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走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学12-1


基础巩固强化 一、选择题 1.如图,CD 是圆 O 的切线,切点为 C,点 A、B 在圆 O 上, BC=1,∠BCD=30° ,则圆 O 的面积为( )

π A.2 3π C. 2 [答案] B

B.π D.2π

BC [解析] ∠A=∠BCD=30° ,由sinA=2R,得 R=1,所以圆 O 的 面积为 πR2=π. 2.(文)如图,在△ABC 中,∠A=90° ,正方形 DEFG 的边长是 6cm,且四个顶点都在△ABC 的各边上,CE=3 cm,则 BC 的长为 ( )

A.12cm C.18cm [答案] B

B.21cm D.15cm

[解析] ∵四边形 DEFG 是正方形,∴∠GDB=∠FEC=90° , GD=DE=EF=6 cm,又∵∠B+∠C=90° ,∠B+∠BGD=90° ,∴ ∠C=∠BGD,∴△BGD △FCE, BD GD EF· GD ∴ EF = EC ,即 BD= EC =12cm, ∴BC=BD+DE+EC=21cm. (理)如图所示,矩形 ABCD 中,AB=12,AD=10,将此矩形折 叠使点 B 落在 AD 边的中点 E 处,则折痕 FG 的长为( )

A.13 65 C. 6 [答案] C

63 B. 5 63 D. 6

[解析] 过点 A 作 AH∥FG 交 DG 于 H, 则四边形 AFGH 为平行 四边形.∴AH=FG. ∵折叠后 B 点与 E 点重合,折痕为 FG, ∴B 与 E 关于 FG 对称. ∴BE⊥FG,∴BE⊥AH. ∴∠ABE=∠DAH,

∴Rt△ABE Rt△DAH. BE AH ∴AB=AD. 1 ∵AB=12,AD=10,AE=2AD=5, ∴BE= 122+52=13, BE· AD 65 ∴FG=AH= AB = 6 . 3.(文)如图,四边形 ABCD 中,DF⊥AB,垂足为 F,DF=3, AF=2FB=2,延长 FB 到 E,使 BE=FB,连接 BD,EC.若 BD∥EC, 则四边形 ABCD 的面积为( )

A.4 C.6 [答案] C

B.5 D.7

[解析] 由条件知 AF=2,BF=BE=1, 1 1 ∴S△ADE=2AE×DF=2×4×3=6, ∵CE∥DB,∴S△DBC=S△DBE,∴S 四边形 ABCD=S△ADE=6. (理)已知矩形 ABCD,R、P 分别在边 CD、BC 上,E、F 分别为 AP、PR 的中点,当 P 在 BC 上由 B 向 C 运动时,点 R 在 CD 上固定 不变,设 BP=x,EF=y,那么下列结论中正确的是( )

A.y 是 x 的增函数 B.y 是 x 的减函数 C.y 随 x 的增大先增大再减小 D.无论 x 怎样变化,y 为常数 [答案] D [解析] ∵E、F 分别为 AP、PR 中点,∴EF 是△PAR 的中位线, 1 ∴EF=2AR,∵R 固定,∴AR 是常数,即 y 为常数. 二、填空题 4.(文)(2013· 广东)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, 延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6, ED=2,则 BC=________.

[答案] 2 3 [解析] 连接 OC,则 OC⊥CE,∠OCA+∠ACE=90° , ∵∠OAC=∠OCA,∴∠OAC+∠ACE=90° .易知 Rt△ACB≌Rt △ACD, 则∠OAC=∠EAC.∴∠EAC+∠ACE=90° , ∴∠AEC=90° ,

在 Rt△ACD 中,由射影定理得:CD2=ED· AD ①,又 CD=BC,AD =AB, 将 AB=6, ED=2 代入①式, 得 CD= 12=2 3, ∴BC=2 3. (理)如图所示,在矩形 ABCD 中,AE⊥BD 于 E,S 矩形=40cm2, S△ABE S△DBA= ,则 AE 的长为________.

[答案] 4cm [解析] ∵∠BAD=90° ,AE⊥BD,∴△ABE △DBA, ∴S△ABE S△DBA=AB2 DB2. ∵S△ABE S△DBA= ∴AB DB= 5. ,∴AB2 DB2= ,

设 AB=k,则 DB= 5k,AD=2k, ∵S 矩形=40cm2,∴k· 2k=40,∴k=2 5, 1 ∴BD= 5k=10,AD=4 5,S△ABD=2BD· AE=20, 1 ∴2×10×AE=20,∴AE=4cm. 5.(文)

如图,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OB 绕点 O 逆时针 旋转 120° 到 OD,连 PD 交圆 O 于点 E,则 PE=________.

[答案]

3 7 7

[解析] ∵∠POD=120° ,OD=OB=1,PO=2, ∴PD= PO2+OD2-2OD· PO· cos120° = 7, 由相交弦定理得,PE· PD=PB· PC, PB· PC 1×3 3 7 ∴PE= PD = = 7 . 7 (理)(2013· 广州调研)如图,已知 AB 是⊙O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点,PC⊥OP,PC 交⊙O 于点 C,若 AP=4,PB=2,则 PC 的 长是________.

[答案] 2 2 [解析] 如图,延长 CP 交⊙O 于点 D,因为 PC⊥OP,所以 P 是弦 CD 的中点,由相交弦定理知 PA· PB=PC2,即 PC2=8,故 PC =2 2.

6. (文)(2013· 广东梅州联考)如图, PAB、 PCD 为⊙O 的两条割线, 若 PA=5,AB=7,CD=11,AC=2,则 BD 等于________.

[答案] 6 [解析] 设 PC=x,则 PD=PC+CD=x+11, 由割线定理知 PC· PD=PA· PB, ∴x(x+11)=5×(5+7)=60, ∵x>0,∴x=4.∴PC=4,PD=15. ∵∠PAC=∠PDB,∠P 为公共角, PA AC ∴△PAC∽△PDB,∴PD=BD, AC· PD 2×15 ∴BD= PA = 5 =6. (理)

(2012· 天津十二校联考)如图所示,EA 是圆 O 的切线,割线 EB 交圆 O 于点 C,C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=2,BD=4,则 EA =________. 5 [答案] 2 [解析] 解法 1:根据题意可得 BC2=CD2+BD2=22+42=20,

即 BC=2 5.由射影定理得 BC2=AB· BD,即 20=4AB,解得 AB=5, 所以 AC= 52-20= 5,设 EA=x,EC=y,根据切割线定理可得 x2 =y(y+2 5),即 x2=y2+2 5y,在 Rt△ACE 中,x2=y2+( 5)2,故 5 5 25 5 5 2 5y=5,解得 y= 2 ,故 x2=4+5= 4 ,得 x=2,即 EA=2. 解法 2:连 AC,∵AB 为直径,∴∠ACB=90° ,CD⊥AB,CD CD2 =2,BD=4,∴AD= BD =1, 又 EA 切⊙O 于 A,∴∠EAB=90° , EA AB AB· CD 5 ∴△EAB △CDB,∴CD=BD,∴AE= BD =2. 7.(文)(2013· 惠州三调)如图,PA 切圆 O 于点 A,割线 PBC 经过 圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60° 到 OD,则 PD 的长 为________.

[答案]

7

[解析] 由图可知,PA2=PB· PC=PB· (PB+BC)=3,∴PA= 3, ∴∠AOP=60° , 又∠AOD=60° ,∴∠POD=120° ,∵PO=2,OD=1, 22+12-PD2 1 ∴cos∠POD= =-2,∴PD= 7. 2×2×1 (理)(2013· 天津)如图,在圆内接梯形 ABCD 中,AB∥DC,过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E,若 AB=AD=5,BE=4,则弦

BD 的长为________.

[答案]

15 2

[解析] 因为 AE 是圆的切线, 又 AD=AB, AB∥DC, 所以∠BAE =∠ADB=∠ABD=∠BDC,所以 AD=AB=BC=5.由切割线定理可 得 EA2=EB×EC=4×(5+4)=36,所以 EA=6.又△BCD∽△EBA, BD BC BC· EA 5×6 15 所以 EA =EB ,则 BD= EB = 4 = 2 . 8.

如图,在圆的内接四边形 ABCD 中,∠ABC=90° ,∠ABD=30° , ∠BDC=45° ,AD=1,则 BC=________. [答案] 2

[解析] 连接 AC.因为∠ABC=90° ,所以 AC 为圆的直径.又∠ ACD=∠ABD=30° ,所以 AC=2AD=2.又∠BAC=∠BDC=45° ,故 BC= 2. 9.(文)(2013· 佛山二模)如图,PA 与圆 O 相切于点 A,PCB 为圆

O 的割线,并且不过圆心,已知∠BPA=30° ,PA=2 3,PC=1,则 圆 O 的半径等于________.

[答案] 7 [解析]

由已知可得,PA2=PC· PB,∴PB=12, 如图,连接 OA 并反向延长,交圆于点 E,交 BC 于 D,因为∠ BPA=30° ,在 Rt△APD 中可以求得 PD=4,DA=2,故 CD=3,DB =8, 记圆的半径为 R, 由于 ED· DA=CD· DB, 因此, (2R-2)×2=3×8, 解得 R=7. (理)(2013· 湖北)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D, CE 点 D 在半径 OC 上的射影为 E, 若 AB=3AD, 则EO的值为________.

[答案] 8 [解析] 连接 AC、BC,则 AC⊥BC. 1 2 1 ∵AB=3AD,∴AD=3AB,BD=3AB,OD=6AB. 1 又 AB 是圆 O 的直径,OC 是圆 O 的半径,∴OC=2AB. 2 在△ABC 中,根据射影定理有:CD2=AD· BD=9AB2. 在△OCD 中,根据射影定理有:OD2=OE· OC,CD2=CE· OC, 1 4 CE 可得 OE=18AB,CE=9AB,∴EO=8. 三、解答题 10.(文)(2012· 哈三中模拟)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,过⊙ O 上一点 H 作⊙O 的切线,BC 与这条线切线平行,AC、AB 的延长 线交这条切线于点 E、F,连接 AH、CH.

(1)求证:AH 平分∠EAF; (2)若 CH=4,∠CAB=60° ,求圆弧 BHC 的长. [解析] (1)证明:连接 OH,则 OH⊥EF. ∵EF∥BC,∴OH⊥BC,∴H 为弧 BC 的中点, ∴∠EAH=∠FAH,∴AH 平分∠EAF. (2)连接 CO、BO,∵∠CAB=60° ,∴∠COB=120° ,

∴∠COH=60° ,∴△COH 为等边三角形, ∴CO=CH=4, 8π 又∵∠BOC=120° ,∴ BHC 的长为 3 . (理)(2013· 长春第二次调研)如图,过圆 E 外一点 A 作一条直线与 1 圆 E 交于 B,C 两点,且 AB=3AC,作直线 AF 与圆 E 相切于点 F, 连接 EF 交 BC 于点 D,已知圆 E 的半径为 2,∠EBC=30° .

(1)求 AF 的长; (2)求证:AD=3ED. [解析] (1)延长 BE 交圆 E 于点 M,连接 CM,则∠BCM=90° , 又 BM=2BE=4,∠EBC=30° ,所以 BC=2 3. 1 1 又 AB=3AC,则 AB=2BC= 3, 所以根据切割线定理得,AF2=AB· AC= 3×3 3=9,即 AF=3. (2)过点 E 作 EH⊥BC 于点 H, 则 EH= EB2-BH2=1, 且△EDH 与△ADF 相似, ED EH 1 从而有AD= AF =3,因此 AD=3ED. 能力拓展提升 一、填空题

11.(文)

(2013· 广州联考)如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆上,CD ⊥AB 于 D,且 AD=5DB,设∠OCD=θ,则 cos2θ=________. 1 [答案] 9 1 1 [解析] 设 BD=1,则 AD=5,∴OC=2AB=2(AD+DB)=3, OD 2 ∴OD=OB-BD=2,∴sinθ=OC =3, 2 1 ∴cos2θ=1-2sin2θ=1-2×(3)2=9. (理)

如图所示,已知圆 O 直径为 6,AB 是圆 O 的直径,C 为圆 O 上一点,且 BC= 2,过点 B 的圆 O 的切线交 AC 延长线于点 D,则 DA=________. [答案] 3 [解析] ∵AB 为直径,

∴∠ACB 为直角, ∵BC= 2,AB= 6,∴AC=2, ∵DB 与⊙O 相切,∴∠DBA 为直角, 由射影定理 BC2=AC· CD,∴CD=1,∴AD=3. 12.(文)

(2013· 湖南)如图, 在半径为 7的⊙O 中, 弦 AB、 CD 相交于点 P, PA=PB=2,PD=1,则圆心 O 到弦 CD 的距离为________. [答案] 3 2

AP· PB [解析] 由相交弦定理得 AP· PB=DP· PC,从而 PC= DP =4, 所以 DC=5,所以圆心 O 到弦 CD 的距离等于 5 3 ? 7?2-?2?2= 2 .

(理)(2012· 天津,13)如图,已知 AB 和 AC 是圆的两条弦,过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相 3 交于点 E,与 AB 相交于点 F,AF=3,FB=1,EF=2,则线段 CD 的长为________.

4 [答案] 3 [解析] 如图,由相交弦定理得 AF· FB=EF· FC,

AF· FB ∴FC= EF =2, FC AF FC· AB 8 ∵FC∥BD,∴BD=AB,BD= AF =3. 又由切割线定理知 BD2=DC· DA, 64 4 又由 DA=4CD 知 4DC2=BD2= 9 ,∴DC=3. 明确相交弦定理、切割弦定理等是解题的关键. 13.(文)(2012· 湖北理,15)如下图,点 D 在⊙O 的弦 AB 上移动, AB=4,连接 OD,过点 D 作 OD 的垂线交⊙O 于点 C,则 CD 的最 大值为________.

[答案] 2 [解析] 解法 1:∵CD⊥OD,∴OC2=OD2+CD2,当 OD 最小 时,CD 最大,而 OE 最小(E 为 AB 的中点), ∴CDmax=EB=2.

AD+DB 2 AB2 解法 2:由题意知,CD =AD· DB≤( ) = 4 =4.(当且仅 2
2

当 AD=DB 时取等号). ∴CDmax=2. (理)

(2012· 广州测试)如图,AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C,使 BC AD =2OB,CD 是圆 O 的切线,切点为 D,连接 AD、BD,则BD的值为 ________. [答案] 2

[解析] 连接 OD,则 OD⊥CD.设圆 O 的半径为 r,则 OA=OB =OD=r,BC=2r.所以 OC=3r,CD= OC2-OD2=2 2r. 由弦切角定理得,∠CDB=∠CAD, 又∠DCB=∠ACD,所以△CDB △CAD. AD AC 4r 所以BD=CD= = 2. 2 2r 二、解答题 14.(文)(2012· 昆明一中测试)如图,已知 A、B、C、D 四点共圆, 延长 AD 和 BC 相交于点 E,AB=AC.

(1)证明:AB2=AD· AE; (2)若 EG 平分∠AEB,且与 AB、CD 分别相交于点 G、F,证明: ∠CFG=∠BGF. [证明] (1)如图,连接 BD.

因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=∠ADB. 又因为∠BAD=∠EAB,所以△ABD △AEB, AB AE 所以AD=AB,即 AB2=AD· AE. (2)因为 A、B、C、D 四点共圆,所以∠ABC=∠EDF. 又因为∠DEF=∠BEG,所以∠DFE=∠BGF. 又因为∠DFE=∠CFG,所以∠CFG=∠BGF. (理)(2013· 石家庄模拟)如图, 过圆 O 外一点 P 作该圆的两条割线 PAB 和 PCD,分别交圆 O 于点 A、B,C、D,弦 AD 和 BC 交于点 Q, 割线 PEF 经过点 Q 交圆 O 于点 E、F,点 M 在 EF 上,且∠BAD= ∠BMF.

(1)求证:PA· PB=PM· PQ; (2)求证:∠BMD=∠BOD. [证明] (1)∵∠BAD=∠BMF, ∴A、Q、M、B 四点共圆,∴PA· PB=PM· PQ.

(2)∵PA· PB=PC· PD,∴PC· PD=PM· PQ, 又∠CPQ=∠MPD,∴△CPQ∽△MPD, ∴∠PCQ=∠PMD,则∠BCD=∠DMF, ∵∠BAD=∠BCD, ∴∠BMD=∠BMF+∠DMF=2∠BAD, 又∠BOD=2∠BAD,∴∠BMD=∠BOD. 15.(文)(2013· 黑龙江哈尔滨六校联考)如图,已知四边形 ABCD 内接于⊙O,且 AB 是⊙O 的直径,过点 D 的⊙O 的切线与 BA 的延 长线交于点 M.

(1)若 MD=6,MB=12,求 AB 的长; (2)若 AM=AD,求∠DCB 的大小. [解析] (1)因为 MD 为⊙O 的切线,由切割线定理知, MD2=MA· MB. 又 MD=6,MB=12,MB=MA+AB, 所以 MA=3,AB=12-3=9. (2)因为 AM=AD,所以∠AMD=∠ADM,连接 DB, 又 MD 为⊙O 的切线, 由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD, 又因为 AB 是⊙O 的直径,所以∠ADB 为直角, 即∠BAD=90° -∠ABD. 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD,

于是 90° -∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30° . 所以∠BAD=60° . 又四边形 ABCD 是圆内接四边形, 所以∠BAD+∠DCB=180° . 所以∠DCB=120° . (理)(2012· 河南商丘模拟)如图,在△ABC 和△ACD 中,∠ACB= ∠ADC=90° ,∠BAC=∠CAD,⊙O 是以 AB 为直径的圆,DC 的延 长线与 AB 的延长线交于点 E.

(1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若 EB=6,EC=6 2,求 BC 的长. [解析] (1)∵AB 是⊙O 的直径,∠ACB=90° , ∴点 C 在⊙O 上, 连接 OC,可得∠OCA=∠OAC=∠DAC,∴OC∥AD, 又∵AD⊥DC,∴DC⊥OC, ∵OC 为半径, ∴DC 是⊙O 的切线. (2)∵DC 是⊙O 的切线, ∴EC2=EB· EA.

又∵EB=6,EC=6 2, ∴EA=12,AB=6. ∵∠ECB=∠EAC,∠CEB=∠AEC, ∴△ECB △EAC, BC EC 2 ∴AC=EA = 2 ,∴AC= 2BC. ∵AC2+BC2=AB2=36,∴BC=2 3.

考纲要求 1.了解平行截割定理.理解相似三角形的定义与性质. 2.会证明并应用直角三角形射影定理. 3.会证明并应用圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理. 4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定 定理、切割线定理. 补充说明 1.与平行线分线段成比例定理有关的推论与结论 (1)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. (2)经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰. (3)平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线 ) 所得 的对应线段成比例.

(4)两条直线被三个平行平面所截得对应线段成比例. 2.相似三角形 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三 角形,相似三角形对应边的比值叫做相似比. (2)预备定理:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延 长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似. (3)引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的 对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. (4)直角三角形相似的判定 ①有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似. ②两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. ③斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似. (5)有关结论:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比, 面积比等于相似比的平方;内切圆的直径比,周长比等于相似比,面 积比等于相似比的平方. 备选习题 1. 函数 f(x)=(x-2010)(x+2011)的图象与 x 轴、 y 轴有三个交点, 有 一 个 圆恰 好通过 这 三 个点 ,则此 圆 与 坐标 轴的另 一 个 交点 是 ________. [答案] (0,1) [解析] f(x)的图象与 x 轴交于点 A(-2011,0),B(2010,0),与 y 轴交于点 C(0,-2010×2011),设经过 A、B、C 三点的圆与 y 轴另 一个交点为 D(0,y0),易知原点 O 在圆的内部,y0>0,由相交弦定理 知,|OA|· |OB|=|OC|· |OD|,∴2011×2010=2010×2011y0,∴y0=1. 2.

(2013· 北京西城模拟)如图,正△ABC 的边长为 2,点 M、N 分别 是边 AB、AC 的中点,直线 MN 与△ABC 的外接圆的交点为 P、Q, 则线段 PM=________. [答案] [解析] 5-1 2 设 PM=x,则 QN=x,由相交弦定理可得 PM· MQ= 5-1 2 .

BM· MA 即 x· (x+1)=1,解得 x=

3.如图,EB、EC 是⊙O 的两条切线,B、C 是切点,A、D 是 ⊙O 上两点, 如果∠E=46° , ∠DCF=32° , 则∠A 的度数是________.

[答案] 99° [解析] 连接 OB、OC、AC,根据弦切角定理得, ∠EBC=∠BAC,∠CAD=∠DCF, 1 可得∠ A=∠ BAC+∠ CAD= 2(180° -∠E)+∠ DCF= 67° +32°

=99° . [点评] 可由 EB=EC 及∠E 求得∠ECB,由∠ECB 和∠DCF 求 得∠BCD,由圆内接四边形对角互补求得∠A. 4.如图,圆 O 的直径 AB=8,C 为圆周上一点,BC=4,过 C 作圆的切线 l,过 A 作直线 l 的垂线 AD,D 为垂足,AD 与圆 O 交于 点 E,求线段 AE 的长.

[解析]

连接 OC、BE、AC,则 BE⊥AE. ∵BC=4,∴OB=OC=BC=4,即△OBC 为正三角形, ∴∠CBO=∠COB=60° , 又直线 l 切⊙O 于 C, ∴∠DCA=∠CBO=60° , ∵AD⊥l,∴∠DAC=90° -60° =30° ,

1 而∠OAC=∠ACO=2∠COB=30° ,∴∠EAB=60° , 1 在 Rt△BAE 中,∠EBA=30° ,∴AE=2AB=4. 5.(2013· 银川模拟)如图,△ABO 三边上的点 C、D、E 都在⊙O 上,已知 AB∥DE,AC=CB.

(1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; 1 (2)若 AD=2,且 tan∠ACD=2,求⊙O 的半径 r 的长. OA OB [解析] (1)∵AB∥DE,∴OD=OE, 又 OD=OE,∴OA=OB. 如图,连接 OC,∵AC=CB,∴OC⊥AB. 又点 C 在⊙O 上,∴直线 AB 是⊙O 的切线.

(2)如图,延长 DO 交⊙O 于点 F,连接 FC. 由(1)知 AB 是⊙O 的切线, ∴弦切角∠ACD=∠F,

∴△ACD∽△AFC. 1 CD 1 ∴tan∠ACD=tan∠F=2,又∠DCF=90° ,∴ FC =2. AD CD 1 ∴AC = FC =2,而 AD=2,得 AC=4. 又 AC2=AD· AF, ∴2· (2+2r)=42,于是 r=3.


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