+a10=
an



,n? N

*

,且 a1

?1,
题型四:等差数列前 n 项和的最值问题 例 4. 设等差数列 (1)求 (2)求

(1)判断

?an ?是何种数列,并给出证明;

?

1 a n a n ?1

,求数列

?Cn ? 的前 n 项和

?an ? 满足 a3 ? 5, a10 ? ?9

?an ? 的通项公式;
?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值.

判断或证明数列是等差数列的方法有:

课堂练习 1. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a2 A. 12 2. A. B. 10 C. 8

课堂练习 ) 1.等差数列 A.3 =( )

? 1, a3 ? 3, 则 S4 ? (
D. 6

?an ?中,若 a2 ? a8 ? 15 ? a5 ,则 a5 等于(
B.4 C.5 D.6



{an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d
1
B.

2.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,已知 a3 C.49 D.63

? 5, a5 ? 9 ,则 S7 等于(



A.13

B.35

5 3

C. 2

D. 3

3.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a5 A. .8 4.设等差数列 A. B. 12 C. 16

? 8, S3 ? 6 ,则 a9 ? (
D. 24



3.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S10 A. ) 4. A. 15

? 12 ,则 a5 ? a6 ?





12 5
是等差数列

B. 12 的前 B. 18 项和,若 C. 9

C. 6 ,则 D. 12

D.

6 5
( )

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a2 、 a 4 是方程 x2 ? x ? 2 ? 0 的两个根, S5 =(
B. 5 C. ?

5 2

5 2

D. ? 5

5. 已知等差数列

?an ?,其中 a1 ? 1 , a2 ? a5 ? 4 , an ? 33,则 n 的值为
3
? a6 ? a8 ,则
S5 ? _____ . a5

5.等差数列 {an } 的前 m 项和为 30 ,前 2 m 项的和为 100 ,则它的前 3m 项的和为

6. 数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 a2

6. 在等差数列

?an ? 中,已知 a1 ? 20 ,前 n 项和为 Sn ,且 S10 ? S15 ,求当 n 取何值时, Sn 取得最大值,

7. 已知

?an ? 是首项为 19 ,公差为 ?2 的等差数列, Sn 为其前 n 项和

并求出它的最大值.

(1)求通项 an 及 Sn ;

(2)求证:数列 ?

? Sn ? ? 为等差数列 ?n?

第三讲
一.研读考纲:

等比数列

二、典例分析 题型一:等比数列中基本量的计算 例 1.设等比数列 (1)若 a2

理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际问题.

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,
1023 ,求 n 的值. 2

二.基础知识回顾 1.等比数列的定义:如果一个数列从 比数列,这个常数叫做等比数列的 2.等比数列的通项公式: 3.等比中项:若 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 和 b 的等比中项,记作 4. 等比数列的前 n 项和公式: 起,每一项与它的前一项的比等于 ,通常用字母 q 表示. ,这个数列叫做等

? 6,6a1 ? a3 ? 30 .求 an 和 Sn ? a5 ? 10, a2 a6 ? 16, 且公比 q ? (1, ? ?) .若 S n ?

(2)若 a3

5.主要性质: (1)当 当 当 (2)若 m, n, 时, 时, 时,

?an ?为递减数列; ?an ?为递增数列;
时, 变式训练 1 已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数 n 和公比 q 的值.

?an ?为常数列;当

?an ?为摆动数列.
; . 题型二:等比数列的判定与证明

p, q ? N * 且 m ? n ? p ? q ,则
? 2 p 时,有

特别地,当 m ? n

(3)在等比数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是等比数列.即 例 2.已知数列 (4)公比不为 1 的等比数列中连续 m 项之和构成的新数列仍然是等比数列. 即若 m ? N ,
?

?an ? 中,

a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ?1, n ? N * ,

(1)求证:数列

(2)求数列 ?an ? 的通项公式 a n . ?an ? n? 是等比数列;

仍然成等比数列.

(5) 若数列

?an ?与 ?bn ?均为等比数列,且 m 为非零常数,则 ?man ? ,? an ? , ? 1 ? ,?an 2 ? ,?manbn ?
? an ?

?

?

题型三:等比数列的性质及应用 例 3. 在等比数列

题型四:等差与等比数列的综合性问题 例 4. 成等差数列的三个正数的和等于 15 ,并且这三个数分别加上 2 、 5 、 13 后成为等比数列

?an ? 中,公比为 q ,前 n 项和为 Sn
的值;

?bn ? 中的

a20 (1)若 a2 a6 ? 16, a4 ? a8 ? 8 ,求 a10
(2)若 an (3)若 S10 (4)若 q

b3 , b4 , b5 .
(1)求数列

?bn ? 的通项公式;
? 5? ? 是等比数列. 4?

an?1 ? 16n ,求公比 q ;
? 10, S20 ? 30
,求 S30 的值;

(2)数列

?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证:数列 ? ?Sn ?

? 2 , S99 ? 56 ,求 a3 ? a6 ? a9 ?

? a99 的值.

变式训练 4.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是 等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项. ⑴求数列{an}与{bn}的通项公式;

变式训练 2.已知等比数列{an}中,a1· a9=64,a3+a7=20,则 a11=



c c1 c2 c3 ? ? ? ?? ? n ? an?1 b b2 b3 bn ⑵设数列{cn}对任意正整数 n,均有 1 ,求 c1+c2+c3+?+c2007 的值.

变式训练 3.设 Sn 是等差数列 A. 15 B. 16

?an ? 的前 n 项和, S6 ? 36, Sn ? 324, Sn?6 ? 144(n ? 6) ,则 n 等于(
C. 17 D. 18



课堂练习 1. 在等比数列 A.

课后作业 1. 设等比数列 D. 5 A. )

?an?, a3 ? 2, a7 ? 8, 则a5 ? (
B. 4 C.



?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4a1 , 2a2 , a3 成等差数列,若 a1 ? 1 ,则 S4 =(
B.



?4

?4

7

8

C.

15

D.

16


2. 设等比数列 {an } 的公比 q

? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则
C.

S4 a3

的值为(

2. 等比数列 A.

?an ? 中, a1 ? a5 ? 34, a5 ? a1 ? 30 ,则 a3 的值是(
B.

A.

15 4

B.

15 2

7 4

D.

7 2
;前 5 项的和 S5

8

?6

C.

?8

D.

16


3. 设等比数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若
B.

S10 : S5 ? 1: 2 ,则 S15 : S5 =(
C.

3. 若数列 {an } 满足 a1

? 1 , an?1 ? 2an (n ? N * ) ,则 a3 ?

?

A.

3: 4

2:3

1: 2

D.

1: 3


4. 各项均为正数的等比数列

?an ? 中, a1a2a3 ? 5, a7a8a9 ? 10 ,则 a4a5a6 =(
7
C.

4. 已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a2

? a6 ? 9a4 , a2 =1,则 a1 =

A.

5 2

B.

6

D.

4 2

5. 若等比数列 5. 设正项等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3

?an ? 的前 n 项和为 Sn , a2 ? 6, S3 ? 21,则公比 q =

? 3, S 9 ? S 6 ? 12 ,则 S 6 ?
6. 已知

?an ? 是首项为19 ,公差为 ?2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和

6. 在各项均为正数的等比数列 {an } 中, a3

2 ? 2a2a6 ? a3a7 ? ? 2 ?1, as ? 2 ?1, 则 a3

(1)求通项 an 及 Sn ; (2)设

?bn ? an ? 是首项为1 ,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式

7. 已知数列 1, a ,9 是等比数列,数列 1, b1 , b2 ,9 是等差数列,则

a b1 ? b2

的值为

及其前 n 项和 Tn

8. 已知等差数列 {an } 和正项等比数列 求数列 {an } 、

?bn ? , a1 ? b1 ? 1, a3 ? a5 ? a7 ? 9, a7 是 b3 和 b7 的等比中项 ,

?bn ? 的通项公式

第四讲
求数列通项公式的常见方法: 1. 观察法: 例 1.(1)已知数列 3

数列通项公式的求法(1)

4. 例 4. 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1 ,且 an ?

n ?1 an ?1 (n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式 n

1 1 1 1 ,5 , 7 ,9 , 4 8 16 32

试写出其一个通项公式 个点 课后作业 1. 已知数列 2. 已知数列

(2)根据 5 个图形及相应点个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有

?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且 an ? an?1 ? 3(n ? 2) ,则 an = ?an ? 的首项 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?2 ? 2an?1 ? an ,则 an =
? 3n ?1 an ? n ,则 an = 3

其前 n 项和 Sn 为

2. 公式法: 例 2.(1)等差数列 变式:数列

3. 数列

?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ?

?an ? 中, a3 ? 2, a5 ? ?2 , an =
4.设

?an ? 的首项 a1 ? 1,且 2an ? an?1 ? 0(n ? 2) ,则 an =

?an ? 是等差数列,?bn ? 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 ,a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 ,求 ?an ? 、

?bn ? 的通项公式
(2)数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ? ?2n2 ? 3n ?1,则 an =
5. 已知数列

?an ? 中, a1 ? 3, an ? an?1 ? 2 ? 3n (n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式

变式:数列

?an ? 中, a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

nan ? n2 ,则 an =

(3)数列

?an ?

中, a1

? 1 , a1a2a3

an ? n

2

,则 an =

6. 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ?

n?2 an ,求数列 ?an ? 的通项公式 n

3. 例 3. 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1, an ? an?1 ? 2n ?1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式

7. 设 Sn 为数列

?an ? 的前 n 项的和,且 Sn ? 2 (an ? 1) ,求数列 ?an ? 的通项公式

3

第四讲
5. 转化法:

数列通项公式的求法(2)

变式:已知数列

?an ? 中, a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2n (n ? N * ) ,求数列 ?an ? 的通项公式

(1) 例 5. 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1,且 an ? 2an?1 ?1 (n ? 2) ,
?an?1 ? an ? 是等比数列;
1. 已知数列

课后作业

(1)求证:数列 (2)求数列

?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? 2n

1

1

(n ? N * ) ,求数列 ?an ? 的通项公式

?an ? 的通项公式
2. 若数列 {an } 满足: a1

? 1, an?1 ? 2n ? an (n ? N ? ) ,求数列 ?an ? 的通项公式

(2)

3. 已知数列

?an ? 中, a1 ? 2, an ? 3an?1 ? 2 (n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式

例 6. 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1,且 an?1 ?

an (n ? N * ) ,求数列 ?an ? 的通项公式 1 ? 2an
4. 已知数列

?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2 an ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式

1

(3) 例 6. 已知数列

?an ? 中, a1 ? 2 ,且 an ? an2?1 (n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式

5. 已知数列 {an } 中, a1

? 1 , an ?

an?1 (n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式 1 ? 3an?1

6. 已知数列 (4) 例 7. 已知数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2 an ? 1 (n ? N * )
(2)在数列 ?bn ? 中, b1 ? 5, bn?1 ? bn ? an ,求数列 ?bn ? 的通项公式 ?an ? 的通项公式;

3

?an ? 中, a1 ? 1,且 an?1 ? 2an ? 2n (n ? N * ) ,求数列 ?an ? 的通项公式

(1)求数列

第五讲

数列求和

3. 例 3.求数列 2 , 4 , 6 ,? ? ?, 2n ,? 的前 ? ? n 项和 2 3 n

教学目标:掌握常见的数列求和方法,并能应用这些方法解决一些简单的求和问题. 教学重、难点:从通项公式入手,选择恰当的数列求和方法 考点分析及学法指导: 数列求和主要分为等差、等比数列求和及一些特殊的非等差、等比数列求和.它往往是数 列知识的综合体现,求和题在试题中更为常见,它常用来考查分析问题和解决问题的能力.要 注意一些常用方法的使用。 一、特殊数列求和

2 2

2

2

(1)等差数列前 n 项和: (2)等比数列前 n 项和: (3) 1 ? 2 ? 3 ?
2 2 2

本课小结:

课堂练习
1. 已知数列 ?an ? 是公差不为 0 的等差数列, a1 ? 2 且 a1 , a3 , a7 成等比数列,求数列 ?an ? 的前 n 项 和 Sn

? n2 ? ? n3 ?

(4) 1 ? 2 ? 3 ?
3 3 3

二、一般数列求和 1.
2 例 1. 求S n ? ? a ? 1? ? a ? 2 ?

?

?

? ? an ? n?

2. 已知数列 ?an ? 中, an ?

1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn n(n ? 2)

2. 例 2. 求 Sn ?

3. 求 S n ? 1 ? 4

1 2

1 1 ?7 ? 4 8

? [(3n ? 2) ?

1 ] 2n

1 1 1 ? ? ? 2 ? 3 3? 4 4 ? 5

?

1 (n ? 1)( n ? 2)

4. Sn ? 1 ? 2x ? 3x ? ..... ? nx
2

n?1

( x ? 0) =



课后作业
1. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ? 1(n ? N * ) , (1)证明:数列 ?an ? n? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 1.已知等差数列 A. a1 + a101 >0 2.数列 1,

课后巩固

?an ?

满足 a1 + a2 + a3 +?+ a101 =0,则有( ) C. a3 + a99 =0 D. a51 ? 51

B. a2 + a100 <0

2. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ?

n an , n?2

1 1 1 , ,?, 的前 n 项和为( ) 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n 2n 2n n?2 n A. B. C. D. 2n ? 1 n ?1 n ?1 n ?1 n 3.若数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? n ,则前 n 项和为( ) 2 1 1 n A. S n ? 1 ? n B. S n ? 2 ? n ?1 ? n 2 2 2
C. S n ? n?1 ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn

? ?

1 ? ? 2n ?

D. S n ? 2 ?

1 2
n ?1

?

n 2n

4. 数列 1 ? 1 ,

1 1 1 ? 4 , 2 ? 7 ,?, n ?1 ? 3n ? 2 ,?,前 n 项和 S n = a a a
a1 ? a2 ? ? ? an , 则数列 {| bn |} 的 n
D、304

5. 已知数列 {an } 满足 an ? 31 ? 6n , 数列 {bn } 满足 bn ? 前 20 项之和为( A、187 3. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 3 (n ? 2) , (1)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (2)若 bn ? (3n ? 1)(an ? 3) ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 6.
2

) B、164

C、257

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 的值为 2 ?1 3 ?1 4 ?1 (n ? 1) 2 ? 1

7. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件
a

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ? an p n ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

S 2 n 4n ? 2 (n? N *) ? Sn n ?1

自我检测
(2)数列的通项式: 若数列 {an } 的第 n 项与 n 的函数关系式能用一个公式来表示,则该公 式就叫数列 {an } 的通项公式;通项是项的一般形式,项是通项的具体特例,项得符合通 项公式; (3)数列的递推式是指: 数列的前一项或几项与后一项或后几项的关系式; (4)数列的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?

(5)3,5,3,5,3,5,?. 解 : (1)解法 1 联系数列 2,4,8,16,32,?,(想到这一点是关键) (2)这个数列的各项由三部分组成:符号、分子、分母,所以应逐个考查其规律,先看符号, 第一项有点违反规律,需改写为 ?

?1 n ,从而联系数列 ?? 1? ,再看分母,考虑数列 2 n ;最 2

?

?

? ?

后看分子,显然每个分子比分母都小 3; (3)注意到分母分别是 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,?为两个连续奇数的积 (4)原数列可转化成 ?1 ?

? an ? ? ai ;
i ?1

n

? ?

1? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? , ?1 ? 2 ? , ?1 ? 3 ? , ?1 ? 4 ? ,? 10 ? ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ?

2、数列与函数关系是: 数列的项与项数的关系,就是一种特殊的函数关系,特殊在其定义域 为正整数集或正整数的子集;故研究数列的变化规律常常借助函数的性质。 3、确定数列可通过 通项、递推式,前 n 项和 等; 4、数列单调性通过 (1)比较 an ?1 与 an 的大小; (2)借助与其相关的函数单调性或图象,来探 讨。 5、下面这些基本数列的通项公式应掌握: (1)等差数列、等比数列的通项公式,特别如数列 ?n?, ?2n ? 1?, ?2n?, 2 n 等; (2)数列-1,1,-1,1,?的通项公式是 an ? (?1) n ,此数列具有转换符号的作用; (3)数列 1,4,9,16,?的通项公式是 an ? n (4)数列 1,
2

(5) an ? ?

?3 n为奇数 ?5 n为偶数

,还可表示为 an ? 4 ? (?1) n

点评 由(5)看出,有些数列,只给出它的前几项,那么仅由前几项归纳出的通项公式并不 一定唯一. 练习: (1) .对于数列 ?an ? ,有以下五个结论:

? ?

①它是一个集合; ②它不能有相等的项; ③它的图象是一列孤立的点; ④它有唯一的通项公式; ⑤当 n =1 时 an ? S n , 当 n ≥2 时,an ? S n ? S n?1 其中正确的结论的序号是 (2) . . 项. ,

1 1 1 1 , , ,?的通项公式是 a n ? 2 3 4 n

以上 n∈N .

*

2 ,2, 6 ,?的一个通项公式是,从而 6 2 是它的第

题型 1:根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 解决本类问题关键是观察归纳各项与对应的项数之间的联系.同时。要善于利用我们熟知 的一些基本数列,建立合理的联想,转化而达到问题的解决. 例 1、根据下面各数列的前几项,写出数列的一个通项公式: (1)3,5,9,17,33,?;

(3) .已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (?1) n (n ? 3) ,则这个数列的前 5 项是 -24 是这个数列的第 ( 4) .已知 a1 ? 1 , a n ? 1 ? 项.

1 (n≥2),则 a5 ? an?1

.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,对所有

1 1 5 13 29 61 , ,? , ,? , ,? 2 4 8 16 32 64 2 4 6 8 10 (3) , , , , ,? 3 15 35 63 99
(2) (4)0.9,0.99,0.999,0.9 999,?;

n ≥2,都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ?

.

(5) .在数列 ?an ? 中, an ? n ? 3 , n ≤7,试用图象表示出这个数列.

①求 an ;

②求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ;

数列的概念(第二课时)
教学目的: 知识与技能:理解数列的概念,能用函数的观点认识数列; 过程与方法:了解数列的通项公式和递推公式的意义,会根据数列的通项公式写出数列的任意 一项; 情感态度与价值观:知道递推公式是给出数列的一种重要方法,会根据数列的递推公式写出数 列的前几项. 教学重点:数列的概念及数列的通项公式。 教学难点:根据数列的前几项写出数列的一个通项公式和根据递推关系求通项公式。 教学过程: 题型 2:知数列的递推关系求数列的通项. 常用方法手段: (1)累加(乘) (2)构造桥梁数列(掌握好常见的构造技巧) (3)列项观察-归纳-猜想-证明。 例 2: (1)已知数列 {an } 满足下列关系: a1 ? 1, an ?1 ? an ?

(4)设数列 {an } 的前 n 项和 S n ?

4 1 2 an ? ? 2n ?1 ? , n ? N * .求首项 a1 与通项 an ; 3 3 3

1 ,求 an n(n ? 1)

(2) a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3. 求 an (并发现一般规律)

2 2 、 2,3.....) 则它的通项 (5)设 {an } 是首项为 1 的正项列,且 (n ? 1)a n ?1 ? nan ? a n?1 a n ? 0 ( n ? 1

an ?

; (提示:分解因式)

(6)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?

an ?1 (n ? 2, n ? N * ) ,则 an = 1 ? 3an ?1



(3)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N .
*

(7)在数列 {an } 中, a1 =1, a2 ? 3, 且 an?1 ? 4an ? 3an?1 ,则 an =

; (6)甲、乙两个容器中分别盛有浓度为 10%, 20% 的某种溶液 500 升,同时从甲乙两个容器中 取出 100 升溶液,分别倒入对方容器搅匀,这称为是一次调和,记 a1 ? 10%, b1 ? 20% , 经过( n ? 1 )次调和后,甲、乙两个容器的溶液浓度分别为 an , bn .

(思考)用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖的一半多一块,第二层用去了剩下一半多一 块,依此类推 , 每一层都用上次剩下的一半多一块 , 如果第十层恰好把砖用完 , 那么一共用了 块砖。

(1)试用 an?1 , bn?1 表示 an , bn ; (2)证明 {an ? bn } 为等比数列; (3)求 an .

练习 2: (1) 数列 {an } 满足:an ? an?1 ? 3n?1 (n ? 2)

a1 ? 2 数列 {an } 的通项 a n =



(2)若数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2 n ? an (n ? N ? ) ,则通项公式 an ?

(3)数列{ a n }中, a1 ? 1 , a n ?

1 a n?1 ? 1 ( n ? 2) ,则 a n = 2



小结:

a1 ? 1, an?1 ? an ? an ? (4) 若数列 {an } 满足:

1 , 则 a99 ? 4 1 n



作业布置: 必做: 选做: 探究:

(5) (江西卷 5)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A ) A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

板书:

数列的概念(第三课时)
教学目的: 知识与技能:理解数列的概念,能用函数的观点认识数列; 过程与方法:了解数列的通项公式和递推公式的意义,会根据数列的通项公式写出数列的任意 一项; 情感态度与价值观:知道递推公式是给出数列的一种重要方法,会根据数列的递推公式写出数 列的前几项. 教学重点:数列的概念及数列的通项公式。 教学难点:根据数列的前几项写出数列的一个通项公式和根据递推关系求通项公式。 教学过程: 题型 3:由 an 与 S n 的关系解题. 常用的手段: an ? ?

教学后记:

?S1 n ? 1 ,一定注意 a1 的单独讨论。 ?Sn ? Sn?1 n ? 2

例 3: (1)已知下面各数列的前 n 项和 S n 的公式,分别求其通项 ① S n ? 2n 2 ? 3n ② S n ? 3n ? 2

分析 先确定首项,再确定 n≥2 时的情况.

点评 已知 S n ,求 an 一般要分 n =1 和 n ≥2 考虑,两种情况若能统一,则应统一.另外,

?an ?和 ?an ?的前 n 项和 S n 与 rn 的关系也要认真分析其联系.
2 (2)数列 {an } 中 a1 ? 1 ,对于所有的 n ? 2 ,n ? N 都有 a1 ? a2 ? a3 ?? an = n 则 a3 ? a5 等

于 .

(Ⅱ)由①知 Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N ,
*






?1


?

n≥ 2
?


n



an ?
(3)已知数列 {an } 中, a1 ? 1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ?

?

?1

Sn ?3 ? n ? a?

Sn ( ?

? na ? 3 ?1

?2 , ? 2 ?n3 )n?1 ? (a ? 3)2n2

3

? (n ? 1)an?1 ,则 an ?



an?1 ? an ? 4 ? 3

n?1

? (a ? 3)2
n?2

n?2

?2

n?2

? ? 3 ?n?2 ? ?12 ? ? ? a ? 3? , ? ?2? ? ? ?

(4)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1, an?1 ? ①证明 {

n?2 Sn (n ? N * ) n

?3? 当 n ≥ 2 时, an?1 ≥ an ? 12 ? ? ?2?
又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .

? a ? 3≥ 0 ? a ≥ ?9 .

Sn } 是等比数列; n

②求数列通项.

综上,所求的 a 的取值范围是 ??9, ? ?? . 。 练习 3: (1)已知数列{ an }的前 n 项和 S n ?

2n ? 1 ,则 a16 ? a17 ? a18 = 2



(2)数列{ an }满足 a1 ?

1 , a1 ? a2 ? ...... ? an ? n2 an 则 an = 2



(5) (全国二 20 ) . (本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a ,

(3)在正项数列 {a n } 中,已知 an ? 2 Sn ? 1,则 an ?



an?1 ? Sn ? 3n , n ? N* .
(Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的
*

取值范围. 解: (Ⅰ)依题意, Sn?1 ? Sn ? an?1 ? Sn ? 3 ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 3 ,
n n

由此得 Sn?1 ? 3

n?1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 2(Sn ? 3n ) . ·
n n?1

因此,所求通项公式为 bn ? Sn ? 3 ? (a ? 3)2

, n ? N .① · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
*

例 4、已知数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1 ? 1 , S n ?

1? 1 ? an ? ? 2? an

? ? ? ,求 an . ?

分析 由 an 与 S n 的关系式把已知等式转化为 S n 的递推关系式.

点评:利用 an 与 S n 的关系求通项是本节重点,也是高考中的热点,应牢固掌握,熟练运 用. 小结:

知识与技能:理解数列的概念,能用函数的观点认识数列; 过程与方法:了解数列的通项公式和递推公式的意义,会根据数列的通项公式写出数列的任意 一项; 情感态度与价值观:知道递推公式是给出数列的一种重要方法,会根据数列的递推公式写出数 列的前几项. 教学重点:数列的概念及数列的通项公式。 教学难点:根据数列的前几项写出数列的一个通项公式和根据递推关系求通项公式。 教学过程: 题型 4:数列的增、减性及最值问题. 单调性:用 an ?1 与 an 的大小来确定;也可借助函数性质、图像,但又要注意与常见函数的区 别。 例 5: (1)已知数列 {an } 的通项公式

9 an ? ( ) n (n ? 1) 10
②求 {an } 的最大值。

作业布置: 必做: 选做: 探究: 板书:

①讨论 an 与 an ?1 的大小;

(2)设数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 ? kn, 且为递增数列,则实数 k 的取值范围 是 ;

教学后记:

(3)设数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 ? kn, 且为递增数列,则实数 k 的取值范围

数列的概念(第四课时)
教学目的:





(4) (全国一 22) .设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) .

(Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 是增函数; (Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; 解析: (Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x , f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0 故函数 f ? x ? 在区间(0,1)上是增函数; (Ⅱ) 证明: (用数学归纳法) (i) 当 n=1 时, a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1 0 ? a1 ? 1, a1 ln a1 ? 0 , 由函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 是增函数,且函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x) 在区间 (0, 1] 是增函 数, a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立; (ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1

( 2 ) 设 f ( x) ? log2 x ? logx 4 (0<x<1) , 数 列 ?an ? 的 通 项 an 满 足 f (2 n ) ? 2n ,
a

( n ∈N ),问: ?an ? 有没有最小的项?若有请求出,若没有请说明理由.
*

分析 数列的实质是一种特殊的函数,故可以研究数列的单调性,并可以利用数列的单调 性求其通项的最值.

1] 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x ) 在区间 (0,

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) ,

ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ) 、 (ⅱ)可得对任意的正整数 n , an ? an?1 ? 1 恒成立.

小结:

作业布置: 必做: ;最小项 选做: 探究: 板书:

( 5 )数列 {an } 中, an ? 为 ;

n?4 6 n ? 98

( n ? N )则此数列的最大项为
*

练习 4: (1) 已知数列 {an } 中 an ? sin(

?
6

n) , 则数列 {an } 的前 2008 项和为



教学难点:函数与方程的思想及等价转化的思想。 考点分析及学法指导:高考中本部分是出题热点之一,不仅在选择填空题中,而且在解答 教学后记: 题中也经常涉及.主要考点是:(1)证明一个数列是等差数列;(2)量 a1 , an , n , d , S n 的 互求, “知三求二” ;(3)等差数列性质的应用;(4)等差数列的综合题;(5)等差数列的应用题等. 教学过程: 一、知识点复习: 1、相关知识:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个 数列叫做等差数列,一般形式为 ?an ? : a1 , a1 ? d , a1 ? 2d ,?或 an ? an?1 ? d 。 当 d >0 时, ?an ? 为递减数列; 当 d <0 时, ?an ? 为递增数列; 当 d =0 时, ?an ? 为常数列。 2、通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ,或 an ? am ? (n ? m)d 3、前 n 项和公式: S n ? 4、主要性质: (1) 等差中项:若 a ,A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 和 b 的等差中项, A ? (2) 若公差 d ≠0,则 am ? an ? a p ? aq ? m ? n ? p ? q ;特别地 当 m ? n ? 2 p 时,有 am ? an ? 2a p (3) 等差数列中连续几项之和构成的新数列仍然是等差数列。即若 m ? N , S m ,
?

(m, n ? N ? )

n(a1 ? a 2 ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2
a?b ; 2

第二讲:等差数列与等比数列
《第一课时》 教学目的: 知识与技能:理解等差数列的概念, 过程与方法:掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式, 情感态度与价值观:并能运用公式解决简单的实际问题. 教学重点:等差数列的通项公式和前 n 项和公式,运用公式解决相关问题。

S 2 m ? S m , S3m ? S 2m ,?依然成等差数列。
(4) 在等差数列中,每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列,构成的新数列仍然是 等差数列. (5) 若数列 ?an ? 与 ? bn ? 均为等差数列,则 ?man ? kbn ? 仍为等差数列,其中 m ,k 均为 常数.

(6) 等差数列 ?an ? 通项公式, an ? a1 ? (n ? 1)d ? nd ? ?a1 ? d ? ,即 an 可表示为:

A.60

B.85

C.

145 2

D.75

an ? kn ? b 其中 k 为等差数列的公差,它可以是任意实数.
(7) 等差数列的前 n 项和 S n ? na1 ?
2

n d d? ? (n ? 1)d ? n 2 ? ? a1 ? ?n ,则 S n 表示为: 2 2 2? ?

S n ? an ? bn,其中 a , b 也可以是任意实数,常数项为 0 是一大特点.
/ (8) 若 ?an ? 与 ?bn ? 均为等差数列,且前 n 项和分别为 S n 与 S n ,则

5.在等差数列 ?an ? 中,已知 a15 ? 10 , a45 ? 90 ,则 a 60 =

·

a m S 2 m?1 ? / ; bm S 2 m ?1

(9) 项数为偶数 2 n 的等差数列 ?an ? , 有 S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? ? ? n(an ? an?1 ) ( an 与

6.在等差数列 ?an ? 中,已知: a6 =10, S 5 ,求 a8 及 S8 .

a n?1 为中间的两项); S偶 ? S奇 ? nd ;

S奇 S偶

?

an ; an?1

(10) 项数为奇数 (2 n - 1) 的等差数列 ?an ? ,有 S 2n?1 ? (2n ? 1)an , ( an 为中间项) ;

(二)题型分析: 题型 1:判断或证明一个数列为等差数列. 判断或证明数列是等差数列的方法有: (1)定义法: an?1 ? an ? d (常数)(

S 偶 ? S 奇 ? an ;
数项的和. ) 二、例题分析: (一)基础知识扫描

S奇 S偶

?

n 。 ( S 奇 、 S 偶 分别为数列中所有奇数项的和与所有偶 n ?1

n ∈N ) ? ?an ? 是等差数列;
* *

(2)中项公式法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ∈N ) ? ?an ? 是等差数列; (3)通项公式法: an ? kn ? b ( k , b 是常数)(

n ∈N ) ? ?an ? 是等差数列;
*

(4)前 n 项和公式法: S n ? An2 ? Bn (A、B 是常数)( ,可推广为 an ? am ? = ,其中 n , m ∈N
*

n ∈N ) ? ?an ? 是等差数列.
*

1.等差数列 ?an ? 的通项公式为 an = 差数列前 n 项和公式为 S n =

;等

例 1、 数列 ?an ? 是等差数列, 数列 ?bn ? 中,bn ? kan ? b ( k ,b 是常数), 求证: 数列 ?bn ? 是等差数列.

2. a ,A, b 成等差数列,A 叫做 a 与 b 的 ; a ,A, b 成等差数列的充要条 件是 . 3.一个等差数列的第 5 项为 10,前 3 项和为 3,那么( ) A. a1 =-2, d =3 B. a1 =2, d =-3 C. a1 =-3, d =2 D. a1 =3, d =-2 例 2、 设 ?an ? 为等差数列, 求证: 以 bn ?

4.等差数列 ?an ? 的公差为

1 , S100 =145,则 a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a99 的值为( ) 2

a1 ? a 2 ? ? ? a n * ( n ∈N )为通项公式的数列 ? bn ? n

是等差数列. 分析 只需根据等差数列的定义,证明 bn ? bn?1 ( n ≥2)等于常数;或者根据数列是等差

题型 3:等差数列的性质及有关结论应用. 例 4、已知 ?an ? 是等差数列. (1)前四项和为 21,末四项和为 67,且各项和为 286,求项数; (2) S n ? 20 , S 2 n ? 38,求 S 3n (3)若两个等差数列的前 n 项的和之比是(7n+1)∶(4n+27),求它们的第 11 项之比. 分析(1)由 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?得 a1 ? an ? 22 ,进而求 n. (2)由 S n , S 2n ? S n , S 3n ? S 2 n 成等差数列可求解。

数列的充要条件,求出 bn 的解析式是 n 的一次函数即可.

点评 本题求解过程中用到了等差数列的判断方法和前 n 项和公式,及观察问题的能力, 同学们不妨再探索一下此题的逆命题是否成立?回答是肯定的. 题型 2:等差数列的基本计算. 等差数列 ?an ? 的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ,前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 中, 有五个量 a1 、an , n , a , S n 通过解方程(组)知三 2 2

可求二, a1 和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知,是常用的方法.方程(组) 的数学思想方法在数列部分应用很广泛,注意运用. 例 3、等差数列的前 n 项的和为 S n ,若 S12 ? 84 , S 20 ? 460,求 S 28 分析: ①由已知列出关于 a1 和 d 的方程组,求出 a1 和 d ,即可求出 S 28 . ②也可由等差数列(非特殊的常数列)的特点,由 S n ? an2 ? bn,求得 a , b 进而 求 S 28 点评 运用等差中项 a n ?

a1 ? a 2 n ?1 ,得 S 2n?1 ? (2n ? 1)an ,将 an 与 S 2 n?1 即“项”与 2

“和”联系起来,可以实现它们之间的转换.

题型 4:等差数列中的最大(小)项 例 5 首项为正数的等差数列 ?an ? ,它的前三项之和与前十一项之和相等,问此数列前多少 项之和最大. 解:

点评 解法 3 利用等差数列的性质,解法简单易行. 等差数列前 n 项和 S n ,在 d <0 时,有最大值,求当 n 为何值时,使 S n 的最大值,有两种 方法,一是满足 an ≥0 且 a n ?1 <0 来确定项数;二是 S n ? 质,求项数. 小结:

等比数列
d 2 ? d? n ? ? a1 ? ?n ,利用二次函数性 2 2? ?
《第二课时》 教学目的: 知识与技能:理解等比数列的概念, 过程与方法:掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式, 情感态度与价值观:并能运用公式解决简单的问题. 教学重点:等比数列的通项公式及前 n 项和公式的的运用。 教学难点:函数与方程思想及等价转化的思想;错位减法的运用。 考点分析及学法指导: 等差与等比数列的考察题型即有选择题、填空题,又有解答题;难度即有容易题、中等题, 也有难题。这与每年试卷的结构布局有关。客观是突出“小而巧” ,主观是为“大而全” ,着重 考察函数与方程、等价转换、分类讨论等重要的数学思想,以及配方法、换元法、待定系数法 等基本数学方法,加强与函数、方程、不等式等支撑数学笠体系的重点内容的结合,在知识网 络交汇点设计命题。 数列的应用题,考察的侧重点是现实客观事的确良数学化。旨在通过阅读,理解命题的背 景材料,运用数学的思想和方法分析题目中多种数量之间的关系,构造数列模型,将现实问题 转化为数学问题解决。 教学过程: 一、知识讲解: 1. an ? am q n?m 2.若 m ? n ? p ? q , m 、 n 、 p 、 q ∈N ,则 am an ? a p aq 特别地,当 m ? n ? 2 p 时,
*

作业布置: 必做: 选做: 探究: 板书:

am an ? a 2 p
教学后记: 3.S n ?

a1 (1 ? q n ) a a 则 Sn ? k ? k ? q n , 其中 q 为公比,q ≠0, ? 1 ? 1 ? q n (q≠1), 1? q 1? q 1? q

q ≠1, k ?

a1 。 1? q

4.若首项 a1 >0,公比 q >1,或首项 a1 <0,公比 0< q <1,则数列为递增数列;若首项

a1 >0,公比 0< q <1,或首项 a1 <0,公比 q >1,则数列为递减数列;公比 q =1,数列为常
数列;公比 q <0,数列为摆动数列.公比 q 不等于零是一大特点.

5.在等比数列中,下标成等差数列的项构成等比数列; 6.连续相同个数项的积也构成等比数列;
2 7.在等比数列中 an ,?

? ?

?1? ? 也成等比数列; ? an ?

A.5 B.10 C.15 (二)题型分析: 题型 1:判断或证明一个数列是否等比数列. 1.定义法:若

D.20

8.若 ?an ? 为等比数列,则 lg an 成等差数列. 二、例题分析 (一)基础知识扫描 1.等比数列 ?an ? 的通项公式为 an = 比数列前 n 项和公式为 S n = ,可推广为 an = a m ? ,其中 n , m ∈N . .
*

?

?

a n ?1 * ? q ( n ∈N ) ? 数列 ?an ? 为等比数列; an
*

2 2.等比中项法:若 an an ? 为等比数列; ?1 ? an ? an? 2 (n∈N ) ? 数列 ?

3.通项法:若 an ? k ? q n ( k , q 为非零常数, n ∈N ) ? 数列 ?an ? 为等比数列;
*

;等

4.前 n 项和法:若 S n ? k ? kq n ( k 为非零常数, n ∈N ) ? 数列 ?an ? 为等比数列.
*

证明数列为等比数列用前两种方法. 例 1、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2an ? 1,求证 ?an ? 是等比数列,并求出通项公式. 分析 由已知求得 an ,然后据定义证明.

2.若等比数列 ?an ? 中, a1 ? a 2 ? 30 , a3 ? a4 ? 60 ,则 a7 ? a8 = 3. b ? ac 是三个数 a , b , c 成等比数列的(
2

)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未知 此信息的另外两人,如此继续下去,要传遍 100 万人口的城市,所需的时间大约为( ) A.三个月 B.一个月 C.10 天 D.20 天 5.给出下面五个命题: ①若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? k ? l ,则 am ? an ? ak ? al ②若 ?an ? 是等比数列,其前 n 项和为 S n ,则 ?S 2n ? S n ? ? S n ? ?S3n ? S 2n ?
2

点评:本题证明,关键是用等比数列的定义,其中说明 an ≠0 是必要的. 例 2、(1)已知数列 ?cn ? ,其中 cn ? 2 n ? 3n ,且数列 ?cn?1 ? pcn ? 为等比数列,求常数 p ; (2)设 ?an ? 、?bn ? 是公比不相等的两个等比数列,cn ? an ? bn ,证明数列 ?cn ? 不是等比 数列. 分析 (1)利用数列 ?cn?1 ? pcn ? 任意相邻三项成等比数列,即:第 n -1, n , n +1 项成 等比,可求常数 p ; (2)只需证明前三项不成等比数列即可.

③ ?an ? 是等比数列的一个充要条件是 S n ? a ? b n ? 1 ,常数 a ≠0, b ≠1; ④若 ?nk ? 成等差数列,则 a

?

?

? ?成等比数列,其中 a >0, a ≠1;
nk

⑤若 ?an ? 成等差数列,则 ?lg an ?成等比数列。 其中不正确的命题的序号是 . 6.已知数列 ?an ? 是等比数列,且 an >0, a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的值 等于( )

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 rn ? lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg an ,求 rn 的最大值及此时 n 的值. 点评 本题主要考察等比数列的概念和基本性质,推理运算能力.(2)只要证明前几项不成
2 等比即可;①需证明任何相邻三项成等比.若只根据前三项 c1 ,c2 ,c3 成等比,由 c2 ? c1c2 求

得p, 显然是论证不严谨, 本题若只考虑 现了思维的多向性,灵活性. 题型 2:等比数列的性质及应用. 例3

a n ?1 或不等于常数, 定势思维则很难求证. 体 ? q 常数, an

?an ?为等比数列,求下列各值.

题型 3:最值问题. 例5

1 (1)已知 a3 ? a6 ? 36, a4 ? a7 ? 18 , a n ? ,求 n ; 2

?an ?为首项是正数的等比数列,前 n 项和 S n =80,前 2 n 项和 S 2n ? 6560,在前 n 项

中数值最大者为 54,求通项 an 分析:若求 an ,必先去求 a1 和公比 q ,这样就需列出关于 a1 和 q 的两个方程.题目中所给 的条件中,“前 n 项中数值最大者为 54”如何利用?这就要考虑 an 这个数列究竟是递增数列、 递减数列,还是常数列或摆动数列.

(2)已知 a2 a8 ? 36 , a3 ? a7 ? 15,求公比 q ;

(3)已知 S 3 ? S 6 ? 2S 9 ,求公比 q .

分析:本题考查等比数列的基本公式. 点评:第 3 小题为 1996 年的市考题,当年高考,本题满分为 12 分,而平均得分仅 6 分至 7 分,除了计算失误外,其原因之一是很多同学没有讨论 q =1 时的情况,因此被扣去 2 分. q =1 时,公式 S n ?

a1 (1 ? q n ) 不适用; q =1 时, S n ? na1 .请同学们特别注意. 1? q
*

例 4 、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33, a3 a4 ? 32 .且 a n ?1 < an ( n ∈N ),

必做: 点评 (1)本例题关键在于确定数列的单调性,易错的地方是判定数列的单调性,能否准确 地找出哪一项的数值最大,另外在具体的运算过程也易出现错误.应注意的地方是等比数列单 调性的判定,另外还有运算的灵活性等. (2)各项均为正数的等比数列,当公比大于 1 时。最大项在末位;当公比在 0 与 1 之间时, 则最大项为首项
* ? 10 ? 例 6 已知数列 ?an ? 的通项 a n ? (n ? 1)? ? ,n ∈ N .试问该数列 ?an ? 有没有最大项? ? 11 ?

选做: 探究: 板书:

n

若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.

? 10 ? 分析 因 an 是 n 的函数,难点在 an 是一个一次函数( n +1)与一个指数函数 ? ? 的积.所 ? 11 ?
以从一次函数或指数函数增减性看。一增一减积不确定.但 n ∈N ,不妨试从比较 an 与 a n ?1 的 大小入手. 教学后记:
*

n

等差与等比数列综合
教学目的: 知识与技能:运用等差数列和等比数学的知识解决一些综合问题 过程与方法:能综合运用等差数列、等比数列的概念.通项公式、前 n 项和公 式和性质解决一些问题. 情感态度与价值观:增强学生的运用意识 教学重点:等差数列和等比数列的综合运用。 教学难点:等差数列和等比数列的综合运用

一、基础解读:
(一)概念: 1、等差数列是指:一个数列从第二项起,每一项与前一项的差为常数的数列;等比数列是 指:一个数列从第二项起,每一项与前一项的比为常数的数列. (二)判断手段: 1、等差数列判断的方法与手段: (注:证明只能用定义)
* ; ? 2an?1 ? a n ? a n ? 2 ( n ∈ N ) ?an ? 为等差数列 ? an?1 - an = d ( d 为常数)

点评 由通项公式研究数列是常用办法,此时要注意数列是一类特殊的函数,要重视函数 思想方法的运用和函数性质的应用. 小结:

作业布置:

; ? an ? kn ? b ( k, b 为常数) ? Sn ? an2 ? bn ( a , b 为常数)

2、等比数列判断的方法与手段: (注:证明只能用定义)

?an ?为等比数列 ?

a n?1 2 ? q(q ? 0) ( q 常数) ? an?1 ? an an?2 n ? N ? an

?

?

④若 a1 > 0 , d < 0 , S n 有最大值,这时可由不等式组 ?

?a n ? 0 来确定 n ;若 a1 < 0 , ? a n ?1 ? 0

q ?1 ? na1 , ? n?k ? m ? mq n 。 ? an ? pq ? p,q, k ? Z为常数? ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? 1? q ?
(三)性质:

?a n ? 0 d > 0 ,S n 有最小值,可由不等式 来确定 n ;或用二次函数的方法来 组? ? a n ?1 ? 0
求最值. 2、等比数列的性质: (1)等比数列 {an } 与通项有关的性质:( an ? a1qn?1 ;) ①若 m ? n ? p ? q, m, n, p, q ? N ? , 则 am an ? a p aq ;当 m ? n ? 2 p 时, am an ? a p ;
2

1、等差的性质:
(1)等差数列 {an } 与通项有关的性质:( an ? a1 ? (n ? 1)d ) ① an ? am ? n ? m d ; ②若 m ? n ? p ? q ,其中 m、n、p、q ∈ N ,则一定有 am ? an ? a p ? aq , (反之也 成立) ③若 d 为 ?an ? 的公差,则其子数列 ak、ak ?m、ak ?2m、 ??( m ∈ Z )也成 等差 数列, 且公差为 md ; (2)等差数列 {an } 与前 n 项和有关的性质:( Sn ?
*

②若 m, n ? N ,则 数列;

am ? q m? n ; an

③若公比为 q ,则 {an k }(其中 k ? z )是等比

④若 q 为 ?an ? 的公比,则其子数列 ak、ak ?m、ak ?2m、 ??( m ∈ Z )也成等比数列,且公 比为 q ; (2)等比数列 {an } 与前 n 项和有关的性质: ① S n,S 2n ? S n,S 3n ? S 2n, ??( n ∈ N )也成等比数列,其公比为 q ;
*

m

n n(n ? 1) ( a1 ? an ) ;= na1 ? d ;) 2 2
2

n

① S n,S 2n ? S n,S 3n ? S 2n, ??( n ∈ N )也成 等差 数列,公差为 n d ; ② 在 等 差 数 列

二、与通项有关性质的应用:
中 , 例题:1、等差数列 ?an ? 是递减数列,且 a2 a3 a4 ? 48, a2 ? a3 ? a4 ? 12, 则数列 ?an ? 的通项 公式为: A、 an ? 2n ? 2 B、 an ? 2n ? 4 C、an ? ?2n ? 12 D、 an ? ?2n ? 10

{an }



n?

2k ? 1



S2 k ?1 ?

(2k ? 1)(a1 ? a2 k ?1 ) ? (2k ? 1) ? ak (k ? N * ) ; 2

S 奇- S 偶 = a1 ? (k ?1)d ? ak (中间项) ,

S奇 S偶

k ; ? k ?1

例题 2、数列 {an } 中,若 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,...an ? an?1 是首项为 1,公比为

1 的等比数列,则 3

③在等差数列 {an } 前 n ? 2 k 项中, S2k ? k (a1 ? a2k ) ? k (ak ? ak ?1 ) ; S偶 ? S奇 ? kd ;

an =


n 2 2 2

例题 3、 数列 {an } 中, 已知 a1 ? a2 ? .......an ? 2 ?1, 则 a1 ? a2 ? ...... ? an ?



例题 4、设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?
4 7 10

?2

3n?10

(n ? N ) ,则 f (n) 等于
2 B、 (8n ?1 ? 1) 7 2 D、 (8n ? 4 ? 1) 7

2、等差数列 ?an ? 中,

a15 =33, a 45 =153,则 213 是这个数列的第

项.

2 A、 (8n ? 1) 7 2 n ?3 C、 (8 ? 1) 7

3、 {an } 是递增的等差数列,前三项和为 12,前三项积为 48,则它的首项为

.

例题 5、设 { a n } 为公差为 2 的等差数列,如果 a1 ? a4 ? ? ? a97 ? 50 ,那么 a3 ? a6 ? ?

? a99 ?



4、?an ? 是等差数列, 且 a1 ? a4 ? a7 ? 45 ,a2 ? a5 ? a8 ? 39, 则 a3 ? a6 ? a9 的值是 (



例题 6、已知数列 a, x1 , x2 , b 和 a, y1 , y2 , y3 , b 分别成等差数列( a ? b ) ,则 例题 7、已知方程 ( x2 ? 2x ? m)( x2 ? 2x ? n) ? 0 的四个根组成一个首项为 则 m?n ? 。

y 2 ? y1 = x2 ? x1
1 的等差数列, 4


A 、24

B、27

C、30

D、33

5、在正项等比数列 {an } 中,公比为 q , bn ? .

n

a1a2 .....an , {bn } 的通项为

;前 n 项和

例题 8、 等差数列 {an } 中, 公差 d ≠0, 若 a1 , a 则 a 成等比数列, 3 ,9

a1 ? a3 ? a9 = a2 ? a4 ? a10



6、等比数列 {an } 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7 , a1a2 a3 =8,则 an = 7、等比数列 {an } 中, a1 ? a2 =20, a3 ? a4 =120,求 a9 ? a10 =

; ;

例 题 9 、 设 {an } 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , q =2 , 且 a1a2 a3 .....a30 ? 230 , 则 =9 a2 a 5 a ..... 8 a 2 ; 8、各项都是正数的等比数列 {an }, q ? 1, 且a3 , a5,a6 成等差数列,则

a3 ? a5 = a4 ? a6



例 题 10 、 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为 n ( n ? N ) 的 一 次 函 数 是 数 列 为 等 差 数 列 的
*

条件。 练习:1、在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 3, a6 ? ?2 ,则 a4 ? a5 ? ? ? a10 ? .

9、 等比数列 {an } 中, a5 a6 =9,则 log31 ? log32 ? ......log310 =
a a a



10、设{ an }为公比 q>1 的等比数列,若 a2004 和 a2005 是方程 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,则
2

a2006 ? a2007 ? __________.;

2 a10 ? a15 , Sn ? a1 ? a2 ?

? an , Tn ?

11、 等差数列的公差 d =1, 且 a1 ? a2 ? ...... ? a99 9?

, 则 a3 ? a ?a = 6 ? 9 a ? .......9 9

1 1 ? ? a1 a2

?

1 求 满 足 Sn ? Tn 的 最 小 正 整 数 an



n?

三、与和有关性质的应用:
例题:11、若等比数列 {an } 的前 n 项和公式为: Sn ? 2 ? 3
n?1

? m ,则 m ?

例题 16、 设 Sn 是等差数列 { an } 的前 n 项和, 已知 S6 ? 36 , Sn?6 ? 144 (n ? 6) , Sn ? 324 , ; 则n = ;

例题 12、数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 2n ?1 ,则 {an } 一定是( A、等差或常数数列 B、非等差数列 C、等差数列

) D、等比数列 例题 17、等差数列 { an } 的前 n 项和记为 Sn ,若 a2 ? a4 ? a 1 5 的值是一个确定的常数,则数 列 { Sn } 中也为常数的项是第 项.

例 题 13 、 已 知 等 比 数 列 {an } 中 , Sn 为 前 n 项 和 , 若 S4 ? 2, S8 ? 6 , 则

a1 7? a 1 ? ?9 a ? 8 a 1 2 0

; 例题 18、 数列 ?an ? 与 ?bn ? 都是等差数列, 且 Sn 与 S n 分别是它们的前 n 项和,

?

Sn 7n ? 2 , ? ? n ? 3 Sn

例题 14、已知等差数列 {an } 的前 2n ? 1 项中,所有奇数项和为 210,所有偶数项和为 195, 则n ? ;

(1)求

a7 的值; b7

(2)求

an 的值 bn





15







{an } 是 公 比 大 于

1













例题 19、已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,数列 {| an |} 的前 n 项和为 Tn 求 Tn ;

A、 Sn ? na1 ? nan

B、 Sn ? nan ? na1

C、 na1 ? Sn ? nan

D 、 nan ? Sn ? na1

14、已知数列 {an } 中, Sn 为前 n 项和, Sn ? A、等比数列 C、既是等比数列又是等差数列 例题 20、设等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,已知 a3 =12, S12 ? 0 , S13 ? 0 , ①求公差 d 的范围; ②求 {Sn } 的最值. 15、等差数列 {an } 中,已知 a11 =20,则 S21 =

1 n (9 ? 4n )(n ? N * ) ,则数列 {an } 是( n 4



B、 既不是等比又不是等差数数列 D、等差数列



16、将含有 k 项的等差数列插入 4 和 67 之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数 列所有项的和为 781,则 k 的值为: ( ) A、20 B、21 C、22 D、24 17、一个等差数列 S12 =354,其中偶数项和与奇数项和之比 32:27,则公差 d = 18、已知数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 4n ? 25, 则 ?| an |? 的前 n 项和为 例题 21、已知、 a, b ? R ,则 a ? a
n n ?1

; .

b ? a n ? 2b 2 ?

? a1bn?1 ? bn =



19、 (1)等差数列 ?an ? 中, a1 ? 25,S17 ? S9 ,问数列前多少项之和最大,并求此最大值. (2)已知等差数列 {an } 中, a1 ? 0 , S25 ? S45 ,当 Sn 取最小时,则 n = 20、 等差数列 {an },{bn } 的 n 前项和分别为 Sn 、Tn , 对于一切的自然数 n 都有 ;

例题 22、等差数列 {an } 中, S p ? q, Sq ? p (p ? q) 则 S p ? q ?

Sn 2n , ? Tn 3n ? 1

。 则

a5 = ; b5
21、在等差数列 {an } 中, a10 ? 0, a11 ? 0, 且 a11 ?| a10 | ,则在前 n 项和 Sn 中,最大的负数是

练习:12、等差数列 {an } 中, a10 ? 10, a19 ? 100 ,前 n 项和 Sn ? 0 ,则 n =( A、7 B、9
2





) A、 S17 B、 S18 C、 S19 D、 S20

C、17
*

D、19 )

13、数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 5n ? 3n (n ? N ) ,则有(

列知识的综合体现,求和题在试题中更为常见,它常用来考查分析问题和解决问题的能力.要 注意一些常用方法的使用。 教学过程: 一、基础知识讲解: 数列的求和有以下几种常用方法: 1.公式法:除熟记等差(比)数列的前 n 项和公式外,还需掌握一些常见的数列的前 n 项的 和: (1) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 小结:

1 n(n ? 1) 2

(2) 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 (3) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

作业布置: 必做: 选做: 探究: 板书:

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6

(4) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
3 3 3 3

?1

?

2.分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列.若将这类数列适当拆开,可分为几个等 差、等比或常见的数列,即能分别求和,然后再合并. 3.错位相减法:适用于{ an bn }的前 n 项和,其中 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列; 4.裂项法:求 ?an ? 的前 n 项和时,若能将 an 拆分为 an = bn - bn ?1 ,则 5.倒序相加法 二、例题分析: (一)基础知识扫描(学生自己课前做)

?a
k ?1

n

k

? b1 ? bn ?1

教学后记:

1.已知等差数列 A. a1 + a101 >0

?an ?

满足 a1 + a2 + a3 +?+ a101 =0,则有( ) B. a2 + a100 <0 C. a3 + a99 =0 D. a51 ? 51

第三讲:数列求和
教学目的:掌握常见的数列求和方法,并能够应用这些方法解决一些简单的求和问题. 教学重点:常用的数列求和方法。 教学难点:数列求和方法的探寻。 考点分析及学法指导: 数列求和主要分为等差、等比数列求和及一些特殊的非等差、等比数列求和.它往往是数 2.数列 1, A.

2n 2n ? 1

1 1 1 , ,?, 的前 n 项和为( ) 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n 2n n?2 B. C. n ?1 n ?1

D.

n n ?1

3.数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n ? 1 ,令 bn ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n ,则数列 ?bn ? 的前 n 项 n

和为( A. n
2

) B. n(n ? 2) C. n(n ? 1) ) D. n(2n ? 1) 4、数列 0.5, 0.55, 0.555, 0.5555,?的前 n 项之和为 .

n 4.若数列 ?an ? 的通项公式为 a n ? n ,则前 n 项和为( 2
A. S n ? 1 ? 5.数列 1

1 2n

B. S n ? 2 ?

1 2
n ?1

?

n 2n

C. S n ? n?1 ?

? ?

1 ? ? 2n ?

D. S n ? 2 ? 。

1 2
n ?1

?

n 2n
5 、已知数列 {an } 满足 an ? 31 ? 6n ,数列 {bn } 满足 bn ? 前 20 项之和为( A、187 ) B、164 C、257

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 ,?,前 n 项和 S n = 4 8 2 16

a1 ? a2 ? ? ? an ,则数列 {| bn |} 的 n
D、304

(二)题型分析: 题型 1:分组求和法. 例 1、求下面数列的前 n 项和: 1 ? 1 ,

1 1 1 ? 4 , 2 ? 7 ,?, n ?1 ? 3n ? 2 a a a

练习:1、数列 11、103、1005、10007,…… 前 n 项和 Sn ?



2、 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ?
2 2 2 2 2 2

? 992 ? 1002 ?



2 n ?1 * 3、 (1)数列 {an } 中, a n ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 ( n ? N ),则该数列前 n 项和为: (



A、 n ? 2

n

B、 2 ? n
n

C、 2

n ?1

? n ?1

D、 2

n ?1

?n?2

2 、 数 列

{an }

的 前

n

项 和 Sn ? 2 ? 7 ? .

1 ? 2 ?1 7 ?

2 ?2 ? 2 ? 7n?1 . n .? .

{an } 的首项为 a1 公比为 q , Sn 为 {an } 的前 n 项和,则数列 {Sn } 的前 n 项 (则 1 ) ((2)已知等比数列 5 3)
和为 .

s15 ? s22 ? s31

的值是

4 、 等 差数 列 {an } , a1 ? 1 , {bn } 是 等 比数 列 , cn ? an ? bn , c1 ? 3, c2 ? 12, c3 ? 23 , 则 3、 Sn ? 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? ..... ? (1 ? 2 ? 3 ? .... ? n) = .

c1 ? c 2 ? ..... ? c 9 ?



题型 2:错位相减法. 例2 1、 Sn ? 1 ? 3x ? 5x2 ? ..... ? (2n ? 1) xn?1 = ;

题型 3:倒序相加法. 例3
0 1 2 n 1、求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1) ? Cn ? (n ? 1) ? 2n

2、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
a

S 2 n 4n ? 2 对 n ? N * 恒成立. ? Sn n ?1
3 ,则 x ?1 1 1 1 ? f (100) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 3 4 1 ? f( ) 100

(2)记 bn ? an p n ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

2、已知函数 f ( x ) ? 2 ?

f (1) ? f (2) ? f (3) ?
= .

1 2 3 n 3、 Sn ? Cn = ? 3Cn ? 5Cn ? ..... ? (2n ? 1)Cn

. (提示:倒序相加)

练习:1、数列 {

2n ? 1 } 的前 n 项和 Sn = 32 n ?1



题型 4:裂项相消法 2、数列 {an } 对一切 n ? N 都满足 a1 ? 2a2 ? 22 a3 ?
*

? 2n?1 an ? 2n2 ? 3n 求 {an } 的前 n 项和

例4

1、已知数列 ?an ? 的通项公式为 an =

Sn =

; 分析 我们先看通项 an =

1 ,求它的前 n 项和. (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1? 1 1 ? , 然后将其分裂成 ? 再求和. ? ?, (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2 n ? 1 2n ? 1 ?

2、已知数列 {a}n 为等差数列,公差为 d ,且 an ≠0,

1 1 1 ? ? ? a1a2 a2 a3 a3a4
3、数列 {an } 满足 an ?

1 ? ? an an?1
1

3、



1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 的值为 2 ?1 3 ?1 4 ?1 (n ? 1) 2 ? 1
2



n ? n ?1

,求 {an} 前 n 项和 Sn .

4、求数列 {

1 } 的前 n 项和 Sn ? (3n ? 1)(3n ? 7)



5、已知 f ( x) ? 4、数列 {an } 满足 an ?

x , 数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? f (an ) (n ? N ? ) . 3x ? 1
(2)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ?

2n ? 1 ,求 {an } 前 n 项和 Sn . n (n ? 1)2
2

(1)求 an ;

? anan ?1 求 Sn .

(选)5、设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3, 3 3 3

(1)证明数列 {an ? 2n } 为等比数列,并求 an ;

(思考)设 Tn ?

2n , n ? 1, 2,3, Sn

,证明:

?T ? 2 .
i ?1 i

n

3

小结:

作业布置: 必做: 选做: 探究: 板书: 练习:1、数列:1,

an ?

1 1 1 1 , , , , , 的通项 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ;前 n 项的和 Sn ? .
1 4n ? 1
2

2、数列 {an } 满足 an ?

求前 n 项和 Sn

数 列 的 综 合 应 用(一)
教学目标: 知识与技能:掌握运用数列知识解决一些实际问题的基本方法 过程与方法:数列、不等式、函数三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验 情感态度与价值观:通过综合问题的讲解,强调学生的运用数学的意识,培养学习数学 的兴趣。 教学重点:到函数、方程、不等式知识的综合性试题 教学难点:等价转化,分类讨论等数学思想方法 教学过程: 一、基础提示: 1、本章综合复习的主要是:数列内部综合;数列与方程、不等式、函数、解析、极限数学归纳 法等的简单综合;数列的实际应用题。 2、解数列应用问题的解法要点:抓住数列的特点先列出几个简单的,然后找出规律,特别注意 递推的规律发现。 二、例题与练习: (一)数列内部的综合 例题 1、 已知等差数列 ?an ? 中, 公差 d ? 0 , 其前 n 项和为 Sn , 且满足: a2 ? a3 ? 45, a1 ? a4 ? 14 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)通过公式 bn ?

2、已知数列 {an } 为等差数列,公差 d ≠0, {an } 的部分项组成以下数列: ak1 , ak2 ...akn 恰为等 比数列 {bn } ,其中 k1 ? 1, k2 ? 5, k3 ? 17 , (1)求 {bn } 的公比; (2)求和 k1 ? k2 ?

kn .

Sn 构造一个新数列 ?bn ? ,若 ?bn ? 也是等差数列,求非零常数 c ; n?c

(3)在(2)的条件下求 f (n) ?

bn (n ? N ? ) 的最大值. (n ? 25)bn?1

3、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ?

1 , Sn ? n 2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? 2

(1)写出 Sn 与 Sn ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 Sn 关于 n 的表达式;

(2)设 f n ? x ? ?

S n n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. n

2、在等差数列 {an } 中,公差 d ? 0 , a2 是 a1 与 a4 的等比中项,若 a1 , a3 , ak1 , 列,则

, akn 成等比数

{kn } 的通项公式 kn ?



3、已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1 ? b1 ? 5 , ,则数列 {cn } 的前 10 项和等于( a1 , b1 ? N * .设 cn ? abn ( n ? N * ) A.55 B.70 C.85 D.100 ) )

4、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 ? 也是等比数列,则 Sn 等于( A. 2
n ?1

?2

B. 3n

C. 2 n

D. 3 ? 1
n

小结: 作业布置: 必做: 选做: 探究: 板书:

练习 1、已知数列 {an } 中,a1 ?

3 1 1 , , an ? 2 ? (n ? 2, n ? N * ) ,数列 {bn } 满足 bn ? 5 an?1 an ? 1

(1)证明 {bn } 为等差数列; (2)求数列 {an } 的最大和最小项;

教学后记:

数 列 的 综 合 应 用(二)
教学目标: 知识与技能:掌握运用数列知识解决一些实际问题的基本方法 过程与方法:数列、不等式、函数三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验 情感态度与价值观:通过综合问题的讲解,强调学生的运用数学的意识,培养学习数学 的兴趣。

教学重点:到函数、方程、不等式知识的综合性试题 教学难点:等价转化,分类讨论等数学思想方法 教学过程: (二)数列的实际应用问题 例题 1、某商品降价 10%后,要恢复原价,则应提价( A.10% B.9% C. 11 % 3、从 1999 年到 2002 年期间,甲每年 6 月 1 日都到银行存入 m 元一年定期储蓄,若年利率 q 保持不变,且每年到期的存款利息均自动转为新的一年定期,到 2003 年 6 月 1 日,甲去银 行不再存款,而是将所有存款的本息作用全部取回,则取回的金额是: ( ) m m A、m(1 ? q)4 元 B、 [(1 ? q ) 4 ? (1 ? q )] 元 C、m(1 ? q)5 元 D、 [(1 ? q ) 5 ? (1 ? q)] q q 元

) D.11%

1 9

2、 某企业在 1996 年初借款 M 万元, 年利率是 m , 从该年末开始, 每年偿还的金额都是 a 万元, 若恰好在第 10 年还清,则 a 的值为( )

M (m ? 1)10 A、 (1 ? m)10 ? 1

Mm B、 (1 ? m)10

Mm(1 ? m)10 C、 (1 ? m)10 ? 1

Mm(1 ? m)10 D、 (1 ? m)10 ? 1

4、某下岗职工准备开办一个商店,要向银行贷款若干,这笔贷款按复利计算(即本年利息计入 下一年的本金生息) , 利率为 q,(0 ? q ? 1) 据他估算,贷款后每年可偿还 A 元,30 年后还清. (1)求贷款金额; (2)若贷款后前 7 年暂不偿还,从第 8 年开始每年偿还 A 元,仍在贷款后 30 年还清,试问: 这样一来,贷款金额比原贷款金额要少多少元?

3、某工厂年产量第二年增长率为 a ,第三年增长率为 b ,则这两年平均增长率 x 满足: ( A、 x ?



a?b 2

B、 x ?

a?b 2

C、 x ?

a?b 2

D、 x ?

a?b 2

4、从盛有盐的质量分数为 20%的盐水 2 kg 的容器中,倒出 1 kg 盐水,然后加入 1 kg 水,以后 每次都倒出 1 kg 盐水,然后再加入 1 kg 的水;则第 5 次倒出的 1 kg 盐水中含盐 则第 n 次倒出的 1kg 盐水中含盐 。 作业布置: 必做: 选做: 探究: 练习 1、某厂 2000 年的产值为 a ,计划在其后五年内每年比上一年增长 10%,则从 2001 年起 5 年的产值总和为 。 板书: , 小结:

2、某人每月 1 号在银行存入 1000 元,月利率为 5?,到 12 月 31 号取出所有的存款,则若按复 利计算他可取 元;若不按复利计算他可取 元。

一个单位. (1)求粒子运动到(3,0)所需时间; (2)设粒子运动到点 ( n, n) 所需时间为 an ,求数列 ?an ? 的通项的通项; 教学后记: (3)求当粒子运动了 2005 秒时粒子所在点的坐标.

数 列 的 综 合 应 用(三)
教学目标: 知识与技能:掌握运用数列知识解决一些实际问题的基本方法 过程与方法:数列、不等式、函数三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验 情感态度与价值观:通过综合问题的讲解,强调学生的运用数学的意识,培养学习数学 的兴趣。 教学重点:到函数、方程、不等式知识的综合性试题 教学难点:等价转化,分类讨论等数学思想方法 教学过程: 练习 1、编辑一个运算程序: 1 & 1=2, m & n ? k , m &(n ? 1) ? k ? 3(m, n, k ? N * ) , 则 1& 2004 输出的结果为( A.2004 B.2006 ) C.4008

D.6011

2、如图, 边长为 1 的正方形上连接等腰直角三角形,等腰直角三角形上在连接正方形,??, (三)数列探索性问题 例题 1、 在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间, 某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆 “正 三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3, 4, 堆最底层(第一层)分别 按图 4 所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层 之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数, 则 f (3) ? _____ ; f (n) ? _____ (答案用 n 表示) 无限重复.设正方形的面积为 S1 , S2 , S3 , = , Tn = .

, Sn

;三角形的面积为 T1 , T2 ,

, Tn ,

,则 Sn

小结: 2、如右图,一粒子在第一象限运动,在第一秒内,它从原点运动到(0,1) ,接着按如图所示 的

x, y 的平行方向运动, (即 (0,0) ? (0,1) ? (1,1) ? (1,0) ? (2,0) ?

) ,且每秒移动

作业布置:

必做: 选做: 探究: 板书:

情感态度与价值观:通过综合问题的讲解,强调学生的运用数学的意识,培养学习数学 的兴趣。 教学重点:到函数、方程、不等式知识的综合性试题 教学难点:等价转化,分类讨论等数学思想方法 教学过程: (四)数列与方程、不等式、函数、解析、向量等的综合 例题 1、 已知 a, b, c 为等比数列,m 是 a , b 的等差中项,n 是 b, c 的等差中项, 则

a c ? ? m n

.

2、有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,且首、末两项和为 21,中间两项和 为 18,求这四个数. 教学后记:

3、已知 lg 3,lg(sin x ? ),lg(1 ? y ) 顺次成等差数列,则( A、 y 有最大值 1,无最小值 C、 y 有最小值,最大值 1

1 2



B、 y 有最小值-1,最大值 1 D、 y 有最小值,无最大值

4、已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * 其中 x1 ? 0, x2 ? a (1)写出 xn 与 xn ?1, xn ? 2 之间的关系;

(a ? 0) , A3 是线段 A1 A2 的中点, A4 是

线段 A2 A3 的中点,?? An 是线段 An ? 2 An ?1 的中点。

数 列 的 综 合 应 用(四)
教学目标: 知识与技能:掌握运用数列知识解决一些实际问题的基本方法 过程与方法:数列、不等式、函数三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验

(2) an ? xn?1 ? xn ,计算 a1 , a2 , a3 , a4 ,并推导出 an 的通项公式; (3) 求 {xn } 的通项公式。

练习 1、若互不相等的实数 a, b, c 成等差数列, c, a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? ( ) A.4

B.2

C.-2

D.-4

2、四个数,前三个数成等比数列且和为 19,后三个数成等差数列,且和为 12,则这四个数 为 。

3 、设两个方程 x2 ? ax ? 1 ? 0, x2 ? bx ? 1 ? 0 的四个根构成以 2 为公比的等比数列,则 ab = 。 小结:

4、 在数列 { an } 中, 且对任意大于 1 的正整数 n , 点 ( an, a1 ? 3 , 上,则 an ? ____________。

an? )1 在直线 x ? y ? 3 ? 0

作业布置: 必做: 选做: 探究: 板书:

5、已知二次函数 f ? x ? ? a ? a ? 1? x ? ? 2a ? 1? x ? 1, a ? N
2

*

(1)求 f ? x ? 的图像与 x 轴相交所截得的弦长 (2)若 a 依次取 1、2、3

n 时, f ? x ? 的图像与 x 轴所截得 n 条弦长分别为 l1 , l2

ln 记

Sn ? l1 ? l2 ?

? ln , 试求 Sn .
教学后记:


相关文章:
小升初第一讲
小升初第一讲_五年级语文_语文_小学教育_教育专区。一、综合能力考查(12 分) 1.诗词积累(任选其中 5 题作答,5 分) ①两岸青山相对出, ②千里莺啼绿映红...
第一讲 人与天地
那我们今天呢, 只讲人本天地这个小命题,分三段小原文来讲。 第一个,人是由天地所生的。那么既然人是由天地所生的,接下来问 题就随之而来, 它怎么产生人呢?...
(四年级)第一讲 寻找数字排列的规律
第一讲一、学习目标 寻找数字排列的规律 1.通过观察、比较和分析,寻找简单数列、数表的排列规律. 2.能根据数列规律填数,并作出简单的判断. 3.感知比较和分析的...
第一讲 名词
第一讲 名词_初一英语_英语_初中教育_教育专区。第一讲 名词一、名词的定义:表示人、事物或抽象概念的名称的词。 二、名词的分类: 名词可以分为专有名词(...
第一讲 什么是好照片_图文
第一讲 什么是好照片(1)设计者:浙江省宁海中学 选修课程名称:《爱生活爱摄影》 本讲学时:2 课时 (2)设计思想:摄影不仅仅是一种光影艺术,它已经成为人类的第...
第一讲:一次函数与反比率函数
第​一​讲​:​一​次​函​数​与​反​比​率​函​数 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档一次函数与反比例函数课前热身 1.函数 ...
第一讲:集合的概念及表示方法
第一讲:集合的概念及表示方法_物理_自然科学_专业资料。第一讲:集合的含义与表示典型例题考点一:集合的有关概念 例 1:下列各组对象不能组成集合的是( )。 A...
--第一讲
--第一讲_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 --第一讲_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。...
第一讲 机械运动
第一讲 机械运动_机械/仪表_工程科技_专业资料。一、选择题 1. (2016 益阳)下列数据中,最接近生活实际的是( A A. B. C. D. 你物理课本的宽度约为 18 ...
第一讲 概述
第一讲 概述_管理学_高等教育_教育专区。第一讲 概述教学要求: 1. 了解 Windows 程序设计的特点 2. 了解 Visual Studio 的特点及架构 3. 了解 C#应用程序的...
更多相关标签: