当前位置:首页 >> 数学 >>

2015三角函数、平面向量与解三角形专老师版


高三数学三角函数、平面向量与解三角形专题 一. 【考纲要求】 1、三角函数的图象和性质,特别是 y=Asin(wx+φ )的图象及其变换; 2、重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线、 垂直的充要条件、向量的坐标运算及向量的应用等; 3、三角函数的化简、给值求值及三角恒等式的证明; 4、正弦定理、余弦定理及应用 二. 【对考试大纲的理解】

高考该专题试题一般有 3 题(1 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题), 共计 22 分左右.此类题难 度不大,其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查重点考察平行、垂直 关系或夹角、长度问题, 难度在中等以下,一般较容易得分,解答题与三角函数的性质、解三 角形及向量联合考察,主要题型有三角函数求值,通过三角式的变换研究三角函数的性质,综 合考查学生数形结合、化归与转化、逻辑推理、计算求解等诸方面的能力,重点考查三角函数 的图象和性质,特别是 y=Asin(wx+φ )的图象及其变换, 通过知识的重组与链接, 使知识形成 网络, 三角函数求值往往结合平面向量进行求解,在复习应充分重视。 三. 【命题走向】 (1) 近几年高考降低了对三角变换的考查要求, 而加强了对三角函数的图象与性质的考查; (2) 平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系,解决 角度、垂直、共线等问题,以解答题为主; (3)高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托,结合实际应用问 题考察正弦定理、余弦定理及应用题型(一般为选择题、填空题,也可能是中\低度的解答题) 第1讲 考情解读 三角函数的图象与性质

(1)以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性. (2)考查三角

函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值,重点考查分析、处理问题的能力,是高考 的必考点. 例题 1.已知函数 f(x)=2sin ωxcos ωx+2 3sin2ωx- 3(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求函数 f(x)的单调增区间; π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度, 得到函数 y=g(x)的图象; 6 若 y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 解 (1)由题意得 f(x)=2sin ωxcos ωx+2 3sin2ωx- 3 π =sin 2ωx- 3cos 2ωx=2sin(2ωx- ), 3 π 由周期为 π,得 ω=1,得 f(x)=2sin(2x- ), 3 π π π 函数的单调增区间为 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 整理得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 12 12
1

π 5π 所以函数 f(x)的单调增区间是[kπ- ,kπ+ ],k∈Z. 12 12 π (2)将函数 f(x)的图象向左平移 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度, 得到 y=2sin 2x+1 的图 6 象,所以 g(x)=2sin 2x+1, 7π 11π 令 g(x)=0,得 x=kπ+ 或 x=kπ+ (k∈Z), 12 12 所以在[0,π]上恰好有两个零点, 若 y=g(x)在[0,b]上有 10 个零点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,即 b 的最小值为 4π + 11π 59π = . 12 12

π 变式:(2014· 江西卷)已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,且 f? ?=0,其中 a∈R, ?4? θ ∈(0,π ). (1)求 a,θ 的值; α π π 2 (2)若 f? ?=- ,α ∈? ,π ?,求 sin?α + ?的值. 5 3? ?4? ?2 ? ? 解 析: (1) 因 为函 数 f(x) = (a + 2cos2x)cos(2x + θ) 为 奇函 数, 所 以 f( - x) = - f(x) ,即 (a + 2cos2x)· cos(-2x+θ)=-(a+2cos2x)cos(2x+θ), 因为 x∈R, 所以 cos(-2x+θ)=-cos(2x+θ), cos 2xcos θ = 0, cos θ= 0.又 θ∈(0,π ),所以 θ= π π cos? + ?=0,a=-1. ?2 2? π 因此 a=-1,θ= . 2 (2)由(1)得: f(x)=(-1+2cos2x)cos?2x+ π π π .因为 f? ? = 0,所以?a+2cos2 ? 2 4? ?4? ?

?

π? =cos 2x(-sin 2x)= 2?

α π 1 2 1 2 4 - sin 4x,所以由 f? ?=- ,得- sin α=- ,sin α= ,又 α∈? ,π?,所以 cos 2 5 2 5 5 4 ? ? ?2 ?
π π 4-3 3 π 3 α=-5,因此 sin?α+ ?=sin αcos 3 +sin 3 cos α= 10 .

?

3?

例题 2.函数 f(x)=3sin?2x+

?

π? 的部分图象如图所示. 6?

2

(1)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0、y 0 的值; π π (2)求 f(x)在区间?- ,- ?上的最大值和最小值. 12? ? 2

π 分析:(1)由图可得出该三角函数的周期,从而求出 x0,y0;(2)把 2x+ 看作一个整体,从而 6 求出最大值与最小值. 解析:(1)由题意知:f(x)的最小正周期为π,x0= 7π ,y0=3. 6

π π π 5π (2)因为 x∈?- ,- ?,所以 2x+ ∈?- ,0?,于是 6 ? 6 12? ? 2 ? 当 2x+ 当 2x+ π π =0,即 x=- 时,f(x)取得最大值 0; 6 12 π π π =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-3. 6 2 3

思维升华 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路: 第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y=Asin(ωx+φ)+B 的形式; 第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求 y=Asin(ωx+φ)+B 的单调性及奇偶 性、最值、对称性等问题. 变式 1:已知函数 f ? x ? ? sin ? ? x ?

? ?

??

? ?? ? 0, x ? R ? 的最小正周期为 ? . 4?

(1)求 f ?

?? ? ?. ?6? ? ? ?? 上的图象,并根据图 , ? 2 2? ?

(2)在图 3 给定的平面直角坐标系中,画出函数 y ? f ? x ? 在区间 ? ?

象写出其在 ? ?

? ? ?? , ? 上的单调递减区间. ? 2 2?

3

4

变式 2::已知函数 f ( x) ? A sin (

?
3

x ? ?) , x ? R , A ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

. y ? f ( x) 的部分图

像,如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) .

(1)求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值; (2)若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ? 解(1)解:由题意得, T ?

2?

2? ,求 A 的值. 3

?

?6

3
因为 P(1, A) 在 y ? A sin( 所以 sin( 又因为 0 所以 ? ?

?
3

x ? ? ) 的图像上

?
3

? ? ) ? 1.

?
?
6

?
2



(2)解:设点 Q 的坐标为( x0 , A ). 由题意可知

2? ,得 x0 ? 4 ,所以 Q(4, ? A) 3 6 3 2? 连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= ,由余弦定理得 3 x0 ? ?

?

?

cos ?PRQ ?
解得 A2=3。

RP2 ? RQ2 ? PQ2 A2 ? 9 ? A2 ? (9 ? A2 ) 1 ? ? 2RP.RP 2 2 3. 9 ? A2

又 A>0,所以 A= 3 。

5

例 3:已知复数 (1)若 (2)设复数 ,且 ,求 与 的值;

(

为虚数单位)

在复平面上对应的向量分别为

,若

,且

,求

的最小正周期和单调递减区间 【解析】 试题分析:⑴∵ ,∴







,∴







⑵根据题意可知: ∵ ∴ ∴ , ,∴



∴最小正周期:





上单调减

∴根据复合函数的单调性:



6





上单调减

考点:三角函数的性质,向量的数量积 变式: 已知复数 z1=bcosC+(a+c)i,z2=(2a-c)cosB+4i,且 z1=z2,其中 A、B、C 为△ABC 的内角,a、b、c 为角 A、B、C 所对的边. (1)求角 B 的大小; (2)若 ,求△ABC 的面积.

解: (1)∵z1=z2 ∴bcosC=(2a-c)cosB①,a+c=4,②(2 分) 由①得 2acosB=bcosC+ccosB,③(3 分) 在△ABC 中,由正弦定理得 = ,

设 = =k(k>0) 则 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,代入③ 得; 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB, (4 分) 2sinAcosB=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA (5 分) ∵0<A<π∴sinA>0 ∴ , (7 分) ,由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB?a2+c2-ac=8,④(10 分)

∵0<B<π∴ (2)∵

由②得 a2+c2+2ac=16⑤ 由④⑤得 ∴ , (12 分) = . (14 分)

7

课时 1 练习 1 、已知角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边上一点 P( - 4,3) ,则 π cos? +α?sin?-π-α? 2 3 的值为________. ? 11π 9π 4 cos? -α?sin? +α? 2 2 思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义.(2)利用三角函数定义和诱导公式. 2. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ?

? 7? ? 12

? ?? ?

.0

【知识点】三角函数的图象与性质 ∵由图形可知 A=2,

3 2 T=π ,∴T= π ,∴ω=3, 2 3

∴函数的解析式是 y=2sin(3x+φ)

? 3? ? ? ,0)在函数的图象上,∴0=2sin( +φ)∴φ= ,∴y=2sin(3x+ ) 4 4 4 4 7? ∴f( )=0 12 π ? 3.函数 y=2sin? ( C ) ?6-2x?,x∈[0,π]的增区间是
∵( π 0, ? A.? ? 3? π 7π? B.? ?12,12? π 5π? C.? ?3, 6 ? 5π ? D.? ? 6 ,π?

π 4、若函数 y=cos 2x+ 3sin 2x+a 在[0, ]上有两个不同的零点,则实数 a 的取值范围为 2 ________.答案(-2,-1) 思维启迪 (1)将零点个数转换成函数图象的交点个数. π 由题意可知 y=2sin(2x+ )+a, 6 π π π 该函数在[0, ]上有两个不同的零点,即 y=-a,y=2sin(2x+ )在[0, ]上有两个不同的交点. 2 6 2

8

结合函数的图象可知 1≤-a<2,所以-2<a≤-1. 5.已知函数 f ( x) ? sin( wx ?

?
4

)( x ? R, w ? 0) 的最小正周期为 ? ,将 y ? f ( x) 的图像向左平

移 | ? | 个单位长度,所得图像关于 y 轴对称,则 ? 的一个值是( D ) A.

? 2

B.

3? 8

C.

? 4

D.

? 8
)

?a b?=ad-bc,则函数 f(x)=?2sin x 1 ?的图象的一条对称轴是( B 6..定义运算? ? ? ? ?c d ? ?-2 cos x?
π A. 2 π B. 4 C.π D.0

7.(2013· 浙江卷)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω >0,φ ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ π = ”的( 2 B )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:先判断由 f(x)是奇函数能否推出 φ= π π ,再判断由 φ= 能否推出 f(x)是奇函数. 2 2

π π 若 f(x)是奇函数,则 f(0)=0,所以 cos φ=0,所以 φ= +kπ(k∈Z),故 φ= 不成立; 2 2 π π π 若 φ= ,则 f(x)=Acos?ωx+ ?=-Asin(ωx),f(x)是奇函数.所以 f(x)是奇函数是 φ= 的 2 2 2 ? ? 必要不充分条件 考点定位:充分条件的判断和三角函数的奇偶性性质知识点;

8.(2014 全国理数)16.若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( 围是 .

? ? , ) 是减函数,则 a 的取值范 6 2

9

9.(2014 上海理数)12.设常数 a 使方程 sin x ? 3 cos x ? a 在闭区间[0,2 ? ]上恰有三个解

x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x3 ?
7π 3



【答案】 【解析】

π sin x + 3 cos x = 2 sin(x + ) = a, x ∈[0,2π] 3 ? 2 sin x = a, 当x ∈[0,2π]时有3根,则x1 = 0, x2 = π, x2 = 2π,x1 + x2 = x2 = 3π π π 7π 当2 sin(x + ) = a, x ∈[0,2π]时,x1 = 0,x2 = ,x3 = 2πx2 ∴ x1 + x2 = x2 = 3 3 3
π π 10、 给出命题: ①函数 y=2sin( -x)-cos( +x)(x∈R)的最小值等于-1; ②函数 y=sin πxcos πx 3 6 π π 是最小正周期为 2 的奇函数;③函数 y=sin(x+ )在区间[0, ]上单调递增的;④若 sin 2α<0, 4 2 cos α-sin α<0,则 α 一定为第二象限角.则真命题的序号是________. 答案 ①④ π π 解析 对于①,函数 y=2sin( -x)-cos( +x) 3 6 π =sin( -x),所以其最小值为-1; 3 1 对于②,函数 y=sin πxcos πx= sin 2πx 是奇函数,但其最小正周期为 1; 2 π π π π 对于③,函数 y=sin(x+ )在区间[0, ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减; 4 4 4 2

10

? ?sin 2α<0, 对于④,由? ?cos α<0,sin α>0,所以 α 一定为第二象限角. ?cos α-sin α<0 ?

二 解答题: π 1.设函数 f(x)=cos(2x+ )+sin2x. 3 (1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值; θ cos 2θ (2)若 θ 是第二象限角,且 f( )=0,求 的值. 2 1+cos 2θ-sin 2θ π π 解 (1)f(x)=cos(2x+ )+sin2x=cos 2xcos - 3 3 π 1-cos 2x 1 3 sin 2xsin + = - sin 2x. 3 2 2 2 所以 f(x)的最小正周期为 T= θ (2)因为 f( )=0, 2 1 3 3 所以 - sin θ=0,即 sin θ= , 2 2 3 又 θ 是第二象限角, 所以 cos θ=- 1-sin2θ=- 6 . 3 1+ 3 2π =π,最大值为 . 2 2

cos2θ-sin2θ cos 2θ 所以 = 1+cos 2θ-sin 2θ 2cos2θ-2sin θcos θ = ?cos θ+sin θ??cos θ-sin θ? cos θ+sin θ = 2cos θ 2cos θ?cos θ-sin θ? -

6 3 + 3 3 6- 3 2- 2 = = = . 4 6 2 6 2×?- ? 3 2.已知函数 f ( x) ? 2cos ? x( 3sin ? x ? cos ? x) (其中 ? ? 0 ) ,且函数 f ( x ) 的图象的相邻两条 对称轴间的距离为 ? 。 (1)先列表再作出函数 f ( x ) 在区间 ??? , ? ? 上的图象; (2)若 f ( ) ? 2 ,求 cos(

x 2

2? ? x) 的值; 3

(3)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A) 的取值范围.

11

2.解:(1) f ( x) ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? 2cos2 ? x = 3 sin 2? x ? cos 2? x ? 1 =2 sin(2? x ? 由条件得

?
6

) ?1
????3 分

1 ? 2? ? 2? ,所以 ? ? , f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 1 2 6 2? π (1)由(1)知,f(x)=1+2sin(x+ ). 6 列表: π 5 π 0 x+ - π - 6 6 2 2 π x -π - π - 3 6 y 0 1 -1 描点作图,函数 f(x)在[-π,π]上的图象如图所示.

π 2 π 3 3

π 5π 6 1

7 π 6 π 0

????6 分

x x π 1 (2)由 f ( ) ? 2 可得 sin( + )= . 2 6 2 2

2π 2π π ∴cos( -x)=cos(x- )=-cos(x+ ) 3 3 3 ????9 分

x π 1 1 =-[1-2sin2( + )]=2· ( )2-1=- . 2 6 2 2

(3)∵(2a-c)cosB=bcosC, 由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C),∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0, π 1 ∴cosB= ,B= , 2 3 2π π π 5 π 1 ∴0<A< .∴ <A+ < ? , <sin(A+ )≤1. 3 6 6 6 2 6
12

π π 又∵f(x)=2sin( x + )+1, ∴f(A)=2sin(A+ )+1 6 6 故函数 f(A)的取值范围是(2,3 ].
3.函数 f ( x) ? 6 cos
2

????14 分

?x
2

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最

高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形. (Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的值域; (Ⅱ)若 f ( x0 ) ?

10 2 8 3 ,且 x0 ? ( ? , ) ,求 f ( x0 ? 1) 的值. 3 3 5

1. [解析](Ⅰ)由已知可得: f ( x) ? 6 cos

2

?x
?
2 )

? 3 cos ? x ? 3(? ? 0)

=3cosω x+ 3 sin ?x ? 2 3 sin(?x ?

3

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3 ,则 BC=4 所以,函数 f ( x)的周期 T ? 4 ? 2 ? 8,即 所以,函数 f ( x)的值域为 [?2 3,2 3] (Ⅱ)因为 f ( x0 ) ?

2?

?

? 8,得 ? ?

?
4

8 3 ,由 (Ⅰ)有 5 ?

f ( x0 ) ? 2 3sin (
由 x0 ? (?

?x0
4

?
3

)?

?x ? 4 8 3 , 即sin ( 0 ? ) ? 4 3 5 5

?x 10 2 ? ? ? , ),得( 0 ? ) ? (? , ) 3 3 4 3 2 2

所以, 即cos(

?x0

? 4 3 ? ) ? 1 ? ( )2 ? 4 3 5 5
?x0
4 ?

故 f ( x0 ? 1) ? 2 3sin (

?
4

?

?
3

) ? 2 3sin[(

?x0
4

?

?
3

)?

?
4

]

? 2 3[sin(

?x0

4 3 4 4 2 3 2 ? 2 3( ? ? ? ) 5 2 5 2

?

?

) cos

?

? cos(

?x0
4

?

?
3

) sin

?
4

13

?

7 6 5

[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正(余)弦公式、 二倍角公式等基础知识,考查运算能力,考查树形结合、转化等数学思想.

第2讲 考情解读

三角变换与解三角形

(1)高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用,常和同角三角函数的关系、

诱导公式结合.(2)利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等,经常和三
14

角恒等变换结合进行综合考查.

(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公 式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联 系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠 李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产 生增解.

例 1:设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, cos( A ? C ) ? cos B ?

3 , 2

b 2 ? ac ,求 B.
解析:本题考查三角函数化简及解三角形的能力,关键是注意角的范围对角的三角函数值的制 约,并利用正弦定理得到 sinB= 解:由 cos(A ? C)+cosB=

3 ? (负值舍掉),从而求出 B= 2 3

3 及 B=π ? (A+C)得 2 3 cos(A ? C) ? cos(A+C)= , 2
cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)=

3 3 , sinAsinC= . 4 2

又由 b =ac 及正弦定理得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2 sin B?

2

sin 2 B ? sin A sin C,
3 (舍去) , 2
所以 B=



3 , 4

sin B ?
又由

3 2



sin B??

于是 B=

2 π π 或 B= . 3 3

b2 ? a c 知b ? a或 b ? c

π 3

变式:(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. 1 (1)若 PB= ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA. (1)由已知得,∠PBC=60° ,所以∠PBA=30° . 1 1 在△ PBA 中,由余弦定理得 PA2 = 3 + - 2× 3 × 4 2 7 7 cos30° = . 故 PA= . 4 2 (2)设∠PBA=α,由已知得 PB=sinα. 3 sinα 在△PBA 中,由正弦定理得 = ,化 sin150° sin?30° -α?
15

简得 3cosα=4sinα. 3 3 所以 tanα= ,即 tan∠PBA= . 4 4 例 2.设函数 f(x)=2 sin x cos 2 (1) 求 ? 的值; (2) 在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 解:(1) f ( x) ? 2sin x ?

?

2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

2, f ( A) ?

3 ,求角 C 2

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin( x ? ? )
因为函数 f(x)在 x ? ? 处取最小值,所以 sin(? ? ? ) ? ?1 ,由诱导公式知 sin ? ? 1 , 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? ( 2 )因为 f ( A) ?

?
2

.所以 f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? cos x

? 3 3 , 所以 cos A ? , 因为角 A 为 ? ABC 的内角 , 所以 A ? . 又因为 6 2 2
a b b sin A 1 2 ? ,也就是 sin B ? , ? 2? ? sin A sin B a 2 2

a ? 1, b ? 2, 所以由正弦定理,得
因为 b ? a ,所以 B ?

3? . 4 4 ? ? ? 7? 当 B ? 时, C ? ? ? ? ? ; 4 6 4 12

?

或B ?

当B ?

3? ? 3? ? ? . 时, C ? ? ? ? 4 6 4 12

【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性 质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. ωx+φ ωx+φ ωx+φ? π 其中ω>0,0<φ< ?.其图象的两个相邻对 变式: 已知函数 f(x)= 3sin cos +sin2 2? 2 2 2 ? π ? π 称中心的距离为 ,且过点? ?3,1?. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a= 5, S△ABC=2 5, 角 C 为锐角. 且 C π? 7 满足 f? ? 2 -12?=6,求 c 的值. 解 (1)f(x)= 3 1 sin(ωx+φ)+ [1-cos(ωx+φ)] 2 2

π 1 ωx+φ- ?+ . =sin? 6? 2 ? π ∵两个相邻对称中心的距离为 ,则 T=π, 2
16



2π =π,∵ω>0,∴ω=2. |ω|

π ? 又 f(x)过点? ?3,1?, 2π π ? 1 ∴sin? ? 3 -6+φ?+2=1, π 1 ? 1 即 sin? ?2+φ?=2,∴cosφ=2. π π 又∵0<φ< ,∴φ= , 2 3 π? 1 ∴f(x)=sin? ?2x+6?+2. C π? 1 7 ? π π? 1 (2)f? ? 2 -12?=sin?C-6+6?+2=sinC+2=6, 2 π 5 ∴sinC= ,又∵0<C< ,∴cosC= . 3 2 3 1 1 2 又 a= 5,S△ABC= absinC= × 5×b× =2 5, 2 2 3 ∴b=6, 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcosC, 即 c2=5+36-2 5×6× ∴c= 21. 5 =21, 3

3? ? 例 3.已知 f ? x ? ? 3 sin ?? ? ? x ? sin ? ? ? x ? ? cos 2 ? x ?? ? 0 ? 的最小正周期为 T ? ? . ? ? 2 ?
( 1 )求 f ?

? 2? ? 3

? ( 2 )在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c ,若有 ? 的值; ?

? 2a ? c? cos B ? b cosC,则求角 B 的大小以及 f ? A? 的取值范围.
解: (1) f ? x ? ? 3sin ?x cos ?x ? cos2 ?x ……1 分

?

3 1 1 sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2

……2 分

?? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?
y ? f ? x ? 的最小正周期为 T ? ?
,即:

……3 分

2? ? ? ? ? ?1 2?

……4 分

?? 1 ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?
17

……5 分

? 2? ?f? ? 3
(2)

7? 1 ? ? 2? ? ? 1 ? ? ? ? sin ? ? ?1 ? ? sin ? 2 ? 3 6? 2 6 2 ? ?

……6 分

? 2a ? c ? cos B ? b cos C
……7 分

∴ 由正弦定理可得: ? 2sin A ? sin C ? cos B ? sin B cos C

? 2sin A cos B ? sin B cos C ? cos B sin C ? sin ? B ? C ? ? sin ?? ? A? ? sin A ……8 分
sin A ? 0 ? cos B ? 1 2

B ? ? 0,? ?

?B ?

?
3

……9 分

2 A?C ?? ? B ? ? 3
?2A ?

? 2 ? ? A ? ? 0, ? ? ? 3 ?

……10 分

?

? ? 7 ? ?? ? , ? ? 6 ? 6 6 ?

?? ? 1 ? ? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ,1? 6? ? 2 ? ?

……11 分

? ? 1 ? 1? ? ? f ? A? ? sin ? 2 A ? ? ? ? ? ?1, ? 6? 2 ? 2? ?

……12 分

变 式 . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 A, B, C 成 等 差 数 列 ( 1 ) 若 , 求 ?ABC 的面积 b ? 2 3 ,c ? 2 形状 .解: (1)由 A,B,C 成等差数列,有 2B=A+C, 因为 A,B,C 为△ABC 的内角,所以 A+B+C=π, ① ②由①②得,B= ,③ (2) 若s i n ,s A i n ,s i n B 试判断 ?ABC 的 C 成等比数列,

由余弦定理有 b2=a2+c2-2accosB 得 a=4 或 a=-2(舍去) S△ABC=1/2*accosB=2 3 (2) 因 为 s i n A b2=ac,

, sB in

, C成 s i等 n 比数列,


所以 a,b,c 成等比数列,有

由余弦定理及③,可得 b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再由④,得 a2+c2-ac=ac, 即(a-c)2=0,因此 a=c,从而 A=C, ⑤

由②③⑤,得 A=B=C=

,所以△ABC 为等边三角形。
18

课时 2 练习 1、设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为________.直角三角形 3-1 ,则 tanθ 的值为( C ) 2 3 3 A.- 3或- B.- C.- 3 3 3 忽视三角函数值对角范围的限制致误 2.已知 θ∈(0,π),sinθ+cosθ= 3、已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

D.-

3 2

?

?

4

4

.1

π π 1 4 π 4、已知 0<α< <β<π,cos(β- )= ,sin(α+β)= ,则 cos(α+ )=________. 2 4 3 5 4

19

答案

8 2-3 15

π 解析 因为 0<α< <β<π, 2 π π 3π π 3π 所以 <β- < , <α+β< . 4 4 4 2 2 π 所以 sin(β- )>0,cos(α+β)<0. 4 π 1 4 因为 cos(β- )= ,sin(α+β)= , 4 3 5 π 2 2 3 所以 sin(β- )= ,cos(α+β)=- . 4 3 5 π π 所以 cos(α+ )=cos[(α+β)-(β- )] 4 4 π π =cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- ) 4 4 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15 二:解答题: 1.(2014 浙江理数)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a ? b , c ? 3 ,

cos2 A - cos2 B = 3 sin A cos A - 3 sin B cos B.
(1)求角 C 的大小; (2)若 sin A ?

4 , 求 ? ABC 的面积。 5

【答案】 【解析】 (1)

(1)

π 3

(2)

18+ 8 3 25

? cos2 A - cos2 B = 3 sin A cos A - 3 sin B cos B,∴ 3 sin 2 A - cos 2 A = 3 sin 2 B - cos 2 B, π π π π π π ∴ sin (2 B - ) = sin (2 A - ) ∴ 2 B - = 2 A - , 或2 B - + 2 A - = π. 6 6 6 6 6 6 2 π ?a ≠ b ∴ A ≠B,∴ 解得A + B = π,所以C = . 3 3
(2)

20

π 4 3 3 ?C = , sin A = ∴ cosA = , 或 3 5 5 5 ? sin B = sin( A + C ) = sin A cosC + cos A sin C = c a = ∴a = sin C sin A 1 1 8 ∴ S ΔABC = ac sin B = ? ? 2 2 5 ? c = 3, 8 . 5 3? 4 + 3 3 18+ 8 3 18+ 8 3 = .所以,三角形面积为 10 25 25
2

4+ 3 3 4-3 3 ,或 < 0(舍去) 10 10

2.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos 3 +C)=- . 5 (1)求 cos A 的值; (2)若 a=4 2,b=5,求 c.

A-B
2

cos B-sin(A-B)sin B+cos(A

3 解:(1)由 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=- , 5 得 cos(A-B)cos

B-sin (A-B)sin B=- ?????????????3 分

3 5

3 3 则 cos(A-B+B)=- ,即 cos A=- . 5 5 4 又 0<A<π ,则 sin A= ???????????????????????6 分 5

? 3? 2 2 2 (2)由余弦定理,得(4 2) =5 +c -2×5c×?- ?, ? 5?
整理得 c +6c-7=0. 解得 c=1 或 c=-7(舍去).
2

c=1?????????????????????????????12 分
3. 已知函数 f ? x ? ? 2sin

?x
2

.cos

?x
2

? 2 3 cos 2

?x
2

? 3 ?? ? 0 ? ,其图象与直线 y ? 2 的相邻两

个公共点之间的距离为 2? . (1)若 x ? 0, ? ,试求出函数 f ? x ? 的单调递减区间; (2)△ABC 的三个内角 A,B,C 及其所对的边 a,b,c 满足条件: f ? A? ? 0, a ? 2, 且 b, a, c 成 等比数列.试求 在
?x
2

?

?

方向上的投影 n 的值.
.cos

解:( 1)f ? x ? ? 2sin

?x
2

? 2 3 cos 2

?x
2

? 3 ? sin ? x ? 3 cos ? x ,----2 分

21

?? ?1 ? ? 3 ? 2sin ? ? x ? ? , ? 2? ? 2 ? x ? 2 cos ? x ? ? 3? ? ? ?

-----------3 分

函数 f ? x ? 的最大值为 2,其图象与直线 y=2 的相邻两个公共点之间的距离为 2π.

? 函数 f ? x ? 的周期为 T ? 2?
?

? 2? ,?? ? 1,

-----------4 分 -----------5 分

?? ? ? f ? x ? ? 2sin ? x ? ? , 3? ?

令 2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? 3? , k ? z ,解得 2k? ? 5? ? x ? 2k? ? 11? , k ? z 2 3 2 6 6 有 5? ? x ? 11? , ? 令k ? 0,
6 6

-----------6 分



5? ? . -----------7 分 x ??0, ? ? , ? 函数 f ? x ? 在 x ??0, ? ? 上的单调递减区间为 ? ? ,? ? ? 6 ?

?? ? (2)由()得 1 f ? A? ? 2sin ? A ? ? ? 0 , 3? ?

A ? ? 0, ? ? ,? A ?

?
3

,

-----------8 分

b, a, c成等比数列, ?a2 ? bc,
由余弦定理得a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

-----------9 分

? ? 化简得 2 , ? b ? c ? ? 0,? b ? c,? C ? B ? , -----11 分 3 3

??ABC为等边三角形,b ? c ? 2, -----------13 分
?
在 方向上的投影 n ? CA .cos C ? 2 ? 1 ? 1. 2 -----------14

4.在三角形 ABC 中,角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 sin A ? sin C ? p sin B ? p ? R ? , 且 ac ? (1)当 p ?

1 2 b . 4

5 , b ? 1 时,求 a , c 的值; 4

(2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围;

?a ? c ? (1)解:由题设并利用正弦定理,得 ? 1 ? ac ? 4
解得 ?

5 4

?a ? 1 ?a ? 1 4 或? 1 ?c ? 4 ?c ? 1

(2)解:由余弦定理,b2=a2+c2-2ac cosB =(a+c)2-2ac cosB
2 1 2 =p2b2- 1 即p ? 2 b ? 2 b cos B,
2

3 1 ? cos B, 2 2

22

因为 0

3 cos B 1, 得 p 2 ? ( , 2) ,由题设知 p 2

0 ,所以

6 2

p

2

1.求解恒等变换问题的基本思路 一角二名三结构,即用化归转化思想“去异求同”的过程,具体分析如下: (1)首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变换形式, 角的变换是三角函数变换的核心. (2)其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”. (3)再次观察代数式的结构特点. 2.解三角形的两个关键点 (1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据,注意定理的灵活变形,如 a=2Rsin A,sin A = a (其中 2R 为三角形外接圆的直径),a2+b2-c2=2abcos C 等,灵活根据条件求解三角形中 2R

的边与角. (2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利用“三角形的内角和等于 π”和 诱导公式可得到 sin(A+B)=sin C,sin 形中的增解问题等. 3.利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题,抽象出三 角形模型. A+B C =cos 等,利用“大边对大角”可以解决解三角 2 2

第3讲 考情解读

平面向量

(1)平面向量基本定理和向量共线定理是向量运算和应用的基础, 高考中常以小题形

式进行考查.(2)平面向量的线性运算和数量积是高考的热点,有时和三角函数相结合,凸显向 量的工具性,考查处理问题的能力.

23

π 例 1.已知向量 a=(sin θ ,-2)与 b=(1,cos θ )互相垂直,其中 θ∈?0, ?. 2? ? (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ-φ)= π 10 ,0<φ< ,求 cos φ 的值. 10 2

解析: (1)∵a 与 b 互相垂直, 则 a· b=sin θ-2cos θ=0, 即 sin θ=2cos θ, 代入 sin2

θ+cos2 θ=1 得 sin θ=± 5 ,cos θ=± 5 ,
π 2 5 5 又 θ∈?0, ?,∴sin θ= ,cos θ= . 5 5 2? ? (2)∵0<φ< π π π π ,0<θ< ,∴- <θ-φ< . 2 2 2 2 3 10 . 10 5 3 10 2 5 10 2 × + × = . 5 10 5 10 2

2 5

5

∴cos(θ-φ)= 1-sin2(θ-φ)=

∴cos φ=cos[θ-(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)=

变式: A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、b 、 c .若 m = ?cos B, sin C ? , n = ?cosC,? sin B? ,且 m ? n ? (1)求 A ; (2)若 a = 2 3 ,三角形面积 S = 3 ,求 b ? c 的值. 解:(1)∵m = ?cos B, sin C ? , n = ?cosC,? sin B? ,且 m ? n ?

1 . 2

1 , 2

C ?sin B ?s i n C? ∴ c o sB ? c o s
∴ cos ?B ? C ? ? 即- cos A ? (2) S ?ABC

1 , 2

??????????????2 分

1 , 2



?? ? A? ? cos

1 , ???????4 分 2

1 2 ,又 A ? ?0, ? ? ,∴ A ? ? . ??????????6 分 2 3 1 1 2 ? bc ? sin A ? bc ? sin ? ? 3 ,∴ bc ? 4 ???????8 分 2 2 3

2 2 2 0 2 2 又由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos120 ? b ? c ? bc ?????10 分

∴16= ?b ? c? ,故 b ? c ? 4 .
2

?????????12 分

例 2、已知向量 m ? (sin

x x x x , cos ) , n =( 3 cos , cos ),记 f ?x? ? m ? n ; 4 4 4 4

(1)若 f ?x ? ? 1 ,求 cos( x ?

?

3

) 的值;

24

(2)若 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 ?2a ? c ?cos B ? b cosC , 求函数 f ? A? 的取值范围. 解(1) f ?x? ? m ? n = 3 sin ∵f(x)=1, ∴ sin( ?

x x x x ? 1 3 x 1 x 1 cos ? cos 2 = sin ? cos ? = sin( ? ) ? , 4 4 4 2 2 6 2 2 2 2 2 )?
(4 分) (6 分)

1 , 6 2 ? ? 1 2 x ∴ cos( x ? ) ? 1 ? 2sin ( ? ) = . 3 2 6 2

x 2

?

变式:已知 m=(2cosx+2 3sinx,1),n=(cosx,-y),且 m⊥n. (1)将 y 表示为 x 的函数 f(x),并求 f(x)的单调增区间; A? (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 对应的边长,若 f? ? 2 ?=3,且 a=2,b+c= 4,求△ABC 的面积. 解 (1)由 m⊥n,得 m· n=2cos2x+2 3sinxcosx-y=0, 即 y=2cos2x+2 3sinxcosx=cos2x+ 3sin2x+1 π 2x+ ?+1, =2sin? 6? ? π π π ∴由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π π 得- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 3 6 π π - +kπ, +kπ?,k∈Z. 即函数 f(x)的增区间为? 6 ? 3 ?
25

A? (2)∵f? ? 2 ?=3, π? ? π? ∴2sin? ?A+6?+1=3.即 sin?A+6?=1. π π ∴A+ = +2kπ,k∈Z. 6 2 又 0<A<π, π ∴A= , 3 由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccosA, 即 4=b2+c2-bc, ∴4=(b+c)2-3bc, 又 b+c=4, ∴bc=4, 1 1 3 ∴S△ABC= bcsinA= ×4× = 3. 2 2 2 → 5→ 例 3、在△ABC 中,AC=10,过顶点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D,AD=5,且满足AD= DB. 11 → → (1)求|AB-AC|; → → → → (2)存在实数 t≥1,使得向量 x=AB+tAC,y=tAB+AC,令 k=x· y,求 k 的最小值. → 5 → 解 (1)由AD= DB,且 A,B,D 三点共线, 11 5 → → 可知|AD|= |DB|. 11 又 AD=5,所以 DB=11. 在 Rt△ADC 中,CD2=AC2-AD2=75, 在 Rt△BDC 中,BC2=DB2+CD2=196, 所以 BC=14. → → → 所以|AB-AC|=|CB|=14. → → → (2)由(1),知|AB|=16,|AC|=10,|BC|=14. 102+162-142 1 由余弦定理,得 cos A= = . 2 2×10×16 → → → → 由 x=AB+tAC,y=tAB+AC, 知 k=x· y → → → → =(AB+tAC)· (tAB+AC) → → → → =t|AB|2+(t2+1)AC· AB+t|AC|2
26

1 =256t+(t2+1)×16×10× +100t 2 =80t2+356t+80. 由二次函数的图象, 可知该函数在[1,+∞)上单调递增, 所以当 t=1 时,k 取得最小值 516.
变式:在 ?ABC 中,已知

AB ? AC ? 3BA? BC .

(1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

解:(1)∵ AB AC ? 3BA BC ,∴ AB AC cos A=3BA BC cos B ,即 AC cos A=3BC cos B .

AC BC ,∴ sin B cos A=3sin A cos B . = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 .∴ 即 tan B ? 3tan A . =3 cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? .∴ tan C ? 2 . ? ? ? 5 5 ? 5 ?

2

tan A ? tan B ? ?2 . 1 ? tan A tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1, tan A= ? . 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 .∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 .∴ A=

?
4

.

【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形.

27

课时 3 练习 1、已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b )

解析:解法一 解法二

由|a+b|=|a-b|,平方可得 a· b=0, 所以 a⊥b.故选 B.

根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a-b|分别为以向量 a,b 为邻边的

平行四边形的两条对角线的长,因为|a+b|=|a-b|,所以该平行四边形为矩形,所以 a⊥b. 2、设向量 a、b 满足:|a|=1,|b|=2,a· (a-b)=0,则 a 与 b 的夹角是( B A.30° B.60° C.90° D.120° )

3、 已知 P ? {a | a ? (1,0) ? m(0,1), m ? R}, Q ? {b | b ? (1,1) ? n(?1,1), n ? R} 是两个向量集合, 则 P ?Q ? ( A )

A. { 〔1,1〕 } B. { 〔-1,1〕 } C. { 〔1,0〕 } D. { 〔0,1〕 } 4、定义:|a×b|=|a|· |b|· sin θ,其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角,若|a|=2,|b|=5,a· b=-6 则|a×b|等于 A.8 B.-8 ( A ) C.8 或-8 D.6

→ → → → → → 5、如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=8,AD=5,CP=3PD,AP·BP=2,则AB·AD

28

的值是________. → → → → 1→ → → → → 3→ → 3→ 解析:由题意,AP=AD+DP=AD+ AB,BP=BC+CP=BC+ CD=AD- AB,所以 4 4 4 1→ → 3 → → 1→ → 3→ → → → AD+ AB?·?AD- AB?=AD2- AD·AB- AB2, AP·BP=? 4 ? ? 4 ? ? 2 16 1→ → 3 → → 即 2=25- AD·AB- ×64,解得AD·AB=22. 2 16 答案:22 6、设向量 a,b,则“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的________条件. 答案 充要 解析 设向量 a,b 的夹角为 θ,若|a· b|=||a||b|cos θ|=|a||b|,cos θ=± 1,则 a∥b;若 a∥b,则 cos θ=± 1,从而|a· b|=||a||b|· cos θ|=|a||b|,“|a· b|=|a||b|”是“a∥b”的充要条件. 二:解答题: 1.设平面向量 a ? (cos x , sin x) , b ? (

3 1 , ) ,函数 f ( x) ? a ? b ? 1 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的值域和函数的单调递增区间; (2)当 f (? ) ?

9 ? 2? 2? ) 的值. ,且 ? ? ? 时,求 sin(2? ? 5 6 3 3

解析:依题意 f ( x) ?

3 1 ?? ? cos x ? sin x ? 1 ? sin ? x ? ? ? 1 ........2 分 2 2 3? ?

(1) 函数 f ( x ) 的值域是 ? 0, 2? ;..................4 分 令 2 k? ?

?
2

? x?

?
3

? 2k? ?

?
2

,解得 2k? ?

5? ? ? x ? 2k? ? .......7 分 6 6

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 ? 2k? ? (2) 由 f ?? ? ? sin ? ? ?

? ?

5? ?? , 2k? ? ? ? k ? z ? 。...8 分 6 6?

? ?

??

9 ?? 4 ? ? ? 1 ? 得 sin ? ? ? ? ? , 3? 5 3? 5 ?

因为

?
6

?? ?

2? ? ? ?? 3 ? ,所以 ? ? ? ? ? ,得 cos ? ? ? ? ? ? ....10 分 3 2 3 3? 5 ?

2? ? sin ? 2? ? 3 ?

?? ?? ? ?? 24 ? ? ? ? ? sin 2 ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ...12 分 3? 3? 3? 25 ? ? ? ?
? s xi n ?,x ,s b i ? n (? cos ) ? x ? sin ? x, 2 3 cos ? x) , 设 函 数
29

ox s? 2. 已 知 向 量 a ? ( c ?

1 f ( x) ? a ? b ? ? ( x ? R ) 的图象关于直线 x ? π 对称,其中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . 2
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期;

3π π (2)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( ,0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围. 5 4
考点分析:本题考察三角恒等变化,三角函数的图像与性质. 解析:(Ⅰ)因为 f ( x) ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? 2 3sin ? x ? cos ? x ? ?

π ? ? cos 2? x ? 3sin 2? x ? ? ? 2sin(2? x ? ) ? ? . 6 π 由直线 x ? π 是 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,可得 sin(2? π ? ) ? ?1 , 6
所以 2? π ?

π π k 1 ? kπ ? (k ? Z) ,即 ? ? ? (k ? Z) . 6 2 2 3

5 1 又 ? ? ( , 1) , k ? Z ,所以 k ? 1 ,故 ? ? . 6 2
所以 f ( x) 的最小正周期是

6π . 5

π π (Ⅱ)由 y ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,得 f ( ) ? 0 , 4 4

5 π π π 即 ? ? ?2sin( ? ? ) ? ?2sin ? ? 2 ,即 ? ? ? 2 . 6 2 6 4
5 π 故 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 , 3 6
由0? x ?

3π π 5 π 5π ,有 ? ? x ? ? , 5 6 3 6 6

1 5 π 5 π 所以 ? ? sin( x ? ) ? 1 ,得 ?1 ? 2 ? 2sin( x ? ) ? 2 ?2 ? 2 , 2 3 6 3 6
故函数 f ( x) 在 [0,

3π ] 上的取值范围为 [?1 ? 2, 2 ? 2] . 5

1.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示, → → → 就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法法则很容易出错,向量AB=OB-OA (其中 O 为 任意一个点),这个法则就是终点向量减去起点向量. 2.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b|时,平行四边形的两条对角线长 度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b|=|a-b|等价于向量 a,b 互相垂直.
30

3.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反 向共线. 4.平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中,在三角函数问题中平面向量的 知识主要是给出三角函数之间的一些关系,解题的关键还是三角函数问题;解析几何中向量知 识只是给出一些几何量的位置和数量关系,在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几 何关系.

31


相关文章:
2015高考理科数学三角函数与解三角形专题
2015高考理科数学三角函数与解三角形专题_数学_高中教育_教育专区。2015年高考.... 16 15 三角形与三角函数专题复习 【考点定位】向量数量积,解三角形 【名师...
2015届高三文科数学小综合专题练习——三角函数与平面向量
小综合专题练习——三角函数与平面向量_数学_高中...2015三角函数、向量、解三角形(文)专题小练一...梁远安 中级教师 2335 1483825 3.9 文档数 浏览总量...
2015年最新高考总复习教师用书完美版(数学文科)第三至四篇_三角函数与解三角形
2015年最新高考总复习教师用书完美版(数学文科)第三至四篇_三角函数与解三角形...? (12 分)(2013· 陕西卷)已知向量 a=?cos x,-2?,b=( 3sin x, ? ...
2015年最新高考总复习教师用书完美版(数学文科)第三至四篇_三角函数与解三角形
2015年最新高考总复习教师用书完美版(数学文科)第三至四篇_三角函数与解三角形...——爱因 斯坦 第 1 讲 平面向量的概念及其线性运算 [最新考纲] 1.了解向量...
2016年数学文高考真题分类汇编:专题03 三角函数与解三角形、平面向量
2016年数学文高考真题分类汇编:专题03 三角函数与解三角形平面向量_数学_高中教育_教育专区。三角函数与解三角形 1.【2016 高考新课标 1 文数】△ABC 的内角...
2015届高考数学(理)一轮复习单元检测:三角函数、解三角形、平面向量
2015届高考数学(理)一轮复习单元检测:三角函数解三角形平面向量_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015届高考数学(理)一轮复习单元检测:三角函数解三角形、...
2015高考数学文科试题分类汇编 三角函数与解三角形
2015高考数学文科试题分类汇编 三角函数与解三角形_数学_高中教育_教育专区。三角...文 17】?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 向量 m ...
教师版—三角函数与解三角形
(三)三角恒等变换:1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;会用两角差的 ...2015 8 16 2 8 16 15 已知三角函数的关系求角的关系 解三角形,求面积的最...
2016届二轮 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 专题综合检测 文(全国通用)
2016届二轮 三角函数、三角变换、解三角形平面向量 专题综合检测 文(全国通用...2 8 2 8 → 6.(2015?新课标Ⅰ卷)已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量AC...
更多相关标签:
平面向量与解三角形 | 平面向量与三角形四心 | 三角函数与平面向量 | 平面向量三角形法则 | 平面向量与三角形五心 | 平面向量三角形几心 | 平面向量的三角形法则 | 解三角形 |