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2013届江西省南昌一中、南昌十中高三11月联考数学(理)试卷


南昌市二校联考(南昌一中、南昌十中)高三试卷 数
考试时间:120 分钟 一、选择题(50 分) 1. 已知集合 M ? {x | 3 ? 2 x ? x 2 ? 0}, N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围是 ( ) B. (3,??) C. (??,?1] D. (??,?1)

学(理)
考试分数:150 分

A. [3,??)

2、若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin

? ) 的值( 6
C. ?

)

A.

3 2
x

B. ?

3 2

1 2
( )

D.

1 2

lg|x| 3.函数 y= 的图象大致是

4. 由 a1=1,an+1= 给出的数列{an}的第 34 项( ) 3an+1 34 1 1 A. B.100 C. D. 103 100 104 5.已知集合 M={a|a=(1,2)+λ (3,4),λ ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ (4,5),λ ∈ R},则 M∩N 等于( ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.? 6.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn} 的公比为( ) 1 A. 2 B.4 C.2 D. 2 7 .设 f(x)、 g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,f′(x)·g(x) +

an

f(x)·g′(x)>0,且 f(-3)·g(-3)=0,则不等式 f(x)·g(x)<0 的解集是(
A.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(0,3)

)

8.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值 为( ) 3 3 A. B. 3 6
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C.

6 3

D.

6 6

9 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ? R且x ? k? ?

?
2

(k ? Z} , 函 数 f ( x) 满 足

f ( x) ? f ( x ? ? ) ,当 x ? (?

? ?

, ) 时 , f ( x) ? 2 x ? sin x .设 a ? f (1) , b ? f (2) , 2 2

c ? f (3) ,则(



A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b 10. 已 知 定 义 在 [0, ??) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x) ? 2 f ( x ? 2) , 当 x ? [0, 2) 时 , ,且 {an } 的前 f ( x) ? ?2 x 2 ? 4 x .设 f ( x) 在 [2n ? 2, 2n) 上的最大值为 an ( n ? N * ) n 项和为 S n ,则 Sn ? ( ) 1 1 1 1 A. 2 ? n ?1 B. 4 ? n ? 2 C. 2 ? n D. 4 ? n ?1 2 2 2 2 二、填空题 11.已知数列 {an } 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos( a2 12.已知一正整数的数阵如下 1 3 4 5 10 9 8 2 6 7

? a8 ) 的值为



… 则第 7 行中的第 5 个数是 . n+1 * 13. 已知曲线 f(x)=x (n∈N )与直线 x=1 交于点 P,若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线 与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log2011x1+log2011x2+…+log2011x2010 的值为 14. .

? ? (1 ? cos x)dx =________.
2 ? 2

?

15.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出下列四个命题: ① 当 c ? 0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ② 当 b ? 0 , c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (0, c) 对称; ④ 方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根 其中正确命题为 .

三、解答题(75 分) 16.(12 分)设命题 p:(4x-3) ≤1;命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必 要不充分条件,求实数 a 的取值范围.
2 2

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17. (12 分)在 ?ABC 中, AB ? (1)求 sin A 的值; (2)求 CB ? CA 的值。

2 , BC ? 1 , cos C ?

3 . 4

18. (12 分)已知等比数列 {a n } 满足 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a2 与 a4 的等差中项; (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2) 若 bn ? an ? log 2 an ,S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 求使不等式 S n ? 2n ?1 ? 47 ? 0 成立的 n 的最小值; → → → → 19. (12 分)已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且AB·BC=6,设AB与BC的夹角 为θ . (1)求θ 的取值范围; (2)求函数 f(θ )=sin θ +2sin θ ·cos θ +3cos θ 的最小值. 1 1 1 20. (13 分)将函数 f(x)=sin x·sin (x+2π )·sin (x+3π )在区间 4 4 2 * (0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 21. (14 分)已知函数 f ( x) ? (2 ? a )( x ? 1) ? 2 ln x, g ( x) ? xe (1)当 a ? 1时, 求f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值; (3)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e ? , 在 ? 0, e ? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2) ,使得
1? x
2 2

.(a ? R)

1 2

f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 求a 的取值范围。

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高三联考数学(理)答案 一、选择题(50 分) 1.已知集合 M ? {x | 3 ? 2 x ? x 2 ? 0}, N ? {x | x ? a} ,若 M ? N ,则实数 a 的取值范围是(C) A. [3,??) B. (3,??) C. (??,?1] D. (??,?1)

2、若 f(cosx)=cos2x,则 f(sin A.

? ) 的值( C 6

) B. ? D.

3 2

3 2

C



?

1 2

1 2
( D)

lg|x| 3.函数 y= 的图象大致是

x

4.由 a1=1,an+1= 给出的数列{an}的第 34 项( C ) 3an+1 34 1 1 A. B.100 C. D. 103 100 104 5.已知集合 M={a|a=(1,2)+λ (3,4),λ ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ (4,5),λ ∈ R},则 M∩N 等于( C ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.? 6.数列{an}是公差不为 0 的等差数列,且 a1,a3,a7 为等比数列{bn}的连续三项,则数列{bn} 的公比为( c ) A. 2 B.4 1 C.2 D. 2 7 .设 f(x)、 g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,f′(x)·g(x) + f(x)·g′(x)>0,且 f(-3)·g(-3)=0,则不等式 f(x)·g(x)<0 的解集是( D ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 8.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD,BC=2BD,则 sin C 的值 为( D ) 3 3 A. B. 3 6 C. 6 3 D. 6 6

an

9 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 {x | x ? R且x ? k? ?

?
2

(k ? Z} , 函 数 f ( x) 满 足

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f ( x) ? f ( x ? ? ) ,当 x ? (? c ? f (3) ,则( B )
A. a ? c ? b

? ?

, ) 时 , f ( x) ? 2 x ? sin x .设 a ? f (1) , b ? f (2) , 2 2

B. b ? c ? a

C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

10. 已 知 定 义 在 [0, ??) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x) ? 2 f ( x ? 2) , 当 x ? [0, 2) 时 , ,且 {an } 的前 n 项 f ( x) ? ?2 x 2 ? 4 x .设 f ( x) 在 [2n ? 2, 2n) 上的最大值为 an ( n ? N * ) 和为 S n ,则 S n ? ( B ) A. 2 ? 二、填空题 11 . 已 知 数 列 {an } 为 等 差 数 列 , 若 a1 ? a5 ? a9 ? ? , 则 .答案: -

1 2n ?1

B. 4 ?

1 2
n?2

C. 2 ?

1 2n

D. 4 ?

1 2n ?1

cos(a2 ? a8 ) 的 值



1 2
1 3 4 5 10 9 8 2 6 7

12.已知一正整数的数阵如下

… 则第 7 行中的第 5 个数是 .答案:26 n+1 * 13. 已知曲线 f(x)=x (n∈N )与直线 x=1 交于点 P, 若设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线 与 x 轴交点的横坐标为 xn, 则 log2011x1+log2011x2+…+log2011x2010 的值为 . 答 案-1 14.

? ? (1 ? cos x)dx =________.答案.π +2
2 ? 2

?

15.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出下列四个命题: ① 当 c ? 0 时, y ? f ( x) 是奇函数; ② 当 b ? 0 , c ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 只有一个实根; ③ 函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (0, c) 对称; ④ 方程 f ( x) ? 0 至多有两个实根 其中正确命题为 .答案_①②③ 三、解答题(75 分) 2 2 16.(12 分)设命题 p:(4x-3) ≤1;命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.
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解: 设 A={x|(4x-3) ≤1}, B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0}, 1 易知 A={x| ≤x≤1},B={x|a≤x≤a+1}. 2 (6 分) 由 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A ? B, 1 ? ?a≤ , ∴? 2 ? ?a+1≥1. (10 分)

2

1 故所求实数 a 的取值范围是[0, ].(12 分) 2 17、 (12 分)在 ?ABC 中, AB ? (1)求 sin A 的值; (2)求 CB ? CA 的值。 17、解: (1)在 ?ABC中, 由 cosC=

2 , BC ? 1 , cos C ?

3 . 4

3 7 ,得 sinC= 4 4

又由正弦定理

AB BC 14 ? ,得 sinA= sin C sin A 8

(2)由余弦定理: AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC ? cos C 即 AC=b 得: 2 ? b ? 1 ? 2b ?
2

3 4

解得 b=2 或 b= ?

1 (舍去),所以 AC=2 2

所以, CB ? CA ? CB ? CA ? cos ? CB, CA ?? CB ? CA ? cos C =1 ? 2 ?

3 3 ? 4 2

,即 CB ? CA ?

3 2

18(12 分).已知等比数列 {a n } 满足 2a1 ? a3 ? 3a2 ,且 a3 ? 2 是 a2 与 a4 的等差中项; (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 bn ? an ? log 2 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,

求使不等式 S n ? 2n ?1 ? 47 ? 0 成立的 n 的最小值;

18.解: (1)设等比数列 {a n } 的首项为 a1 ,公比为 q ,

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则有 a1 (2 ? q 2 ) ? 3a1q ①
2

a1 (q ? q 3 ) ? 2a1q 2 ? 4



由①得: q ? 3q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ? 1 (不合题意舍去) 当 q ? 2 时,代入②得: a1 ? 2 ; 所以 an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n …6 分

(2) bn ? an ? log 2 an ? 2n ? n ,所以

S n ? 2 ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? ? ? 2 n ? n

? (2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n)
…9 分

?

2(1 ? 2n ) n(n ? 1) 1 1 ? ? 2n ?1 ? 2 ? n ? n 2 1? 2 2 2 2
因为 S n ? 2n ?1 ? 47 ? 0

代入得 n 2 ? n ? 90 ? 0 ,

解得 n ? 9 或 n ? ?10 (舍去) 所以所求 n 的最小值为 10

…12 分

→ → → → 19(12 分) 、已知△ABC 的面积 S 满足 3≤S≤3,且AB·BC=6,设AB与BC的夹角为θ . (1)求θ 的取值范围; 2 2 (2)求函数 f(θ )=sin θ +2sin θ ·cos θ +3cos θ 的最小值. 6 → → → → → → 19 解:(1)∵AB·BC=6,∴|AB|·|BC|·cos θ =6.∴|AB|·|BC|= . cos θ 1 → → 又∵S= |AB|·|BC|·sin(π -θ )=3tan θ , 2 3 ≤tan θ ≤1. 3 π π 又∵θ ∈(0,π ),∴ ≤θ ≤ . 6 4 2 (2)f(θ )=1+2cos θ +sin 2θ =cos 2θ +sin 2θ +2 π? ? = 2sin?2θ + ?+2, 4? ? π π 3 ? π ?7 ? ? ?π π ? 由θ ∈? , ?,得 2θ ∈? , ?,∴2θ + ∈? π , π ?. 4 ? 4 ?12 ?6 4? ?3 2? ∴ 3≤3tan θ ≤3,即 π 3 π ∴当 2θ + = π 即θ = 时,f(θ )min=3. 4 4 4 1 1 1 20. (13 分)将函数 f(x)=sin x·sin (x+2π )·sin (x+3π )在区间(0,+∞)内的 4 4 2 * 全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=2 an,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn 的表达式. 1 1 1 1 20(13 分) 、解:(1)f(x)=sin x·sin (x+2π )·sin (x+3π )=- sin x.其极值 4 4 2 4 π 点为 x=kπ + (k∈Z). 2 π 它在(0,+∞)内的全部极值点构成以 为首项,π 为公差的等差数列, 2
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π 2n-1 * ∴an= +(n-1)·π = π (n∈N ). 2 2 π n n (2)∵bn=2 an= (2n-1)·2 , 2 π 2 n-1 n ∴Tn= [1·2+3·2 +…+(2n-3)·2 +(2n-1)·2 ], 2 π 2 3 n n+1 2Tn= [1·2 +3·2 +…+(2n-3)·2 +(2n-1)·2 ], 2 两式相减,得 π 2 3 n n+1 -Tn= [1·2+2·2 +2·2 +…+2·2 -(2n-1)·2 ], 2 n ∴Tn=π [(2n-3)·2 +3]. 21. (14 分)已知函数 f ( x) ? (2 ? a )( x ? 1) ? 2 ln x, g ( x) ? xe (1)当 a ? 1时, 求f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 求a 的最小值; (3)若对任意给定的 x0 ? ? 0, e ? , 在 ? 0, e ? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2) ,使得
1? x

.(a ? R)

1 2

f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 求a 的取值范围。
21.解: (1)当 a ? 1时, f ( x) ? x ? 1 ? 2 ln x, 则f ?( x) ? 1 ? 由 f ?( x) ? 0, 得x ? 2; 由 f ?( x) ? 0, 得0 ? x ? 2. 故 f ( x)的单调减区间为 ? 0, 2? , 单调增区间为? 2, ?? ? . (2)因为 f ( x) ? 0在区间(0, ) 上恒成立不可能, 故要使函数 f ( x)在(0, ) 上无零点, 只要对任意的 x ? (0, ), f ( x) ? 0 恒成立,

2 , x

1 2

1 2

1 2

1 2 ln x 恒成立。 2 x ?1 2 ln x 1 令 l ( x) ? 2 ? , x ? (0, ), x ?1 2
即对 x ? (0, ), a ? 2 ?

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ln x ? ? 2 x 则 l ( x) ? ? x ? , 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

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2 1 ? 2, x ? (0, ), x 2 2 2 ?2(1 ? x) 则m?( x) ? ? 2 ? ? ? 0, x x x2 再令m( x) ? 2 ln x ? 1 1 故m( x)在(0, )上为减函数, 于是m( x) ? m( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 0, 2 2 1 从而,l ( x) ? 0, 于是l ( x)在(0, )上为增函数, 2 1 所以l ( x) ? l ( ) ? 2 ? 4 ln 2, 2 2 ln x 故要使a ? 2 ? 恒成立, 只要a ? ? 2 ? 4 ln 2, ?? ? , x ?1
综上,若函数 f ( x)在(0, )上无零点, 则a的最小值为2 ? 4 ln 2. (3) g ?( x) ? e
1? x

1 2

? xe1? x ? (1 ? x)e1? x ,

当x ? (0,1)时, g ?( x) ? 0, 函数g ( x)单调递增; 当x ? ?1, e ?时, g ?( x) ? 0, 函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e ? e1?e ? 0,
所以,函数 g ( x)在 ? 0, e ? 上的值域为 ? 0,1? .

当a ? 2时, 不合题意;
2 (2 ? a) x ? 2 当a ? 2时, f ?( x) ? 2 ? a ? ? ? x x 2 当x ? 时, f ?( x) ? 0. 2?a 由题意得, f ( x)在 ? 0, e ? 上不单调, (2 ? a)( x ? x 2 ) 2 ? a , x ? ? 0, e

?

故0 ?

2 2 ? e, 即a ? 2 ? 2?a e



此时,当 x变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

(0,
f ?( x)

2 ) 2?a


2 2?a
0 最小值

? 2 ? , e? ? ?2?a ?
+

f ( x)

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又因为, 当x ? 0时, f ( x) ? ??, 2 2 ) ? a ? 2 ln , f (e) ? (2 ? a)(e ? 1) ? 2, 2?a 2?a 所以,对任意给定的x0 ? ? 0, e? , 在 ? 0, e ? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2), f( 使得f ( xi ) ? g ( x0 )成立, 当且仅当a满足下列条件 :
2 2 ? ? ) ? 0, ?a ? 2 ln ? 0, ?f( 即? 2?a ? 2?a ? ? ? f (e) ? 1, ?(2 ? a)(e ? 1) ? 2 ? 1.
② ③

2 2 , a ? (??, 2 ? ), 2?a e 2 a 则h ?(a ) ? 1 ? 2[ln 2 ? ln(2 ? a)]? ? 1 ? ? , 令h ?( a) ? 0, 2?a a?2 得a ? 0或a ? 2, 令h(a ) ? a ? 2 ln 故当a ? (??, 0)时, h ?(a) ? 0, 函数h(a)单调递增; 2 当a ? (0, 2 ? )时, h ?(a) ? 0, 函数h(a)单调递减. e 2 所以, 对任意a ? (??, 2 ? ), 有h(a) ? h(0) ? 0, e 2 即②对任意 a ? (??, 2 ? ) 恒成立。 e 3 由③式解得: a ? 2 ? ④ . e ?1
综合①④可知,当 a ? ? ??, 2 ?

? ?

3 ? ? 时, 对任意给定的x0 ? ? 0, e ? , e ? 1?

在 ? 0, e ? 上总存在两个不同的xi (i ? 1, 2), 使 f ( xi ) ? g ( x0 ) 成立。

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