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阜阳市第三中学2014届高三四模文科数学试卷


阜阳市第三中学2014届高三四模文科数学试卷
满分:150分 时间:120分钟 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)
a 1.集合 M ? 3, 2 , N ? ?a, b? ,若 M ? N ? ?2? ,则 M ? N ?

?

?





A. ?0,1, 2?
2.若复数

B. ?0,1,3?

C. ?0, 2, 3?

D. ?1, 2, 3?
( )

a ? 3i (a ? R, i为虚数单位) 是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i 3 A.-6 B.13 C. 2

D. 13 )

3.若数列 {a n } 是等差数列,且 a1 ? a8 ? a15 ? ? ,则 tan(a 4 ? a12 ) ? ( B. ? 3

A. 3

C.

3 3

D. ?

3 3


4.已知空间两条不同的直线 m,n 和两个不同的平面 ? , ? ,则下列命题中正确的是( A.若 m / /? , n ? ? , 则m / / n C.若 m / /? , n / /? , 则m / / n
?

B.若 ? ? ? ? m, m ? n, 则n ? ? D.若 m / /? , m ? ? ,? ? ? ? n, 则m / / n

5. 已知向量 a ? (1 ? sin ? ,1) , b ? ( ,1 ? sin ? ) ,且 a// b ,则锐角 ? 等于( A. 30
o

?

1 2

?

?



B. 45

o

C. 60

o

D. 75 o )

6.已知 a ? 0, b ? 0, 若不等式 mab ? (3a ? b)(b ? 3a) 恒成立,则 m 的最大值等于( A.12 B.9 C.6 )
3 3

D.3

7.已知 a ? (5,12), a ? b ? 3, 则 b 的取值范围是( A. ?9, 15? C. ?11, 17 ? B. ?10, 16 ? D. ?12, 18?

x

x

8. 一空间几何体的三视图如图 2 所示, 该几何体的 体积为 12? ? A. 5

4 正视图

4 侧视图

8 5 ,则正视图中 x 的值为( 3
B. 4 C. 3 D. 2



俯视图 图2

9.阜阳三中新校区计划在 2013 年招聘生活老师, 要求男性 x 名,女性 y 名, x 和 y 须满足约

? 2 x ? y ? 5, ? 束条件 ? x ? y ? 2, ? x ? 6. ?
A. 9
2

则阜阳三中在 2013 年招聘的生活老师最多( B. 10 C. 13 D. 14

)名

10.函数 f ( x) ? x ? bx 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 1 ? 0 , 设数列 ? 前 n 项和 S n ,则 S 2011 为( A. )

? 1 ? ?的 ? f (n) ?

2008 2009

B.

2009 2010

C.

2010 2011

D.

2011 2012

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在题中横线上。 11.若函数 f ( x) ? ax ? 2a ? 1在?? 1 1? 上有零点,则实数 a 的取值范围 , 12.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为________________.
x

.

13.设集合 M ? m m ? 7n ? 2 , n ? N , 且m ? 200 ,则集合 M 中所有元素的和为
n

?

?

?

14.O 是平面上一点,点 A、B、C 是平面上不共线的三点,平面内的动点 P 满足

??? ??? ? ? ??? ???? ? ??? ??? ??? ? ? ? 1 的值为 OP ? OA? ? ( AB? AC 若? ? 时 ,则 PA ( PB PC ), ? ? ) 2
果 A1E=B1F,下面四个结论:① EF ? AA1 ; ②EF//AC; ③EF 与 AC 异面; ④EF//平面 ABCD, 其中一定正确的结论序号是



15.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是线段 A1B, B1C 上的不与端点重合的动点,如



三.解答题:本大题共 6 小题,共计 75 分,解答应写出文字说明.证明过程或推演步骤。 16. (本小题满分 12分)等比数列 ?an ? 中,已知 a 2 ? 2, a5 ? 16 (1)求数列 ?an ? 的通项 a n ; (2)若等差数列 ?bn ? , b1

? a5 , b8 ? a2 ,求数列 ?bn ? 前n项和 S n ,并求 S n 最大值.

17 : 满 分 12 分 ) 直 棱 柱 A B C D A1 B1C1 D1 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 , ( ?

?BAD ? ?ADC ? 90 ? , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 。
(1)求证: AC ? 平面 BB1C1C ; (2)在 A1 B1 上是否存在一点 P ,使得 DP 与平面 BCB1 平行?证明你的结论。
A1 D1 A D C C1 B1

B

18. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2 3 sin x ?

sin 2 x . sin x

(1)求 f ( x) 的最大值,及当取最大值时 x 的取值集合; (2)在三角形 ABC 中 a 、 b 、 c 分别是角 A、B、C 所对的边,对定义域内任意

x有f ( x) ? f ( A),且 b=1,c=2,求 a 的值.

19. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? kx, g ( x) ? (Ⅰ)求函数 g ( x) 的单调区间;

ln x x

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 (0,??) 上恒成立,求实数 k 的取值范围;

20、 本小题 13 分) ( 如图,AB 为圆 O 的直径, E 、 在圆 O 上, AB // EF , 点 且 矩形 ABCD F 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (Ⅰ)求证:平面 ADF ? 平面 CBF ; (Ⅱ)求四棱锥 F ? ABCD 的体积.
D B E
O C

A

F

21. (本小题满分 13 分)已知数列 {a n } 是等比数列, a 4 ? e ,如果 a 2 , a 7 是关于 x 的方程:

ex 2 ? kx ? 1 ? 0, (k ? 2 e ) 两个实根, e 是自然对数的底数) (
(1). 求 {a n } 的通项公式; (2).设: bn ? ln a n , S n 是数列 {bn } 的前 n 项的和,当: S n ? n 时,求 n 的值; (3).对于(2)中的 {bn } ,设: c n ? bn bn ?1bn ? 2 ,而 Tn 是数列 {c n } 的前 n 项和,求 Tn 的 最大值,及相应的 n 的值。

阜阳市第三中学 2014 届高三四模文科数学试卷答案
一.选择题 题号 1 答案 D 二,填空题 11. 14 . 三.解答题 16.解:1)由 2 A 12. 0 3 B 4 D 5 B 6 A 13. ①④ 7 B 450 8 C 9 C 10 D

1 [ ,1] 3

y=3x+1
15.

a2 ? 2, a5 ? 16 ,得q=2,解得 a 1 ? 1 ,从而 a n ? 2 n ?1 …………6分 b1 ? 16, b8 ? 2, 又b8 ? b1 ? (8 ? 1)d , 解得d=-2
n( n ? 1) n( n ? 1) d ? 16n ? ( ?2) ? ? n 2 ? 17n 2 2
2

2)由已知得

? s n ? nb1 ?

…………8分

17 ? 17 ? s n ? ?(n ? ) ? ? ? , n ? N * 2 ? 2? 由于

…………………… 10分

? ?sn ?max ? s8 ? s9 ? 72

………………………………… 12分

17 解: (1)由已知平面 ABCD ? 平面 BB1C1C
又∵ ?BAD ? ?ADC ? 90 ,
?

且 AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 ∴ AC ?

2 , ?BAC ? 45 ?
AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC ? cos ?BAC ? 2
∴ AC ? 平面 BB1C1C ……… 6 分

在 ?ABC 中,由余弦定理可得 BC ? ∴ AC ? BC ? AB ? AC ? BC
2 2 2

(2)存在点 P , P 为 A1 B1 的中点。下面证明:

A1 D1 A D C C1

P

// 1 AB ,又 CD // 1 AB ∵ P 为 A1 B1 的中点 ∴ PB1 ?2 ?2 // ∴ PB1 CD ?
∴四边形 DCB1 P 为平行四边形 ∴ DP //CB1 又 CB1 在平面 BCB1 内 18.解析: (1) ∴ DP 与平面 BCB1 平行

B1

B

……………… 12 分

f ( x) ? 2 3 sin x ? 2 cos x ? 4sin( x ? ) 6 当x ?

?

? ? ? ?2分

?
6

=2k? ?

?
2

(k ? z )即x =2k? ?

?
3

(k ? z ) f ( x)取得最大值为4

? f ( x)的最大值为4,x的集合为{x | x =2k? ?

?
3

, k ? z}

? ? ? ? 6分

(2)因为 f ( x) 对定义域内任意 x 有 f ( x) ? f ( A)

(k ? z ) 3 ∵A为三角形内角

? A=2k? ?

?

? A=

?
3

? ? ? ? 9分

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 3 ?a ? 3 ? ? ? ? ? ? 12分

19、 (本小题满分 13 分) ln x 解: (Ⅰ)? g ( x) ? ,故其定义域为 (0,??) ,(x ? 0) x 1 - ln x ‘ ‘ ‘ ,令 g (x) >0,得 0 ? x ? e ,令 g (x) <0,得 x ? e ? g ( x) ? 2 x ln x 故函数 g ( x) ? 的单调递增区间为 (0, e) 单调递减区间为 (e,??) …………… 6 分 x ln x ln x ln x (Ⅱ)? x ? 0, kx ? , ? k ? 2 ,令 h( x) ? 2 x x x 1 - 2 ln x ‘ ‘ 又 h ( x) ? ,令 h ( x) ? 0 解得 x ? e …………… 9 分 3 x
当 x 在 (0,??) 内变化时, h (x) , h(x ) 变化如下表


x
‘ h (x )

(0, e )
+ ↗

e
0

( e ,??)


h(x)

1 2e

由表知,当 x ? e 时函数 h(x ) 有最大值,且最大值为 所以, k ?

1 2e

1 2e

……………… 13 分

20.解析: (Ⅰ)证明: ?平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB ,平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ∴ CB ? 平面 ABEF ? AF ? 平面 ABEF

∴ AF ? CB 又 AB 为圆 O 的直径 ∴ AF ? BF ∴ AF ? 平面 CBF ? AF ? 平面 ADF

∴ 平面 ADF ? 平面 CBF ;…………… 6 分

(Ⅱ)过点 F 作 FG ? AB 于 G ?平面 ABCD ? 平面 ABEF , ∴ FG ? 平面 ABCD , FG 即正 ?OEF 的高 ∴ FG ?

………………10 分

3 2

∴ S ABCD ? 2

∴ VF ? ABCD ?

1 2 3 S ABCD ? FG ? FG ? 3 3 3

………………13 分

21. 解: (1)由于 a 2 , a 7 是已知方程的两根,所以,有: a 2 a7 ? 而: a 4 ? e ,得 a1 q ? e
3 ?3

1 1 , 即: a1qa1 q 6 ? , e e
n?4

两式联立得: q ? e , 所以, a n ? a 4 q
13?3n

? e13?3n

故 得数列 {a n } 的通项公式为: a n ? e (2) bn ? ln a n ? ln e
13?3 n

…………… 4 分

? 13 ? 3n ,所以,数列 {bn } 是等差数列,由前 n 项和公式得:
…………… 8 分

Sn ?

(10 ? 13 ? 3n)n ? n ,得 23 ? 3n ? 2 ,所以有: n ? 7 2
得:

(3)由于 bn ? 13 ? 3n

b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0 ? b5 ? b6 ? .......

又因为 c n ? bn bn ?1bn ? 2 ,所以有: c1 ? b1b2 b3 ? 0, c2 ? b2 b3b4 ? 0 , 而 c3 ? b3b4 b5 ? 0

c4 ? b4 b5 b6 ? 0, c5 ? b5 b6 b7 ? 0 且
,但是, c3 ? ?8

当: n ? 5 时,都有 c n ? 0 即: c3 ? c 4

c 4 ? 10

所以,只有当: n ? 4 时, Tn 的值最大, 此时 Tn (max) ? 280 ? 28 ? 8 ? 10 ? 310 …………… 13 分


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