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2013年高考数学第一轮复习单元第13讲 平面向量的数量积及应用


2013 年高考数学第一轮复习单元
第 13 讲
一. 【课标要求】
1.平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义; ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系; ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2.向量的应用 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,发展运算能力和解决 实际问题的能力。

平面向量的数量积及应用

二. 【命题走向】
本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向 量为代数几何的结合体,此类题难度不大,分值 5~9 分。 平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系,解决角度、垂直、 共线等问题,以解答题为主 预测 2013 年高考: (1)一道选择题和填空题,重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题;属于中档题目 (2)一道解答题,可能以三角、数列、解析几何为载体,考察向量的运算和性质;

三. 【要点精讲】
1.向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a,作 OA = a , OB = b ,则∠AOA=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹角; 说明: (1)当 θ=0时, a 与 b 同向;2)当 θ=π 时, a 与 b 反向;3)当 θ= (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。

? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; 2

C (2)数量积的概念 规定 0 ? a ? 0 ; 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ·b =︱ a ︱· b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) ︱ 。

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? ? ? ? ? a ?b 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影; |a| ? ? ? ? ? (3)数量积的几何意义: a ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
(4)向量数量积的性质 ①向量的模与平方的关系: a ? a ? a ?| a | 。
2

? ?

?2

?

②乘法公式成立 a ? b ? a ? b ? a ? b ? a ? b ; a ? b ③平面向量数量积的运算律 交换律成立: a ? b ? b ? a ;

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2

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b ;

? ?

? ? ?? ? R ? ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 。
对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b

?? ?

?

?

?

1

? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b ④向量的夹角:cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 。 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2 ? ? ? ? ? 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ =1800,同时 0 与其它任何非零
向量之间不谈夹角这一问题 (5)两个向量的数量积的坐标运算

? ? ? ? ? ? ? ? (6)垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 ? ? ? ? 两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b ? a ? b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,平面向量数量积的性质。
已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ·b = x1 x2 ? y1 y2 。

?

?

(7)平面内两点间的距离公式 设 a ? ( x, y ) ,则 | a | ? x ? y 或 | a |?
2 2 2

x2 ? y2 。

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,那么

| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)

四. 【典例解析】
题型 1:数量积的概念
例 1.判断下列各命题正确与否: (1) 0 ? a ? 0 ;

?

2) 0 ? a ? 0 ;

? ? ?

3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;

?

? ?

? ?

?

?

(4)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立;5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a , b , c 向量都成立;
2 (6)对任意向量 a ,有 a ? a 。

? ?

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?

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? ? ?

? ? ?

?

?

?2

解析: (1)错; (2)对; (3)错; (4)错; (5)错; (6)对。 点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚 0 ? a 为零向量,而 0 ? a 为零 例 2. (1)、已知△ ABC 中,过重心 G 的直线交边 AB 于 P ,交边 AC 于 Q ,设△ APQ 的面积为 S1 ,△ ABC

pq ? p?q ? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? 【解析】设 AB ? a , AC ? b , AP ? ?1 a , AQ ? ?2 b ,因为 G 是△ ABC 的重心,故 ? ? ? ? ??? ??? ? ? ???? 1 ? ? ??? ???? ??? ? ? 1 ? 1 ? ??? ???? ??? AG ? (a ? b) ,又 PG ? AG ? AP ? ( ? ?1 )a ? b , PQ ? AQ ? AP ? ?2 b ? ?1 a ,因为 PG 与 PQ 共线,所 3 3 3 ? ? ??? ? ??? ? ? 1 ? ? 1 1 1 以 PQ ? ? PG ,即 [? ( ? ?1 ) ? ?1 ]a ? ( ? ? ?2 )b ? 0 ,又 a 与 b 不共线,所以 ? ( ? ?1 ) ? ??1 及 ? ? ?2 ,消 3 3 3 3 1 1 1 1 pq ? 1; 去 ? ,得 ?1 ? ?2 ? 3?1?2 .(ⅰ) ? ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? 3 ? 2 ? 1 ,故 p q ?1 ?2 p?q
的面积为 S 2 , AP ? pPB , AQ ? qQC ,则(ⅰ) (2)设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①( a ? b ) c -( c ? a ) b = 0 ②| a |-| b |<| a - b | ③( b ? c ) a -( c ? a ) b 不与 c 垂直 ) D.②④

??? ?

??? ?

????

????

④(3 a +2 b ) a -2 b )=9| a |2-4| b |2 中,是真命题的有( (3 A.①② B.②③ C.③④

解析: (2)答案:D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假;②由向量的减法运算可知| a |、| b |、| a -
2

,故②真;③因为[ b ? c ) a -( c ? a ) b ] c = ( ? b |恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边” ( b ?c ) a ?c -( c ? a )b ?c =0,所以垂直.故③假;④(3 a +2 b ) a -2 b )=9? a ? a -4 b ?b =9| a |2 (3 -4| b |2 成立。故④真。 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。

题型 2:向量的夹角
??? ? ???? ??? ? ??? ? 1 1 例 3. (1)过△ABC 的重心任作一直线分别交 AB,AC 于点 D、E.若 AD ?xAB , AE ? y AC , xy ? 0 ,则 ? 的 x y
值为( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 。

(2)已知向量 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ),且 a ? ? b ,那么 a ? b 与 a ? b 的夹角的大小是
0 (3)已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的夹角。

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(4)| a |=1,| b |=2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150°





解析: (1)取△ABC 为正三角形易得

? 1 1 (2) ; ? =3.选 B. x y 2
?
?

0 0 (3)由题意, a ? b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 120 ,所以, a ? b ? a b cos120 ? ?

?

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? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c ? c ? c ? (2a ? b ) ? (2a ? b ) ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 7 ,? c ? 7 ,同理可得? d ? 13 。
2 2 而 c ? d ? (2a ? b ) ? (3b ? a ) ? 7a ? b ? 3b ? 2a ? ?

1 , 2

? ?

?

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?

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?

?

17 , 2

设 ? 为 c 与 d 的夹角,则 cos? ? (4)C;设所求两向量的夹角为 ?

?

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17 2 7 13
? ?

??

17 91 。 182
2 ?

? c ? a ? b   ? a c
?

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? c . a ? ( a ? b . a? )
?

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| c a .a ??| a 2 ? ? |a | b | ? o s ? b0 |

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即: cos ? ?

? | a |2
? ?

??

|a|
?

??

| a || b |

|b|

1 2

所以 ? ? 120 .
o

点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式 cos? ?
? ? ? ?

a ?b | a |?|b |

,要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和

向量间的乘法计算可见一斑。对于 a . b ?| a || b | cos ? 这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行) 的充要条件必需掌握 例 4. (1)设平面向量 a1 、 a 2 、 a 3 的和 a 1 ? a 2 ? a3 ? 0 。如果向量 b1 、 b2 、 b3 ,满足 | bi |? 2 | a i | , 且

a i 顺时针旋转 30o 后与 bi 同向,其中 i ? 1, 2,3 ,则(
B. b1 - b2 + b3 = 0 C. b1 + b2 - b3 = 0

) D. b1 + b2 + b3 = 0

A.- b1 + b2 + b3 = 0

3

(2)已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos? 的值; 2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

2 2 解 (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos? ,代入 sin ? ? cos ? ? 1 得

sin ? ? ?

2 5 5 2 5 5 ? , cos? ? ? , cos? ? ,又 ? ? (0, ) ,∴ sin ? ? . 5 5 5 5 2

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2

? ,则 cos( ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?
2

3 10 , 10

练习 2、如图,已知△ABC 中,|AC|=1,∠ABC= (1) 求 f (? ) 关于 θ 的表达式; (2) 求 f (? ) 的值域。 解: (1)由正弦定理,得

??? ??? ? ? 2? ,∠BAC=θ,记 f (? ) ? AB?BC 。 3

| BC | 1 | AB | ? ? 2? 2? sin ? sin sin( ?? ) 3 3 2? s i n ( ?? ) sin ? 2 3 2 3? ?| BC ? | ? s i?n AB ? | 3 ,| ? s ?n ( i? ) 2? 2? 3 3 3 sin sin 3 3 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? f (? ) ? AB?BC ?| AB |? BC | cos ? sin ? ? | sin( ? ? )? 3 3 3 2 2 3 1 3 1 1 1 ? 1 ? ? ( cos ? ? sin ? ) sin ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin(2? ? ) ? .(0 ? ? ? ) 3 2 2 6 6 6 3 6 6 3 ? ? ? 5? 1 ? (2)由 0 ? ? ? ,得 ? 2? ? ? , ? ? sin(2? ? ) ? 1, 3 6 6 6 2 6 1 ? 1 1 1 ∴ 0 ? sin(2? ? ) ? ? ,即 f (? ) 的值域为 (0 , ] 3 6 6 6 6 .
11

3. 已知 | AC |? 5 , | AB |? 8 , AD ? 5 DB , CD ? AB ? 0 。 (1)求 | AB ? AC | ; (2)设∠BAC=θ ,且已知 cos(θ +x)= 解: (1)由已知 AB ? DB ? DA ? DB ? AD ? 16 DB
11

? 4 , ?? ? x ? ? ,求 sinx 4 5

∴CD⊥AB,在 Rt△BCD 中 BC =BD +CD , 2 2 2 2 又 CD =AC -AD , 所以 BC =BD +AC -AD =49, ??4 分 所以 | AB ? AC ?| BC |? 7 ??6 分 1 ? 4 ? 3 ? (2)在△ABC 中, cos ?BAC ? ∴? ? cos ? ? x) cos( ? x) ? ( ? sin ( ? x) ? ? 3 5 3 5 2 3 ? 2? ? ? ? ? 而?? ? x ? ? , ? 如果 0 ? ? x ? , ? ?x? 3 12 4 3 3 12 ? ? 3? 4 3 ? ? ? 1 3 ? 3 则 sin( ? x) ? sin ? sin ? ? ∴ sin( ? x) ? ? sin x ? sin[( ? x) ? ] ? ? 3 3 10 3 12 6 2 5 3 5
2 2 2

∴ DB ? 11 AB, 16 ∵ CD ? AB ? 0

5 5 AD ? DB ? AB, 11 16

| AD ? |
2 2

5 5 11 | AB |? , | DB |? , 16 2 2
2

点评:对于平面向量的数量积要学会技巧性应用,解决好实际问题
4

题型 3:向量的模
A.5

例 5. (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120o , a ? 3, a ? b ? 13, 则 b 等于( B.4 C.3
0

?

?

?

?

?

?

) ( D.12 )

D.1

(2)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b |等于 A. 3 B.2 3 C.4

解析 由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a· b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 解析: (1)B; (2)B 点评:掌握向量数量积的逆运算 | a |?

a ?b | b | cos Q

,以及 a ?| a | 。
2

2

例 6.已知 a =(3,4) b =(4,3) , ,求 x,y 的值使(x a +y b )⊥ a ,且|x a +y b |=1。 解:由 a =(3,4) b =(4,3) , ,有 x a +y b =(3x+4y,4x+3y); 又(x a +y b )⊥ a ? (x a +y b )? a =0 ? 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0;即 25x+24y=0①; 又|x a +y b |=1 ? |x a +y b | =1; ? (3x+4y) +(4x+3y) =1;
2 2 2

?

?

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?

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?

?

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?

整理得 25x +48xy+25y =1即 x(25x+24y)+24xy+25y =1 由①②有 24xy+25y =1 ③;








②;

将①变形代入③可得:y=±

5 ; 7

24 ? 24 ? ? x ? 35 ? x ? ? 35 ? ? 和? 再代回①得: ? 。 5 ? 5 ?y ? ? y? ? 7 ? 7 ? ?
点评:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想。

题型 4:向量垂直、平行的判定
例 7.已知向量 a ? ( 2,3) , b ? (x,6) ,且 a // b ,则 x ? 解:∵ a // b ,∴ x1 y 2 ? x2 y1 ,∴ 2 ? 6 ? 3x ,∴ x ? 4 。 。

? ? ? ? ? ( 3 )m ? n 。 (2) m // n ; ? ? ? ? ? ? 解: m ? a ? ?b ? ? 4 ? ? ,3 ? 2? ? , n ? 2a ? b ? ? 7,8 ?
(1) m ? n ;

例 8.已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的值。

?

?

?

?

? ?

?

?

?

(1) m ? n ? ?4 ? ? ? ? 7 ? ?3 ? 2? ? ? 8 ? 0 ? ? ? ?

52 ; 9 ? ? 1 (2) m // n ? ?4 ? ? ? ? 8 ? ?3 ? 2? ? ? 7 ? 0 ? ? ? ? ; 2 ? ? 2 ? 2 11 2 2 (3) m ? n ? ?4 ? ? ? ? ?3 ? 2? ? ? 7 2 ? 8 2 ? 5?2 ? 4? ? 88 ? 0 ? ? ? 。 5
点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算

?

?

题型 6:平面向量在几何图形中的应用
例 12.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角。 已知:如图,AB 是⊙O 的直径,点 P 是⊙O 上任一点(不与 A、B 重合) ,求证:∠APB=90°。

5

12 题 证明:联结 OP,设向量 OA ? a,OP ? b ,则 OB ? ?a 且 PA ? OA ? OP ? a ? b ,PB ? OB? OP ? a ? b

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? PA? PB ? b 2 ? a 2 ?| b | 2 ? | a | 2 ? 0 ? PA ? PB ,即∠APB=90°。
点评:平面向量是一个解决数学问题的很好工具,它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支 和相关学科中有着广泛的应用。
课后训练:

1、已知向量 a、b 不共线,c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d,那么 ( A. k ? 1 且 c 与 d 同向

) D. k ? ?1 且 c 与 d 反向

B. k ? 1 且 c 与 d 反向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向

解析 本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考 取 a ? ?1, 0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? ,即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 3、设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则(

??? ??? ? ?

??? ?



??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? A. PA ? PB ? 0 B. PC ? PA ? 0 C. PB ? PC ? 0 D. PA ? PB ? PC ? 0 ??? ??? ? ? ??? ? 解析 :因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。
4、已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且 OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且

PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的
A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 答案 C(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)

(

)

D.外心 重心 内心

由 解析由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心

? PA ? PB ? PB ? PC, PA ? PC ? PB ? 0, CA ? PB ? 0,?CA ? PB, ? ? 同理,AP ? BC,? P为?ABC的垂心,选C.
5. 若 向 量 a= ? x, 2 x ? , b= ? ?3 x, 2 ? , 且 a , b 的 夹 角 为 钝 角 , 则 x 的 取 值 范 围 是 .

?

?

???, ? 1 ? ? ?? 1 , 0? ? ? 4 , ? ?? 3 3 3
6.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2, ?3) .若向量 c 满足 (c ? a ) / / b , c ? (a ? b) ,则 c ? ( )

7 7 7 7 7 C. ( , ) D. (? , ? ) 9 3 9 9 3 ? ? ? ? ? ? ? ?? 解析 不妨设 C ? (m, n) ,则 a ? c ? ?1 ? m, 2 ? n ? , a ? b ? (3, ?1) ,对于 c ? a // b ,则有
A. ( , ) B. (? , ? )

7 7 9 3

7 3

?

?

6

? ? ? 7 7 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ;又 c ? a ? b ,则有 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ? 9 3

?

?

答案 D

7. 对于 n 个向量, a1 ,a2 ,? ,an , 若存在 n 个不全为零的实数 k1 , k2 ,? kn , 使得

k1a1 ? k2a2 ? ? ? kn an ? 0 成 立 , 则 称 向 量 a1 ,a2 ,? ,an , 是 线 性 相 关 的 . 按 此 规 定 , 能 使 向 量 a1 ? (1, 0), a2 ? (1, ?1), a3 ? (2, 2) 是线性相关的实数 k1 , k2 , k3 的值依次为
根据线性相关的定义得 k1 (1, 0) ? k2 (1, ?1) ? k3 (2, 2) ? 0 , ? ? ∴ k1 , k2 , k3 的一组值为-4,2,1 .(只需写出一组值即可)

? k1 ? k2 ? 2k3 ? 0 令 k3 ? 1 则 k2 ? 2 , k1 ? ?4 , ? ? k 2 ? 2 k3 ? 0


9. 设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (3,3) , 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos? ?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? a ?b 9 3 10 ? ? ? .解:设向量 a 与 b 的夹角为 ? , 且 a ? (3,3), 2b ? a ? (?1,1) ∴ b ? (1,2) ,则 cos? ? ? ? ? = . a ? b 3 2 ? 5 10 ??? ? ???? 10. 已知向量 AB ? (4, 0), AC ? (2, 2), 则 AC与BC 的夹角的大小为 . ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? AC ?BC 解析: ? BC ? (?2, 2),cos ? AC, BC ?? ???? ??? ? 0,?? AC, BC ?? 90? . ? AC BC

五. 【思维总结】
1.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定; (2)两个向量的数量积称为内积,写成 a ·b ;今后要学到两个向量的外积 a ? b ,而 a ? b 是两个向量的数 量的积,书写时要严格区分.符号“? ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“?”代替; (3)在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a ?0,且 a ? b =0,不能推出 b = 0 。因为其 中 cos?有可能为 0; (4)已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c。但是 a ? b = b ? c

a ? c;

如右图: a ? b = | a | b |cos? = | b ||OA|, b ?c = | b |c|cos? = | b ||OA|? a ? b = b ? c , 但a ?c ; (5)在实数中,有( a ? b ) c = a ( b ? c ),但是( a ? b ) c ? a ( b ? c ),显然,这是因为左端是与 c 共线的向量, 而右端是与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线。 2.平面向量数量积的运算律 特别注意:1)结合律不成立: a ? b ? c ? a ? b ? c ; (2)消去律不成立 a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ? ; (3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0 。 3.向量知识,向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用, 而它具有代数形式和几何形式的“双 重身份”能融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识综合,形成知识交汇点,所以高考中应引起足 够的重视. 数量积的主要应用:①求模长;②求夹角;③判垂直; 4.注重数学思想方法的教学 ①.数形结合的思想方法。 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份,所以在向量知识的整个学习过程中,都体现了数形结合的 思想方法,在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识。 ②.化归转化的思想方法。 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题;三角形形状的判定可化 归为相应向量的数量积问题;向量的数量积公式 a ? a ,沟通了向量与实数间的转化关系;一些实际问题也可 以运用向量知识去解决。 ③.分类讨论的思想方法。

?

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7


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高考第一轮复习——平面向量的数量积及应用(文)
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