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MATLAB自学实用基础教程


数学建模选修课之

MATLAB的基本使用

主要内容:
· MATLAB的简介 · MATLAB基础 · MATLAB之基本数学运算 · MATLAB之矩阵相关运算 · MATLAB之微积分相关运算 · MATLAB之画图

MATLAB的简介
1980年前后,时任美国New Mexico大学计算机科学系

主任的Cleve Moler教授构思一个名MATLAB(MATrix
LABoratory,即矩阵实验室)的交互式计算机语言。 1984年MathWorks公司成立,并推出了1.0版。MATLAB

语言是由计算数学专家首创的,但是由控制界学者“捧红”
的新型计算机语言。随着MATLAB语言的不断发展,它的功 能也越来越强大,现在已经成为国际上首选的科学计算软

件。

MATLAB的简介
公司网址: http://www.mathworks.com/ http://www.mathworks.cn/

目前最高版本:R2014B matlab 2011A的价格:
美国/中国学生版 基础箱$99+$29每个工具箱

美国政府/商业版
基础箱$2100+$1000-$8000不等每个工具箱 美国学术版 基础箱$500+$200-$500不等每个工具箱

优势:
· 简洁高效性(语句简捷) · 科学运算功能(以矩阵为基本单元)

· 强大的绘图功能
· 庞大的工具箱与模块集(遗传算法、神经网络、小波分析、模 糊逻辑等) · 强大的动态系统仿真功能(控制论方面) 不足: · 它是解释型语言,其执行速度要比编译型语言慢得多。 · 费用较高

MATLAB基础
· 界面介绍

MATLAB基础
· 界面介绍

· 常用常量:MATLAB中的常量都可以重新赋值,但是建议在编
程时尽量避免对这些变量重新赋值 eps:机器浮点运算误差限; Inf:正无穷大 pi: ? i和j:纯虚数量 NaN:不定式

· 变量:以字母开头,字母、数字和下划线的组合,而且区分
大小写。 变量类型:数值型、符号型、字符串型、

其它(多维数组、单元数组、类和对象 )

MATLAB之基本数学运算
加(+),减(-),乘(*),除(/),乘方(^)
常用的数学函数:(注:这些函数在MATLAB7中测试通过,低 版本可能有些函数无法使用) sin(x) cos(x) tan(x) cot(x) sind(x) 正弦(变量为弧度) 余弦(变量为弧度) 正切(变量为弧度) 余切(变量为弧度) 正弦(变量为度数)

cosd(x)
tand(x) cotd(x)

余弦(变量为度数)
正切(变量为度数) 余切(变量为度数)

asin(x)

反正弦(返回弧度)

acos(x)
atan(x) acot(x) asind(x) acosd(x) atand(x) acotd(x)

反余弦(返回弧度)
反正切(返回弧度) 反余切(返回弧度) 反正弦(返回度数) 反余弦(返回度数) 反正切(返回度数) 反余切(返回度数)

exp(x)
log(x) log2(x)

e^x
以e为底的对数 以2为底的对数

log10(x)
sqrt(x) abs(x) sign(x) mod(x,y)

以10为底对数
开方 取绝对值 符号函数 返回x除以y的余数

sum(A)
angle(z) real(z) imag(z) conj(z)

对向量A元素求和
复数z的相角(Phase angle) 复数z的实部 复数z的虚部 复数z的共轭复数

round(x) 四舍五入至最近整数 fix(x) 无论正负,舍去小数至最近整数

floor(x) 地板函数,即舍去正小数至最近整数,下取整
ceil(x) 天花板函数,即加入正小数至最近整数,上取整

其余函数可以用“help elfun”和“help specfun”命令获得 小提示: 用“help 函数名”或“doc 函数名”命令查询相关函数的使用,

例如:help floor

MATLAB之矩阵的相关运算
矩阵的输入:用括号[]和分号建立数组;在一行内单个数值

可用空格或逗号隔开,而行与行之间要与则用分号字隔开.
例:A=[1,2,3;5,4,6;9,8,7]; B=[1 2 3;5 4 6;9 8 7]; C=[1 2 3

5 4 6 9 8 7];
小提示: 若不想让MATLAB每次都显示运算结果,只需在运算式最后加 上分号(;)即可,但此条命令实际上已经执行。

注:利用冒号表达式生成向量 v=s1 :s2 :s3表示以s1为起始值,s2为步长,每隔一个s2取一 个点,直至不超过s3的最大值,生成一个向量。缺省s2则认为 步长为1.

注:利用linspace函数生成向量
linspace(a,b,n)此函数也生成一个向量,以a为第一个元素, 以b为最后一个元素,共n个点;与a:(b-a)/n-1:b等价 几种特殊矩阵的生成 zeros(n) 生成n维零矩阵

zeros(m,n) 生成m*n维零矩阵

eye(n) eye(m,n) ones(n) ones(m,n)

生成n维单位阵 生成m*n维单位阵 生成n维元素全为1的矩阵 生成m*n维元素全为1的矩阵

magic(n)
pascal(n) diag(a)

生成n阶幻方
生成n阶Pascal矩阵 (1)若a为向量,则生成以向量a为对角线元

素的 对角矩阵(2)若a为矩阵,提取a的对角线元素(注: 得到的是一个列向量,且a可以不是方阵)

diag(v,k) 生成主对角线上第k条对角线为v的方阵:(注:
v为一个行(列)向量,k可以为负值,负值表示主对角线下)

矩阵元素的访问和重新赋值

例:a=[1 2 3;4 5 6;7,8,9];
a(2,1) %显示第二行第一列的元素 a(:,2) %显示第二列 a(2,:) %显示第二行 a(1:2,2:3) %显示第一、二行和第二、三列构成的子式 a(2,:)=[]; %删除第2行 a(a>5)=1; %将A中所有大于5的元素赋值为1

小提示:
在MATLAB中,%后的部分表示注释

矩阵变换

例:A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
triu(A); tril(A); rot90(A); %提取上三角 %提取下三角 %将A逆时针旋转90度

fliplr(A); %左右对称变换

flipud(A); %上下对称变换
矩阵的运算 a+k a-k a+b %矩阵a加常数k %矩阵a减常数k %矩阵a与矩阵b的和,要求维数相同

k*a
a*k a/k a-b a*b

%常数k乘矩阵a
%矩阵a乘常数k %矩阵a除以常数k %矩阵a与矩阵b的差,要求维数相同 %矩阵a与矩阵b的正常积,要求维数满足相乘的条件

a.*b %Hadamard积,对应元素乘积,要求矩阵形状必须一致 k./a %常数k点除矩阵a

a./b %矩阵A点除矩阵b
a/b a\b a^n %矩阵a右除b %矩阵a左除b 方阵a自乘n次

a.^n 矩阵a中每个元素的n次方 a’ 矩阵a的Hermit转置

inv(a)
det(a) trace(a) rank(a) eig(a)

矩阵a的逆,要求a为方阵
方阵a的行列式: 矩阵a的迹,注:这里a不必是方阵 矩阵a的秩 方阵a的特征值

poly(a)

结果是一个行向量,从最后一个开始往前,分别
为常数、x一次项的系数、x二次项系数,……

[v,d]=eig(a)方阵a的特征值及特征向量,其中v是特征向 量,d是由特征值所构成的一个对角阵

其它一些矩阵与向量相关的函数: min(x) max(x) 向量x的元素的最小值 向量x的元素的最大值

mean(x)

向量x的元素的平均值

median(x) 向量x的元素的中位数

std(x)
var(x)

向量x的元素的标准差
方差

range(x)

极差

其它一些矩阵与向量相关的函数: mode(x) 众数 skewness(X) 偏度

kurtosis(X) 峰度
diff(x) 向量x的相邻元素的差

sort(x)
hist(x)

对向量x的元素进行排序
绘制向量x的直方图

length(x)

向量x的元素个数

norm(x)
sum(x) prod(x) cumsum(x)

向量x到原点的欧氏(Euclidean)距离
向量x的元素总和 向量x的元素总乘积 向量x的累积元素总和

cumprod(x) 向量x的累积元素总乘积

dot(x,y)

向量x和y的内积

cross(x,y) 向量x和y的外积

MATLAB之微积分的相关运算
求极限
(1)单变量函数极限: limit(fun,x,x0) 函数fun在x=x0处的极限 limit(fun, x, x0, ‘left’或‘right’)
a x b 例:lim x(1 ? ) sin x ?? x x

函数fun在x=x0处左或右极限

Matlab代码: syms x a b;%声明三个符号变量

f=x*(1+a/x)^x*sin(b/x) ;%定义函数f
L=limit(f,x,inf)

(2)多变量函数极限: limit(limit(fun,x,x0),y,y0)或limit(limit(f,y,y0),x,x0) 二元函数fun在x=x0,y=y0处的极限
e 例: xlim ?1 y
y ???
?1 2 ( x ? y2 )

sin 2 x x2

(1 ? )

2 2 1 x?a y y2

Matlab代码:

syms x y a;
f=exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2); limit(limit(f,x,1/sqrt(y)),y,inf)

求导数 diff(f,x) 函数f关于x导数 diff(f,x,n) 函数f关于x的n阶导数 diff(diff(f,x,m),y,n) 或 diff(diff(f,y,n),x,m)

二元函数f关于x求m阶偏导数,关于y求n阶偏导数
例:y ? x 2 sin x , 求y (10)
2 ? z z ? x 2 ? y 2 ? 2 xy, 求 ?x?y

Matlab代码: syms x y; y=x^2*sin(x); diff(y,x,10)

Matlab代码: syms x y; z=x^2+y^2+2*x*y; diff(diff(z,x,1),y,1)

求积分

int(f,x)

函数f的不定积分

int(f,x,a,b)函数f的定积分(注:a,b可以是inf或-inf) int(int(int(f,x,a,b),y,c,d),z,e,g)函数f的重积分:其中f为 x,y,z的函数,x,y,z为变量,a,b,c,d,e,g 是x,y,z的上下限



???
0 0

1

x

xy

0

xyzdzdydx

Matlab代码: syms x y z; f=x*y*z; int(int(int(f,z,0,x*y),y,0,x),x,0,1)

代数方程的求解
roots(p) 多项式求根,其中:p为多项式的系数,按降幂方 式形成的行向量 例: 求 ? 2x7 ? 5.2 x6 ? 4.8x5 ? 7 x4 ? 2 x2 ? 9.8x ? 1 ? 0的根 Matlab代码: p=[-2 5.2 -4.8 7 0 2 9.8 1] ;roots(p) fzero(f,x0) 求函数f在x0附近零点;若x0为一个二维向量

[a,b],则变成求函数f在区间(a,b)内的零点
例: 求方程ex ? x ? 3 ? 0在区间?1,2?内的一个实根 Matlab代码:

x0=[1,2] ;syms x ;f= 'exp(x)-x-3 ';fzero(f,x0)

solve(f1,f2,f3,……)

求由f1,f2,f3……构成的代数方程
组的解

?x ? y ? z ? 2 例 求方程组 ? ?2 x ? y ? 2 z ? 2的解 ?2 x ? 2 y ? z ? 5 ?
Matlab代码 syms x y z ; f1= 'x+y+z=2 '; f2= '2*x+y+2*z=2 ' ; f3= '2*x+2*y+z=5 ';

[x,y,z]=solve(f1,f2,f3);

Taylor展开 taylor(f,x,k) 按x=0进行Taylor幂级数展开:(注:k表示

显示前k项,常数项,x的一次项,x的二次
项,……x的k-1次项) taylor(f,x,k,a) 按x=a进行Taylor幂级数展开

例:将y ? sin x在x ? 0( x ? 1)处展开至x的4次方项
Matlab代码 syms x y; y=sin(x);

taylor(y,x,5)
Taylor(y,x,5,1)

级数求和 symsum(fk,k,k0,kn)

级数求和 S ? ? f k
k ? k0

kn



2 k ? k ?1

50

Matlab代码: syms k; symsum(k^2,k,1,50) ;



? (?1)
k ?1

??

k ?1

1 k

Matlab代码: syms k; symsum((-1)^(k-1)/k,k,1,Inf)

MATLAB之绘图
直角坐标画二维图
plot(x,y) 其中x和y为长度相同的向量,分别用于存储x坐标 和y坐标数据,绘图时相当于在屏幕上一个接一个 地描点。 例:在0≤x≤2?区间内,绘制曲线 y ? 2e?0.5 x cos(4? x) Matlab代码:

x=0:pi/100:2*pi;
y=2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x); plot(x,y) %注意一定是.*而不是*

由参数方程所确定的函数的二维图

例:绘制抛物方程的图形

? x ? v1t ? ? 1 2 y ? v2t ? gt ? ? 2

(v1 ? v2 ? 1, g ? 9.8)

Matlab程序代码: t=0:0.01:0.2;

x=t;
y=t-1/2*9.8*t^2; plot(x,y)

一个坐标系下画多条曲线
1.plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3……xn,yn)

2.plot(x,y)函数结合hold on命令
例如:在0≤x≤4?区间内,绘制曲线如下两条曲线:

y ? sin x y ? cos x
Matlab代码1: x=0:pi/100:4*pi; y1=sin(x); y2=cos(x); plot(x,y1,x,y2) Matlab代码2:

x=0:pi/100:4*pi;
y1=sin(x); plot(x,y1); hold on; y2=cos(x); plot(x,y2)

图的修饰 plot(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,…,xn,yn,选项n)
颜色选项 b blue 节点选项 . point 线形选项 solid

g
r c m y k

green
red cyan magenta yellow black

o
x + * s d

circle
x-mark plus star square diamond

:
-. --

dotted
dashdot dashed

Matlab代码:

t=0:0.1:2*pi;
y=sin(t); plot(t,y,'bo:') plot(t,y,‘y*:') plot(t,y,'r+--')

选项见:help plot
也可以在图像上直接修改

subplot(m,n,p) 该函数将当前图形窗口分成m×n个绘图区,即每行n个,共m 行,区号按行优先编号,且选定第p个区为当前活动区。在每 一个绘图区允许以不同的坐标系单独绘制图形。 Matlab程序代码:

x=0:0.05:4;
y1=x;y2=x^2; y3=x^3;y4=x^4;

subplot(2,2,1),plot(x,y1)
subplot(2,2,2),plot(x,y2) subplot(2,2,3),plot(x,y3)

subplot(2,2,4),plot(x,y4)

极坐标绘图: polar(theta,rho,选项) 例:画如下两条曲线 theta为极角,rho为极径

? ? 5sin(4? / 3) (0 ? ? ? 6? ) ? ? 5sin(? / 3)

Matlab程序代码:
theta=0:0.01:6*pi; rho=5*sin(4*theta/3); polar(theta,rho) figure;%新建一个图片窗口 rho=5*sin(theta/3); polar(theta,rho)

隐函数绘图: (1) 对于函数f=f(x),ezplot函数的调用格式为: ezplot(f):在默认区间-2π <x<2π 绘制f=f(x)的图形。 ezplot(f,[a,b]):在区间a<x<b绘制f=f(x)的图形。

(2) 对于隐函数f=f(x,y),ezplot函数的调用格式为:
ezplot(f):在默认区间-2π <x<2π 和-2π <y<2π 绘制 f(x,y)=0的图形。

ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax]):在区间xmin<x<xmax和
ymin<y<ymax绘制f(x,y)=0的图形。 ezplot(f,[a,b]):在区间a<x<b和a<y<b绘制f(x,y)=0的图

形。

Matlab程序代码:
ezplot('sin(x)') ezplot('sin(x)',[-3,3]) ezplot('x^3+y^3-5*x*y+1/5') ezplot('x^3+y^3-5*x*y+1/5',[-4 4 -5 5]) ezplot('x^3+y^3-5*x*y+1/5',[-4 4])

参数方程绘图: 参数方程x=x(t)和y=y(t),ezplot函数的调用格式为: ezplot(x,y):在默认区间0<t<2π 绘制x=x(t)和y=y(t)的图形。 ezplot(x,y,[tmin,tmax]):在区间tmin<t<tmax绘制x=x(t)和

y=y(t)的图形。
Matlab程序代码: ezplot('8*cos(t)','4*sqrt(2)*sin(t)',[0,2*pi]) ezplot('8*cos(t)','4*sqrt(2)*sin(t)') ezplot('8*cos(t)','4*sqrt(2)*sin(t)',[0,pi])

参数方程绘图: 参数方程x=x(t)和y=y(t),ezplot函数的调用格式为: ezplot(x,y):在默认区间0<t<2π 绘制x=x(t)和y=y(t)的图形。 ezplot(x,y,[tmin,tmax]):在区间tmin<t<tmax绘制x=x(t)和

y=y(t)的图形。
Matlab程序代码: ezplot('8*cos(t)','4*sqrt(2)*sin(t)',[0,2*pi]) ezplot('8*cos(t)','4*sqrt(2)*sin(t)') ezplot('8*cos(t)','4*sqrt(2)*sin(t)',[0,pi])

三维曲线: plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,…,xn,yn,zn,选项n)

? x ? sin t ? ? 0 ? t ? 20? ? 例:画出如下曲线 ? y ? cos t ? z ? t sin t cos t ?
Matlab程序代码:

t=0:pi/100:20*pi;
x=sin(t); y=cos(t); z=t.*sin(t).*cos(t); plot3(x,y,z);

三维曲面: 已知二元函数z=f(x,y) 调用格式 : [x,y]=meshgrid(v1,v2);%生成网格数据,其中v1与v2为X轴与Y

轴的分割方式.
z=f(x,y);%计算z mesh(x,y,z)%绘制网格图

surf(x,y,z)%绘制表面图
surfl(x,y,z)%光照下的三维曲面 waterfall(x,y,z)%瀑布型三维图形

例:画 z ? f ( x, y ) ? Matlab程序代码:

1 1 ? (( x ? 16)2 ? ( y ? 16)2 )2 / 200

[x,y]=meshgrid(0 :31) ;
d2=(x-16).^2+(y-16).^2 ; z=1./(1+d2.^2/200) ; mesh(x,y,z) surf(x,y,z) surfl(x,y,z) waterfall(x,y,z)

例:画 z ? f ( x, y ) ?

x2 ? y2

Matlab程序代码: [x,y]=meshgrid(-4:0.5:4);z=sqrt(x.^2+y.^2);surf(x,y,z);

axis equal;

例:画 z ? f ( x, y) ? x2 ? y 2

Matlab程序代码: [x,y]=meshgrid(-4:0.5:4);z=x.^2+y.^2;surf(x,y,z)

例:画 z ? f ( x, y) ? x2 ? y 2

Matlab程序代码:

[x,y]=meshgrid(-10:0.5:10,-10:0.5:10);
z=x.^2-2*y.^2;surf(x,y,z);

例:画 x2 ? y 2 ? 1

Matlab程序代码:
[x,z]=meshgrid(-1:0.05:1,0:0.05:2);y1=sqrt(1-x.^2); y2=-sqrt(1-x.^2);mesh(x,y1,z);hold on;mesh(x,y2,z);axis equal;

MATLAB之微分方程
dsolve(‘e’,’c’,’v’)其中:e为微分方程,c为初值条件,v为 微分方程中的自变量,省略时按缺省原则处理,以小写的为 自变量。 常用符号: Dy表示 y? D2y表示 y?? Dy(0)表示 y ?(0) D3y+D2y+Dy-x+5=0表示 y(3) ? y?? ? y? ? x ? 5 ? 0 例:求 dy ? 1 ? y 2 , y(0) ? 1
dt

Matlab程序代码:

dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1')

例:求

? dy ? 2 y ? 3x ? ? dt , y |t ? 0 ? 1, x |t ? 0 ? 2 ? ? dx ? y ? 2 x ? ? dt

Matlab程序代码:

jx=dsolve('Dy=2*y+3*x','Dx=y-2*x','y(0)=1,x(0)=2');
jx.y jx.x

MATLAB之程序设计
程序设计的三种结构: 顺序结构 循环结构(for……while……) 选择结构(if……else……;switch) 1.Matlab中的循环之for
执行循环体

从向量V中取一个值

for语句的一般结构
for i=V,循环结构体,end
否 遍取V中的值 是

例:求

4 k ? k ?1

100

例:求向量 v ? (2, 4,7,9)
元素的四次方的和 Matlab程序代码: s=0; v=[2,4,7,9]; for k=v

Matlab程序代码: s=0;

for k=1:1:100
s=s+k^4; end

s=s+k^4;
end s

s

2.Matlab中的循环之while
while语句的一般结构 while(条件式),循环结构体,end

While中条件满足 是 执行循环体 否

例:求

4 k ? k ?1

100

Matlab程序代码: s=0;

k=0;
while(k<=100) s=s+k^4;

k=k+1;
end s

3.Matlab中的选择之if……else…… If……else……语句的一般结构 if(条件1)

……
elseif(条件2) ……

否 条件1 否 条件2 是 否 条件n 是 语句组1 语句组2 语句组n 语句组n+1



else
…… end

写自己的函数
File -> New -> M-File

基本结构

function [返回变量列表]=函数名(输入变量列表)

函数体语句
end

例:求100以内素数的个数 Matlab程序代码: function output = primenum(k) output=0; for i=1:k if isprime(i) output=output+1; end end 调用 >>primenum(10)

例:求向量V中各个元素的和与积 Matlab程序代码:

function [sum,prod] = myfun(v)
sum=0; prod=1;

len=length(v);
for i=1:len sum=sum+v(i); prod=prod*v(i); end end 调用 >>v=[1,3,4,6];

>>[a,b]=myfun(v)

MATLAB工具箱之曲线拟合
现在有11个点,(1,9)、(3,24.3)、(5,39.6)、
(25,153)、(30,175.5)、(35,195.3)、(40,208.8) 请用这11点拟合一条曲线,使得这条曲线离这条曲线尽可能近。 过程: 1.输入数据
x=[1 3 5 7 10 15 20 25 30 35 40]; y=[9 24.3 39.6 53.55 72.9 102.6 129.6 153 175.5 195.3 208.8];

(7,53.55)、(10,72.9)、(15,102.6)、(20,129.6)、

2.启动曲线拟合工具箱 Start->toolboxes->curve fitting

3、进入曲线拟合工具箱界面“Curve Fitting tool” (1)点击“Data”按钮,弹出“Data”窗口; (2)利用X data和Y data的下拉菜单读入数据x,y,可修 改数据集名“Data set name”,然后点击“Create data set”按钮,退出“Data”窗口,返回工具箱界面,这时会

自动画出数据集的散点图;
(3)点击“Fitting”按钮,弹出“Fitting”窗口; (4)点击“New fit”按钮,可修改拟合项目名称“Fit

name”,通过“Data set”下拉菜单选择数据集,然后通过
下拉菜单“Type of fit”选择拟合曲线的类型,工具箱提 供的拟合类型有:

Custom Equations:用户自定义的函数类型 Exponential:指数逼近,有2种类型:

a*exp(b*x) 、 a*exp(b*x) + c*exp(d*x)
Fourier:傅立叶逼近,有7种类型,基础型是: a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w)

Gaussian:高斯逼近,有8种类型,基础型是:
a1*exp(-((x-b1)/c1)^2) Interpolant:插值逼近,有4种类型:

linear、nearest neighbor、cubic spline、shape-preserving
Polynomial:多形式逼近,有9种类型: linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-9th degree ~

Power:幂逼近,有2种类型: a*x^b 、a*x^b + c Rational:有理数逼近,分子、分母共有的类型: linear ~、quadratic ~、cubic ~、4-5th degree ~、此 外,分子还包括constant型 Smoothing Spline:平滑样条 Sum of Sin Functions:正弦曲线逼近,有8种类型,基础 型:

a1*sin(b1*x + c1)
Weibull:只有一种: a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)

谢 谢 大 家


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