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2015-206学年高中数学(人教A版,必修五)同步作业:1.1.2 余弦定理(2)


1.1.2

余弦定理(二)

课时目标 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理; 2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题. 1.正弦定理及其变形 a b c (1) = = =2R. sin A sin B sin C (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C. a b c (3)sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R (4)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. 2.余弦定理及其推论 (1)a2=b2+c2-2bccos_A. b2+c2-a2 (2)cos A= . 2bc 2 (3)在△ABC 中,c =a2+b2?C 为直角;c2>a2+b2?C 为钝角;c2<a2+b2?C 为锐角. 3.在△ABC 中,边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,则有: A+B π C (1)A+B+C=π, = - . 2 2 2 (2)sin(A+B)=sin_C,cos(A+B)=-cos_C,tan(A+B)=-tan_C. A+B A+B C C (3)sin =cos ,cos =sin . 2 2 2 2

一、选择题 1.已知 a、b、c 为△ABC 的三边长,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则∠C 的大小为 ( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 答案 C 解析 ∵(a+b-c)(a+b+c)=ab, ∴a2+b2-c2=-ab, a2+b2-c2 1 即 =- , 2ab 2 1 ∴cos C=- ,∴∠C=120° . 2 2.在△ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状一定是 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案 C 解析 ∵2cos Bsin A=sin C=sin(A+B), ∴sin Acos B-cos Asin B=0, 即 sin(A-B)=0,∴A=B. 3.在△ABC 中, 已知 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7, 则这个三角形的最小外角为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120°

答案 B 解析 ∵a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7, 不妨设 a=3,b=5,c=7,C 为最大内角, 32+52-72 1 则 cos C= =- . 2 2×3×5 ∴C=120° . ∴最小外角为 60° . 4.△ABC 的三边分别为 a,b,c 且满足 b2=ac,2b=a+c,则此三角形是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案 D 解析 ∵2b=a+c,∴4b2=(a+c)2,即(a-c)2=0. ∴a=c.∴2b=a+c=2a.∴b=a,即 a=b=c. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 C=120° , c= 2a,则( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 答案 A 解析 在△ABC 中,由余弦定理得, c2=a2+b2-2abcos 120° =a2+b2+ab. ∵c= 2a,∴2a2=a2+b2+ab. ∴a2-b2=ab>0,∴a2>b2,∴a>b. 6.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定 答案 A 解析 设直角三角形三边长为 a,b,c,且 a2+b2=c2, 则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2 =a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0, ∴c+x 所对的最大角变为锐角. 二、填空题 7. 在△ABC 中, 边 a, b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根, C=60° , 则边 c=________. 答案 19 解析 由题意:a+b=5,ab=2. 由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcos C =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19, ∴c= 19. 8.设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边,那么 a 的取值范围是________. 答案 2<a<8 1 解析 ∵2a-1>0,∴a> ,最大边为 2a+1. 2 ∵三角形为钝角三角形,∴a2+(2a-1)2<(2a+1)2, 化简得:0<a<8.又∵a+2a-1>2a+1, ∴a>2,∴2<a<8. 9.已知△ABC 的面积为 2 3,BC=5,A=60° ,则△ABC 的周长是________. 答案 12 1 解析 S△ABC= AB· AC· sin A 2 1 = AB· AC· sin 60° =2 3, 2

∴AB· AC=8,BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos A 2 2 2 =AB +AC -AB· AC=(AB+AC) -3AB· AC, ∴(AB+AC)2=BC2+3AB· AC=49, ∴AB+AC=7,∴△ABC 的周长为 12. 10.在△ABC 中,A=60° ,b=1,S△ABC= 3,则△ABC 外接圆的面积是________. 13π 答案 3 1 3 解析 S△ABC= bcsin A= c= 3, 2 4 ∴c=4, 由余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A =12+42-2×1×4cos 60° =13, ∴a= 13. a 13 2 39 ∴2R= = = , sin A 3 3 2 39 13π ∴R= .∴S 外接圆=πR2= . 3 3 三、解答题 a2-b2 sin?A-B? 11.在△ABC 中,求证: 2 = . c sin C sin Acos B-cos Asin B sin A sin B 证明 右边= = · cos B- · cos A sin C sin C sin C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a +c -b b b +c -a a +c -b b +c -a a -b = · - · = - = 2 =左边. 2 2 c 2ac c 2bc 2c 2c c a2-b2 sin?A-B? 所以 2 = . c sin C 12.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边的长,cosB = 且 AB · BC =-21. (1)求△ABC 的面积; (2)若 a=7,求角 C. 解 (1)∵? AB · BC =-21,∴? BA · BC =21.? ∴ BA · BC = | BA |·| BC |·cosB = accosB = 21.?

3 , 5

3 4 ,∴? sinB = .? 5 5 1 1 4 ∴S△ABC = acsinB = ×35× = 14.? 2 2 5
∴ac=35,∵cosB = (2)ac=35,a=7,∴c=5. 由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=32, c b ∴b=4 2.由正弦定理: = . sin C sin B c 5 4 2 ∴sin C= sin B= × = . b 4 2 5 2 ∵c<b 且 B 为锐角,∴C 一定是锐角. ∴C=45° . 能力提升 13.已知△ABC 中,AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是(

)

π π A.0<C≤ B.0<C< 6 2 π π π π C. <C< D. <C≤ 6 2 6 3 答案 A 解析 方法一 (应用正弦定理) AB BC 1 2 ∵ = ,∴ = sin C sin A sin C sin A 1 ∴sin C= sin A,∵0<sin A≤1, 2 1 ∴0<sin C≤ . 2 ∵AB<BC,∴C<A,∴C 为锐角, π ∴0<C≤ . 6

方法二 (应用数形结合) 如图所示,以 B 为圆心,以 1 为半径画圆, 则圆上除了直线 BC 上的点外,都可作为 A 点.从点 C 向圆 B 作切线,设切点为 A1 和 π A2,当 A 与 A1、A2 重合时,角 C 最大,易知此时:BC=2,AB=1,AC⊥AB,∴C= , 6 π ∴0<C≤ . 6 3 14.△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 b2=ac 且 cos B= . 4 1 1 (1)求 + 的值; tan A tan C (2)设 BA · BC =

3 ,求 a+c 的值.? 2 3?2 3 7 解 (1)由 cos B= ,得 sin B= 1-? = ?4? 4 . 4

由 b2=ac 及正弦定理得 sin2 B=sin Asin C. 1 1 cos A cos C 于是 + = + tan A tan C sin A sin C sin Ccos A+cos Csin A sin?A+C? = = sin Asin C sin2 B sin B 1 4 7 = 2 = = . sin B sin B 7 (2)由 BA · BC =

3 3 得 ca·cosB = 2 2

3 由 cos B= ,可得 ca=2,即 b2=2. 4 由余弦定理:b2=a2+c2-2ac· cos B, 2 2 2 得 a +c =b +2ac· cos B=5, ∴(a+c)2=a2+c2+2ac=5+4=9,∴a+c=3. 1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解,常见类型及其解法见下表: 已知条件 应用定理 一般解法

一边和两角 (如 a,B,C)

正弦定理

由 A+B+C=180° ,求角 A; 由正弦定理求出 b 与 c.在有 解时只有一解. 由余弦定理求第三边 c; 由正 弦定理求出小边所对的角; 再 由 A+B+C=180° 求出另一 角.在有解时只有一解. 由余弦定理求出角 A、B;再 利用 A+B+C=180° ,求出 角 C.在有一解时只有一解. 由正弦定理求出角 B; 由 A+ B+C=180° ,求出角 C;再 利用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解.

两边和夹角 (如 a,b,C)

余弦定理 正弦定理

三边 (a,b,c) 两边和其中一边的对角如 (a,b,A)

余弦定理

余弦定理 正弦定理

2.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径 (1)化边为角; (2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.


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