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江苏省南京市金陵中学高中物理竞赛《光学教程 第一讲几何光学》教案


光学教程 第一讲几何光学 1、光的直线传播:光在同一均匀介质中沿直线传播。 2、光的独立传播:几束光在交错时互不妨碍,仍按原来各自的方向传播。 3、光的反射定律: ①反射光线在入射光线和法线所决定平面内; A ②反射光线和入射光线分居法线两侧; ③反射角等于入射角。 4、光的折射定律: ①折射光线在入射光线和法线所决定平面内; ②折射光线和入射光线分居法线两侧; ③入射角 i1

与折射角 i 2 满足 n1 sin i1 ? n2 sin i2 ; ④当光由光密介质向光疏介质中传播,且入射角大于临 界角 C 时,将发生全面反射现象(折射率为 n1 对折射率为 n2 的光疏介质的临界角 的光密介质 S2 S3 图 1-2-1 S1 S

O

B

sin C ?

n2 n1 ) 。

§1.2

光的反射

1.2.1、组合平面镜成像: 1. 组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系 统叫做组合平面镜,射向组合平面镜的光线往往要在平面 镜之间发生多次反射,因而会出现生成复像的现象。先看 一种较简单的现象,两面互相垂直的平面镜(交于 O 点) 镜间放一点光源 S(图 1-2-1) ,S 发出的光线经过两个平

S1 S4 O S5 S2 S3 图 1-2-2 S

S 面镜反射后形成了 S1 、 S 2 、 3 三个虚像。用几何的方法
不难证明:这三个虚像都位于以 O 为圆心、OS 为半径的圆

S S 上,而且 S 和 S1 、S 和 S 2 、 S1 和 3 、 S 2 和 3 之间都以
平面镜(或它们的延长线)保持着 对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的 情况中复像的个数和位置。

两面平面镜 AO 和 BO 成 60?角放置(图 1-2-2) ,用上述规律,很容易确定像的位置:① 以 O 为圆心、OS 为半径作圆;②过 S 做 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S1 和 S 2 ;③过 S1 和 S 2 作 BO 和 AO 的垂线与圆交于 3 和 S 4 ;④过 在两平面镜中的 5 个像。

S

S 3 和 S 4 作 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S 5 ,S1 ~ S5 便是 S

双镜面反射。如图 1-2-3,两镜面间夹角 a =15?,OA=10cm,A 点发出的垂直于 L2 的光线射 向 L1 后在两镜间反复反射,直到光线平行于某一镜面射出, 则从 A 点开始到最后一次反射点,光线所走的路程是多少? 如图 1-2-4 所示,光线经 L1 第一次反射的反射线为 BC, 根据平面反射的对称性, BC ? ? BC ,且∠ BO C ? ? a 。上述 L1 O α A L2

A, B, C ?, D? 均在同一直线上, 因此光线在 L1 、L2 之间的反复

图 1-2-3

反射就跟光线沿 ABC ? 直线传播等效。设 N ? 是光线第 n 次反射的入射点,且该次反射线不再

900 n? ?6 a 射到另一个镜面上,则 n 值应满足的关系是 na <90? ? (n ? 1)a , 。取 n=5,∠
N ?OA ? 750 ,总路程 AN ? ? OAtg5? ? 37.3cm 。
2、全反射 全反射光从密度媒质 1 射向光疏媒质 2, 当入射角大于
?1 临界角 a ? sin n21 时,光线发生全反射。

O? C? B O α A C

全反射现象有重要的实用意义,如现代通讯的重要组 成部分——光导纤维, 就是利用光的全反射现象。 图 1-2-5 是光导纤维的示意图。AB 为其端面,纤维内芯材料的折射 率 n1 ? 1.3 , 外层材料的折射率 n2 ? 1.2 , 试问入射角在什 么范围内才能确保光在光导纤维内传播? 图 1-2-5 中的 r 表示光第一次折射的折射角,β 表示 光第二次的入射角,只要β 大于临界角,光在内外两种材 料的界面上发生全反射,光即可一直保持在纤维内芯里传 播。

D

L1 L2

图 1-2-4
A n1 n2 i γ β

? ? sin n21
?1

? sin ?1
r?

n2 1.2 ? sin ?1 ? 67.4 0 n1 1.3

B

?
2

? ? ? 90 o ? 67.4 o ? 22.6 o

图 1-2-5

sin i / sin r ? 1.3 / 1
o

只要 sin i ? 0.50, i ? 30 即可。
1P 2 是水平放置的米尺(有刻度的一 例 1、如图 1-2-6 所示,AB 表示一平直的平面镜, P 面朝着平面镜) ,MN 是屏,三者相互平行,屏 MN 上的 ab 表示 P1 S P2 一条竖直的缝 (即 ab 之间是透光的) 。 某人眼睛紧贴米尺上的 小孔 S(其位置如图所示) ,可通过平面镜看到米尺的一部分 b N a M

A

B

图 1-2-6

1P 2 上把这部分涂以标志。 刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位,并在 P 分析: 本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。 由反射定律可知,米尺刻度必须经过平面镜反射后,反射光线进入人的眼睛,人才会看到米 尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。 解法一:相对于平面镜 AB 作出人眼

S 的像 S ? 。连接 Sa 并延长交平面镜于点
1P 2于 C,连接 S ? 与点 C 并延长交米尺 P 点 E, 点 E 就是人眼看到的米尺刻度的最

P1
M A

S

E F

P2 P1
N M
B A M?

S

E F

P2
N
B

1P 2 于点 左端;连接 S ?b 并延长交米尺 P

a
C D

b

a
C a?
D

b
b?

F, 且 D,则点 F 就是人眼看到的米尺刻度的最 右端。 E 与 F 之间的米尺刻度就是人眼可 看到部分,如图 1-2-7 所示。 解法二:根据平面镜成像的对称性,

S ?b 与平面镜交于 D, 连接 S 与点

N?

S?
图 1-2-7 P3 P1 A O P4 (a) P3 P1 θ P2
P

P1

?
图 1-2-8 P3 P1 A 60?
P

P2

?

? ? 1P 2 及屏 MN 的像, 作米尺 P 分别是 P1 P2

N ? ,a、b 的像分别为 a ?, b? ,如图 及M?
1-2-8 所示。连接 Sa 交 AB 于点 C,延长

? ? 并 交 P1 P2 于 点 E ? , 过 点 E ? 作

B

P5

O P4

P 1P 2 ( AB) 的垂线,交于点 E,此点就是
人眼看到的米尺刻度的最左端;连接

B P2

P5 A 120 交于点 F,点 F 就是人眼看到的米尺刻 P O 45 B ? P1 度的最右端。EF 部分就是人眼通过平面 O P7 ? B 镜可看见的米尺部分。 P2 点评:平面镜成像的特点是物与像 P2 P6 P4 具有对称性。 在涉及到平面镜的问题中, (d) (c) 利用这一特点常能使问题得以简洁明晰 图 1-2-9 的解决。 例 2、两个平面镜之间的夹角为 45 ?、60?、120?。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。 分析:由第一面镜生成的像,构成第二面镜的物,这个物由第二面镜所成的像,又成为 第一面镜的物,如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环,两镜所成像重合, 像的数目不再增多,就有确定的像的个数。 解:设两平面镜 A 和 B 的夹角为 2θ ,物 P 处在他们的角等分线上,如图 1-2-9(a)所

? ? Sb ? 交 AB 于点 D,延长并交 P1 P2 于点 F ? ,过点 F ? 作 P 1P 2 (AB)的垂线 P 1P 2

(b) A P

示。以两镜交线经过的 O 点为圆心,OP 为半径作一辅助圆,所有像点都在此圆周上。由平面 镜 A 成的像用

P 1, P 3 ? 表示,由平面镜 B 成的像用 P 2,P 4 ? 表示。由图不难得出:
A O B C P

P 1, P 3 ? 在圆弧上的角位置为

(2k ? 1)? , P2 , P4 ? 在圆弧上的角位置为
2? ? (2k ? 1)? 。
其中 k 的取值为 k=1,2,? 若经过 k 次反射,A 成的像与 B 成的像重合, 则 即 当 (a)所示; 当 (b)所示;

(2k ? 1)? ? 2? ? (2k ? 1)?

k?

? 2?
图 1-2-10

2? ? 45 o ?

?
4 时,k=4,有 7 个像,如图 1-2-9
A

2? ? 60 o ?

?
3 时,k=3,有 5 个像,如图 1-2-9

2? 2? ? 120 o ? 3 时, k=1.5 ,不是整数,从图 当

C P

O

1-2-10 (d) 可直接看出, 物 P 经镜 A 成的像在镜 B 面上, 经镜 B 成的像则在镜 A 面上,所以有两个像。 例 3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不 同侧面的像, 可以在物体的后面放两个直立的大平面镜 AO 和 BO,使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机,如图 1-2-11 所示。图中带箭头的圆圈 P 代表一个人的头部(其尺 寸远小于 OC 的长度) ,白色半圆代表人的脸部,此人正面对 着照相机的镜头;有斜线的半圆代表脑后的头发;箭头表示 头顶上的帽子,图 1-2-11 为俯视图,若两平面镜的夹角∠ AOB=72?,设人头的中心恰好位于角平分线 OC 上,且照相机 到人的距离远大于到平面镜的距离。 1、 1、试在图 1-2-11 中标出 P 的所有像的方 位示意图。 2、 在方框中画出照片上得到的所有的像 (分别用 空白和斜线表示脸和头发,用箭头表示头顶上的帽 子) 。 本题只要求画出示意图,但须力求准确。 解: 本题的答案如图 1-2-13 所示。

图 1-2-11 A P B 图 1-2-12 O

图 1-2-13

例 4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件,如图 1-2-14 所示。棱镜用玻璃制成,BC、 CD 两平面高度抛光,AB、DE 两平面高度抛光后镀银。试证明:经 BC 面入射的光线,不管其 方向如何,只要它能经历两次反射(在 AB 与 DE 面上) , A 与之相应的由 CD 面出射的光线,必与入射光线垂直。 解: 如图 1-2-15 所示,以 i 表示入射角, i ? 表示 反射角,r 表示折射角,次序则以下标注明。光线自透明 表面的 a 点入射,在棱镜内反射两次,由 CD 面的 e 点出 射。可以看得出,在 DE 面的 b 点; 入射角为 B
112.5? 112.5?

E

90?

i2 ? r1 ? 22.5
?

o

C

112.5?

D

i 2 ? i 2 ? r1 ? 22 .5 o 反射角为 在四边形 bEAC 中,
? a ? 90 o ? i2 ? 90 o ? r1 ? 22.5 o ? 67.5 o ? r1


图 1-2-14

? ? 360o ? 2 ?112.5o ? a ? 1350 ? (67.5o ? r1 )
= 67.5 ? r1
o

于是, 在△cdb 中 ∠cdb=180?

? i3 ? i3 ? 90 o ? ? ? 22.5 o ? r1

F A
112.5?

? (i ? i ) ? (i ? i )
2 2 3 3

?

?

45?

=180? ? 2(r1 ? 22.5 ) ? 2(22.5 ? r1 ) ? 90 这就证明了: 进入棱镜内的第一条光线 ab 总是与第 三条光线 ce 互相垂直。
o o 0

B

i3 i3

112.5?

E

i2 i2 i1
90?

由于棱镜的 C 角是直角, r1 =360?-270?-∠dec=90? -∠dec= i1 。设棱镜的折射率为 n,根据折射定律有

γ C

1

i4
112.5?

sin i1 ? n sin r1 sin r4 ? n sin i4 ? r1 ? i4 ,? r4 ? i1 总是成立的,而与棱镜折射率的
大小及入射角 i1 的大小无关。 只要光路符合上面的要求,

D γ

图 1-2-15

4

由 BC 面的法线与 CD 面的法线垂直,又有 i1 ? r4 ,?出射光线总是与入射光线垂直,或者说, 光线经过这种棱镜,有恒点的偏转角——90?。 例 6、 横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图 1-2-16 所示的形状, 一束平行 R 光垂直地射入平表面 A 上。 试确定通过表面 A 进入的光全部从表面 B 射出的 R/d 的最小值。已知玻璃的折射为 1.5。 d 分析: 如图 1-2-17 所示, 从 A 外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射 角较从 A 内侧入射的光线入射角要大, 最内侧的入射光在外侧圆界面上的入 A B 图 1-2-16

射角α 最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射,并且反射光线又刚好与内侧圆相切, 则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上,而且在后续过程中都能够发生全反射,并且不与 内侧圆相交。因此,抓住最内侧光线进行分析,使其满足相应条件即可。 解: 当最内侧光的入射角α 大于或等于反射临界角时,入射光线可全部从 B 表面射出而 没有光线从其他地方透出。 即要求 而 所以 即

1 n R sin a ? R?d R 1 ? R?d n R 1 ? d n ?1 sin a ?

? R
O d A
图 1-2-17

B

故 点评 对全反射问题,掌握全反射产生的条件是基础,而具体分析临界条件即“边界光 线”的表现是解决此类问题的关键。 B 例 7. 普通光纤是一种可传输光的圆柱形细 空气 丝,由具有圆形截面的纤芯 A 和包层 B 组成,B ?0 的折射率小于 A 的折射率,光纤的端面与圆柱体 O A 的轴垂直,由一端面射入的光在很长的光纤中传 播时,在纤芯 A 和包层 B 的分界面上发生多次全 反射。现在利用普通光纤测量流体 F 的折射率。 图 1-2-18 实验方法如下:让光纤的一端(出射端)浸在流 体 F 中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透 镜折射后会聚在光纤入射端面的中心 O。经端面折射进入光纤,在光纤中传播。由于 O 点出发 的光束为圆锥形,已知其边缘光线和轴的夹角为

1 1 ?R? ? ?2 ? ? ? ? d ? min n ? 1 1.5 ? 1

a0 ,如图 1-2-18 所示。最后光从另一端面出

射进入流体 F。 在距出射端面 h1 处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏 D, 在 D 上出现一圆形光斑, 测出其直径为 d1 ,然后移动光屏 D 至距光纤出射端 面 h2 所示。 (1)若已知 A 和 B 的折射率分别为 n A 与 n B 。 求被测流体 F 的折射率 n F 的表达式。 处, 再测出圆形光斑的直径 d 2 , 如图 1-2-19

h2
h1
B A F

a (2)若 n A 、n B 和 0 均为未知量,如何通过进
一步的实验以测出 n F 的值?

d1

d2

D D
图 1-2-19

分析 光线在光纤中传播时,只有在纤芯 A 与包层 B 的分界面上发生全反射的光线才能 射出光纤的端面,据此我们可以作出相应的光路图,根据光的折射定律及几何关系,最后可 求出 n F 。 解: (1)由于光纤内所有光线都从轴上的 O 点出发,在光纤中传播的光线都与轴相交, 位于通过轴的纵剖面内,图 1-2-20 为纵面内的光路图。设由 O 点发出的与轴的夹角为α 的光 线,射至 A、B 分界面的入射角为 i,反射角也为 i,该光线在光纤中多次反射时的入射角均 为 i,射至出射端面时的入射角为α 。若该光线折射后的折射角为 ? ,则由几何关系和折射定 可得 i ? a ? 90? ①

n A sin a ? nF sin ?
i i?i



当 i 大于全反射临界角 c 时将发生全反射, 没有光能损失, 相应的光线将以不变的光强射
C 的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入 B,反射光强随着反 向出射端面。而 射次数的增大而越来越弱,以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射

端面的光线的 i 的数值一定大于或等于 c ,

i

B

i c 的值由下式决定: n A sin iC ? nB
与 ③

o

A ? i

F

i ?

?

i C 对应的α 值为 ? C ? 900 ? iC
a0 ? aC

2

④ 即

图 1-2-20



nB 2 s iC ?i 1 ? ( n ) 2 2 ? nB n A 时,或 n A sin a 0 ? n A 时,由 O a ? aC 的光线才满足 i ? iC 的条件下,才能射向端面,此时出射端面处α 发出的光束中,只有 s a0 ? s i aC ? n ic iC ? n o1 ? s
的最大值为

amax ? ac ? 900 ? iC



0 A B 时,则由 O 发出的光线都能满足 c ,即 A 若 0 而都能射向端面,此时出射端面处α 的最大值为

a ?a

n sin a ? n 2 ? n 2

i ? iC 的条件,因

amax ? a0 nF sin ? max ? n A sin amax
由⑥、⑦式可得,当



端面处入射角α 最大时,折射角θ 也达最大值,设为 ⑦

? max ,由②式可知

a0 ? aC 时,

nF ?

n A sin a0 sin ? max
a0 ? aC 时,


h2

由③至⑦式可得,当

2 2 nA ? nB n A cosiC nF ? ? sin ? max sin ? max



h1
B

? max 的数值可由图 1-2-21 上的几何关系求得


O0
A

sin ? max


d 2 ? d1 2 ? ?(d 2 ? d1 ) / 2?2 ? (h2 ? h1 ) 2

Omax F Omax

d1 O1

d2

O2

D

D

图 1-2-21 于是 n F 的表达式应为

(d ? d1 ) ? d ? d1 ? 2 n F ? n A sin ? ? 2 ? ?? 0 ? ? C ? ? ? (h2 ? h1 ) / 2 2 ? 2 ?
(11)

2

2 2 nF ? n A ? nB

? d 2 ? d1 ? 2 ? ? ? (h2 ? h1 ) ? 2 ? ? ?? 0 ? ? C ? (d 2 ? d 1 ) 2
2

(12)

?、 (2)可将输出端介质改为空气,光源保持不变,按同样手续再做一次测量,可测得 h1

? 、 d1 ? 、 d2 ? ,这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于 1,故有 h2
当 ? 0 ? ? C 时,

1 ? n A sin ? 0
当?0 ? ?C 时
2 2 1 ? nA ? nB

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2
? ? d1? ) / 2 (d 2
(13)

?(d 2? ? d1? ) / 2?2 ? (h2? ? h1? ) 2
? ? d1? ) / 2 (d 2
(14)

将(11) (12)两式分别与(13) (14)相除,均得

nF ?

? ? d1? d2 d2 ? d

? d 2 ? d1 ? 2 ? ? ? (h2 ? h1 ) ? 2 ?

2

?(d 2? ? d1?) / 2?2 ? (h2? ? h1?) 2

(15)

此结果适用于 ? 0 为任何值的情况。

i1

§1.3

光的折射

i2

n1

1.3.1、多层介质折射 如图:多层介质折射率分别为 n1 , n2 , n3 ? 则由折射定律得:

i3

n2

n3
nR

n1 sin i1 ? n2 sin i2 ? ? ? nk sin ik
1.3.2、平面折射的视深 在水中深度为 h 处有一发光点 Q,作 OQ 垂直于水面,求射出 水面折射线的延长线与 OQ 交点 Q ? 的深度 h? 与入射角 i 的关系。 设水相对于空气的折射率为 令 OM=x,则 图 1-3-1

n?

4 3 ,由折射定律得

n sin i ? sin i ?
x O d′ d Q′ i γ M

x ? d ? tgi ? d ? ? tgi ?
2 tgi d 1 ? (n sin i) d? ? d ? ? tgi ? n cosi

于是 上式表明, 由 Q 发出的不同光线, 折射后的延长线不再 交于同一点,但对于那些接近法线方向的光线, i ? 0 ,则

Q sin 2 i ? 0 , cos i ? 1 于是 d 图 1-3-2 d? ? n 这时 d ? 与入射角 i 无关,即折射线的延长线近似地交于同一点 Q ? ,其深度是原光点深度

1 3 ? 的n 4。
如图 1-3-3 所示,MN 反射率较 低的一个表面,PQ 是背面镀层反射 率很高的另一个表面,通常照镜子 靠镀银层反射成像,在一定条件下 能够看到四个反射像,其中一个亮 度很底。若人离镜距离 l ,玻璃折射 率 n,玻璃厚度 d,求两个像间的距 离。 图中 S 为物点, S ? 是经 MN 反 射的像,若 S1 , S 2 , S 3 依次表示 MN 面折射, PQ 面反射和 MN 面再折射成 像,由视深公式得 P M

S2

S3 S1 Q

O2

O1 N

S S1

图 1-3-3

O1 S1 ? nO1 S , O2 S 2 ? O2 S1 ? O1 S1 ? d , O1 S 2 ? n ? O1 S3 ,
O1O2 ? O2 S 2 d ? nl ? d 2d ? ? 1? n n n 2d O1 S 3 ? O1 S ? ? n 。 故两像间距离为 O1 S 3 ?
1.3.3、棱镜的折射与色散 入射光线经棱镜折射后改变了方向,出射光线 与入射光线之间的夹角称为偏向角,由图 1-3-4 的 几何关系知 i1 D E B A δ i2 i′2 F 折射率 C 图 1-3-4

i′1 G

? ? i2 ?) ? ? (i1 ? i2 ) ? (i1 ? ?? ? i1 ? i1
其中

sin i1 ? n sin i2

? ? n sin i1 ? sin i2
S′ h S L 图 1-3-5 δ δ

? ? i1 ?即 ①当 i1 ,α 很小时, i1 ? ni2 , ni2 δ =(n-1)α 厚度不计顶角α 很小的三棱镜称之为光楔, 对近 轴光线而言, δ 与入射角大小无关, 各成像光线经光 楔后都偏折同样的角度δ , 所以作光楔折射成像光路 图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板, 图 1-3-5。
设物点 S 离光楔 L 则像点 S ? 在 S 的正上方。

h ? l? ? (n - 1)? l h=lδ =(n-1)α l。
②当棱镜中折射光线相对于顶角α 对称成等腰三角形时,

? ? n sin sin i1 ? sin i1

?
2

?。 i1 ? i ? , i2 ? i2

? ? ? 2 arcsin( n sin ) ? ?
sin

? ??
2

? n sin

?
2
或者

2

阳光 红

这为棱镜的最小偏向角δ ,此式可用来测棱镜的折射 率。 由于同一种介质对不同色光有不同的折射率, 各种色光 的偏折角不同,所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹 和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。 阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图 1-3-6。形成内紫 外红的虹;阳光经小滴两次折射和两次反射如图 1-3-7,形 成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射,因此光线较弱,不 容易看到。 红 1.3.4、费马原理 费马原理指出,光在指定的两点之间传播,实际的 光程总是为最大或保持恒定,这里的光程是指光在某种 均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。 费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原 理, 从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。 例如光的直线传播、反射定律,折射定律,都可以从光 程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面,而点光源 置于其一个焦点上,所有反射光线都经过另一个焦点, 所有反射光线都经过另一个焦点,便是光程恒定的一个例子。 此外,透镜对光线的折射作用,也是很典型的。 一平凸透镜的折射率为 n,放置在空气中,透镜面孔的半 径为 R。 在透镜外主光轴上取一点 F ? ,OF ? ? f ?(图 1-3-8) 。 当平行光沿主光轴入射时,为使所有光线均会聚于 F ? 点。试 问: (1)透镜凸面应取什么形状?(2)透镜顶点 A 与点 O 相 距多少?(3)对透镜的孔径 R 有何限制? 解: 根据费马原理, 以平行光入射并会聚于 F ? 的所有光 线应有相等的光程,即最边缘的光线 BF ? 与任一条光线



图 1-3-6 紫

阳光 图 1-3-7 y B M(x,y) x R n A f′ 图 1-3-8 F′

NMF ? 的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。其余问题亦可迎刃而解。

(1)取 o ? xy 坐标系如图,由光线 BF ? 和 NMF ? 的等光程性,得

nx ? ( f ? ? x) 2 ? y 2 ?

f ?2 ? R 2

整理后,得到任一点 M(x,y)的坐标 x,y 应满足的方程为

? n f ?2 ? R 2 ? f ? ? (nf ? ? f ? 2 ? R 2 ) 2 2 2 ? ? (n ? 1) x ? ?y ? ? ? n2 ?1 n2 ?1 ? ?

2



x0 ?

n f ?2 ? R 2 ? f ? n2 ?1


a?

nf ? ?

f ?2 ? R 2 n2 ?1
,则上式成为

(n 2 ? 1)(x ? x0 ) 2 ? y 2 ? a 2
这是双曲线的方程,由旋转对称性,透镜的凸面应是旋转双曲面。 (2)透镜顶点 A 的位置 应满足

(n 2 ? 1)(x A ? x0 ) 2 ? a 2
xA ?xO ?
或者

a n2 ?1

?

f ?2 ? R 2 ? f ? n ?1

可见,对于一定的 n 和 f ? , x A 由 R 决定。 (3)因点 F ? 在透镜外,即 x A ? f ? ,这是对 R 的限制条件,有

f ?2 ? R 2 ? f ? ? f? n ?1
即要求

R ? n2 ?1 f ? n 2 ? 1 f ? 时,有如下结果:

讨论 在极限情形,即 R ?

xA ?

f ? 2 ? (n 2 ? 1) f ? 2 ? f ? ? f? n ?1
y M θ t Φ A F′ f′ 图 1-3-9 x

即点 A 与点 F ? 重合。又因

xO ?
a=0

n2 f ? ? f ? ? f? n2 ?1

R N n

θ

故透镜凸面的双曲线方程变为

(n 2 ? 1)(x ? f ?) 2 ? y 2 ? 0


y ? ? n 2 ? 1( x ? f ?)

双曲线退化成过点 F ? 的两条直线,即这时透镜的凸面变成以 F ? 为顶点的圆锥面, 如图 1-3-9 所示。考虑任意一条入射光线 MN,由折射定律有 n sin ? ? sin ? t ,由几何关 系

sin ? ? cos? ?

1 f ?2 ? R 2

sin ?t ?


nf ? f ?2 ? R 2

?1


?t ?

?
2
45 ?

R
M

即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点 F ? , 此时的角θ 就是全反射的临界角。 例 1、半径为 R 的半圆柱形玻璃砖,横截面如图 1-3-10 所示。O 为圆心。已知玻璃的折射率为 2 。当光由玻璃射 向空气时, 发生全反射的临界角为 45°, 一束与 MN 平面成 0 45 的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上,经玻璃折射后, 有部分光能从 MN 平面上射出。求能从 MN 平面射出的光束 的宽度为多少?

O

N

图 1-3-10

2

1

3

B A

i

分析: 如图 1-3-11 所示。进入玻璃中的光线①垂直半 45 ? M 球面,沿半径方向直达球心,且入射角等于临界角,恰好在 O E N O 点发生全反射,光线①左侧的光线经球面折射后,射在 MN 上的入射角都大于临界角,在 MN 上发生全反射,不能 图 1-3-11 从 MN 射出,光线①右侧一直到与球面正好相切的光线③范 围上的光线经光球面折射后,在 MN 面上的入射角均小于临界角,都能从 MN 面上射出, 它们在 MN 上的出射宽度即是所要求的。 解: 图 1-3-11 中,BO 为沿半径方向入射的光线,在 O 点正好发生全反射,入射光
? 线③在 C 点与球面相切,此时入射角 i ? 90 ,折射角为 r, 则有

R r

C

sin i ? ns i n r
sin r? sin i 2 ? n 2

M

45 ?

O

N

图 1-3-12



r ? 45?

这表示在 C 点折射的光线将垂直 MN 射出,与 MN 相交于 E 点。MN 面上 OE 即是出 射光的宽度。

OE ? R sin r ?

2 R 2

M

i

E

i

O

FN

讨论 如果平行光束是以 45°角从空气射到半圆柱的平面 表面上,如图 1-3-12 所示,此时从半圆柱面上出射的光束范围 是多大?参见图 1-3-13 所示,由折身定律 sin 45 ?
?

r
A

r
B

C

2 sin r ,
图 1-3-13

得 30°。考虑在 E 点发生折射的折射光线 EA,如果此光线刚好在 A 点发生全反射,则有

sin r ?

1 2 , r ? 30? ,即所有折射光线与垂直线的夹角均为

n sin ?EAO ? sin 90? ,而 n ? 2 ,即有 ?EAO ? 45? ,因 EA 与 OB 平行,所以
? ? ? ? ?EAO ? ?AOB ? 45? ,所以 ? ? 180 ? 45 ? 60 ? 75 ,即射向 A 点左边 MA 区域的

折射光 ( ? ? 45 ) 因在半圆柱面上的入射角均大于 45°的临界角而发生全反射不能从半
?

圆柱面上射出,而 A 点右边的光线( ? ? 45 )则由小于临界角而能射出,随着φ 角的增
?

大, 当 ?FCO ? 45 时, 将在 C 点再一次达到临界角而发生全反射, 此时 ?FOC ? 15 故 r 知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在 AC 区域上,对应的角 ?
? ?

度为 75 ? ? ? 165 。
? ?

A

点评 正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的 两个重要方向,要予以足够重视。 例 2、给定一厚度为 d 的平行平板,其折射率按下式变化

d
O
K

图 1-3-14

n( x ) ?

n0 1? x r

一束光在 O 点由空气垂直入射平板,并在 A 点以角α 出射(图 1-3-14) 。求 A 点的折射率 nA,并确定 A 点的位置及平板厚度。 (设

n0 ? 1.2, r ? 13cm,? ? 30? ) 。
解: 首先考虑光的路线(图 1-3-15) 。对于经过一系列不同折射 ?1 n1 率的平行平板的透射光,可以应用斯涅耳定律

?2

?3

n2

n3

n4

sin ? 1 n2 ? sin ? 2 n1 ,

sin ? 2 n3 ? ? sin ? 3 n2

图 1-3-15

更简单的形式是

n1 s i n ?1 ? n2 s i n ? 2 ? n3 s i n ?3 ? ?
这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里,折射 率只沿 x 轴变化,即

nx sin ? x ? 常数
在本题中,垂直光束从折射率为 n0 的点入射,即

?
O

?2

nx ? n0 , ? x ? 90? 为常数,于是在平板内任一点有

x x
C
图 1-3-16

nx sin ? x ? n0

nx 与 x 的关系已知,因此沿平板中的光束为

sin ?x ?

n0 x r?x ? 1? ? nx r r

图(1-3-16)表明光束的路径是一个半径为 XC=r 的圆,从而有

OC ? x ? sin ? x XC
现在我们已知道光的路径,就有可能找到问题的解答。按折射定律,当光在 A 点射 出时,有

nA ?

sin ? sin ? ? ? sin(90 ? ? A ) cos ? A

因为 n A sin ? B ? n0 ,故有

sin ? A ?

n0 nA
? n0 ? cos ? A ? 1 ? ? ?n ? ? ? A?
2

于是

nA ?

sin ? n (1 ? 0 ) 2 nA

D n? ? 1

?
n? ? 1
A
图 1-3-17

n
B

因此 在本题情形

2 n A ? n0 ? sin 2 ?

n A ? 1.3
n A ? 1 .3 ? 1 .2 x 1? 13

根据

得出 A 点的 x 坐标为 x=1cm。 光线的轨迹方程为

y 2 ? (1 ? x) 2 ? r 2
代入 x=1cm,得到平板厚度为 y=d=5cm 例 3、 图 1-3-17 表示一个盛有折射率为 n 的液体的槽, 槽的中部扣着一个对称屋脊形 ? 的薄壁透明罩 A,D,B,顶角为 2 ,罩内为空气,整个罩子浸没在液体中,槽底 AB 的 中点处有一个亮点 C。请求出:位于液面上方图标平面内的 ? 眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。 D 解: 本题可用图示平面内的光线进行分析,并只讨论 从右侧观察的情形。如图 1-3-18 所示,由亮点发出的任一 光线 CP 将经过两次折射而从液面射出。由折射定律,按图 上标记的各相关角度有

?

?
A

? ? P

?

sin ? ? n sin ?

(1)

C
图 1-3-18

N B

sin ? ?
其中

1 sin ? n

(2)

? ?? /2
?? ? ? / 2( ? ? ? )
(3)

如果液内光线入射到液面上时发生全反射,就没有从液面射出的折射光线。全反射 临界角γ 。应满足条件

sin ? c ? 1 / n
可见光线 CP 经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为

? ??


(4)

sin ? ? 1 / n

(5)

现在计算 sin ? ,利用(3)式可得

sin ? ? c o s?( ? ? ) ? c o ? s c o? s ?s i n ?sin ?
由(1)式可得

?? 1 ?s i n 2 co? s ? 1? ? n2 ? s i n ? ? ? n n ? ?
由此

2

n sin ? ? cos? n 2 ? sin 2 ? ? n sin ? sin ?
又由(1)式

n sin ? ? cos? n 2 ? sin 2 ? ? n sin ? sin ?

(6)

由图及(1) 、 (2)式,或由(6)式均可看出,α 越大则γ 越小。因此,如果与α 值 最大的光线相应的γ 设为 ? m ? ? c ,则任何光线都不能射出液面。反之,只要 ? m ? ? c , 这部分光线就能射出液面,从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要 求的条件。 自 C 点发出的α 值最大的光线是极靠近 CD 的光线,它被 DB 面折射后进入液体,由 (6)式可知与之相应的 ? m ;

? ? ? / 2 ??
2 ns i n ?m ? cos ? n2 ? c o s ? ?cos ?sin ? ?1

能观察到亮点的条件为

n sin ? m ? 1


cos ? n 2 ? cos 2 ? ? cos ? sin ? ? 1

上式可写成

A

B

cos ? n 2 ? cos 2 ? ? 1 ? cos ? sin ?
取平方

a1
D

n2 a2
C

n1

c o2 s? (n 2 ? c o 2 s? ) ? 1 ? 2 c o ? ssin ? ? c o 2s? (1 ? c o 2s? )
化简后得

图 1-3-19

2 (n 2 ? c o 2 s? ) ? 1 ? 2 c o ? ssin ? ? c o 2s? ? s i n ? ? 2c o ? ssin ?



(n 2 ? 1) cos2 ? ? (cos? ? sin ? ) 2

平方并化简可得

tan? ? n 2 ? 1 ? 1
这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时 n 与φ 之间应满足条件。 例 4、如图 1-3-19 所示,两个顶角分别为 ?1 ? 60 和 ? 2 ? 30 的棱镜胶合在一起
? ?
? ( ?C ? 90 ) 。折射率由下式给出:

n1 ? ? 1 ?
其中

b1

? ;
2

n2 ? ? 2 ?

b2

?2

?1 ? 1.1; b1 ? 105 nm2

? 2 ? 1.3; b2 ? 5 ?104 nm2
1、确定使得从任何方向入射的光线在经过 AC 面时不发生折射的波长 ?0 。确定此情 形的折射率 n1 和 n2 。 2、画出入射角相同的、波长为 ?红 、 ?0 和 ?蓝 的三种不同光线的路径。 3、确定组合棱镜的最小偏向角。 4、计算平行于 DC 入射且在离开组合棱镜时仍平行于 DC 的光线的波长。 解: 1、如果 n1 ? n2 ,则从不同方向到达 AC 面的波长为
?红

?0 的光线就不折射,即

?0

?1 ?

b1

?

2 0

? ?2 ?

b2

?2 0
?蓝

?0 ?
因而

b2 ? b1 ? 500nm ? 2 ? ?1

图 1-3-20

在此情形下 n1 ? n2 ? 1.5 。 2、对波长比 ?0 长的红光, n1 和 n2 均小于 1.5。反之,对波长比 ?0 短的蓝光,两个

折射率均比 1.5 要大。现在研究折射率在 AC 面上如何变化。我们已知 道,对波长为 ?0 的光, n2 / n1 ? 1 。 如果考虑波长为 ?红 而不是 ?0 的光,则由于 b1 ? b2 ,所以

15 ? 15 ?

?

b

n2 / n1 ? 1 。同理,对蓝光有 n2 / n1 ? 1 。现在我们就能画出光线穿过
组合棱镜的路径了(图 1-3-20) 。 3、 对波长为 ?0 的光, 组合棱镜可看作顶角为 30°、 折射率为 n=1.5 的单一棱镜。 图 1-3-21

?

我们知道,最小偏向在对称折射时发生,即在图 1-3-21 中的α 角相等时发生。 根据折射定律,

sin ? ? 1. 5 ? sin 15 因而 ? ? 22 50?
偏向角为

? ? 2? ? 30? ? 15? 40?
4、利用图 1-3-22 中的数据,可以写出

sin(60 ? ? ) n2 sin 30? ? ? n1 ? n1 sin 30 sin ? ;
?

A
30 ?

B
30 ?

120 ?

消去α 后得
2 3n12 ? n2 ? n2 ? 1

??

60? ? ? C

D
图 1-3-22

经变换后得

(3n ? n ? n2 ? 1)? ? (6?1b1 ? 2a2b2 )? ? 3b ? b ? 0 2 这是 ? 的二次方程。求解得出
2 1 2 2 4 2 2 1 2 2

? ? 1.18?m
例 5、玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度,内装一种在紫外 线照射下会发出绿色荧光的液体, 即液体中的每一点都可以成为 绿色光源。 已知玻璃对绿光的折射率为 n1 , 液体对绿光的折射率 为 n2 。当容器壁的内、外半径之比 r:R 为多少时,在容器侧面 能看到容器壁厚为零? 分析: 所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零” ,是指眼在 容器截面位置看到绿光从 C 点处沿容器外壁的切线方向射出, 即

i1 B
A O n2 n1
图 1-3-23

i2
C
D

本题所描述为折射角为 90°的临界折射。因为题中未给出 n1 、 n2 的大小关系,故需要分 别讨论。 解: (1)当 n1 ? n2 时,因为是要求 r:R 的最小值,所以当 n1 ? n2 时,应考虑的 是图 1-3-23 中 ABCD 这样一种临界情况,其中 BC 光线与容器内壁相切,CD 光线和容器外 壁相切,即两次都是临界折射,此时应该有

sin i2 1 ? ? n1 sin 90
设此时容器内壁半径为 r0 ,在直角三角形 BCO 中,

A

O

E r0

B

r1

C
D

sin i2 ? r0 / R 。当 r ? r0 时,C 处不可能发生临界折射,即不可
能看到壁厚为零; 当 r ? r0 时, 荧光液体中很多点发出的光都能 在 C 处发生临界折射,所以只要满足

i2

r / R ? 1 / n1
即可看到壁厚为零。 (2)当 n1 ? n2 时

图 1-3-24

此时荧光液体发出的光线将直接穿过容器内壁,只要在 CD 及其延长线上有发光体, 即可看到壁厚为零,因此此时应满足条件仍然是 r / R ? 1 / n1 。 (3)当 n1 ? n2 时 因为 n1 ? n2 , 所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为 90°的临界 折射,因此当 r ? r0 时,所看到的壁厚不可能为零了。当 r ? r0 时,应考虑的是图 1-3-24 中 ABCD 这样一种临界情况,其中 AB 光线的入射角为 90°,BC 光线的折射角为 r1 ,此时 应该有

sin 90? n1 ? sin r 1 n2
在直角三角形 OBE 中有

sin r1 ? OE / OB
因为图 1-3-23 和图 1-3-24 中的 i 2 角是相同的,所以 OE ? r0 ,即

sin 90? n1 ? r 0/ r n2



r0 ?

R n1 代入,可得当

r / R ? 1 / n2
时,可看到容器壁厚度为零。 上面的讨论,图 1-3-23 和图 1-3-24 中 B 点和 C 点的位置都是任意的,故所得条件对 眼的所有位置均能成立(本段说明不可少) 。 例 6、有一放在空气中的玻璃棒,折射率 n=1.5,中心轴线长 L=45cm,一端是半径为

R1 =10cm 的凸球面。
(1)要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜(使主光轴上无限远处物成像 于主光轴上无限远处的望远系统) ,取中心轴为主光轴,玻璃棒另一端应磨成什么样的球 面? (2)对于这个玻璃棒,由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角 度 ?1 时,从棒射出的平行光束与主光轴成小角度 ? 2 ,求 ? 2 / ?1 (此比值等于此玻璃棒的 望远系统的视角放大率) 。 分析: 首先我们知道对于一个望远系统来 说,从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为 平行于主光轴的光线,它经过系统后的出射光线 也应与主光轴平行,即像点也在主光轴上无限远 处,然后我们再运用正弦定理、折射定律及的小 角度近似计算,即可得出最后结果。
i1

P A i1 r1

n

i1 ? r1

C2 R2

R1 C1

B

F1

图 1-3-25

解: (1)对于一个望远系统来说,从主光 轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线,它经过系统后的出射光线也 应与主光轴平行,即像点也在主光轴上无限远处,如图 1-3-25 所示,图中 C1 为左端球面 的球心。 由正弦定理、折射定律和小角度近似得

AF1 ? R1 sin r1 r 1 1 ? ? 1 ? ? R1 sin(i1 ? r1 ) i1 ? r1 (i1 / r1 ) n ? 1
AF1 1 ?1 ? R1 n ?1







1 射至另一端面时,其折射光线为平行于主光轴的光线,由此可知该端面的 光线 PF

球心 C 2 一定在端面顶点 B 的左方, C 2 B 等于球面的半径 R2 ,如图 1-3-25 所示。

仿照上面对左端球面上折射的关系可得

BF1 1 ?1 ? R2 n ?1



又有

BF 1 ? L ? AF 1



由②③④式并代入数值可得

R2 ? 5cm



即右端应为半径等于 5cm 的向外凸面球面。 (2) 设从无限远处物点射入的平行光线用 a、 b 表示, 令 a 过 C1 , b 过 A, 如图 1-3-26 所示,则这两条光线经 ? 左端球面折射后的相交 n R1 R2 点 M,即为左端球面对 b C2 ? C 1 ?1 2 F1 此无限远物点成的像 点。现在求 M 点的位 置。在 ?AC1 M 中

A

?1

?1

?2

B

? ?1 ? ?1

M

R1 AM AM ? ? ?) sin(? ? ?1 ) sin ?1 sin(?1 ? ?1
⑥ 又

图 1-3-26

? ? sin ?1 n sin ?1



? 均为小角度,则有 已知 ?1 、 ?1
AM

?1

?

R1

?1 (1 ? )

1 n



1 ,即 M 位于过 垂直于主光轴的平面上。上面已知, 与②式比较可知, AM ? AF 玻璃棒为天文望远系统,则凡是过 M 点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行

的光线。容易看出,从 M 射向 C 2 的光线将沿原方向射出,这也就是过 M 点的任意光线 (包括光些 a、b)从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为 ? 2 。

? 2 C1 F1 AF1 ? R1 ? ? ? 1 C 2 F1 BF1 ? R2
由②③式可得



AF1 ? R1 BF1 ? R2

?

R1 R2



? 2 R1 ? ?2 ?1 R2



例 7、在直立的平面镜前放置一个半径为 R 的球形玻璃鱼缸,缸壁很薄,其中心离 镜面为 3R, 缸中充满水。 远处一观察者通过球心与镜 A 面垂直的方向注视鱼缸,一条小鱼在离镜面最近处以 v 2 v 速度 v 沿缸壁游动。求观察者看到鱼的两个像的相对 速度。水的折射率 n=4/3。见图 1-3-27 和图 1-3-28。 B 解: 鱼在 1 秒钟内游过的距离为 v。我们把这个 距离当作物,而必须求出两个不同的像。在计算中, 我们只考虑近轴光线和小角度,并将角度的正弦角度 本身去近似。 在 L1 点游动的鱼只经过一个折射面 就形成一个像(图 1-3-27) 。从 L1 点以角 度 ? ? ?AT1O 发出的光线,在 A 点的水 T1 中入射角为 v,在空气中的折射角为 n ? , 把出射光线向相反方向延长给出虚像位 置 K1 。显然

R1 T1

O

图 1-3-27

v
?

? C

v
E F

D ?

O

B

K1
2 v 3

图 1-3-28

?K1 AT1 ? n? ? ? ? (n ? 1)?
从三角形 K1T1 A ,有

K1T1 (n ? 1)? ? ? n ?1 K1 A ?
利用通常的近似

K1 A ? K1O ? R , K1T ? K1O ? R
于是

K1O ? R ? n ?1 K1O ? R
所以这个虚像与球心的距离为

K 1O ?

n R 2?n

水的折射率 n=4/3,从而 K1O ? 2R 。若折射率大于 2,则像是实像。由像距与物距 之商得到放大率为

K1O n ? T 1O 2 ? n
对水来说,放大率为 2。 以与速度 v 相应的线段为物,它位于在 E 处平面镜前距离为 2R 处,它在镜后 2R 远 的 T2 处形成一个与物同样大小的虚像 T2 离球心的距离为 5R 。在一般情形中,我们设

T 2O ? kR 。 T2 的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的(虚)物。因此,我们只要
确定 T2 的实像而无需再去考虑平面镜。 我们需要求出以γ 角度从 T2 发出的光线在 C 点的入射角ε , 其中 ? ? ?CT2 B 在三角 形 T2 OC 中

? T2 O kR ? ? ?k ? CO R , ? ? k?
玻璃中的折射角为

?
n

?

k? ? ?D C O? ?C D O n

需要算出角 ?DOB 。因为

?COF ? ? ? ? ? k? ? ? ? ? (k ? 1)
而且 ?COD 与 C 点和 D 点的两角之和相加,或与 ?COF 和 ?DOB 之和相加,两 种情况下都等于 180°,因此

?D O B? ? (k ? 1) ? 2
?DOB ? ? (

k? n



2k ? k ? 1) n

从三角形 DOK2 ,有

OK 2 ? k ? ? 2 k DK 2 ? 2k ? ? k ?1 ? ? ? k ? 1? n ? n ?
此外

OK 2 k ? OK 2 ? R 2k ? k ?1 n
因此像距为

OK 2 ?
若 k=5,n=4/3,得

kn R n(2k ? 1) ? 2k

OK 2 ?
放大率为

10 R 3

OK 2 n ? OT2 n(2k ? 1) ? 2k
若把 k=5,n=4/3 代入,则放大率为 2/3。 综合以上结果,如鱼以速度 v 向上运动,则鱼的虚像以速度 2v 向上运动,而鱼的实

2 v 像以速度 3 向下运动。两个像的相对速度为 2 8 2? ? ? ? ? 3 3
是原有速度的 8/3 倍。 我们还必须解决的最重要的问题是:从理论上已经知道了像是如何运动的,但是观 察者在作此实验时,他将看到什么现象呢? 两个像的速度与鱼的真实速度值,从水中的标尺上的读数来看,是一致的。实际上 观察到两个反方向的速度,其中一个速度是另一个速度的三倍,一个像是另一个像的三 倍。我们应当在远处看,因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像和鱼缸前的另一个 像。两个像的距离为 8.33R。用肉眼看实像是可能的,只要我们比明视距离远得多的地方 注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者” ,是指他观察从两个不同距离的像射来的光

线的角度变化。只要观察者足够远,尽管有距离差,但所看到的速度将逐渐增加而接近 于 8/3。他当然必须具有关于鱼的实际速度(v)的一些信息。 两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为

2n (k ? 1)(n ? 1) ? 2 ? n 2k (n ? 1) ? n
用一个充满水的圆柱形玻璃缸,一面镜子和一支杆,这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁 运动的杆代表一条鱼。

§1.4、光在球面上的反射与折射 1.4.1、球面镜成像 (1)球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从 O F C 反射定律,法线是球面的半径。一束近主轴的 平行光线,经凹镜反射后将会聚于主轴上一点 F(图 1-4-1) ,这 F 点称为凹镜的焦点。一束近 图 1-4-1 图 1-4-2 主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散,反向 延长可会聚于主轴上一点 F(图 1-4-2) ,这 F 点称为凸镜的虚焦点。焦点 F 到镜面顶点 O 之间的距离叫做球面镜的焦距 f。可以证明,球面镜焦距 f 等于球面半径 R 的一半,即

f ?

R 2

(2)球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为 例来推导: (如图 1-4-3 所示)设在凹镜的主轴上有一个物体 S,由 S 发出的射向凹镜的光 线镜面 A 点反射后与主轴交于 S ? 点,半径 CA 为反射的法线,

S ? 即 S 的像。 ?SAC ? ?S ?AC , 根据反射定律, 则 CA 为 SA S ?
角 A 的平分线,根据角平分线的性质有

A

AS CS ? AS ? CS ?

F


S? C S

由为 SA 为近轴光线,所以 AS ? ? S ?O , AS ? SO ,①式 可改写为

图 1-4-3

OS CS ? OS ? CS ?



②式中 OS 叫物距 u, OS ? 叫像距 v,设凹镜焦距为 f,则

CS ? OS ? OC ? u ? 2 f

CS ? ? OC ? OS ? ? 2 f ? ?

u
代入①式

?

?

u?2f 2 f ??

化简

1 1 1 ? ? u ? f

这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意:凹镜焦距 f 取正,凸镜 焦距 f 取负;实物 u 取正,虚物 u 取负;实像 v 为正,虚像 v 为负。

1 1 1 ? ? u ? f
上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像,各量符号遵循“实取 正,虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的,因此焦距为负值。在成像中,像长 和物 长 h 之比为成像放大率,用 m 表示,

m?

h? ? ? h u

由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况,对于凹镜,如表Ⅰ所列;对 于凸镜,如表Ⅱ所列。

表Ⅰ 凹镜成像情况 物 的性质 物 的位置 像 的位置 同 侧f 同 侧 f~2f 像 的大小 缩 小 缩 小 倒 实 像 的正倒 倒 像 的虚实 实

?



?
~2f



2f

同 侧 2f 同 侧 f~2f

等 大 放 大 放 大





2f ~f f f~ 0 虚 物





?
异 侧 ? ~0 异 侧 0~f

放 大 缩 小





?





表Ⅱ 凸镜成像情况 物 的性质 实 物 物 的位置 f~ 像 的位置 同 侧 0~f 同 侧 f~2f 同 侧 2f 同 侧 ? ~ 2f 像 的大小 缩 小 缩 小 等 大 放 大 倒 虚 倒 虚 倒 虚 像 的正倒 正 像 的性质 虚

? ?
虚 物 ~2f 2f f~ 2f

f f~ 0

?
异 侧 ? ~0 大 放 正 实

(3)球面镜多次成像 球面镜多次成像原则:只要多次运用球面镜成像公式即可, 但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜,此时就要引进虚像 的概念。 如图 1-4-4 所示,半径为 R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置,两镜顶点 O1 、 O2 相 距 2.6R,现于主轴上距凹镜顶点 O1 为 0.6R 处放一 点光源 S。设点光源的像只能直接射到凹镜上,问 S 经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处?

O1

S S2

O2

S1

图 1-4-4

S 在凹镜中成像, u1 ? 0.6R ,

f1 ?

1 R 2

1 1 1 ? ? u1 ?1 f1

1 1 2 ? ? 0.6 R ?1 R
可解得

?1 ? 3R

O1O2 ? 2.6R ,

根据题意:所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射,此时可将凹镜原来要 成像 S1 作为凸镜的虚物来处理,

u2 ? (2.6R ? 3R) ? ?0.4R ,
1 1 1 ? ? u2 ? 2 f2

f2 ? ?

R 2

?
可解得

1 1 2 ? ?? 0.4 R ? 2 R

? 2 ? 2R

说明凸镜所成的像 S 2 和 S 在同一位置上。 1.4.2、球面折射成像 (1)球面折射成像公式 (a)单介质球面折射成像 如图 1-4-5 所示,如果球面左、右方的折射率分别为 1 和 n, S ? 为 S 的像。因为 i、r 均很小,行以

sin i i ? ?n sin r r
因为



i ?? ?? ,r ?? ? ?

1

i

代入①式可有

? ? ?r ? n(? ? ? )

S uO


?

?

r

?

n
S?

C v

对近轴光线来说,α 、θ 、β 同样很小,所以有

图 1-4-5

??

x x x ?? ?? R, ? u,

代入②式可得

1 n n ?1 ? ? u ? R
当 u ? ? 时的 v 是焦距 f,所以

f ?

R ?n n ?1

曲率半径为 R,S 是物点, S ? 是像点,对于近轴光线

(b)双介质球面折射成像 如图 1-4-6 所示,球形折射面两侧的介质折射率分别 n1 和 n2,C 是球心,O 是顶点,球面

n1i1 ? n2i2 i1 ? ? ? ? , i2 ? ? ? ? ,
联立上式解得

??

A0 A A ?? 0 ?? 0 v u , R ,

n1 n2 n2 ? n1 ? ? u v r
这是球面折射的成像公式,式中 u、υ 的符号同样 遵循“实正虚负”的法则,对于 R;则当球心 C 在出射 光的一个侧, (凸面朝向入射光)时为正,当球心 C 在 入射光的一侧(凹面朝向入射光)时为负。 若引入焦点和焦距概念,则当入射光为平行于主 轴的平行光(u=∝)时,出射光(或其反向延长线) 的交点即为第二焦点, (也称像方焦点) ,此时像距即 是第二焦距 2 ,有 。当出射光为平行光 时, 入射光 (或其延长线) 的交点即第一焦点 (即
i2

?
O

i2

?

?

图 1-4-6

f

n R f2 ? 2 n2 ? n1

f 物方焦点) ,这时物距即为第一焦距 1 ,有 n R f1 ? 1 n ?n 2 1 ,将 f1 、 f 2 代入成像公式改写成
f1 f ? 2 ?1 u u
反射定律可以看成折射定律在 n2

A

h1
O

O? r1

P?

P ??

r2

? ?n1

u ??

u
t 图 1-4-7

u?

时的物倒,因此,球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到,由于反射光的 行进方向逆转, 像距υ 和球面半径 R 的正负规定应与折射时相反, 在上述公式中令 n2

? ?n1 ,

1 1 2 ? ? ? ? ?? , R ? ? R ,即可得到球面镜反射成像公式 u ? R ,对于凹面镜 R ? 0 , R R f1 ? f 2 ? f1 ? f 2 ? 2 ,厚透镜成像。 2 ,对于凸面镜 R ? 0 ,
(C)厚透镜折射成像 设构成厚透镜材料的折射率为 n,物方介质的折射率为 n1 ,像方介质的折射率为 n2 ,前 后两边球面的曲率半径依次为 r1 和 r2 ,透镜的厚度为 oo? ? t ,当物点在主轴上的 P 点时,物 距 u ? OP ,现在来计算像点 P ? 的像距。 S ? ? O ?P ,首先考虑第一个球面 AOB 对入射光的折 射,这时假定第二个球面 AOB 不存在,并认为球 AOB 右边,都为折射率等于 n 的介质充满, 在这种情况下,P 点的像将成在 P ?? 处,其像距 ? ? ? OP ?? ,然后再考虑光线在第二个球面的折 射,对于这个球面来说, P ?? 便是虚物。 因此对于球面 AOB,物像公式为

n2 n1 n ? n1 ? ? v u r1
对于球面 AOB,物像公式为

n2 n ?n n ? ? 2 v u ?t r2
这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距 u。 (2)光焦度 折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关,因而对于一定的介质及一 定形状的表面来说是一个不变量,我们定义此量为光焦度,用φ 表示:

??

n? ? n r

它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。 φ 的数值越大,平行光束折得越厉 害;φ >0 时,屈折是会聚性的;φ <0 时,屈折是发散性的。φ =0 时,对应于 r ? ? , 即为平面折射。这时,沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平 行光束,不出现屈折现象。

i

光焦度的单位是[米 ],或称[屈光度],将其数值乘以 100,就是通常所说的眼镜片的“度数” 。 (3)镀银透镜与面镜的等效

-1

C2

u
60cm 图 1-4-8

i?

h

30cm

有一薄平凸透镜,凸面曲率半径 R=30cm,已知在近轴光线时:若将此透镜的平面镀 银,其作用等于一个焦距是 30cm 的凹面镜;若将此透镜的凸面镀银,其作用也等同于一 个凹面镜,其其等效焦距。 当透镜的平面镀银时,其作用等同于焦距是 30cm 的凹面镜,即这时透镜等效面曲率 半径为 60cm 的球面反射镜。由凹面镜的成像性质,当物点置于等效曲率中心 时任一近 轴光线经凸面折射,再经平面反射后将沿原路返回,再经凸面折射后,光线过 点,物 像重合。如图 1-4-8 所示。 i ? ni ? , i ? u ? i ? , 依题意,

n ? 1?

u i? 。

u?

h h i? 60 , 30 ,故 n ? 1.5 。

i

C

CB

i?

A h? h

凸面镀银, 光路如图 1-4-9 所示。 关键寻找等效曲率中心, 通过凸面上任一点 A 作一垂直于球面指向曲率中心 C 的光线。 此光线经平面折射后交至光轴于 C B , 令 C B O ? r 则 ni ? i ? , h h? R i? i? ? r ? ? 20 cm R, r ,得 n 。 由光的可逆性原理知, C B 是等效凹面镜的曲率中心,f=10cm。 例 1、如图 1-4-10 所示,一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径 均为 r,透镜的折射率为 n,考察由透镜后表面反射所形成的实像。试 问物放于何处,可使反射像与物位于同一竖直平面内(不考虑多重反 射) 。

图 1-4-9



解: 从物点发出的光经透镜前表面 (即左表面)反射后形成虚像, 不合题意,无须考虑。



图 1-4-10 从物点发出的光经透镜前表面折射后,再经透镜后表面反射折回, 又经前表面折射共三次成像,最后是实像,符合题意。利用球面折射成像公式和球面反 射成像公式,结合物与像共面的要求。就可求解。

1 1 1 R ? ? f ? f , 2 (R 为球面半径) 球面反射的成像公式为:u v 其中反射面的焦距为 ,
对凹面镜,f 取正值,对凸面镜,f 取负值。 球面折射的成像公式为:

n1 n2 1 ? ? (n1 ? n2 ) u v R 。当入射光从顶点射向球
心时,R 取正值,当入射光从球心射向顶点时,R 取负 值。

1 n

Q

Q?

u

v

图 1-4-11 甲

如图 1-4-11 甲所示, 当物点 Q 发出的光经透镜前表面折射后成像于 Q ? , 设物距为 u, 像距为 v,根据球面折射成像公式:

n1 n2 1 ? ? (n1 ? n2 ) u v R
这里空气的折射率 n1 ? 1 ,透镜介质的折射率 n2 ? n ,入射光从顶点射向球心,R=r 取正值,所以有

1 n n ?1 ? ? u v r
这是第一次成像。

n 1
(1)

对凸透镜的后表面来说,物点 Q 经透镜前表面折射 所成的风点 Q ? 是它的物点,其物距 u1 ? ?v (是虚物) ,

Q1? u1

u1 ? ?v1
图 1-4-11 乙

Q1 (Q?)

? ,像距为 ? v1 (如图 经透镜后表面反射后成像于 Q1
1-4-11 乙所示) ,由球面反射成像公式

1 1 1 2 ? ? ? u1 v1 f2 r
将前面数据代入得

1 n

?) Q2 ? Q2 (Q1

1 1 2 ? ? ? v v1 r
这是第二次成像。

P2?

(2)

? ? P2 ? P 1
图 1-4-11 丙

? 又作为透镜前 由透镜后表面反射成的像点 Q1
表面折射成像的物点 Q2 ,其物距 u 2 ? ?v1 (是虚物) ,

? ,像距为 v 2 , 再经过透镜前表面折射成像于 Q2
(见图 1-4-11 丙所示) ,再由球面折射成像公式

n1 n2 1 ? ? (n1 ? n2 ) u v R
这时人射光一侧折射率 ,折射光一侧折射率 点,故 R 值取负值。所以可写出 (是空气) ,入射光由球心射向顶

n 1 1 ? ? (1 ? n) u 2 v2 ?r

代入前面得到的关系可得

?

n 1 n ?1 ? ? u1 v 2 r

(3)

这是第三次成像,由(1) 、 (2)两式可解得

1 n 3n ? 1 ? ? u v1 r

(4)

再把(4)式和(3)式相加,可得

1 1 2(2n ? 1) ? ? u v2 r

(5)

? 在同一竖直平面内,这就要求 为使物点 Q 与像点 Q2 u 2 ? ?v1
代入(5)是可解得物距为

u?

r 2n ? 1

说明 由本题可见,观察反射像,调整物距,使反射像与物同在同一竖直平面内, 测出物距 P, 根据上式就可利用已知的透镜折射率 n 求出透镜 球面的半径 r,或反过来由已咋的球面半径 r 求出透镜的折射 率 n。 例 2、显微镜物镜组中常配有如图 1-4-12 所示的透镜, 它的表面是球面,左表面 S1 的球心为 C1 ,半径为 R1 ,右表 面 S 2 的球心为 C 2 ,半径为 R2 ,透镜玻璃对于空气的折射率 为 n,两球心间的距离为

C1 C2

S1

透镜主轴

S2

图 1-4-12

C1C 2 ?

R2 n 。

在使用时,被观察的物位于 C1 处,试证明 1、从物射向此透镜的光线,经透镜折射后,所有出射光线均相交于一点 Q。 2、 2、

QC2 ? nR2 。

解: 首先考虑 S1 面上的折射,由于物在球心处,全部入射光线无折射地通过 S1 面, 所以对 S 2 来说,物点就在 C1 处。 再考虑到 S 2 面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为θ ,入射点为 P,入射角为 i, 折射角为 r,折射线的延长线与主轴的交点为 Q 如图 1-4-13,则由折射定律知

sin r ? n sin i
在 ?C1C 2 P 中应用正弦定理得

C1C 2 C 2 P ? sin i sin ?
已知

?
R2 / n R ? 2 sin i sin ?
O

?
C1 C 2

r

?i

R C1C 2 ? 2 n
r ??

由此得

sin ? ? n sin i ? sin r
所以

图 1-4-13

设 CP 与主轴的夹角为α ,则有

? ?? ?i ? r ?i
显然,θ ≠0 时,r<α ,因此出射线与主轴相交之点 Q 必在透镜左方。 θ 为 ?QC1 P 的外角

? ? ? ? ?Q P C 1. ? r ? (r ? i) ? i
在 ?QC2 P 中应用正弦定理,得

QC2 R ? 2 sin r sin ?
QC 2 ? R2 sin r ? nR 2 sin i

QC2 的数值与θ 无关,由此可见,所有出射线的延长线都交于同一点,且此点与 C 2 的距离为 nR2 。
例 3、有一薄透镜如图 1-4-14, S1 面是旋转椭球面(椭圆绕长轴旋转而成的曲面) , 其焦点为 F1 和 F2 ; S 2 面是球面,其球心 C 与 F2 重合。 已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处于椭球长轴的 物点射来的全部入射光线(不限于傍轴光线)会聚于一个 像点上,椭圆的偏心率为 e。 (1)求此透镜材料的折射率 n(要论证) ;
S1
S2
C

F1

F2

图 1-4-14

(2)如果将此透镜置于折射率为 n? 的介质中,并能达到上述的同样的要求,椭圆应满 足什么条件?

分析: 解此题的关键在于是正确地运用椭圆的几何性质及折射定律。 解: (1)根据题设,所有平行于旋转椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球面两次 折射后全部都能会聚于同一像点,可作出如下论证:如 N 果经椭球面折射后射向球面的光线都射向球心 C,即射 P 向旋转椭球面的第二焦点 F2 ,则可满足题设要求。光 路图如图 1-4-15 所示:PA 为入射线,AC 为经椭球面折 射后的折射线, BN 为 A 点处椭球面的法线, i 为入射角, r 为折射角。根据椭圆的性质,法线 BN 平分 ?F1 AF2 ,
1 与法线的夹角也是 r,由正弦定律可得 故 AF

i

S1

S2

rr
F1

l

?

C F2

图 1-4-15

F1 A s i n F2 A sin i i ? ?n ? ?n F1 B s i n r , F2 B sin r
从而可求得

C A
光圈

n?

F1 A ? F2 A 2a 1 ? ? F1 A ? F2 B 2c e

n

E

O

2a 为长轴的长度,2c 为焦点间的距离;即只要 n 满足以上条件, 任意入射角为 i 的平行于旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于 C(即

图 1-4-16

F2 )点。
(2)如果透镜置于折射率为 n? 的介质中,则要求

sin i n 1 ? ? sin r n ? e
即椭圆的偏心率 e 应满足

R C 2R

O

n? e? n

E

由于椭圆的 e<1,如果 n ? ? n 就无解。只要 n ? ? n ,总可 以找到一个椭球面能满足要求。

图 1-4-17

例 4、 (1)图 1-4-16 所示为一凹球面镜,球心为 C,内盛透明液体。已知 C 至液面高 度 CE 为 40.0cm,主轴 CO 上有一物 A,物离液面高度 AE 恰好为 30.0cm 时,物 A 的实像 和物处于同一高度。实验时光圈直径很小,可以保证近轴光线成像。试求该透明液体的 折射率 n。 (2)体温计横截面如图 1-4-17 所示,已知细水银柱 A 离圆柱面顶点 O 的距离为 2R, R 为该圆柱面半径,C 为圆柱面中心轴位 B? r ? ni 置。玻璃的折射率 n=3/2,E 代表人眼,求 P Q n B 图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、

A?

A

i C

i

O

E

图 1-4-19

虚像、正倒和放大倍数。 解: (1)主轴上物 A 发出的光线 AB,经液体界面折射后沿 BD 方向入射球面镜时, 只要 BD 延长线经过球心 C,光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理,折 回的光线相交于 A(图 1-4-18) 。 对空气、液体界面用折射定律有

sin i ? n?s i n r
n? sin i BE / AB ? sin r BE / CB
CE 40.0 ? ? 1.33 AE 30.0

当光圈足够小时,B→E,因此有

n?

(2)先考虑主轴上点物 A 发出的两条光线,其一沿主轴方向 ACOE 入射界面,无偏 折地出射,进入人眼 E。其二沿 AP 方向以入射角 i 斜入射界面 P 点,折射角为 r。折射光 线 PQ 要能进入人眼 E,P 点应非常靠近 O 点,或说入射角 i 折射角 r 应很小。若角度以 弧度量度,在小角(近轴)近似下,折射定律 n sin i ? sin r 可写为 r ? ni 。这两条光线 反向延长,在主轴上相交于 A? , A? 即为物 A 之虚像点(图 1-4-19) 对 ?AP A? 用正弦定律,得

sin ?A?PA sin(? ? i ) sin i ? ? A?A A?P A?P
在小角(近轴)近似下:

sin ?A?PA ? ?A?PA ? ni ? i , sin i ? i
A?P ? A?D
上式可写为

ni ? i i ? A? O ? 2 R A? O
A?O ? 2R 2R ? ? 4R 2 ? n 2 ? 3/ 2

解上式得

为了分析成像倒立和放大情况,将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体 AB,即然

A ~ A? 是一对共轭点, 只要选从 B 发出的任一条光线经界面折射后, 反向延长线与过 A? 垂轴线相交于 B ? , B ? 是点物 B 虚像点,即 A?B ? 是物 AB 之正立虚像。
选从 B 点发出过圆柱面轴心 C 之光线 BC。 该光线对界面来说是正入射 (入射角为零) , 故无偏折地出射,反向延长 BC 线交过 A? 垂轴线于 B ? ,从 ?A?B ?C ? ~ ?ABC 得

A?B ? A?C 3R ? ? ?3 AC R 放大率= AB
例 5、有一半径为 R=0.128m 的玻璃半球, 过球心 O 并与 其平面部分相垂直的直线为其主轴,在主轴上沿轴放置一细

A1

O A2

条形发光体 A1 A2 ( A2 离球心较近) ,其长度为 L=0.020m。 若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去(如图 1-4-20) , 图 1-4-20 可以看到条形发光体的两个不很亮的像(此处可能还有亮度 更弱的像,不必考虑) ,当条形发光体在主轴上前后移动时, 这两个像也在主轴上随之移动。现在调整条形发光体的位置,使得 它的两个像恰好头尾相接,连在一起,此时条形发光体的近端 A2 距 球心 O 的距离为 ?1 ? 0.020m 。 试利用以上数据求出构成此半球的玻璃折射率 n (计算时只考虑 近轴光线) 。

O
A

A?

图 1-4-21 解: 1、条形发光体的两个像,一个是光线在平面部分反射而形 成的,一个是光线经平面折射进入玻璃,在凹面镜上反射后,又经平面折射穿出玻璃而 形成的。 2 、 求 半 球 外 任 一 个 在 轴 上 的 光 点 A 的 上 述 两 个 像 。 平 面 反 射 像 在 A? 处 ,

OA? ? OA ? a (见图 1-4-21)
凹面镜反射像 D 求法如下: (1)A 点发出的光经平面折射后进入玻璃,射向凹面镜,对凹面镜来说,相当于光 线从 B 点射来(1-4-22) 。令 OB=b,则

b ? na
(2)用凹面镜公式

(1)

1 1 1 2 ? ? ? u ? f R
(f 为焦距)求凹面镜成的像 C 的位置。令 OC=C,则

B AO C

u ? b ? R ,? ? R ? C
代入上式

图 1-4-22

1 1 2 ? ? b? R R?C R
解出 C 得

E

O DC
图 1-4-23

C?

bR naR ? 2b ? R 2na ? R

(2)

由此可以看出,C 点在半球之内。 (3)由 C 点发出的光线,经折射穿出玻璃外时,由外面观察其像点在 D 处(见图 1-4-23) 。令 OD=d,则

d?

1 aR C? n 2nb ? R

(3)

D 点就是人眼所看到的光点 A 的像的位置。 由(3)式可知,a 越大,d 也越大,且 d<a

? A2 ? ,设经凹面镜反射所成的像为 3 现在,条形发光体 A1 A2 经平面反射成的像为 A1 D1 D2 。根据(3)式所得的 a 与 d 间的关系,可知 D2 离球心 O 比 D1
? 近。所以当二像恰好头尾相接时,其位置应如图 1-4-24 所示, 和 A2

? 重合 即 D1 与 A2
? OD1 ? OA2
a1 R ? a2 2na1 ? R
(4)

A2 D2 D1 A1 O A2 ? A1?
图 1-4-24

S



F2

式中 a1 为 A1 距球心 O 的距离。因此得

F1

n?
(5)

a1 ? a2 l R? R 2a1a 2 2a1a 2
S

代入已知数据:R=0.128m,

l ? 0.20 m , a2 ? 0.20m

F1

F2

a1 ? a2 ? l ? 0.40m


A

0.20 n? ? 0.123 ? 1.60 2 ? 0.20 ? 0.40

P F

M O? M?

S

O

例 6、某人的眼睛的近点是 10cm,明视范围是 80cm, 当他配上-100 度的近视镜后明视范围变成多

M

M P O

S

O?

F1
M?

F2
M?

图 1-5-1

少? 解:在配制眼镜中,通常把眼睛焦距的倒数称为焦度,用 D 表示,当焦距的单位用 m 时,所配眼镜的度数等于眼镜焦度的 100 倍。

? 100 ?
本题中此人所配的近视眼镜的度数是-100 度,此人眼睛的度数 以此近视镜的焦距为

1 ? 100 f ,所

f ?

100 ? ?1.00 m 100

当此人戴上此眼镜看最近距离的物体时,所成的虚像在他能看清的近点 10cm,由

1 1 1 ? ? u v f u?
解得物距

f ? v ? 1.0 ? (?0.10) ? ? 0.11m v? f ? 0.10 ? (1.0)

因为此人的明视远点是 10 cm +80 cm =90 cm,所以此人戴上眼镜以后在看清最远的 物体时,所成的虚像在离他 90 cm 处,再根据透镜公式可解得他能看清的最远物距是:

u?

f ? v ? 1.0 ? (?0.90) ? ? 9.0m v? f ? 0.90 ? (1.0)

所以,他戴上 100 度的近视眼镜后,明视范围是 0.11m~9.0m。 说明 不管是配戴近视眼镜还是远视眼镜,他戴上眼镜后,不是把他的眼睛治好了, 而是借助把他要看清的物体成虚像到他不戴眼镜时所能看清的明视范围内。

§1.5、透镜成像 1.5.1、透镜成像作图 (1)三条特殊光线 ①通过光心的光线方向不变; ②平行主轴的光线,折射后过焦点; ③通过焦点的光线,折射后平行主轴。 (2)一般光线作图:对于任一光线 SA,过光心 O 作轴 OO’平行于 SA, OO ? 与焦 平面 M M ? 交于 P 点,连接 AP 或 AP 的反向延长线即为 SA 的折射光线

*像与物的概念:发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物” 。一个物点 上发出的光束,经一系列光学系统作用后,若成为会聚光束,则会聚点为物的实像点; 若成为发散光束,则其反向延长线交点为物的虚像点;若为平行光束则不成像。 1.5.2、薄透镜成像公式 薄透镜成像公式是:

1 1 1 ? ? u ? f
式中 f、u、v 的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令 x ? u ? f , x ? ? ? ? f , 则有

xx? ? f 2

x1 ? 0 x2 ? 0

? 焦点”的距离, x ? 是像到“像方焦点”的距离。 S 2 从物点到焦点,若顺着光路则 x 取正,反之取负
值;从像点到焦点,若逆着光路则 x ? 取正值,反 之取负值,该式可直接运用成像作图来推导,请 读者自行推导,从而弄清 x, x? 的意义。下面用牛 顿公式讨论一个问题。

该式称为“牛顿公式” 。式中 x 是物到“物方

S1

F1 S 2 O

F2

S1?
? ?0 x1

? ?0 x2
图 1-5-2

一个光源以 v=0.2m/s 的速度沿着焦距 f=20cm 的凸透镜向光心运动, 当它经过距光心

u1 ? 30cm 和 u 2 ? 15cm 的两点时,求像所在的位置及速度。

x1 ? u1 ? f ? 10cm , x2 ? u2 ? f ? ?5cm
代入牛顿公式得

? ? 40cm , x? ? ? f ? 60cm ,? 2 ? x2 ? ? f ? ?60cm , x1 ? ?80cm , ?1 ? x1 2

? 、 x2 ? 意义如图 1-5-2 所示。 上述 x1 、 x2 、 x1
设在△t 时间内,点光源的位移为△x,像点的位移为 ? x ? ,有

x ? ? ?x ? ?

f2 f 2 ( x ? ?x) ? 2 x ? ?x x ? ?x 2

当△t→0 时△x→0,略去△x 的二阶小量,有

x ? ? ?x ? ?

f 2 f 2 ?x f 2 ?x ? 2 ? x? ? 2 x x x

?x ? ?

f 2 ? ?x x ? ? ? ?x x x2

?x ? x ? ?x x ? ?? ? ? ? ? ?? ?t x ?t x

n
P
(a)

n?
P? O

? 、 x2 ? 的值代入,求得 ?1 ? ? 0.8m / s , 将 x1 、 x2 、 x1

? ? 3.2m / s 。像移动方向与移动方向相同。 ?2
*“实正、虚负”法则:凸透镜焦距取正值,凹透镜焦 距取负值;实像像距取正值,虚像像距取负值。实物物距 取正值,虚物物距取负值。 *实物与虚物:发散的入射光束的顶点(不问是否有实 际光束通过此顶点)是实物;会聚的入射光束的顶点(永 远没有实际光束通过该顶点)是虚物。假定 n ? ? n ,P 为实 物, P ? 为虚像使所有光线都循原路沿相反方向进行,如将 (a)反向为(b)图所示,则 P0 表示光线在未遇凸面镜之 前是会聚的, P0 为虚物 P0 均为实物。 1.5.3、组合透镜成像 如果由焦距分别为 f1 和 f 2 的 A、B 两片薄透镜构成 一个透镜组 (共主轴) 将一个点光源 S 放在主轴上距透镜 u 处,在透镜另一侧距透镜 v 处成一像 S ? (图 1-5-4)所 示。 对这一成像结果, 可以从以下两个不同的角度来考虑。 因为 A、B 都是薄透镜,所以互相靠拢地放在一起仍 可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是 f,则应有

O P0
(b )

P0?

图 1-5-3

?

A B

S

S?

u 图 1-5-4

v

1 1 1 ? ? u ? f



另一个考虑角度可认为 S ? 是 S 经 A、 B 两个透镜依次成像的结果。 如 S 经 A 后成像 S1 , 设 S1 位于 A 右侧距 A 为 ?1 处,应有

1 1 1 ? ? u ?1 f1

② ,所以

因为 S1 位于透镜 B 右侧 ?1 处,对 B 为一虚物,物距为 ?1 ,再经 B 成像

1 1 1 ? ? u ?1 f1
由②、③可解得



1 1 1 ? ? ? ?1 ? f2
比较①、④两式可知



1 1 1 1 ? ? ? u ? f1 f 2
如果 A、B 中有凹透镜,只要取负的 f1 或 f 2 代入即可。 1.5.4、光学仪器的放大率 实像光学仪器的放大率 幻灯下、照相机都是常见的实像光学仪器。由于此类仪器 获得的是物体的实像,因而放大率 m 一般是指所有成实像的长度放大率,即 v=mu。 如果有一幻灯机,当幻灯片与银幕相距 2.5m 时,可在银幕上得到放大率为 24 的像; 若想得到放大率为 40 的像,那么,假设 幻灯片不动,镜头和银幕应分别移动多 L 少? Ⅱ Ⅰ A 根据第一次放映可知

B2
B

F1
O1

B1

?u1 ? ?1 ? 2.5 ? ? ? ??1 ? m1u1 ? 24u1
可解得

?

F2
O2

A1

u1 ? 0.1m , ?1 ? 2.4m
f ? u1?1 ? 0.0 9 m 6 u1 ? ?1

A2

第二次放映

d 图 1-5-5

1 1 ?1 ? ? ? ?u2 ? 2 f ? ? ? ?? 2 ? m 2 u 2 ? 40u 2
可解得

u 2 ? 0.0 9 8m 4, ? 2 ? 3.94m

比较 u 1 和 u 2 ,可知镜头缩回 1.6mm;比较 ?1 和 ? 2 ,可知银幕应移远 1.54m。 虚像光学仪器的放大率 望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。由于此类仪器得 到的是物体的虚像,目的是扩大观察的视角,因此放大率 m 一般是指视角放大率。如果 直接观察物体的视角为α ,用仪器观察物体的视角为β ,那么 m=β /α 先看显微镜的放大率。如果有一台显微镜,物镜焦距为 f1 ,目镜焦距为 f 2 ,镜筒长

m?
L,若最后的像成在离目镜 d 处,试证明显微镜的放大率 显微镜的光路如图 1-5-5 所示,AB 经物镜Ⅰ成 一放大实像 A1 B1 ,物镜的长度放大率

Ld f1 f 2 。


A B



?
O1
s f1 图 1-5-6

B1 A1

?

O2

m1 ?

A1 B1 B1O1 ? AB BO1

f2

因 f1 、 f 2 相对 L 都较小,而且 B 很靠近 F1 ,所 以

B1O1 ? L , BO1 ? f


m1 ? L / f1

A1 B1 位于目镜Ⅱ的焦点内,经目镜
成一放大的虚像 A2 B2 (通常让 A2 B2 成在 观察者的明视距离 d 上) 。因为都是近轴光 线,所以此时观察者从目镜中看到 A2 B2 的 视角β 为
光 源

聚 光画 镜片

A B C

P Q C?

B?

投影镜头

R?


Q
A?

R

AB AB AB ? ?t an ?? 2 2 ? 1 1 ? 1 1 d B1O2 f2
若观察者不用显微镜,直接观看 AB 的 视角α 为

u≈f 图 1-5-7

v

P?

A L M P
图 1-5-8

A M P
图 1-5-9

P?

AB ? ? tan ? ? d
则显微镜的放大率 m

m?

? A1 B1 d Ld ? ? ? ? f2 AB f1 f 2

不难看出目镜的长度放大率为

m2 ? d / f 2
所以有

m ? m1m2

下面再看天文望远镜的放大率,如果天文望远镜的物镜焦距为 f1 ,目镜焦距为 f 2 , 试证明天文望远镜的放大率 m ? f1 / f 2 。 望远镜成像光路如图 1-5-6 所示,远处物体 AB 由物镜Ⅰ成像 A1 B1 ,然后再由目镜Ⅱ 在 远 处 成 一 虚 像 A2 B2 ( 图 中 未 画 出 ) , 观 察 者 观 察 A2 B2 的 视 角 即 为 图 中 的 β ,

? ? A1 B1 / f 2 。若不用望远镜,观察者直接观察距望远镜 S 远处的物体 AB 的视角,近似
为图中的α

? ? AB / S ? A1 B1 / f 2
因此望远镜的放大率 m 为

m?

f f ? A1 B1 ? ? 1 ? 1 ? f2 A1 B1 f 2

1.5.5、常见的光学仪器 投影仪器 电影机、幻灯机、印相放大机以及绘图用的投影仪等,都属于投影仪器, 它的主要部分是一个会聚的投影镜头,将画片成放大的实像于屏幕上,如图 1-5-7。由于 物距 u 略大于焦距 f,画片总在物方焦平面附近,像距υ ?f,放大率 m ? ? / f ,它与像距 v 成正比。 一光学系统如图 1-5-8 所示,A 为物平面,垂直于光轴,L 为会聚透镜,M 与光轴成 45°角的平面镜。P 为像面,垂直于经平面镜反射后的光轴。设物为 A 面上的一个“上” 字,试在图 1-5-9 中实像面 P 上画出像的形状。 眼睛 眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。 从结构上看, 类似于照像机, 图 1-5-10 为眼球在水平方向的剖面图。其中布满视 觉神经的网膜,相当于照像机中的感光底 H H? 巩膜 片,虹膜相当于照像机中的可变光阑,它 后房玻璃状液 角膜 中间的圆孔称为瞳孔。眼球中的晶状体是 网膜 虹膜 晶状体 一个折射率不均匀的透镜,包在眼球外面 黄斑 瞳孔 ’ H F F 的坚韧的膜,最前面的透明部分称为角膜, N? 前房水状液 H 盲点 其余部分为巩膜。角膜与晶状体之间的部 视
神 经

图 1-5-10

分称为前房,其中充满水状液。晶状体与网膜之间眼球的内腔,称为后房,其中充满玻 璃状液。所以,眼睛是一个物、像方介质折射率不等的例子。聚焦光无穷远时,物焦距 f=17.1mm,像方焦距 f=22.8。眼睛是通过改变晶状体的曲率(焦距)来调节聚焦的距离。 眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点,分别称为它调节范围的远点和近 点。正常眼睛的远点在无穷远。近视眼的眼球过长,无穷 A? 远的物体成像在网膜之前,它的远点在有限远的位置。远 A 视眼的眼球过短,无穷远的物体成像在网膜之后(虚物 ? E F 点) 。 矫正近视眼和远视的眼镜应分别是凹透镜和凸透镜。 B ? BO F 所谓散光, 是由于眼球在不同方向的平面内曲率不同引起 的,它需要非球面透镜来矫正。 视角、 视角放大 物体的两端对人眼光心所张的角度 叫做视角, 视角的大小跟物体的尺寸及物体到人眼的距离 有关。当两物点(或同一物体上的两点)对人眼视角大小
?4 I ? (约 2.9 ? 10 m d )时,才能被人眼区分。

图 1-5-11

A B
图 1-5-12

在看小物体时,为了增大视角就要缩短物眼间距离, 但当其小于人眼近点距离时,视网膜上所成的像反而模糊 不清。为此,必须使用光学仪器来增大视角。 图 1-5-11 是人眼(E)通过放大镜观察物体 AB 的像 A?B ? ,当人眼靠近光心时视角。

?

E

? ? ? ?A?OB ? ?

A?B ? AB ? B ?O BO

若物体很靠近焦点,且成像 于明视距离,则:

B? L B ?? A
?

?
B? ? ?

L2
A?

B ?O ? 25cm
BO ? f



B ??

B

L 1 ?? F F 2 A1 B
图 1-5-13

A??

A?B ? AB ?? ? ? B ?O f
若不用放大镜将物体置于 明 视 距 离 , 如 图 1-5-12 , BE=25cm,则视角: 图 1-5-14

A?

A??

AB ? ? ?AEB ? 25cm
把用光学仪器观察虚像所

B ?? A
?

B?
??

B

F1 F2
A?

A??

图 1-5-15

得视角 ? ?? 与将物体放在虚像位置上直接观察的视角φ 的比值叫做光学仪器的视角放大

??
率。用β 表示视角放大率,即有

? ?? ?

AB 25cm f ?? ? AB f 25cm 对于放大镜,有 。
显微镜 图 1-5-13 是显微镜成像原理图。被观察物体 AB 置于物镜 L1 焦点外很靠近 焦点处, ( u1 ? f1 ) ,成放大实像 A?B ? 于目镜 L2 焦点内靠近焦点处( u 2 ? f ) ,眼睛靠 近目镜 L2 的光心可观察到位于明视距离的虚像 A ??B ?? 显微镜的物镜视角放大率

A?B? AB ? ?? f L ?? 1 ? L ? 1 ? AB AB f 1 ?1 L L

?1 未在图中画出。目镜放大率:
A?B ? A??B ?? ? ?? f2 25cm ? 2 ? 2 ? 25 ? ? A?B ? A?B ? ?2 f2 25 25cm

? 2 未在图中画出。显微镜的视角放大率:
? ? ?1 ? ? 2 ?
25L f1 ? f 2

式中 L 是镜筒长度。由于 f 2 ?L,因此在计算放大率时用 L 代表物镜像距。通常显微 镜焦距 f1 很小,多为 mm 数量级,明镜焦距稍长,但一般也在 2cm 以内。 望远镜 望远镜用于观察大而远的物体,如图 1-5-14,图 1-5-15 分别表示开普勒望 远镜和伽利略望远镜的光路图。

两种望远镜都是用焦距较长的凸透镜 做物镜。远处物体从同点发出的光线可近 似为平行光,因此将在物镜的焦平面上成 一实像 A?B ? 。 开普勒望远镜的目镜也是凸 透镜,其焦距较短,物方焦平面和物镜的 像方焦平面几乎重合。 结果, 以 A?B ? 为物, 在无穷远处得到虚像 A ??B ?? 。而伽利略望 远镜的目镜则是凹透镜,当它的物方焦平 面 (在右侧) 与物镜的像方焦平面重合时, 实像 A?B ? 却成了虚物, 经凹透镜折射成像 A ??B ?? 于无穷远处。 由图中看出伽利略望远镜观察到的像 是正立的,可用于观察地面物体,而开普 勒望远镜观察到的像是倒立的,只适合作 为天文望远镜。从图中的几何关系还可看 出两种望远镜的视角放大率均为:

A B

B1 A1

图 1-5-16

C
A

D
O

B1

N

M
B

F?

F
A1

E
图 1-5-16

??

f1 f2

还有一类望远镜的物镜是凹面镜,称为反射式望远镜。大型的天文望远镜都是反射 式望远镜。 例题 例 1、如图 1-5-16。AB 为一线状物体, A1 B1 为此物经透镜所成的像。试用作图法确 定此镜的位置和焦距,写出作图步骤。 分析: 像 A1 B1 是倒像,所以透镜应是凸透镜。物 AB 和像 A1 B1 不平行,所以物相对 于透镜的主轴是斜放的, 沿物体 AB 和其像 A1 B1 所引出的延长线的交点必在过光心且垂直 于主轴的平面上,这条特殊光线是解答本题的关键光线。
1 和 BB 1 的连线,两条连线的交点 O 就是凸透 解: 作 AA

镜光心的位置。作 AB 和 A1 B1 的延长线交于 C 点,C 点必定落 在透镜上。由 C 、 O 两点可画出透镜的位置,过 O 点且与 CO 垂直的连线 MN 就是透镜的主光轴,如图 1-5-17 所示。
1 ,该连 过 A 点作平行于主光轴的直线交透镜于 D 点,连接 DA

M F

O

F

N

图 1-5-18

线与主光轴的交点 F 就是透镜的右焦点位置。 过 A1 作平行于主 光轴的直线交透镜于 E 点,连线 EA 与主光轴的交点 F ? 就是透

S?
M F

S
O
F

N

图 1-5-19

镜左焦点的位置所在。 点评 熟练掌握凸透镜、凹透镜的成像特点和规律,并能灵活运用特 殊光线来作图是解决这一类作图题的关键。 例 2、如图 1-5-18,MN 是凸透镜主光轴,O 为光心,F 为焦点,图中所画两条光线 为点光源 S 经凸透镜折射的两条光线。用作图法确定光源 S 与像点 S ? 的位置。 分析: 经凸透镜折射后的两条出射光线它们看上去是由像点发出来的,所以两条出 射光线的反向延长线的交点就是像点 S ? 的所在位置。由于物点 发出的过光心的光线不改变方向, 由此可以确定物点 S 落在 S ?O 直线上, S ? 与凸透镜右焦点 F 的连线交凸透镜于 P 点,由于物 点发出的平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过 F 焦点,所以 过 P 点作与主光轴 MN 的平行线与 S ?O 相交处就是物点 S 所在 位置。如图 1-5-19 所示。 解: 反向延长两条出射光线,它们的交点就是像点 S ? ,分 别作 S ? 和 O 的连线, S ? 和 F 的连线且与凸透镜交于 P,过 P 点 作与 MN 的平行线 PS 与 S ?O 交于 S,S 就是物点所在位置。 点评 正确理解像的物理意义,物与像之间的关系,才能 顺利解答这类作图题。 例 3、在斯涅耳的档案中有一张光学图(见 1-5-20) ,由于 墨水褪色只留下三个点;一个薄透镜的焦点 F,光源 S 和透镜上 的一点 L。 此外还留下一部分从光源 S 画到其像 S ? 的直线 a。从 正文中知道 S 点比 S ? 点更靠近透镜,有可能恢复这张图吗?如果可能,把它画出来,并 确定图中透镜的焦距。 解: 1、令 O 为透镜的光学中心; 2、F 和 O 点应位于垂直于透镜的光轴上,因此 ?FOL 是直角; 3、连接光源及其像的直线总是通过透镜的光学中心; 4、连接 F,L 点并以线段 FL 的中点 C 为圆心,画一通过 F 及 L 点的圆; 5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角,可以判定 O 点位于圆和直线 a 的交 点上; 6、从圆中找到 O 点的两个可能的位置( O1 和 O2 ) ; 7、恢复出两种可能的示意图,如图 1-5-21 所示; 图 1-5-20

S
F

a
L

S
2F

a

n2

n1
O2

2F

F C

O1 L

图 1-5-21

8、由于光源 S 比其像 S ? 更靠近透镜, 可以断定只有透 镜 n1 符合题意。实际上,对 透镜 n1 可以看到 S 到 n1 的距 离大于二倍焦距,因此 S ? 到

M1

L1
A

L2
F1?
O
f

M2 F2?

F1
f 2

F2
f f f

n1 的距离小于二倍焦距。
例 4、焦距均为 f 的二凸 透镜 L1 、 L2 与两个圆形平面

f

f

f 2

图 1-5-22

反射镜 M 1 、 M 2 放置如图 1-5-22。二透镜共轴,透镜的主轴与二平面镜垂直,并通过二 平面镜的中心,四镜的直径相同,在主轴上有一点光源 O。 1、画出由光源向右的一条光线 OA(如图 1-5-22 所示)在此光学系统中的光路。 2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置(O 点除外)形 成光源 O 的能看到的像,哪些是实像?哪些是虚像。 3、现在用不透明板把 L1 和 L2 的下半部(包括透镜中心)都遮住,说出这些像有什 么变化。

M1
P

L1
A

L2
F1?
O

M2 F2?
f 2

Q

F1
f 2

F2

图 1-5-23

解: 1、光线 OA 的第一次往返光路如图 1-5-23 所示。当光线由图中左方返回经 O 点 后,将继续向右下方进行,作第二次往返。第二次往返的光路在图中未画出,可按图中 光路对称于主轴画出。以后,光线重复以上两种往返光路。

2、向右发出的光线: F2? 处成实像,右方无限远处成虚像; F1 处成实像;P 处( M 1

f 左方 2 处主轴上)成虚像。
向左发出的光线: F1 处成实像;左方无限远处成虚像; F2? 处成实像;Q 处( M 2 右

f 方 2 处主轴上)成虚像。
3、 向右发出的光线只在 F2? 处成实像。 向左发出的光线只在 H F 2f F/

F1 处成实像。两像均比未遮住
时暗。

例 5、 一平凸透镜焦距为 f, 图 1-5-24 其平面上镀了银,现在其凸面一 侧距它 2f 处,垂直于主轴放置一高为 H 的物,其下端在透镜的主轴上(图 1-5-24) 。 (1)用作图法画出物经镀银透镜所成的像,并标明该像是虚、是实。 (2)用计算法求出此像的位置和大小。 分析: 这道题实质是一个凸透镜与一紧密接合的平面镜的组合成像问题。虽然我们 画不出光线经透镜折射后射向平面镜的光路,但光路仍然遵守凸透镜与平面镜成像规律, 这是我们在具体分析光路时必须牢牢抓住的一点。成像的计算也是遵守凸透镜与平面镜 的成像计算方法的。 解: (1)用作图法求得物 AP 的像 A?P ? 及所用各条光线的光路如图 1-5-25 所示。 说明: 平凸透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜 L 和与它密接的平面镜 M 组合 LM, 如图 1-5-25 所示。图中 O 为 L 的光心, AO F ? 为主轴,F 和 F ? 为 L 的两个焦点,AP 为物。 作图时利用了下列三条特征光线: ①由 P 射向 O 的入射光线,它通过 O 后方向不变,沿原方向射向平面镜 M,然后被 M 反射,反射光线与主光轴的夹角等于入射角,均为α 。反射线射入透镜时通过光心 O, 故由透镜射出时方向与上述反射 LM 线相同,即图中的 OP ? 。 P S/ Q ②由 P 发出且通过 L 左方焦点 H F 的入射光线 PFR,它经过 L 折射 / F A ? F/ 后的出射线与主轴平行, 垂直射向 A ? O 平面镜 M,然后被 M 反射,反射 / P 光线平行于 L 的主轴,并向左射入 L, 经 L 折射后的出射线通过焦点 F, S T 图 1-5-25

即为图个中 RFP。 ③由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ,它经过 L 折射后的出射线将射向 L 的焦点

F ? ,即沿图中的 QF ? 方向射向平面镜,然后被 M 反射,反射线指向与 F ? 对称的 F 点,
即沿 QF 方向。此反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出:通过 O 作平行于 QF 辅助线

S ?OS , S ?OS 通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点。由于入射平行光线经透
镜后相交于焦面上的同一点,故 QF 经 L 折射后的出射线也通过 T 点,图中的 QT 即为 QF 经 L 折射后的出射光线。 上列三条出射光线的交点 P ? 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应的 A? 即 A 的像点。 由图可判明,像 A?P ? 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可得 A?P ? ,即为 正确的答案。 (2)按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的位置、大小。 物 AP 经透镜 L 成的像为第一像,取 u1 ? 2 f ,由成像公式可得像距 ?1 ? 2 f ,即像 在平面镜后距离 2f 处,像的大小 H ? 与原物相同, H ? ? H 。 第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。第一像在反射镜 M 后 2f 处,对 M 来说 是虚物,成实像于 M 前 2f 处。像的大小 H ?? 也与原物相同, H ?? ? H ? ? H 。 第二像作为物, 再经透镜 L 而成的像为第三像。 这是因为光线由 L 右方入射。 且物 (第

1 1 1 ? ? f 可得像距 二像)位于 L 左方,故为虚物,取物距 u3 ? ?2 f ,由透镜公式 u 3 ? 3

? ?
3

fu 3 ?0 u3 ? f

2 f 上述结果表明,第三像,即本题所求的像的位置在透镜左方距离 3 处,像的大小

H ??? ? 3 1 ? ? 3 求得,即 H ??? 可由 H ?? u 3
H ??? ? 1 1 H ?? ? H 3 3
C F O F

1 像高为物高的 3 。
例 6、如图 1-5-26 所示,凸透镜 焦距 f=15cm, OC=25cm, 以 C 为圆心、 r=5cm 为半径的发光圆环与主轴共 面。 试求出该圆环通过透镜折射后所

图 1-5-26

y,yˊ P x C F O F xˊ Pˊ

图 1-5-27

成的像。 分析: 先考虑发光圆环上任意一点 P 经透镜所成之像,当 P 点绕圆环一周时,对应 的像点的集合就构成整个发光圆环通过透镜所成的像。因此可用解析几何的方法讨论本 题。 解: 如图 1-5-27 所示,以 O 点为直角坐标系原点建立坐标系 xOy 和 x?Oy ? 。考虑发 光圆环上任一点 P(x,y) ,则有

( x ? 25) 2 ? y 2 ? 52



发光点 P(x,y)的像为 P?( x?, y ?) ,根据透镜成像公式及放大率关系可有

1 1 1 ? ? x x? f y ? x? ? y x
联立②、③式解得





x?

15 x ? x ? ? 15



y?

15 y ? x ? ? 15



将④、⑤式代入①式中并整理得

( x? ? 45) 2 y?2 ? ?1 152 (5 3) 2



⑥式即为所需求的圆环之像。这是一个对称中心位于光心 45cm 处,以主光轴为长轴 的椭圆。 讨论 如果把发光圆环用一球壳取代,则根据对称性,球壳的像是以圆环的像绕主 轴旋转一周行成的一椭圆。 点评 曲线形线状物通过透镜所成的像 也是一定曲线状,至于是什么样的曲线,要 视具体情况而定。例如本题中的发光圆环所 成的像变为一椭圆环就是一例。本题的关键 是要建立恰当的物方和像方坐标系来球解问 题。 r1 B d A

r2 f

F

图 1-5-28

例 7、求厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件。并且不同类型的透镜,讨论可行 性。 解: 我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征;球形表面的半径 r1 和 r2 , 厚度 d 和折射 n(图 1-5-28) ,焦距 f=BF 由下式给出

?1 1 1 ? n ?1? 1 ? ? (n ? 1) ? ? ? d ? ? ? f ? n ? r1 r2 ? ? r1 r2
焦距是从主点 B 算起的。B 离表面的距离为

BA ? h ?

r2 d n(r1 ? r2 ) ? d (n ? 1)

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立,但只对近轴光线才给满意结果,因为是在一 定的近似下得到的。 光被透镜色散。透镜对波长 ?0 的折射率是 na ,对波长 ?b 的折射率是 nb 。按折射率 n 的幂次整理焦距公式,得

f (r1 ? r2 ? d )n 2 ? [2 fd ? f (r1 ? r2 ) ? r1r2 ]n ? fd ? 0
这是一个二次方程。给定一个 f 值,应有两个 n 值,因此,我们的问题可以解决。 先后以 na 和 nb 代入方程,并令其相等

?1 1 na ? 1 ? (na ? 1)? ?r ? r ?d?n rr ? ? 2 a 1 2 ? ? 1

?1 1 nb ? 1 ? ? (nb ? 1)? ?r ? r ?d?n rr ? ? 2 b 1 2 ? ? 1
整理后得到

? 1 r1 ? r2 ? d ? ?1 ? n n a b ?

? ? ? ?

如果半径 r1 , r2 与厚度 d 满足这一条件,则对两个不同的波长,即对两不同的折射率 来说,焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积 na nb 在起作用,而不是色散( nb ? na ) 。 因折射率大于 1,于是括号内的数值小于 1,说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜将是 相当厚的。 结果讨论:首先,透镜不可以是平凸或平凹的,因为这种透镜有无限大的半径。其

次, r1 和 r2 之一为负的发散透镜是许可的,但不能是双凹透镜。 如果要求的不是 f 而是(f-h)对两个折射率有相同的值。实 现这一点也是可能的,但却是一个复杂得多的问题。 例 7、照相机镜头 L 前 2.28m 处的物体被清晰地成像在镜头 后面 12.0cm 处的最相胶片 P 上,两面平行的玻璃平板插入镜头 与胶片之间,与光轴垂直,位置如图 1-3-29 所示。设照相机镜 头可看作一个简单薄凸透镜,光线为近轴光线。 1、求插入玻璃板后,像的新位置。 2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变,若要求 物体仍然清晰地成像于胶片上,则物体应放在何处? 解: 解法 1 1、折射率为 n,厚度为 d 两面平行的玻璃板,对于 会聚在像点 P ? 的傍轴光束的折射作用可如下方法求出: 如 图 1-3-30,取任一指向 P ? 点的傍轴光线 C P ? ,此光线经 平行玻璃板折射的光路为 CDE P ?? , 在平板第一面的入射角 i 与折射角 r 均为小角度,反向延长 E P ?? 交 D 点处的法线 于 F,容易看出,DE P ?? P ? 为平行四边形,则
C
i
D F

L

0.90cm
z z

P

A zB
8.0cm 12.0cm 图 1-3-29
z

r

E

b

P?P?? ? DF ? b / tan? ? b / tani
平行板厚度 d 为

d

P?

P ??

d ? b / tan?


图 1-3-30

P?P?? ? d (1 ? tan? / tani)

因为 i 与 r 都很小,所以

t an ? /t a n i ?sin ? /s i n i ? 1/ n
故得

? 1? P?P?? ? d ?1 ? ? ? n?
以上结果对任何会聚于 P ? 点的傍轴光线均成立, 所以向轴上 P ? 点会聚的傍轴光束经 平行玻璃板折射后会聚于轴上 P ?? 点。在这种情形下,平行玻璃板的作用是使像点向远离 平板方向移动距离 P ? P ?? ,由题给数据得

P?P?? ? 0.9 ? (1 ? 1 / 1.5) ? 0.3(cm)
故像成在镜头后面 12.0+0.3=12.3(cm)处。

2、设照像机镜头焦距为 f, 不放玻璃板时有 1/228+1/2=1/f, 可得 f=11.4cm。

插入玻璃板时,若要像仍成在离镜头 12cm 处的胶片上,应改变物距使不放玻璃板时 成像在镜头后面 v 处,即 v=12.0-0.3=11.7(cm)。 设这时物距为 u,则 1/u+1/11.7=1/11.4, 得 u≈4.45m。

即:物体置于镜头前 4.45m 时,插入玻璃板后,仍可在胶片上得到清晰的像。 解法 2 1、对于玻璃板第一面上的折射,其物距为
n0 ? 1.0 n ? 1.5

AP ? ?8.9cm , n0 ? 1.0 , n ? 1.5
根据公式 可得

AP 1 / AP ? ?n / n0

(见图 1-5-31)

A

p

p1

AP (cm) 1 ? ? AP ? n / n0 ? (?8.9)(?1.5 / 1.0) ? 13.35
对于玻璃板第二面上的折射, (见图 1-3-32) 其物距为

图 1-5-31

BP 1 ? ?( AP 1 ? AB) ? ?12.45cm
又根据 可得

n ? 1 .5

BP 2 / BP 1 ? ?n / n0

n0 ? 1.0

BP 2 ? (?n / n0 ) BP 1 ? (?1.0 / 1.5)(?12.45) ? 8.3(cm)
故像成在镜头后面的像距为

B

p 2 p1

? ? 3.1 ? 0.9 ? 8.3 ? 12.3(cm)
比原像向后移动△v,即

图 1-5-32

?? ? 12.3 ? 12 ? 0.3(cm)
2、设照像机镜头焦距为 f,不插入玻璃板时,

1/f=1/228+1/12, 得 f=11.4cm。

要使放上玻璃板后,像还成在离镜头 12cm 处的胶片上,可采用个光路可逆性原理从 已知像 P2 的位置,求此物体应在的位置。 对于玻璃板第二面上的折射:

n ? 1.0 ,设与之相应的物为 P 2 ? 8cm , n ? 1.50 , 0 1 ,则可得 已知:像距 BP
BP 1 (?n / n0 ) ? BP 2 ? ?12cm
对于玻璃板第一面上的折射: 物 L1 L2

n ? 1.0 ,设与之 1 ? 12.9cm , n ? 1.5 , 0 已知:像距 AP 相应的物为 P,则可得
AP ? (?n / n0 ) ? AP 1
? (?1.0 / 1.5) ? 12.9 ? ?8.6(cm)


图 1-5-29

对于凸透镜,像距为 v=8.6+3.1=11.7(cm) ,则此时物距为 u,则有 1/u+1/11.7=1/11.4, u=4.45m。 即物体应放在照相机镜头前 4.45m 处,才能在胶片上得到清晰的像。

例 8、有两个焦距分别为 f a 和 f b 的凸透镜。 如果把这两个透镜做适当的配置, 则可使一垂直 于光轴的小物体在原位置成一等大、倒立的像, 如图 1-5-33 所示。 试求出满足上述要求的配置方 案中各透镜的位置。 分析: 首先,我们应根据题目给出的条件, 分析得出物经透镜 L1 、 L2 所成像的虚、实与大 小,从而得出光学系统的配置关系;然后再运用 透镜成像公式求出光学系统中物、 L1 、 L2 位置 的具体距离与 f a 、 f b 的数量关系。

L1 d v d-v u
O1

L2

O2

d+u 图 1-5-31

解: 设光线由左向右,先后经过两个凸透镜而成像于题目所要求的位置。反回去考 虑,光线经过第 2 个透镜后将继续向右传播,所以最后成的像必为虚像才能满足题设要

求。由此判定,作为透镜 2 的“物”必在其左侧,物距 u 2 小于透镜 2 的焦距 f 2 ,并且是 倒立的。再考虑到透镜 2 的“物”应该是透镜 1 对给定的傍轴物体所成的像(中间像) , 它只能是给定物的倒立实像, 必然成像在透镜 1 的右侧。 (由于最后的像与原物同样大小, 还可以肯定中间像一定是缩小的。 )以上分析表明,光线系统的配置如图 1-5-28 所示。 根据图上标明的两透镜位置和物距、像距,有

1 1 1 ? ? u ? f1
因最后像为虚像,则

① L1 L2

1 1 1 ? ? d ?? d ? u f2
又因物、像大小相等,则



F′ F (共焦)

u

?

?

u?d d ??



由③得

d 2cm 图 1-5-34

18cm

??

ud 2u ? d

代入①②并经过化简可得

d ? 2 f1 f 2 ,

u?

2 f1 f2 ?

f2 f1

因题图中要求 u ? 0 ,故必须 f 2 ? f1 。由以上分析可知,要取焦距较小的透镜(即 如 f a ? f b ,取透镜 a,反则反之)作透镜 L1 ,放在物右方距离 u 处,而把焦距较大的透 镜作为 L2 透镜放在透镜 L1 右方距离 d 处,就得到题所要求的配置方案。 例 9、焦距为 20cm 的薄凸透镜和焦距为 18cm 的薄凹透镜,应如何放置,才能使平 行光通过组合透镜后成为 1、平行光束;2、会聚光束;3、发散光束; (所有可能的情况均绘图表示) 。

L1

L2 L2 F2 F′ d 图 1-5-36 F2 F1 L1

图 1-5-35 解: 设凸透镜主焦点为 F1 , F1? ;凹透镜主焦点为 F2 , F2? 。 1、平行光束 (1)凸透镜在前时,d=2cm,d 为两透镜间距离(见图 1-5-34) 。 L1 F2 F1 F2 F′ L2 L1 L2

图 1-5-37

d 图 1-5-38

d
L1 L2

L3
Q

F1 F2 L 2 L1 图 1-5-39

P

O1

d

O2

d

O3

P2

图 1-5-40

(2)凹透镜在前时,d=2cm,根据光路可逆性原理,这相当于把前面的系统反过来。 2、会聚光束。 (1) 凸透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-35) 。

(2) 凹透镜在前时 d>2cm(图 1-5-36) 。 3、发散光束 (1)凸透镜在前时,d>2cm(图 1-5-37) (2)凸透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-38) 凹透镜在前时,20cm>d>2cm(图 1-5-39) 10、焦距 f 的数值均相同的三个薄透镜 L1 、 L2 与 L3 ,依次为凸透镜、凹透镜与凸 透镜,它们构成一个共轴光学系统,相邻透镜间的距离均为 d ,各透镜的光心分别为

O1 , O2 , O3 ,如图 1-5-40 所示,在透镜 L1 左方,位于主光轴上的物点 P,经过此光学系统
最终成像于透镜 L3 右方的 Q 点 少? 若距离 PO2 ? O2 Q , 则物点 P 与透镜 L1 的距离应为多

分析: 此题按陆续成像考虑,一个一个透镜做下去也能得出⑥式的解,但列式子时 容易出错,不如考虑对称性的解法,有清晰的物理图像,求解主动。 此题的⑦式的解也以用“P 经 L1 成像 O2 ”的思 路解出最为简明,但能这样想必须以“透镜成像时, 若物距为零则像距也为零”作为已知结论才行。 解:(1)该系统对凹透镜 L2 而言是一左右对称的 光学系统。依题意,物点 P 与像点 Q 处于对称的位置 上,即对凹透镜 L2 而言,物点及经它成像后的像点 应分居 O2 的两侧,且物距 u 2 与像距 ? 2 相等。即
L1
P

L2

L3
Q

Q2

O1

O2

O3

P2

图 1-5-41

u2 ? ? 2
1 代入凹透镜 L2 的物像公式
P

L1

L2
Q2

L3
Q
d

O1

d

O2

P2

O3

图 1-5-42

1 1 1 ? ?? u2 ? 2 f
解得

2 3

u 2 ? ? 2 ? ?2 f ? 0

物距与像距均为负值表明: 物点 P 经透镜 L1 成像后, 作为凹透镜 L2 的物点 P2 位 于它的右侧,因而是虚物,经凹透镜 L2 成像于它的左侧,为一虚像,虚像点 P2 与虚像点

Q2 的凹透镜 L2 位于对称位置(图 1-5-41)

?1 ? 2 f ? d
代入凸透镜 L1 的物像公式

4

1 1 1 ? ?? u1 ?1 f
解出

5

u1 ?

f (2 f ? d ) f ?d

(2)由②式,凹透镜 L2 的像距可表示为

?2 ? ?

fu 2 ?f ? f u2 ? f 1? u2

当物点 P2 由右向左逐渐趋近于 O2 时,即物距 u 2 由负值逐渐增大而趋于零时, 像距 ? 2 亦由负值逐渐增大趋于零,即像点 Q2 由左向右亦趋近于 O2 。即 u 2 ? 0 时,

? 2 ? 0 当 u 2 ? 0 时, ? 2 ? 0 ,即对凸透镜 L1 而言,像距?1 ? d ,参见图 1-5-42,代入
⑤式

1 1 1 ? ?? u1 d f
解得:

u1 ?

fd d? f

7

此结果表明,当物点 P 经过透镜 L1 后恰成像于透镜 L2 的光心 O2 上,由系统的对称

性,可知经透镜 L3 后,将成像于对称点 Q。像距 ? 3 数值为

?3 ?

fd d? f

由此可知⑥式与⑦式均为所求的解,但对⑦式的结果,透镜间距 d 必须满足条件

d? f

8

这也可以从另一角度来考虑,当 P 通过 L1 成像正好在 L2 的光心处时,它经过 O2 的 像仍在原处,即 u 2 ? ? 2 ? 0 。这样也可得到上面的结果。 例 11、 一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射, 经透镜折射后, 会聚于透镜后 f=48cm 处,透镜的折射率 n=1.5。若将此透镜的凸面镀银,物置于平面前 12cm 处,求最后所成 像的位置。 分析:平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜,我们可根据平凸透镜平行光汇聚的几何 关系求出凸球面的曲率半径 R,即求出凹面镜的焦距,根据平面折射成像及凹面镜成像的 规律可进一步求出最后所成像的位置。 解:(1)先求凸球面的曲率求径 R。平行于主光轴的光线与平面垂直,不发生折射, 它在球面上发生折射, 交主光轴于 F 点, 如图 1-5-43 所示, C 点为球面的球心,CO ? R , 由正弦定理可得

R? f sin r ? R sin(r ? i)
由折射定律知

i
1

r

C

i

r ?i O
f

E

sin i 1 ? sin r n

2

图 1-5-43

当 i、r 很小时, sin r ? r , sin(r ? i) ? r ? i , sin i ? i 由以上两式得

1?
所以

f r n 1 ? ? ? 1? R r ? i n ?1 n ?1
R ? (n ? 1) f
4

3

P ? P ??? C P?

P

O

(2)凸面镀银后将成为半径 R 的凹面镜,如图 1-5-44 所示令 P 表示物所在的位置,P 点经平面折射成像于 P ? ,根 据折射定律可推出

12cm 图 1-5-44

P?O ? n PO

5

由于这是一个薄透镜, P ? 与凹面镜的距离可认为等于 P?O ,设反射后成像于 P ?? , 则由球面镜成像公式可得

1 1 2 ? ? P ?O P ?O R

6

因此可解得 P ?O ? 36 cm ,可知 P ? 位于平面的左方,对平面折射来说,是一个虚物, 经平面折射后,成实像于点。

P ???O 1 ? P ??O n

7 8

P???O ? 24(cm)
最后所成实像在透镜左方 24cm 处。

例 12、在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为 90mm 的 凸透镜,在透镜下方中轴线上距透镜 100mm 处平放一个圆面形光 源(如图 1-5-45) 1、光源产生一个半径为 45mm 的实像,求此实像的位置。 2、若往容器中注水,水面高于光源 10mm,求此像的位置。 3、继续注水,注满容器但又恰好不碰上透镜。求此时像的大小。 解:1、设 u,v,f 分别为物距、像距和焦距,由成像公式 图 1-5-45

1 1 1 ? ? u ? f


γ h′ h i

? ? uf /(u ? f )
代入 u=100mm,f=90mm,得

? ? 900 mm
又从放大率公式知光源的半径 b 为

b ? ub? / ? ? 5mm
2、注入水后,当水面高于光源 h(mm)时,由于水面的折射

图 1-5-46

作用,使光源等效于上浮一段距离,等效光源在距水面 h? 处。设 i,r 分别为入射角和折射 角,则 h? ? cot? , h ? cot i (图 1-5-46) ,对近轴光线

h? / h ? t a n i/t a ? n ?t an ? /s i n ? ? n / n水 ? 3 / 4

故原来的物距 u 在注入水后变成等效物距 u

?

u ? ? u ? h ? h? ? u ? h / 4
于是像距为

h? ? h ? ? u ? ? u ? f /(u ? ? f ) ? ? u ? ? f /? u ? ? f ? 4? ? 4 ? ?
本小题中,h=100mm,u=100mm,故得

? ? ? 1170m m
实像在透镜上方 1170mm 处。 3、当水注满而又恰好不碰上透镜时,仍可用上面的公式,但此时 h=100mm,

u? ? u ?

h ? 75 mm 4

等效光源已在焦距之内,此时像的半径为

b? ? b? ? / u ? ? bf /(u ? ? f ) ? ?30mm
此时所成像是一半径为 30mm 的正立虚像,位于透镜 下方。 例 13、 有一个由单个凸透镜构成的焦距为 12cm, 暗箱 的最大伸长为 20cm 的照相机, 要用这个照相机拍摄距镜头 15cm 处的物体, 需要在镜头上附加焦距为多少的一个薄透 镜,使暗箱最大伸长时,像能清晰地呈现在底片上?(假 设两个薄透镜紧贴着,其间距离可以忽略不计) 分析:这是一个组合透镜成像的问题,可以从两个不 同角度来考虑求解。 (1)依照成像先后顺序,物体经前一 个透镜成的像视为后一透镜成像之物,重复运用透镜成像 公式来求解; (2)把组合透镜视为一个透镜整体来处理, 再根据组合透镜的总焦距与各分透镜之间的关系式来求 解。 解法一:将附加薄透镜加在镜头的前面,照相机镜头 焦距为 12cm,暗箱最大伸长为 20cm,设它能拍摄的物体 的最近距离为 u。 以 f=12cm,v=20cm 代入透镜成像公式,可以求得 u。

A?
A B?F ?
附加薄透镜

O 15 cm 30 cm
B

F?

30 cm

(a)
A?
主透镜

B?
F

F B??

O

12cm 30cm (b)


20cm

A??

A B



B??

15cm (C) 图 1-5-47

A??

1 1 1 ? ? u ? f u? f? 12 ? 20 ? ? 30cm u ? f 20 ? 12

设附加镜头的焦距为 f ? ,它的作用是使距镜头 15cm 的物体成像在 30cm 处。 以 u=15cm,v=-30cm 代入透镜成像公式,可以求得 f ? 。

1 1 1 ? ? f? u ? f?? u? 15 ? (?30) ? ? 30(cm) u ? ? 15 ? (?30)

所以 f ? ? 30cm ,是凸透镜,光路图如图 1-5-47 所示。 图 1-5-47(a)表示附加薄透镜的作用是将距镜头 15cm 的物体在 30cm 处造成的虚像 A ?B ? 。 图 1-5-47 (b) 表示以 A?B ? 为物, 经主透镜成像于镜后 20cm 处底板上成实像 A ??B ?? 。 图 1-5-47(c)表示附加透镜加在主透镜的前面,距透镜 15cm 的物体 AB,其所发的光线 经附加透镜和主透镜折射后在另一侧 20cm 处得一实像 A ??B ?? 。 解法二:将附加薄透镜加在镜头后面。 无附加透镜时,物距 u=15cm,焦距 f=12cm,像距为 v。



1 1 1 ? ? u ? f fu 12 ? 15 ?? ? ? 60cm u ? f 15 ? 12
设附加镜头的焦距为 f ? , 上述像即附加透镜中的 2
F?

主透镜

A B B?



12cm 15cm (a)

2 1
A?

虚物,此时物距为 u ? ? ?60cm ,像距为 ? ? ? 20 cm 。

附加薄透镜
O?
B?? F?



1 1 1 ? ? u? ? ? f ?
f?? u ?? ? ? 30cm u? ? ? ?

1 3

A??

1 (b)




光路图如图 1-5-48 所示。 图 1-5-48(a)表示距主透镜 15cm 的物体,在主透镜

A B



透镜

B??

15cm (c) 图 1-5-48

A??

另一侧成一距透镜 60cm 的实像 A?B ? 。图 1-5-48(b)表示附加透镜附于主透镜之后,光 线①因通过光心方向不变,由物体射出之光线,经主透镜折射后其中的光线②再经附加 透镜的折射,改变方向为光线③因而成像于 A ??B ?? 处。图 1-5-48(c)表示距透镜 15cm 的 物体,经主透镜、附加透镜折射后成像于另一侧 20cm 处。 解法三: 照相机镜头焦距 f=12cm, 附加薄凸透镜焦距为 f ? ,相当于一个焦距为 F 的凸 透镜,且有

1 1 1 ? ? F f f?
因为

u ? 15cm , ? ? 20cm
1 1 1 ? ? u ? F
所 以 f1=-20cm
10cm L1

F?

u? 15 ? 20 60 ? ? (cm ) u ? ? 15 ? 20 7
把求得的 F 值代入①式 有

f2=-10cm
5cm L2

A 6cm

B

6cm

1 1 1 ? ? 60 12 f ? 7
则 f ? ? 30(cm) 即为所求附加薄透镜焦 距。

45?

n=1.5

f1 图 1-5-49

f2

点评:透镜与透镜、透镜与平面镜、棱镜、球面镜等一个或多个光学元件构成一个 光学系统的成像问题是一类典型的问题,对于这类问题,一方面要注意不同的光学元件 各自的成像规律,另一方面要注意成像的先后顺序以及像与物的相对性。即前一光学元 件的像视为后一光学元件之物。 例 14、长度为 4mm 的物体 AB 由图 1-5-49 所示的光学系统成像,光学系统由一个直 角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成,各有关参数和几何尺寸均示于图中。求: 1、像的位置; 2、像的大小,并作图说明是实像还是虚像,是正立还是倒立的。 解: 解法 1

1、分析和等效处理 根据棱镜玻璃的折射率,棱镜斜面上的全反射临界角为

? c ? arcsin

1 ? 42 ? n

6cm 6cm 10cm L1

5cm L2

注意到物长为 4mm ,由光路可估 算,进入棱镜的近轴光线在斜面上的入 射角大多在 45?左右,大于临界角,发 生全反射,所以对这些光线而言,棱镜 斜面可看成是反射镜,本题光路可按反 射镜成像的考虑方法,把光路“拉直” , 如图 4-3-34 的示。

45?

N=1.5

图 1-5-50

现在,问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为 6cm 的平玻璃板及其后的 会聚透镜、发散透镜成像的问题。 ? ? 2、求像的位置 厚平玻璃板将使的近轴光线产生一个向右侧移动一 定距离的像,它成为光学系统后面部分光路的物,故可 称为侧移的物。 利用沿光轴的光线和与光轴成 a 角的光线 来讨论就可求出这个移动的距离。 设轴上物点为 B, 由于厚度平玻璃板的作用而形成的 像点(即侧像的物点)为 B ? (图 1-5-51) 。画出厚平玻璃 板对光线的折射,由图可知
?

B

?
?l

d
B?

d

?

?

D

图 1-5-51

?l ? d (cot? )


d ? D(tan? ? tan ? )

所以 当 a 为小角度时

? tan ? ? ?l ? D?1 ? ? ? tan? ?
tan ? sin ? 1 ? ? tan ? sin ? n

故得

? 1? ?l ? D?1 ? ? ? 2cm ? n?
这也就是物 AB 与它通过厚平玻璃板所成的像之间的距离。

这个像对透镜 L1 来说就是物,而物距

u1 ? [(6 ? 2) ? 6 ? 10]cm ? 20cm
可见,物证好在 的左方焦平面上,像距即为

?1 ? ?
再考虑透镜 L2 ,这是平行光线入射情况

A?

A??

f2 L1 L2

u2 ? ?
所以必成像于这个发散透镜 L2 左侧焦平面上(虚 像) 。

B?

B ??

C

?
O2

O1

f1

? 2 ? f 2 ? ?10cm
整个光路的最后成像位置就是在 处。 的左侧 10cm

图 1-5-52

3、求像的大小和虚、实、正、倒情况 可用作图法求解,如图 1-5-52 所示(为了图示清楚,图中把物高加大了) 。 连接 A?O1 并延长, 便得到发自 A? 的光线经 A? 后的平行光线的方向。 过 L2 的光心 O1 作 A?O1 的平行线,它与 L1 交于 C 点,则 A?C 即为从 A? 出发经过 L1 折射又通过 L2 光心 的光线。 反向延长 O2 C 与 L2 左侧焦面的交点 A ?? 就是 A? 由 L1 经 L2 所成的像点。令 L2 左侧焦面与光轴的焦点为 B ?? , A ??B ?? 就是 A?B ? 的像。这是一个正立的虚像。由图 可得
A1
A

B1
B

A2 B2

A?
B?

P

C1 C2

A??B?? ? f 2 tan?
A?B? ? f1 t a ? n
而 A?B ? 与 AB 等高,所以像的大小为

Q C3
R

图 1-5-53

A??B?? ?
解法 2

f2 f1

A?B? ? 2mm

关于物体经棱镜(折射、反射、再折射)后,所成像的位置及大小可采用视深法处 理。

如图 1-5-53 所示,AB 发出的与 PQ 面近乎垂直的小光束经 PQ 面折射后成像于 A1 B1 这是 视深问题, A1 , B1 与 PQ 面的距离均为 A,B 与 PQ 面的距离的 n 倍,即

C1 B1 ? nC1 B
A1 B1 ? AB , (像与物的大不相同)

A1 B1 经 PQ 面的折射成像于 A2 B2 ,大小不变,且
C2 B2 ? C2 B1 ? C2C1 ? C1 B1 ? PC1 ? nC1 B

A2 B2 经 PQ 面的折射成像于 A?B ? ,大小不变,且
C3 B ? ?
?

1 1 C 3 B2 ? C 3 C 2 ? C 2 B 2 n n

?

?

1 C1Q ? PC1 ? nC1 B n

?

?

?

1 PQ ? C1 B n

? 6 ? ?? ? 6 ?cm ? 10cm ? 1.5 ?
由此即可求出这个像 A?B ? 作为透镜 L1 的物距。其它部分的求解同解法 1。 例 15、在焦距为 20.00cm 的薄凸透镜的主轴上离透镜中心 30.00cm 处有一小发光点 S,一个厚度可以忽略的光楔 C(顶角 a 很小的三棱镜)放在发光点与透镜之间,垂直于 轴,与透镜的距离为 2.00cm,如图 1-5-54 所示,设光楔的折射率 n=1.5,楔角 a =0.028 弧 度。 在透镜另一侧离透镜中心 46.25cm 处放一平面镜 M, 其反 M 射面向着透镜并垂直于主轴。 问最后形成的发光点的像相对发 L C 光点的位置在何处(只讨论近轴光线,小角度近似适用。在分 S 析计算过程中应作出必要的光路图)? 分析:这是一个光具成像问题,厚度可忽略的光楔在成像 过程中的作用相当于一使光线产生偏折的薄平板, 平面镜使光 线反射后再次经凸透镜成像,在这一过程中,我们再根据折射 定律、 透镜成像公式及有关数学近似进行一系列计算,就可得 出最后结果。 解:共有五次成像过程。 (1)光楔使入射光线偏折,其偏向角(出射光线与入射光线方

图 1-5-54

a
i1 ? ? i2 i2 i1 n

?

图 1-5-55

向的夹角)用 ? 表示,由图 1-5-55 可知

? , sin i2 ? n sin i2 ? , i1 ? ? i2 ? ?? sin i1 ? n sin i1

?; 对近轴光线, i1 很小,有 i1 ? ni1
因 a 也很小,同样有

? ? ni2 i2
故有

? ) ? (i2 ? ? i2 ) ? ? (i1 ? i1 ? ? ? ? (n ? 1)? ? i1 ? i2

代入数值,得

?
S1?
S
h l
图 1-5-56

? ? (1.5 ? 1) ? 0.028rad ? 0.014rad
因 ? 与入射角大小无关,各成像光线经光楔后都偏折 同样角度 ? 。又因光楔厚度可忽略,所以作光路图时可画 成一使光线产生偏折角 ? 的薄平板,图 1-5-56。

?

? 。对近轴光线, S1 ?在 S 正 光点 S 经光楔成一虚像点 S1
上方,到 S 的距离为 h,离光楔距离 l ? 28 .00 cm 。

h ? ?l ? (n ? 1)?l
代入数据,得

h ? 0.39cm

? 为透镜 L 的实物,像点 S 2 ? 的位置可由下式求出 (2) S1
1 1 1 ? ? u ? f
以 u=30.00cm,f=20.00cm 代入,得
C
L

M F

? ? 60.00cm
? 视为与光轴垂直的小物, 将 SS 1 由透 镜的放大率公式
M1 ?
可求得

? S1 h S

? h3
30.00

? h2 ? S2

?
u
图 1-5-57

? S3 d 46.25 60.00

? ? M 1h ? 0.78cm h2 ? 在光轴下方与光轴的距离为 0.78cm,与透镜的中心距离为 60.00cm 处,图 即像点 S 2 1-5-57。

? 在平面镜之后, (3) S 2
对平面镜是虚物, 经平面镜成

C

L

?? S2

? 与 S2 ? 对称于平面 像, 像点 S 3 镜(图 1-5-57)

? S ?? h2 1

?h h?
F

d ? 13 .75cm
? ? h2 ? ? 0.78cm h3 ? 作为透镜的实 ( 4 ) S3 物,经

l? 52.00

? S2

图 1-5-58

? 与 L 的距离分别为 ? ? 和 u ? ,则 ?? , S 2 ?? 及 S 3 透镜折射后再次成像,设像点 S 2
u ? ? 32.50cm ,

?? ?

fu ? ? 52.00cm (u ? f )

?? 在透镜左侧,主轴上方,图 1-5-58。 S2

?? ? M 2 h2 ? ? 1.25cm h2 ?? 在 S 2 ?? 正 (5)第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折,再次成像,像点 S1 下方,离光楔距离为 50cm,离光轴的距离为(见图 1-5-58) 。
?h ? ?l ? ? 0.70cm

?? ? ?h ? 0.55cm h? ? h2 ?? 在光轴上的垂足与 S 的距离为 像点 S1
?s ? l ? ? l ? 22.00cm
即最后的像点在发光点 S 左侧光轴上方, 到光轴的距离为 0.55cm, 其在光轴上的垂足到 S 的距离为 22.00cm。


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