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第9讲分式不等式与高次不等式


湘南教育中心初高中衔接活动

数学学案(内部资料)

( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 )?( x ? xn ) ? 0 的 各
根 1、了解分式不等式和高次不等式的概念 2、会解简单的分式不等式 3、会解高次不等式 ②按各根把实数分成的 n+1 部分, 由小到 大横向排列,相应各因式纵向排列(由对 应较小根的因式开始依次自上而下排 列) ; 1.分子、分母都是整式,并且分母含有未 知数的不等式叫做分式不等式. 2.解分式不等式的方法是将之等价转化 为解整式不等式 ax ? b ﹥0 ? (ax+b)(cx+d) ﹥0 ? cx ? d ax ? b ≥0 ? (ax+b)(cx+d) ≥0 cx ? d (cx+d)≠0 ax ? b <0 ? (ax+b)(cx+d) <0 cx ? d ax ? b ≤0 ? (ax+b)(cx+d) ≤0 cx ? d (cx+d)≠0 3.高次不等式的解法: 引例:解不等式:(x-1)(x+4)(x-3)>0; 解:①检查各因式中 x 的符号均正; ②求得相应方程的根为:-4,1,3; ③列表如下: x<-4 x+4 x-1 x-3 因 式 积 ④由上表可知,原不等式的解集为: {x|-4<x<1 或 x>3}. 小结:此法叫列表法,解题步骤是: ① 将 不 等 式 化 为 -4<x<1 + + 1<x<3 + + x>3 + + + +
+ x1 x2 x3 + xn-1 + xn -

③计算各范围内各因式的符号, 最下面一 行是乘积的符号; ④看下面积的符号写出不等式的解集. 思考: 刚才引例中列表法的步骤我们还可 以画图求解 称之为数轴标根法(穿针引线法) 。 ① 将 不 等 式 化 为

( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 )?( x ? xn ) ? 0(? 0)
形式,并将各因式 x 的系数化“+” ; ② 求 方 程 各

( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 )?( x ? xn ) ? 0

根,并在数轴上表示出来(从小根到大根 按从左至右方向表示) 。 ③由右上方穿线, 经过数轴上表示各根的 点 ④若不等式 的系数化 (x “+” 是 后) “>0”, 则找“线”在 x 轴上方的区间;若不等式 是“<0”,则找“线”在 x 轴下方的区间.
+

说明:注意不等式若带“=”号,点画为 实心,解集边界处应有等号;

( x ? x1 )(x ? x2 )(x ? x3 )?( x ? xn ) ? 0(? 0)
形式(各项 x 的符号化“+”, 求出方程 )

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(2)依图可得 x≤-2 或-1≤x≤0 或 x=1 类型一 简单的分式不等式的解法。 【典例 1】解不等式: x?3 x ?3 ?0 ?0 (1) (2) x?7 x?7 x?3 x?3 ?1 (3) 2 <0 (4) x?7 x ?7 x?3 ? 0 ? ( x ? 3)(x ? 7) ? 0 解: (1)∵ x?7 ? ?7 ? x ?3
(2)?

点 拨 ○○:解高次不等式的步骤有 1.将不等式 整理成一端为零,另一端最高次幂的系数为 正 2.进行因式分解,尽量分解成一次式的 积 3.穿根标线。画出数轴,自右上方开始, 依次穿过各个根,奇数次根穿过,偶数次根 穿而不过。4.在数轴上方的区间为正,下方 的为负,写出解集。

x?3 ?0 x?7

变式训练 2:解不等式: (1) ( x 2 ? 7 x ? 12)(6 ? x ? x 2 ) ? 0
(2) x( x ? 1) 2 ? 0 解: ) ( x ? 3)(x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? 0 (1
? x ? ?3 或 2 ? x ? 3 或 x ? 4
-3
2 3

? ( x ? 3)(x ? 7) ? 0且x ? ?7 ? ?7 ? x ?3
x?3 (3) 2 <0 ? (x-3)(x2+7) <0 x ?7 2 ∵x +7﹥0 ∴x-3<0 ∴x<3 ?4?? x ? 3 ? 1 ? x ? 3 ? 1 ? 0 ? ? 10 ? 0 ? x ? ?7 x?7 x?7 x?7 所以不等式的解是 x﹥-7
点 拨 (1)化 ○○:归纳分式不等式的解法: 分式不等式为标准型, (2)转化成整式不 等式解。

4

(2) 0 ? x ? 1 或 x ? 1
0 1

类型三

变式训练 1:
1 1 1 ? 2x (2) ? ?0 x 2 x ?1 1 ? 2x 解: (1) ? 0 ? (2x-i)(x+1) <0 x ?1
解不等式(1)

? -1<x< 1
(2)

x?2 1 1?1 1 ? - <0 ? ﹥0 x 2 2x x 2 ? x<0 或 x﹥2 类型二 高次不等式的解法 【典例 2】解下列不等式: (1)(x+1)(1-x)(x-2) <0 (2) x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0 解: (1)(x+1)(x-1)(x-2)>0 依图可得-1<x<1 或 x﹥2

2

分式不等式和高次不等式的综 合应用 x ? 1? a 【典例 3】解不等式: x ?1 ax ? (a ? 1) 解: ?0 x ?1 1 ①当 a ? 0 时, ? 0,解集为 (?? ,1); x ?1 1 1 ②当 a ? 0 时, 1 ? ? 1, 解集为 (1 ? ,1); ? ? a a 1 1 ③当 a ? 0 时, 1 ? ? 1, 解集为 (?? ,1) ? (1 ? , ? ?)。 ? ? a a

变式训练 3:解不等式:( x ? 5)(x ? 3) 2 ?0 ( x ? 1) 2 ( x ? 2)
解: 2 ? x ? 5

1

2

3

5

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? x ? ?1 或 0 ? x ? 3
班次 姓名 一、选择题。 x ?1 ? 0 的解是 1.不等式 ( D ) x ?1 A.x>-1 B.-1<x<0 C.x>1 D.-1<x 或 x>1 x?2 ? 0 的解是 2.不等式 ( C ) x?2 A.x≤2 B.-2≤x≤2 C.-2<x≤2 D. x<-2 或 x≥2
x2 ? x ? 6 >0 的解为( C 3.不等式 x ?1

-1
8.

0

3

a 的解集 x 为 (0 , ? ?),求 a 的范围。 若关于 x 的不等式 x ?

解:

x2 ? a ?0 x

①当 a ? 0 时,解集为(0 , ? ?);


②当 a ? 0 时,解集为(? a , 0) ? ( a , ? ?), 不合题意。 ?a ? 0。

A. B. C. D.

x<-2 或 x>3 x<-2 或 1<x<3 -2<x<1 或 x>3 -2<x<1 或 1<x<3

二、填空题。 2? x ? 0 的解是-4<x<2 4.不等式 x?4 5.不等式 x(x+1)2(x-1)3<0 的解 是 0<x<1 x?2 ? 0 的解是 x≤-2 6.不等式 2 x ? 2x ? 2 三、解答题。 7. 解下列不等式:
(1) 5 ?1 x 3 x ( 2) 2x ?1 ?3 x?2

(3) x ? 2 ?
解: ) (1

5? x ? 0 ? x( x ? 5) ? 0 ? 0 ? x ? 5 x 2x ?1 (2) ?3? 0 x?2 x?7 ? ? 0 ? ?7 ? x ? ?2 x?2 x2 ? 2x ? 3 (3) ? 0 ? x( x ? 1)(x ? 3) ? 0 x


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