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【优化方案】2014届高考数学9.4 空间向量及其运算(B) 课时闯关(含答案解析)


一、选择题 → → 1.已知正方体 ABCD-A′B′C′D′中,点 F 是侧面 CDD′C′的中心,若AF=AD → → +xAB+yAA′,则 x-y 等于( ) A.0 B.1 1 1 C. D.- 2 2 解析:选 A.如图所示, → → → → 1→ 1 → AF=AD+DF=AD+ AB+ AA′. 2 2

2.已知点 A(-3,-1,-4)关于原点的对称点为 A1,点 A 在 xOz 平面上的射影为 A2, → 则A1A2在 y 轴正方向上的投影为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 解析:选 B.A1 的坐标为(3,1,4),A2 的坐标为(-3,0,-4). → A1A2=(-6,-1,-8), y 轴正方向上的单位向量 e=(0,1,0), → ∴投影为A1A2· e=-1. → → → 3.O、A、B、C 为空间四个点,又OA、OB、OC为空间的一个基底,则( ) A.O、A、B、C 四点不共线 B.O、A、B、C 四点共面,但不共线 C.O、A、B、C 四点中任意三点不共线 D.O、A、B、C 四点不共面 → → → 解析:选 D.由基底意义,OA、OB、OC三个向量不共面,但 A、B、C 三种情形都有可 → → → 能使OA、OB、OC共面.只有 D 才能使这三个向量不共面,故应选 D. → 4.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是三角形 ABC 的重心,动点 P 满足OP= 1 1→ 1→ → ( OA+ OB+2OC),则点 P 一定为三角形 ABC 的( ) 32 2 A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB 边的中点 解析:选 B.取 AB 边的中点 M, → → → 则OA+OB=2OM, → 1 1→ 1→ → → → → 由OP= ( OA+ OB+2OC)可得 3OP=3OM+2MC, 32 2 → 2→ ∴MP= MC,即点 P 为三角形中 AB 边上的中线的一个三等分点,且点 P 不过重心, 3 故选 B. → → → → 5.已知空间任一点 O 和不共线的三点 A,B,C,满足 O P =xOA+yOB+zOC(x,y,z ∈R),则“x+y+z=1”是“点 P 位于平面 ABC 内”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 C.若 x+y+z=1,则 x=1-y-z. → → → → ∴O P =(1-y-z)O A +yOB+zOC, ∴O P -O A =y(O B -O A )+z(O C -O A ), → → → ∴A P =yAB+zAC, ∴A P ,A B ,A C 共面,即四点共面反之也成立. 二、填空题 6.(2011· 高考大纲全国卷)已知点 E、F 分别在正方体 ABCD- 1B1C1D1 的棱 BB1、CC1 A 上, B1E=2EB, 且 CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值等于__________. 解析:如图,建立空间直角坐标系.



















设面 ABC 的法向量为 n1=(0,0,1), 面 AEF 的法向量为 n2=(x,y,z). 设正方体的棱长为 1, 1 2 ∵A(1,0,0),E?1,1,3?,F?0,1,3?, ? ? ? ? 1? → ? 1? → ∴AE=?0,1,3?,EF=?-1,0,3?, ? 1 y+ z=0, 3 则 取 x=1,则 y=-1,z=3, 1 -x+ z=0, 3

? ? ?

n1·2 3 11 n 故 n2=(1,-1,3),∴cos〈n1,n2〉= = , |n1||n2| 11 ∴面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的平面角 α 满足 3 11 22 2 cos α= ,sin α= ,∴tan α= . 11 11 3 2 答案: 3 7.(2012· 高考四川卷)如图,在正方体 ABCD- 1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 CD、CC1 A 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________.

解析:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(图略),设 1 1 1 → → AB=1,则 D(0,0,0),N ?0,1,2? ,M ?0,2,0? ,A1(1,0,1),∴DN = ?0,1,2? ,MA1 = ? ? ? ? ? ?

?1,-1,1?, 2 ? ?
1 1 → → ∴DN· 1=1×0+1×?-2?+ ×1=0, MA ? ? 2 → → ∴DN⊥MA1,∴A1M 与 DN 所成的角的大小是 90° . 答案:90° 8.已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1,且两 两夹角都是 60° ,则对角线 AC1 的长是________. → 2 →2 → → → → → → → → → → 解析:|AC1 | =AC1 =(AB +BC +CC1 )2 =AB 2 +BC 2 +CC1 2 +2AB · +2AB · 1 + BC CC 1 1 1 → → → 2BC· 1=1+1+1+2·+2·+2·=6,所以|AC1|= 6. CC 2 2 2 答案: 6 三、解答题 9.如图所示,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别在 B1B 和 D1D 上,且|BE| 1 2 = |BB1|,|DF|= |DD1|. 3 3

(1)求证:A、E、C1、F 四点共面; → → → → (2)若EF=xAB+yAD+zAA1,求 x+y+z 的值. → → → → 解:(1)证明:∵AC1=AB+AD+AA1 → → 1→ 2→ =AB+AD+ AA1+ AA1 3 3 1→ → → 2→ =(AB+ AA1)+(AD+ AA1) 3 3 → → → → → → =(AB+BE)+(AD+DF)=AE+AF. ∴A、E、C1、F 四点共面. → → → → → → → (2)∵EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE) → 2 → → 1→ =AD+ DD1-AB- BB1 3 3 → → 1→ =-AB+AD+ AA1, 3 1 1 ∴x=-1,y=1,z= ,∴x+y+z= . 3 3 10.(2011· 高考四川卷)如图,在直三棱柱 ABC- 1B1C1 中,∠BAC=90° A ,AB=AC=AA1 =1.D 是棱 CC1 上的一点,P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点,且 PB1∥平面 BDA1.

(1)求证:CD=C1D; (2)求二面角 A- 1D- 的平面角的余弦值; A B (3)求点 C 到平面 B1DP 的距离. 解:如图,以 A1 为原点,A1B1,A1C1,A1A 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间 直角坐标系,

则 A1(0,0,0),B1(1,0,0),C1(0,1,0),B(1,0,1). C1P C1D x (1)证明:设 C1D=x,∵AC∥PC1,∴ = = . AC CD 1-x 由此可得 D(0,1,x),P(0,1+ x ,0). 1-x

→ → ∴A1B=(1,0,1),A1D=(0,1,x), x → B1P=?-1,1+1-x,0?. ? ? 设平面 BA1D 的一个法向量为 n1=(a,b,c), → ?n1· 1B=a+c=0, ? A 则? ?n1·→ =b+cx=0, ? A1D 令 c=-1,则 n1=(1,x,-1). ∵PB1∥平面 BDA1, x → ? ∴n1· 1P=1×(-1)+x·1+1-x?+(-1)×0=0. B ? ? 1 由此可得 x= .故 CD=C1D. 2 1 (2)由(1)知,平面 BA1D 的一个法向量 n1=?1,2,-1?. ? ? 又 n2=(1,0,0)为平面 AA1D 的一个法向量, n1·2 n 1 2 ∴cos〈n1,n2〉= = = . |n1|· 2| |n 3 3 1× 2 2 故二面角 A- 1D- 的平面角的余弦值为 . A B 3 1? → → ? (3)∵PB1=(1,-2,0),PD=?0,-1,2?, 设平面 B1DP 的一个法向量为 n3=(a1,b1,c1). → ?n3· 1=a1-2b1=0, ? PB 则? c1 → PD ?n3· =-b1+ 2 =0. ? 1 令 c1=1,可得 n3=?1,2,1?. ? ? 1 → 又DC=?0,0,2?, ? ? → |DC· 3| 1 n = . |n3| 3 11.(探究选做)已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). ∴C 到平面 B1DP 的距离 d= (1)求以 A B ,A C 为边的平行四边形的面积; (2)若|a|= 3,且 a 分别与 A B ,A C 垂直,求向量 a 的坐标.









解:(1)由题意可得: A B =(-2,-1,3),A C =(1,-3,2), -2+3+6 7 1 ∴cos〈A B ,A C 〉= = = = , → → 14× 14 14 2 |A B |· C | |A 3 → → ∴sin〈A B ,A C 〉= , 2









AB· C A

→ →

所以,以 A B ,A C 为边的平行四边形的面积 1 → → 3 → → S=2× |A B |· C |· |A sin〈A B ,A C 〉=14× =7 3. 2 2 (2)设 a=(x,y,z),





?x +y +z =3, ? 由题意得?-2x-y+3z=0, ?x-3y+2z=0. ? ?x=1, ? 解得?y=1, ?z=1, ? ?x=-1, ? 或?y=-1, ?z=-1. ?

2

2

2

∴a=(1,1,1)或 a=(-1,-1,-1).


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