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高考数学专题二十二---概率统计理科典型例题选讲


高考数学专题二十二---概率统计理科 典型例题选讲
一、选择题 1 . (2009 高考(陕西理))某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示,椐统计,随机变量 ? 的概率分布

如下:

?
p (Ⅰ)求 a 的值和 ? 的数学期望;

0 0.1

1 0.3


2 2a

3 a

(Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的 概率?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【答案】(1)由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1,解答 a=0.2

? ? 的概率分布为

?
P

0 0.1

1 0.3

2 0.4

3 0.2

? E? ? 0*0.1 ? 1*0.3 ? 2*0.4 ? 3*0.2 ? 1.7
(2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”事件 A1 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次,另外一个月被投 诉 0 次”;事件 A2 表示“两个月内每月均被投诉 12 次” 则由事件的独立性得
1 P ( A1 ) ? C2 P (? ? 0) ? 2*0.4*0.1 ? 0.08

P ( A2 ) ? [ P (? ? 1)]2 ? 0.32 ? 0.09 ? P( A) ? P( A1 ) ? P ( A2 ) ? 0.08 ? 0.09 ? 0.17
故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17 2 .在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较?在试制某种牙膏 新品种时,需要选用两种不同的添加剂?现有芳香度分别为 0,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用?根据试验 设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验?用 ? 表示所选用的两种不同的添加剂 的芳香度之和? (1)写出 ? 的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程) (2)求 ? 的数学期望 E? ?(要求写出计算过程或说明道理)
【答案】:(1)

?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2 2 1 1 15 15 15 15 1 1 2 2 3 2 2 2 1 83 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 6 ? ? 7 ? ? 8? ? 9 ? ? (2) E? ? 1? 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15
P
3 . (广东省汕尾市 08-09 学年高二下学期期末考试(理) )某学生答对 A. B.C 三个不同试题的概率分别
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1 15

1 15

2 15

2 15

3 15

是 0.4,0.5,0.6,且学生答对三道试题是互不 影响,设 X 表示学生答对题目数与没有答对题目数差的绝对 值? (Ⅰ)求 X 的分布列及均值; (Ⅱ)记“函数 f(x)=x2-3Xx+1 在区间 (??,2] 上单调递减”为事件 A,求事件 A 的概率.
【答案】(I)由题意得 X=

1,3 0.5× 0.6+0.6× 0.5× 0.4=0.24, ?P(X=3)=0.4× ?P(X=1)=1-0.24=0.76 ?X 的分布列为 X P 1 0.76 3 0.24

0.76+3× 0.24=1.48 ?EX=1× 3 4 3 (II)?f(x)的对称轴为 x= X,?要满足事件 A,需 X ? 2, 即 X ? 2 2 3 4 .=(X ? )=P(X=3)=0.24 ? P(A) 3
4 .有三张形状、大小、质量完全一致的卡片,在每张卡片上写 0,1,2,现从中任意抽取一张,将其上的数字记

作 x ,然后放回,在抽取一张,其上数字记作 y ,令 X ? xy ; 求① X 所取各值的概率; ②随机变量 X 的数学期望与方差;
【答案】① X ? 0,1,2,4

② EX ? 1 , DX ?

16 9

5 .某市有 48000 名高二同学,一次统考后数学成绩服从正态分布,平均分为 80 分,标准差为 10,问从理论上

讲在 80 分到 90 分之间有多少人? 【答案】16382 人
6 . (浙江省温州市 2010 届高三八校联考(理) )甲乙两队参加某知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对

者为本队赢得一分 ,答错得零分 ?假设甲队中每人答对的概率均为

2 , 乙队中 3 人答对的概率分别为 3

2 2 1 , , 且各人回答正确与否相互之间没有影响.用 ξ 表示乙队的总得分. 3 3 2
(Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅱ)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一 事件,求 P( B | A) ?
【答案】:(1) P (? ? 0) ?

1 1 1 1 ? ? ? ; 3 3 2 18 2 1 1 1 2 1 1 1 1 5 P(? ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 2 2 1 2 1 1 1 2 1 8 P(? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 3 2 3 3 2 18 2 2 1 4 P (? ? 3) ? ? ? ? 3 3 2 18
1 2 3

所以随机变量 ξ 的分布列: ξ 0

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8 4 18 18 1 5 8 4 33 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 数学期望 E? ? 0 ? 18 18 18 18 18
P (2)用 η 表示甲队的总得分

1 18

5 18

2 1 0 P(? ? 0) ? C 3 (1 ? ) 3 ? ; 3 27 2 6 2 1 2 P(? ? 1) ? C 3 ? (1 ? ) 2 ? ? ; 3 3 27 9 2 2 12 4 P(? ? 2) ? C 32 ( ) 2 ? (1 ? ) ? ? 3 3 27 9 8 3 2 3 P (? ? 3) ? C 3 ( ) ? 3 27
P( A) ? P(? ? 0,? ? 3) ? P(? ? 1,? ? 2) ? P(? ? 2, ? ? 1) ? P(? ? 3,? ? 0)

?

1 8 5 12 8 6 4 1 120 ? ? ? ? ? ? ? ? 18 27 18 27 18 27 18 27 18 ? 27 1 8 5 12 68 P( BA) ? P(? ? 0,? ? 3) ? P(? ? 1,? ? 2) ? ? ? ? ? 18 27 18 27 18 ? 27

∴ P( B | A) ?

P( BA) 68 17 ? ? P( A) 120 30

7 . (黑龙江哈师大附中 2010 届高三第一次月考(理) )袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,

记上 n 号的有 n 个( n ? 1, 2,3, 4 ).现从袋中任意取一球, ? 表示所取球的标号. (1)求 ? 的分布列、期望和方差; (2)若 ? ? a? ? b , E? =1, D? =11,试求 a 、 b 的值.
【答案】:(1)由题意,得 ? 的可能值为 0,1,2,3,4.

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?2.75a 2 ? 11 ? a1 ? 2 ? a2 ? ?2 得? 或? 为所求. ? ?1.5a ? b ? 1 ?b1 ? ?2 ?b2 ? 4
8 . (浙江省台州中学 09-10 学年高二上学期第二次统练(理) )在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程

中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有 5 发子弹,第一 次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是

2 . 3

(Ⅰ)求油罐被引爆的概率; (Ⅱ)如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为 ?.求 ? 的分布列及数学期望 E(?).( 结果用分数表示) 【答案】:

(1)设命中油罐的次数为X,则当X ? 0或X ? 1时,油罐不能被引爆. 2 1 P( X ? 0) ? (1 ? )5 ? , 3 243 2 2 10 1 P( X ? 1) ? C5 ? ? (1 ? ) 4 ? , 3 3 243 ?油罐被引爆的概率P ? 1 ? P( X ? 0) ? P( X ? 1) ?
(2)射击次数? 的取值为2,3, 4,5. 2 2 4 P (? ? 2) ? ? ? , 3 3 9 2 2 2 8 1 P (? ? 3) ? C2 ? (1 ? ) ? ? , 3 3 3 27 2 2 2 4 1 P (? ? 4) ? C3 ? (1 ? ) 2 ? ? , 3 3 3 27 P (? ? 5) ? 1 ? P (? ? 2) ? P(? ? 3) ? P(? ? 4) 4 8 4 1 ? 1? ( ? ? )? . 9 27 27 9 因此, ? 的分布列为:

232 . 243

(6分)

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ξ P

2

3

4

5

4 9

8 27

4 27
(14分)

1 9

4 8 4 1 79 ? E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? . 9 27 27 9 27

9 . (北京市崇文区 2009 届高三一模文)某学校进行交通安全教育,设计了如下游戏,如图,一辆车模要直行 通 ..

过十字路口,此时前方交通灯为红灯,且该车模前面已有 依次在同一车道上排队等候(该车道只 .. 4 .辆车模 ... 可以直行或左转行驶 ).已知每辆车模直行的概率是

3 2 ,左转行驶的概率是 ,该路口红绿灯转换间隔时 5 5

间均为 1 分钟.假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要 10 秒钟,一辆左转去北向的车模驶 出停车线需要 20 秒钟,求: (Ⅰ)前 4 辆车模中恰有 2 辆车左转行驶的概率; (Ⅱ)该车模在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通 过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口). 【答案】(Ⅰ)设前 4 辆车模中恰有 2 辆左转行驶为事件 A,则
2 216 2 3 2 P ? A? ? C4 ( ) ? ( )2 ? 5 5 625

(Ⅱ)设该车在第一次绿灯亮起时的 1 分钟内通过该路口为事件 B,其中 4 辆车模均 直行通过路口为事件 B1 ,3 辆直行 1 辆左转为事件 B2 ,则事件 B1 、 B2 互斥.

2 297 4 3 4 3 3 3 P ? B ? ? P ? B1 ? B2 ? ? P ? B1 ? ? P ? B2 ? ? C4 ( ) ? C4 ( ) ? ? 5 5 5 625
10. (福建省古田一中 09-10 学年高二上学期第一次月考(理) )某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试

后, 随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计 ,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列 ,人数最少 的班被抽取了 22 人 . 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如下图所示 , 其中 120~130(包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. (1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2) 求平均成绩. (3) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于 90 分的概率.

【答案】:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为 100 人.

∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d ,由 4 ? 22 ? 6d =100,解得 d ? 2 . ∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人,24 人,26 人,28 人 (2) 75 ? 0.05 ? 85 ? 0.20 ? 95 ? 0.35 ? 105 ? 0.25 ? 115 ? 0.10 ? 125 ? 0.05 ? 98 平均成绩为 98 分?
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(3)在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于 90 分的概率为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.
11. (江西省上高二中 09-10 学年高二上学期第一次月考)为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举

行了一次“环保知识竞赛”,共有 900 名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分 学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和 频率分布直方图,解答下列问题:

0.008

(1)若用系统抽样的方法抽取 50 个样本,现将所有学生随机地编号为 000,001,002,,899,试写出第二组第一位学生的编号______; (2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)和补全频率分布直方图 (3)所抽取的这些数据的中位数可能在直方图的哪一组? (4)若成绩在 75.5?85 的学生为二等奖,估计获二等奖的学生为多少人? 【答案】(1) 频率/组 距

0.032 0.024 0.02 0.016 0.008

分组 50.5?60.5 60.5?70.5 70.5?80.5 80.5?90.5 90.5?100.5 合计

频数 4 8 10 16 12 50

频率 0.08 0.16 0.20 0.32 0.24 1.00

频率/ 组距 0.008 0.016 0.02 0.032 0.024
甲 乙

8
(1)018 (2) 如上所示 (3)第 4 组? (4) 约为 0.26?900=234(人)
12. (江西省吉安一中 09-10 学年高二上学期第一次月考)为了调查甲、乙两个网站

受欢迎的程度,随机选取了 14 天,统计上午 8:00—10:00 间各自的点击量,得如下 所示的统计图,根据统计图:
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540 8 1 85 764 320

0 1 2 3 4 5 6 7

56 249 1 67 225 4 1

(1)甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少? (2)甲网站点击量在[10,40]间的频率是多少? (2)甲、乙两个网站哪个更受欢迎?并说明理由? 【答案】(1)甲网站的极差为:73-8=65; 乙网站的极差为:61-5=56 (2)甲网站点击量在[10,40]间的频率为 4/14=2/7=0.28571 (3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方,而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方?从数据的分布情况来 看,甲网站更受欢迎?
13. (广东省汕头市 08-09 学年高二新课程期末统一检测(文) )从总体中抽取样本,用样本估计总体?供应商有

一批产品共 10000 件?接受方现从这批产品中任意抽取 100 件,经检测,得一、二、三等品的个数如下表 一等品 70 二等品 25 三等品 5

(1)若从这批产品中任取一件,则这件产品是一等品或二等品的概率为多少? (2)若一等品的利润为 2 x 元,二等品的利润为 x 元,同时约定,三等品供应商要赔接受方

1 2 ( x ? x ) 元,当 5

x 为多少元时,总利润 y 最大,最大值为多少?
【答案】:(1)可用样本估计总体,由于是随机抽取,由古典概型的计算公式得,这件产品是一等品或二等品

的概率为 P ?

70 25 95 ? ? ? 0.95 100 100 100

(2) y ? 10000 ?

25 5 1 2 ? 70 ? ? 2x ? ?x? ? ( x ? x) ? 100 100 5 ?100 ?

? 10000 (?

1 2 164 x ? x) ? ?100 x 2 ? 16400 x 100 100

y ? ?100( x ? 82) 2 ? 672400 当 x ? 82 时, ymax ? 672400 ? 故当 x 为 82 元时,总利润 y 最大,最大值为 672400 元?
14. (黑龙江哈师大附中 2010 届高三第一次月考(理) )一台机器使用的时间较长,但还可以使用,它按不同的

转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少,随机器运转速度而变化,下 表为抽样试验的结果: 转速 x(转/秒) 每小时生产有缺点的零件数 y(件) 16 11 14 9 12 8 8 5

(1)利用散点图或相关系数 r 的大小判断变量 y 对 x 是否线性相关?为什么? (2)如果 y 与 x 有线性相关关系,求回归直线方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个,那么机器的运转速度应控制在什么范 围内? (最后结果精确到 0.001.参考数据:

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656.25 ? 25.617

,

16 ? 11 ? 14 ? 9 ? 12 ? 8 ? 8 ? 5 ? 438

,

162 ? 142 ? 122 ? 8 2 ? 660

,

112 ? 9 2 ? 8 2 ? 5 2 =291).
【答案】:(1) x

? 12.5 , y ? 8.25 , ? xi ? x yi ? y ? 25.5
i ?1

n

?

??

?

? ?x ? x ? ? ?y
n 2 n i ?1 i i ?1

i

?y

?

2

? 656.25 ? 25.617

∴r ? 0.995 ? 0.75 ,y 与 x 有线性性相关关系. (2)解:

? ?x
n i ?1

i

?x

?

2

? 35

? ? 0.728571 ?x ? ?0.857138 ? ? y ?b ∴b ,a

回归直线方程为: y ? 0.729x ? 0.857 (3) 0.729 x ? 0.857 ? 10 ,解得 x ? 14 .893
15. (广东省执信中学2008-2009学年高二上学期期中考试(理) )下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲

产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据

x

3
4

5

6
3
4

y

2.5

4.5

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程

y ? bx ? a ;
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤 试根据(2)求出的线性 同归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值: 3 ? 2.5 ? 4 ? 3 ? 5 ? 4 ? 6 ? 4.5 ? 66.5 )
王新敞 特级教师 源头学子小屋
http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
· 2007·

【答案】 :(1)

? xi yi ? 66.5
i ?1

4

?x
i ?1

4

2 i

? 3 2 ?4 2 ?5 2 ?6 2 ?8 6 x ? 4 . 5

y ? 3.5

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 ; b 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81
所求的回归方程为 (2) x ? 100 ,

? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? y ? bx a

y?0.7 x? 0.35

y ? 100 ? 0.35

预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 (吨)
16.一个电路中有三个电子元件,它们接通的概率都是 m(0<m<1 ) 如图,有如下三种联接方法:

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(1)分别求出这三种电路各自接通的概率; (2)试分析这三种电路哪种性能最优,并证明你的结论.
【答案】 : (1)三种电路各自接通分别记为事件 A1、A2、A3,则

P(A1)=m3 P(A2)=1-(1-m)3=3m-3m2+m3 P(A3)=2(1-m)m2+m3=2m2-m3 (2)P(A2)-P(A1)=3m-3m2=3m(1-m) ∵ 0<m<1 ∴ P(A2)>P(A1) P(A2)-P(A3)=2m3-5m2+3m=m(2m-3) (m-1)>0 ∴ P(A2)>P(A3) 故三个电子元件并联接通的概率最大,性能最优 17. (2009 高考(湖北理))一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 2,3,4,5;另一个 盒子也装有 4 张大小形状完全相同的卡片,分别标有数 3,4,5,6。现从一个盒子中任取一张卡片, 其上面的数记为 x;再从另一盒子里任取一张卡片,其上面的数记为 y,记随机变量?=x+y ,求? 的 分布列和数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【答案】 :依题意,可分别取 ? ? 5 、6、 ???? 11 取,则有

1 1 2 3 ? , p (? ? 6) ? , p (? ? 7) ? 4 ? 4 16 16 16 4 3 2 1 p (? ? 8) ? , p (? ? 9) ? , p (? ? 10) ? , p (? ? 11) ? 16 16 16 16 p (? ? 5) ?
? ? 的分布列为 ? 5 p 1
6 7 8 9 10 11

3 16 1 2 3 4 3 2 1 E? ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 9 ? ? 10 ? ? 11? ? 8 . 16 16 16 16 16 16 16 16

2 16

4 16

3 16

2 16

1 16

18. (湖南师大附中 2009 届高三第五次月考数学理科)在一个盒子中,放有标号分别为 2,3,4 的三张卡片,

现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为 x、y,记 ξ=|x-3|+|y-x|. 学科网学科网 (Ⅰ )求随机变量 ξ 的最大值,并求事件“ξ 取得最大值”的概率;学科网学科网 (Ⅱ )求随便机变量 ξ 的分布列和数学期望. 【答案】 : (Ⅰ )∵ x、y 可能的取值为 2、3、4, ∴ |x-3|≤1,|y-x|≤2, ∵ ξ≤3,且当 x=2,y=4 或 x=4,y=2 时,ξ=3. 因此,随机变量 ξ 的最大值为 3. ∵ 有放回地抽两张卡片的所有情况有 3× 3=9 种, ∴ P(ξ=3)=
2 . 9

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答:随机变量的最大值为 3,事件“ξ 取得最大值”的概率为

2 . 9

(Ⅱ )ξ 的所有取值为 0,1,2,3. ∵ ξ=0 时,只有 x=3,y=3 这一种情况, ξ=1 时,有 x=2,y=2 或 x=3,y=2 或 x=3,y=4 或 x=4,y=4 四种情况, ξ=2 时,有 x=2,y=3 或 x=4,y=3 两种情况. ∴ P(ξ=0)=
1 4 2 ,P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= . 9 9 9

则随机变量 ξ 的分布列为: ξ P 0
1 9

1
4 9

2
2 9

3
2 9

1 4 2 2 14 因此,数学期望 Eξ=0× +1× +2× +3× = . 9 9 9 9 9
19. (广东省广州天河区 2009 届高考第一次模拟(理))某同学如图所示的圆形靶

投掷飞镖,飞镖落在靶外(环数记为 0)的概率为 0.1,飞镖落在靶内的 各个点是椭机的 . 已知圆形靶中三个圆为同心圆,半径分别为 30cm 、 20cm、 10cm, 飞镖落在不同区域的环数如图中标示.设这位同学投掷一次 一次得到的环数这个随机变量 x,求 x 的分布列及数学期望.

0 8 9 10

【答案】 :由题意可知,飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比,而与它们的质量和形状无

关。 由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为 3:2:1,面积比为 9:4:1 所以 8 环区域、9 环区域、10 环区域的面积比为 5:3:1 则掷得 8 环、9 环、10 环的概率分别设为 5k,3k,k 根据离散型随机变量分布列的性质有 0.1+5k+3k+k=1 解得 k=0.1 得到离散型随机变量 x 的分布列为 x P 0 0.1 8 0.5 9 0.3 10 0.1

Ex=0× 0.1+8× 0.5+9× 0.3+10× 0.1=7.7
20. (浙江省桐庐中学2007学年第一学期高二第二次月考(理) )设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数

用随机变量 ? 表示方程 x ? bx ? c ? 0 实根的个数(重根按一个计) 。 2 (1)求方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率; (2)求 ? 的概率分布列;
2
2 (3)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率。

【答案】 (1) P ?

19 36

第 10 页 共 17 页

(2)

?
?

0

1

2

17 36

1 18

17 36

(3) P ?

7 11

21. (福建泉州一中 08-09 学年度第二学期期末)甲乙两名射手互不影响地进行射击训练,根据以往的数据统

计,他们设计成绩的分布列如下: 射手甲 环 数 概 率 环 数 概 率 射手乙

8

9

10

8

9

10

1 3

1 3

1 3

1 3

1 2

1 6

(1)若甲射手共有 5 发子弹,一旦命中 10 环就停止射击,求他剩余 3 颗子弹的概率; (2)若甲乙两射手各射击两次,求四次射击中恰有三次命中 10 环的概率; (3)若两个射手各射击 1 次,记所得的环数之和为 ? ,求 ? 的分布列和期望?
【答案】 :(1)记事件 A;射手甲剩下 3 颗子弹,

? P ( A) ?

2 1 2 ? ? 3 3 9

(2)记事件 C ; 甲命中 1 次 10 环,乙命中两次 10 环,事件 D ;甲命中 2 次 10 环,乙命中 1 次 10 环,则四次射 击中恰有三次命中 10 环为事件 C ? D

2 1 5 1 7 1 2 1 2 2 1 2 ? P(C ? D) ? C2 ? ? ? C2 ( ) ? C2 ( ) ? ? ? 3 3 6 3 6 6 162
(3) ? 的取值分别为 16,17,18,19,20,

1 1 1 1 1 1 1 5 P(? ? 16) ? ? ? , P(? ? 17) ? ? ? ? ? 3 3 9 3 2 3 3 18 1 1 1 1 1 1 6 1 P(? ? 18) ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 6 3 2 3 3 18 3 1 1 1 1 4 2 1 1 1 P(? ? 19) ? ? ? ? ? ? , P(? ? 20) ? ? ? 3 6 3 2 18 9 3 6 18 1 5 1 2 1 107 ? E? ? 16 ? ? 17 ? ? 18 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 9 18 3 9 18 6
22. (海南省三亚市一中 08-09 学年高二第一学期期中考(理))某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生

人数如 下表: 初一年级 女生 男生 373 377 初二年级 初三年级

x
第 11 页 共 17 页

y

370

z

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y ? 245, z ? 245 ,求初三年级中女生比男生多的概率。
【答案】 : (1)∵

x ? 0.19 2000

∴ x=380 (2)初三年级人数为 y+z=2000-(373+377+388+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为:

48 × 500=12 名 2000
(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A,初三年级女生男生数记为(y,z): 由(2)知 y+z=500,且 y,z∈ N, 基本事件空间包含的基本事件有: (245,255)、(246,254)、(247,253)、……(255,245)共 11 个 事件 A 包含的基本事件有:(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245 共 5 个 ∴ P(A)=

5 ; 11
2

23. (2009 高考(江苏))对于正整数 n ≥2,用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的有序

数组 ( a, b) 的组数,其中 a, b ??1,2,

;对于随机选取的 a, b ??1,2, , n? ( a , n? ( a 和 b 可以相等)

2 和 b 可以相等) ,记 P n 为关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根的概率。

(1)求 Tn2 和 Pn2 ; (2)求证:对任意正整数 n ≥2,有 Pn ? 1 ?

1 . n

【答案】[解析] [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。满分 10 分。

第 12 页 共 17 页

24. (山东省新泰一中 08-09 学年高二下学期期末考试(理) )某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数

多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒 而就诊的人数,得到如下资料: 1月 10 日 10 22 2月 10 日 11 25 3月 10 日 13 29 4月 10 日 12 26 5月 10 日 8 16 6月 10 日 6 12





昼夜温差 x(° C) 就诊人数 y(个)

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再用被 选取的 2 组数据进行检验. (Ⅰ )求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (Ⅱ )若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程

y ? bx ? a ;
(Ⅲ )若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回 归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想? (参考公式:

b?

? xi yi ? nx y
i ?1 n

n

?x
i ?1

2

i

? nx

2

?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

, a ? y ? bx )

2

【答案】(Ⅰ )设抽到相邻两个月的数据为事件(



A.因为从 6 组数据中选 取 2 组数据共有 15 种情况,每种情况都是等可能出现的 其中,抽到相邻两个月的数据的情况有 5 种 所以 P(A) ?

5 1 ? 15 3

(Ⅱ )由数据求得 x ? 11, y ? 24 由公式求得 b ?

18 7 30 7 18 30 x? 7 7

再由 a ? y ? bx ? ?

所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? (Ⅲ )当 x ? 10 时, y ?

150 150 ? 22 |? 2 ; , | 7 7 78 78 ? 14 |? 2 同样, 当 x ? 6 时, y ? , | 7 7
所以,该小组所得线性回归方程是理想的.
25( .浙江金华十校 2009 年高考模拟考试 (3 月) (理) ) 两个人设计, 甲, 乙各射击一次中靶的概率分别是

p1 , p2 ,



1 1 2 , 是关于 x 的方程 x ? 5x ? m ? 0(m ? R) 的两个根,若两人各射击 5 次,甲射击 5 次中靶 p1 p2

第 13 页 共 17 页

的期望是 2.5。 (1)求 p1、p2 的值; (2)两人各射击 2 次,中靶至少 3 次就算完成目的,则完成目的的概率是多少? (3)两人各射击一次,中靶至少一次就算完成目的。则完成目的的概率是多少?
【答案】 : (1)由题意可知 ?甲~B(5. p1 ).? E?甲 ? 5 p1 ? 2.2 ? p1 ?

1 2



1 1 1 ? ? 6, ? p2 ? p1 p2 3
1 2 1 2 1 3 2 3 1 2 1 2 1 3 1 3 1 6

2 2 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 (2)两类情况:共击中 3 次概率 C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) ( ) ?

2 2 0 2 2 0 共击中 4 次概率 C2 ( ) ( ) ? C2 ( ) ( ) ?

1 2

1 2

1 3

2 3

1 36

1 1 7 ? ? 6 36 36 (3)设事件 A, B 分别表示甲、乙能击中,
所求概率为

A, B 互相独立。

1 2 1 ? P( A ? B) ? P( A) P( B) ? (1 ? P( A)(1 ? P( B)) ? (1 ? p1 )(1 ? p2 ) ? ? ? 2 3 3 2 ?1 ? P ( A ? B ) ? 为所 求概率 3
26. (安徽省利辛中学 2010 届高三第二次月考(理) )某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行 5 次统一

测试,学生如果通过其中 2 次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学 生最多也只能参加 5 次测试. 假设某学生每次通过测试的概率都是 1/3 ,每次测试通过与否互相独立. 规定:若前 4 次都没有通过测试,则第 5 次不能参加测试. (Ⅰ ) 求该学生考上大学的概率. (Ⅱ ) 如果考上大学或参加完 5 次测试就结束,记该生参加测试的次数为 ξ,求 ξ 的分布列及 ξ 的数学期望.
【答案】:(Ⅰ )记“该生考上大学”的事件为事件 A,其对立事件为 A ,则

2 64 16 112 1 1 2 3 2 P( A) ? C 4 ( )( ) ( ) ? ( ) 4 ? ? ? . 3 3 3 3 243 81 243
∴P ( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

112 131 ? . 243 243

(Ⅱ )该生参加测试次数 ξ 的可能取值为 2,3,4,5.
?1? 1 P(? ? 2) ? ? ? ? , 9 ? 3?
2 1 3

2

4 1 1 2 1 P(? ? 3) ? C2 . . . ? , 3 3 3 27
3

32 1 ? 2? 1 2 4 16 28 , 1 ?1? ? 2? P(? ? 5) ? C4 ?? ??? ? ? . P(? ? 4) ? C ? ? ? ? ? ? ( )4 ? ? ? 81 3 ?3? 3 3 27 81 81 ? 3? ? 3?
故 ξ 的分布列为:

?
P

2

3

4

5

4 28 27 81 1 4 28 32 326 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? 5? ? . 9 27 81 81 81

1 9

32 81

27. (2009 高考(四川理))为振兴旅游业,四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡,向

第 14 页 共 17 页

省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) 。某旅游公司组 织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中 中有

3 是省外游客,其余是省内游客。在省外游客 4

1 2 持金卡,在省内游客中有 持银卡。 3 3

(I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (II)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列及数 学期望 E? 。
【答案】 : (Ⅰ )由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡。

设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人”, 事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡”, 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡”。
1 2 1 1 1 C9 C21 C9 C6C21 9 27 36 ? ? ? P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? 3 ? 3 34 170 85 C36 C36

所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 (Ⅱ ) ? 的可能取值为 0,1,2,3

36 。 85

P(? ? 0) ?

3 C3 1 ? , 3 C9 84

P(? ? 1) ?

1 2 C6 C3 3 ? 3 C9 14

2 1 3 C6 C3 15 C6 15 , P(? ? 3) ? 3 ? , P(? ? 2) ? 3 ? C9 28 C9 21

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

1 3 14 84 1 3 15 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 所以 E? ? 0 ? 84 14 28 21

15 28

5 21

28. (安徽省黄山市 2008 年暑期五校联考(理) )2008 年中国北京奥运会吉祥物由 5 个“中国福娃”组成,分

别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮(含义:“北京欢迎你”) 。现有 8 个相同的盒子,每个盒子中有一 只福娃,每种福娃的数量如下表:

福娃名 称 数

贝 贝 2

晶 晶 2

欢 欢 2

迎 迎 1

妮 妮 1

第 15 页 共 17 页

量 从中随机地选取 5 只。 (1)求选取的 5 只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率; (2) 若完整地选取奥运会吉祥物记 100 分; 若选出的 5 只中仅差一种记 80 分; 差两种记 60 分; ……。 设 ξ 表示所得的分数,求 ξ 的分布列和期望值。 (结果保留一位小数)
【答案】 (1)P=

C21C21C21 1 = ; ; C85 7

(2)Eξ=…=78.6。
29. (2009 高考(广东理))根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

对某城市一年 (365 天) 的空气质量进行监测, 获得的 API 数据按照区间 [0,50] , (100,150] , (50,100] ,

(150,200] , (200,250] , (250,300] 进行分组,得到频率分布直方图如图 5.
(1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
7 7 (结果用分数表示.已知 5 ? 78125, 2 ? 128,

3 2 7 3 8 123 ? ? ? ? ? , 1825 365 1825 1825 9125 9125

365 ? 73 ? 5 )













1











3 2 7 3 8 123 119 ? ? ? ? ) ? 50 ? 1 ? ? 50 ,解得 x ? ; 1825 365 1825 1825 9125 9125 18250 119 2 ? 50 ? ? 50) ? 219 ; (2) 365 ? ( 18250 365 119 2 219 3 ? 50 ? ? 50 ? ? ,则空 (3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 18250 365 365 5

50 x ? 1 ? (

第 16 页 共 17 页

气质量不为良且不为轻微污染的概率为 1 ?

3 2 ? , 一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 5 5

76653 7 2 7 3 0 6 2 6 3 1 1 ? C7 ( ) ( ) ? C7 ( ) ( ) ? . 5 5 5 5 78125
30. (浙江省龙游中学 2008 学年第一学期高二年级第二次统一练习(理) )某人抛掷一枚硬币,出现正反面的

概率都是

1 ,构造数列 ?an ? ,使得 2 ? ?1 ?当第n次出现正面时? ,记 S n ? a1 ? a2 ? an ? ? ? 1 当第 n 次出现反面时 ? ? ? ?

? an ? n ? N * ? ; (1)求 S4 ? 2 的概率;

? 0 且 S 8 =2 时的概率。 (3)记 ? ? S6 ,求 ? 的概率分布及数学期望。
(2)求 S 2

?1? ? 1? 1 【答案】 : (1) S4 ? 2, P ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2? ? 2? 4 (2)S 2 ? 0 即前两次同时出现正面或出现反面。
3 4

3

当同时出现正面时,S 2 =2,要S 8 =2,需后六次3次正面3次反面,其概率 P2 =

1 1 1 3 1 3 1 6?5? 4 5 3 ? ? C6 ? · ( ) · ( ) =( ) 8 ? 2 2 2 2 2 3? 2 64

当同时出现反面时,S 2 =-2,要S 8 =2,需后六次5次正面 1 次反面,其概率

1 1 1 5 1 1 3 5 ? ? C6 · ( ) · ( )=( ) 8 ? 6 ? 2 2 2 2 2 128 5 3 13 ? ? ∴ 当S 2 ? 0 且S 8 =2 时的概率 P= 64 128 128
P3= (3) 在 6 次投掷中, 若出现 3 次正面 3 次反面, 则 S6 ? 0 ; 若出现 6 次正面或 6 次反面, 则 S6 ? 6 ; 若出现 5 次正面 1 次反面或 5 次反面 1 次正面,则 S6 ? 4 ;若出现 4 次正面 2 次反面或 4 次反面 2 次正面,则 S6 ? 2 . 故, ? ? ?0,2,4,6?

?
P

0 5 16

2

4

15 32

3 16

6 1 32

E? ?

15 8

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