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圆锥曲线解题技巧和方法综合


圆锥曲线解题方法技巧归纳
第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k ? tan ? , ? ?[0, ? ) ②点到直线的距离 d ? (3)弦长公式
2 直线 y ? kx ? b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

间的距离: AB ? 1 ? k x1 ? x2

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

③夹角公式: tan ? ?

k2 ? k1 1 ? k2 k1

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 或 AB ? 1 ?
(4)两条直线的位置关系 ① l1 ? l2 ? k1k2 =-1

1 y1 ? y2 k2

② l1 // l 2 ? k1 ? k 2且b1 ? b2

2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0且m ? n) 标准方程: m n
2 2 2 2 距离式方程: ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 2a

参数方程: x ? a cos ? , y ? b sin ? (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:

x2 y 2 ? ? 1(m ? n ? 0) m n

2 2 2 2 距离式方程: | ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y |? 2a

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

2b 2 2b 2 椭圆: ;双曲线: ;抛物线: 2p a a

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如: 已知 F1、F2 是椭圆

x2 y2 平面内一个动点 M 满足 MF1 ? MF2 ? 2 ? ? 1 的两个焦点, 4 3


则动点 M 的轨迹是(

A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式: P在椭圆上时,S?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

P在双曲线上时,S?F1PF2 ? b2 cot
(其中 ?F1 PF2 ? ? , cos ? ?

?
2

? ???? ????? | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c 2 ???? ???? , PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ? ) | PF1 | ? | PF2 |

(6)、记住焦半径公式: ( 1) 椭圆焦点在x轴上时为a ? ex0 ; 焦点在y轴上时为a ? ey0 , 可简记为“左加右减,上加下减” 。 (2) 双曲线焦点在x轴上时为e | x0 | ?a (3) 抛物线焦点在x轴上时为 | x1 | ?

p p , 焦点在y轴上时为 | y1 | ? 2 2

(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设

A? x1 , y1 ? 、 B?x2 , y 2 ? , M ?a, b ? 为椭圆 x
2 2 2 2

2

4
2

?

y2 ? 1 的弦 AB 中点则有 3
2

x1 y x y x ? x2 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ;两式相减得 1 4 3 4 4 3

?

? ? ?y
3a 4b

2

1

? y2 3

2

??0

?

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ?
4

??

? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ?
3

? k AB = ?

2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果 有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判 别式 ? ? 0 , 以及根与系数的关系, 代入弦长公式, 设曲线上的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 将这两点代入曲线方程得到○ 1○ 2 两个式子,然后○ 1 -○ 2 ,整体消元〃 〃 〃 〃 〃 〃 ,若有两个字

母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点 A、B、 F 共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处 理。一旦设直线为 y ? kx ? b ,就意味着 k 存在。 例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4 x ? 5 y ? 80 上,且点 A 是椭圆短轴的一个
2 2

端点(点 A 在 y 轴正半轴上). (1)若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程; (2)若角 A 为 90 ,AD 垂直 BC 于 D,试求点 D 的轨迹方程. 分析:第一问抓住“重心” ,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率,从而写 出 直 线 BC 的 方 程 。 第 二 问 抓 住 角 A 为 90 可 得 出 AB ⊥ AC , 从 而 得
0 0

x1 x2 ? y1 y 2 ? 14( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 ,然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程;
解: (1)设 B( x1 , y1 ),C( x 2 , y 2
2 2 x12 y12 x2 y2 ),BC 中点为( x0 , y 0 ),F(2,0)则有 ? ? 1, ? ?1 20 16 20 16

两式作差有

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 20 16

x0 y 0 k ? ?0 5 4

(1)

F(2,0)为三角形重心,所以由 入(1)得 k ?

x1 ? x 2 y ? y2 ? 4 ? 2 ,得 x0 ? 3 ,由 1 ? 0 得 y 0 ? ?2 ,代 3 3

6 5

直线 BC 的方程为 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 2)由 AB⊥AC 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 14( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 设 直 线 BC 方 程 为 (2) , 得

y ? kx ? b, 代入4 x 2 ? 5 y 2 ? 80

(4 ? 5k 2 ) x 2 ? 10bkx ? 5b 2 ? 80 ? 0

x1 ? x2 ?

5b 2 ? 80 ? 10 kb x x ? , 1 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

8k 4b 2 ? 80 k 2 y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? 代入(2)式得 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

9b 2 ? 32b ? 16 4 ? 0 ,解得 b ? 4(舍) 或 b ? ? 2 9 4 ? 5k

4 4 9 ? y ? 4 ? ?1 ,即 9 y 2 ? 9 x 2 ? 32 y ? 16 ? 0 直线过定点(0, ? ) ,设 D(x,y) ,则 9 x x 16 20 所以所求点 D 的轨迹方程是 x 2 ? ( y ? ) 2 ? ( ) 2 ( y ? 4) 。 9 9 y?
4、设而不求法 例 2、如图,已知梯形 ABCD 中 AB ? 2 CD ,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? , 双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点当 值范围。 分析:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率 e 的取 3 4

?c ? 力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 xOy ,如图,若设 C ? , h ? ,代 ?2 ?


x2 y2 x2 y2 x ? ? , y ? ? , ,求得 ,进而求得 再代入 ? ? 1 ? ? 1 ,建立目标 h ? ? E E a 2 b2 a 2 b2

函数 f (a, b, c, ? ) ? 0 ,整理 f (e, ? ) ? 0 ,此运算量可见是难上加难.我们对 h 可采取设而 不求的解题策略, 建立目标函数 f (a, b, c, ? ) ? 0 ,整理 f (e, ? ) ? 0 ,化繁为简. 解法一:如图,以 AB 为垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy , 则 CD⊥ y 轴因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于

y 轴对称
1 ?c ? 依题意,记 A ?? c, 0? ,C ? , h ? ,E ?x0 , y0 ? ,其中 c ? | AB | 为双曲线的半 2 ?2 ?
焦距, h 是梯形的高,由定比分点坐标公式得

c ?c? ? 2 ? ?? ? 2 ?c , y ? ?h x0 ? 0 1? ? 2?? ? 1? 1? ?
设双曲线的方程为

x2 y2 c ? ? 1 ,则离心率 e ? a a 2 b2

由点 C、E 在双曲线上,将点 C、E 的坐标和 e ?

c 代入双曲线方程得 a

e2 h2 ? ? 1, 4 b2



e2 ? ? ? 2 ? ? ? ? h2 ?1 ? ??? ? 4 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? b2
由①式得



h2 e2 ? ?1 , 4 b2



将③式代入②式,整理得

e2 ?4 ? 4? ? ? 1 ? 2? , 4 3 故 ? ? 1? 2 e ?1 2 3 3 2 3 由题设 ? ? ? 得, ? 1 ? 2 ? 3 3 4 e ?2 4
解得

7 ? e ? 10

所以双曲线的离心率的取值范围为

? 7,

10

?

分析:考虑 AE , AC 为焦半径,可用焦半径公式, AE , AC 用 E , C 的横坐标表示,回避 h 的计算, 达到设而不求的解题策略. 解法二:建系同解法一, AE ? ? ? a ? exE ? , AC ? a ? exC ,

c ?c ? ? ? ? ? 2 ? c AE ? 3 2 ? ? xE ? ,又 , 代 入 整 理 ? ? 1? 2 ,由题设 AC 1 ? ? e ?1 1? ? 2 ? ? ? 1?
2 3 3 2 3 ? ? ? ? 得, ? 1 ? 2 3 3 4 e ?2 4
解得

7 ? e ? 10

所以双曲线的离心率的取值范围为 5、判别式法

? 7,

10

?

2 2 例 3 已知双曲线 C : y ? x ? 1 ,直线 l 过点 A

2

2

?

2 ,0 ,斜率为 k ,当 0 ? k ? 1 时,双曲

?

线的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标。

分析 1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研 究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点 B 作与 l 平行的直线,必与双曲线 C 相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式

? ? 0 . 由此出发,可设计如下解题思路:
l : y ? k(x ? 2)

?0 ? k ? 1?
2

直线 l’在 l 的上方且到直线 l 的距离为

l ': y ? kx ? 2k 2 ? 2 ? 2k

把直线 l’的方程代入双曲线方程,消去 y,令判别式 ?

?0

解得k的值
解题过程略. 分析 2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅 有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ” ,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:
问题

kx ? 2 ? x 2 ? 2 k
关于 x 的方程 解

k 2 ?1
求解

? 2

?0 ? k ? 1? 有唯一

转化为一元二次方程根的问题

简解:设点 M ( x, 2 ? x ) 为双曲线 C 上支上任一点,则点 M 到直线 l 的距离为:
2

kx ? 2 ? x 2 ? 2k k ?1
2

? 2

?0 ? k ? 1?

???

于是,问题即可转化为如上关于 x 的方程.
2 由于 0 ? k ? 1 ,所以 2 ? x ? x ? k x ,从而有

kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? ?kx ? 2 ? x 2 ? 2k.

于是关于 x 的方程 ???

? ? k x ? 2 ? x 2 ? 2k ? 2(k 2 ? 1)
? 2 ? x2 ?? ?

?

? ?(
2

2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx) 2 ,

2 ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0

? ??k

? 2 ? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ? ? 2 ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0.

?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0,

?

2

由 0 ? k ? 1 可知: 方程 k 2 ? 1 x 2 ? 2k

?

?

? 2( k

2

? 1) ? 2k x ?

? ? 2( k

2

? 1) ? 2k

? ? 2 ? 0 的二根同正,故
2

2(k 2 ? 1) ? 2k ? k x ? 0 恒成立,于是 ??? 等价于

?k

2

? 1 x 2 ? 2k

?

? 2( k

2

? 1) ? 2k x ?

? ? 2( k

2

? 1) ? 2k

? ? 2 ? 0.
2

由如上关于 x 的方程有唯一解,得其判别式 ? ? 0 ,就可解得

k?

2 5 . 5

点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的 优越性. 例 4 已知椭圆 C: x ? 2 y ? 8 和点 P(4,1) ,过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点,在线
2 2

段 AB 上取点 Q,使

AP AQ ?? ,求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程. PB QB

分析: 这是一个轨迹问题, 解题困难在于多动点的困扰, 学生往往不知从何入手。 其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此, 首先是选定参数, 然后想方设法将点 Q 的横、 纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的. 由于点 Q( x, y ) 的变化是由直线 AB 的变化引起的,自然可选择直线 AB 的斜率 k 作为 参数, 如何将 x, y 与 k 联系起来?一方面利用点 Q 在直线 AB 上; 另一方面就是运用题目条 件:

AP AQ ?? 来转化.由 A、B、P、Q 四点共线,不难得到 x ? 4( x A ? x B ) ? 2 x A x B ,要建立 x PB QB 8 ? ( x A ? xB )

与 k 的关系,只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达定理即可. 通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做 到心中有数.

AP PB

??

AQ QB

x?

4( x A ? x B ) ? 2 x A x B 8 ? ( x A ? xB )
将直线方程代入椭圆方程,消去 y,利用韦达定理

x ? f ?k ?
利用点 Q 满足直线 AB 的方程:y = k (x—4)+1,消去参数 k

点 Q 的轨迹方程

在得到 x ? f ?k ? 之后, 如果能够从整体上把握, 认识到: 所谓消参, 目的不过是得到关于 x, y 的方程(不含 k) ,则可由 y ? k ( x ? 4) ? 1 解得 k ? 迹方程。从而简化消去参的过程。 简解:设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y 2 ), Q( x, y) ,则由

y ?1 ,直接代入 x ? f ?k ? 即可得到轨 x?4

4 ? x1 x ? x1 AP AQ 可得: , ? ?? x2 ? 4 x2 ? x PB QB
(1)

解之得: x ?

4( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 8 ? ( x1 ? x 2 )

设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程,消去 y 得出关于 x 的一 元二次方程:

?2k


2

? 1 x 2 ? 4k (1 ? 4k ) x ? 2(1 ? 4k ) 2 ? 8 ? 0

?

(2)

4k (4k ? 1) ? x1 ? x 2 ? , ? ? 2k 2 ? 1 ? 2 ? x x ? 2(1 ? 4k ) ? 8 . 1 2 2 ? 2k ? 1 ?

代入(1) ,化简得: x ? 4k ? 3 . k?2 与 y ? k ( x ? 4) ? 1 联立,消去 k 得: ?2 x ? y ? 4?( x ? 4) ? 0. 在(2)中,由 ? ? ?64 k ? 64 k ? 24 ? 0 ,解得
2

(3)

2 ? 10 2 ? 10 ?k? 4 4

,结合(3)可求得

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ?x? . 9 9

故知点 Q 的轨迹方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0

( 16 ? 2 10 ? x ? 16 ? 2 10 ). 9 9

点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、 韦达定理模块思维易于想到. 这当中, 难点在引出参, 活点在应用参, 重点在消去参., 而 “引 参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例 5 设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 值范围. 分析:本题中,绝大多数同学不难得到: AP = ? x A ,但从此后却一筹莫展, 问题的根 PB xB 源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求 变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程) ,这只需利用对应的思想实施;其 二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析 1: 从第一条想法入手,

AP x2 y2 的取 ? ? 1 顺次交于 A、B 两点,试求 PB 9 4

AP x = ? A 已经是一个关系式,但由于有两个变量 PB xB

x A , x B ,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第 3 个变量——直线 AB 的斜
率 k. 问题就转化为如何将 x A , x B 转化为关于 k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆 方程,消去 y 得出关于 x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得 到关于 x 的一元二次方程 求根公式 xA= f(k) ,xB = g(k)

AP/PB = —(xA / xB)
得到所求量关于 k 的函数关系式 由判别式得出 k 的取值范围 所求量的取值范围

简解 1:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得

AP 1 ?? ; PB 5

当 l 与 x 轴不垂直时,设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y 2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭 圆方程,消去 y 得 9k ? 4 x ? 54 kx ? 45 ? 0
2 2

?

?

解之得

x1, 2 ?

? 27 k ? 6 9k 2 ? 5 . 9k 2 ? 4

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形. 当 k ? 0 时, x1 ? 所以
2 ? 27 k ? 6 9k 2 ? 5 , x2 ? ? 27 k ? 6 9k ? 5 , 2 9k ? 4 9k 2 ? 4

x ? 9k ? 2 9k 2 ? 5 AP 18k 18 ?? 1 = =1 ? =1 ? 2 2 PB x 2 9k ? 2 9k ? 5 9k ? 2 9k ? 5 9?2 9? 5
? ? (?54 k ) 2 ? 180 9k 2 ? 4 ? 0 , 解得 k 2 ?
?1 ? 1? 18 9?2 9? 5 k2 1 ?? , 5

.
k2

由 所以

?

?

5 , 9

综上

?1 ?

AP 1 ?? . PB 5

分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根 源. 由判别式值的非负性可以很快确定 k 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与 k 联 系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原 因在于

x AP ? ? 1 不是关于 x1 , x 2 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有 PB x2

了,即我们可以构造关于 x1 , x 2 的对称关系式.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f(k) ,xA xB = g(k)

简解 2:设直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方程,消去 y 得

?9k


2

? 4 x 2 ? 54 kx ? 45 ? 0

?

(*)

? 54 k ? x1 ? x 2 ? 2 , ? ? 9k ? 4 ? ? x x ? 45 . 1 2 ? 9k 2 ? 4 ?



x1 k2 ? ? ,则, ? ? 1 ? 2 ? 324 . x2 ? 45k 2 ? 20
2

在(*)中,由判别式 ? ? 0, 可得 k ? 从而有
4?

5 , 9 4??? 1

324 k 2 36 ,所以 ? 2 45 k ? 20 5

?

?2?

36 ,解得 5

1 ? ? ? 5. 5 1 ? ? ? 1. 5 AP 1 综上, ? 1 ? ?? . PB 5
结合 0 ? ? ? 1 得 点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界 性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解 法. 解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会

被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运 筹帷幄,方能决胜千里. 第三、推理训练:数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学 求解的核心。以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解 题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用的命 题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等) ,做到思考缜密、推理严密。通过编写思 维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力。 例 6 椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心, F 为椭圆的右焦点,且 AF ? FB ? 1 ,

OF ? 1.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,问:是否存在直线 l ,使点 F 恰为 ?PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 思维流程:

(Ⅰ)

由 AF ? FB ? 1 , OF ? 1

??? ? ??? ?

????

(a ? c)(a ? c) ? 1 , c ? 1

a ? 2, b ? 1

写出椭圆方程

由 F 为 ?PQM 的重心 (Ⅱ)

PQ ? MF , MP ? FQ

k PQ ? 1

? y ? x?m 消元 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2
两根之和, 两根之积

3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0

???? ??? ? MP ? FQ ? 0

得出关于 m 的方程

解出 m

解题过程: (Ⅰ)如图建系,设椭圆方程为 又∵ AF ? FB ? 1 即

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 c ? 1 a 2 b2

( a ? c ) ? ( a ? c ) ? 1 ? a 2 ? c 2 ,∴ a 2 ? 2

x2 ? y2 ? 1 故椭圆方程为 2
(Ⅱ)假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且 F 恰为 ?PQM 的垂心,则 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,∵ M (0,1), F (1,0) ,故 k PQ ? 1 , 于是设直线 l 为

? y ? x?m 2 2 得, 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 y ? x ? m ,由 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2
x1 ( x2 ? 1) ? y2 ( y1 ? 1) 又 yi ? xi ? m(i ? 1, 2)

∵ MP ? FQ ? 0 ? 得 x1 ( x2

???? ??? ?

? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 即

2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 由韦达定理得

2?

2m 2 ? 2 4m ? (m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 3 3
4 4 ? ? 或 m ? 1(舍) 经检验 m ? ? 符合条件. 3 3

解得 m

点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零. 例 7、已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(?2, 0) 、 B(2,0) 、

? 3? C ? 1, ? 三点. ? 2?
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程: (Ⅱ)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F (?1,0), H (1,0) ,当Δ DFH 内 切圆的面积最大时,求Δ DFH 内心的坐标; 思维流程: (Ⅰ) 由椭圆经过 A、B、C 三点 解出 m, n 设方程为 mx ? ny ? 1
2 2

得 到 m, n 的 方 程 组

(Ⅱ)

由 ?DFH 内切圆面积最大 转化为点 D 的纵坐标的绝对值最大最大

转化为 ?DFH 面积最大

D 为椭圆短轴端点
3 3

?DFH 面积最大值为 3

S ?DFH ?

1 ? 周长 ? r内切圆 2

r内切圆 ?

得出 D 点坐标为 ? 0,?

? ? ?

3? ? 3 ? ?

解题过程: (Ⅰ) 设椭圆方程为 mx ? ny ? 1 ?m ? 0, n ? 0? , 将 A(?2, 0) 、B(2,0) 、
2 2

3 C (1, ) 代入椭圆 E 的方程,得 2
?4m ? 1, x2 y2 1 1 ? 解得 m ? , n ? .∴椭圆 E 的方程 ? ?1 . ? 9 4 3 4 3 m ? n ?1 ? ? 4

(Ⅱ) | FH |? 2 ,设Δ DFH 边上的高为 S ?DFH ?

1 ? 2? h ? h 2

当点 D 在椭圆的上顶点时, h 最大为 3 ,所以 S ?DFH 的最大值为 3 . 设Δ DFH 的内切圆的半径为 R ,因为Δ DFH 的周长为定值 6.所以, S ?DFH ? 所以 R 的最大值为

1 R?6 2

3 .所以内切圆圆心的坐标为 (0, 3 ) 3 3 .

点石成金: S ?的内切圆 ?

1 ? ?的周长 ? r?的内切圆 2
2 2

例 8、已知定点 C (?1 , 0) 及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两

点. (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 ?

1 ,求直线 AB 的方程; 2

(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若 不存在,请说明理由. 思维流程: (Ⅰ)解:依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 将 y ? k ( x ? 1) 代入 x ? 3 y ? 5 , 消去 y 整理得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0.
2 2

设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),

?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0, ? 则? 6k 2 x ? x ? ? . ? 1 2 3k 2 ? 1 ?

(1) (2)

1 由线段 AB 中点的横坐标是 ? , 2
意。

x1 ? x2 3k 2 1 得 ?? 2 ? ? ,解得 k ? ? 3 ,符合题 2 3k ? 1 2 3

所以直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)解:假设在 x 轴上存在点 M (m, 0) ,使 MA ? MB 为常数. ① 当 直 线

AB



x























6k 2 3k 2 ? 5 x1 ? x2 ? ? 2 , x1 x2 ? 2 . 3k ? 1 3k ? 1
???? ????

(3)
2

所以 MA ? MB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? m2 . 将 (3) 代 入 , 整 理 得

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 MA ? MB ? ? m2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
1 6m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1)
注意到 MA ? MB 是与 k 无关的常数, 从而有 6m ? 14 ? 0,m ? ?

???? ???? 4 7 , 此时 MA ? MB ? . 3 9

② 当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A,B 的坐标分别为 ? ?1,

? ?

2 ? ? 2 ? ? ?、 ? ?1, ? ,当 3? ? 3?

???? ???? 4 7 m ? ? 时, 亦有 MA ? MB ? . 3 9
综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? , 0 ? ,使 MA ? MB 为常数.

? 7 ? 3

? ?

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 点石成金: MA ? MB ? ? m2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
1 6m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1)
例 9、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) , 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) , l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程: 解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 x2 y2 ? ?1 8 2

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 解得 则? 4 1 ? 2 ? 2 ?1 ? ? ?b ? 2 2 b ?a

∴椭圆方程为

(Ⅱ)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM=

1 2

? l的方程为:y ?

1 x?m 2

1 ? y ? x?m ? ? 2 ? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 由? 2 2 ?x ? y ?1 ?8 2 ?
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0

(Ⅲ)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 且x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m ? 4
2

则 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
2

由 x2 ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0可得

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4
而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1) ? ( x 2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? ?
?

x1 x 2 ? (m ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)( ?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)
2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

? k1 ? k 2 ? 0
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 点石成金:直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形 ? k1 ? k 2 ? 0

例 10、已知双曲线

x2 y2 2 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距 2 3 a b

离是

3 . 2

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆 上,求 k 的值. 思维流程: 解 : ∵ ( 1 )
c 2 3 ? , a 3

原 点 到 直 线

AB : x ? y ? 1 的 距 离
a b

d ?

ab a
2

?b

2

? 3.

ab ? c

3 . 2 .

? b ? 1, a ?

2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

3

(2)把 y ? k x ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30 kx ? 78 ? 0 . 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ), CD 的中点是 E ( x0 , y0 ) ,则
x0 ? k BE x1 ? x 2 15 k 5 ? ? y 0 ? k x0 ? 5 ? , 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ?1 1 ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
故所求 k=± 7 . 点石成金: C,D 都在以 B 为圆心的圆上 ? BC=BD ? BE⊥CD;

例 11、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值 为 3,最小值为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 l : y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左右顶点) ,且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 思维流程: 解: (Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

由已知得: a ? c ? 3,a ? c ? 1,

a ? 2,c ? 1, ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3

?椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(II)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4



(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 ,则

? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0, ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) . ? x1 x2 ? 3 ? 4k 2 ?

又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0) ,

? k AD k BD ? ?1 ,即

y1 y2 ? ? ?1 . x1 ? 2 x 2 ? 2

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .

?

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 15mk ? ? ? 4 ? 0. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

? 7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .

解得: m1 ? ?2k,m2 ? ?

2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m1 ? ?2k 时, l 的方程 y ? k ( x ? 2) ,直线过点 (2, 0) ,与已知矛盾; 当 m2 ? ?

2k 2? ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? , 0? . 7? 7 ? ?7 ?
?2 ?7 ? ?

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? , 0? . 点石成金:以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 ? CA⊥CB; 例 12、已知双曲线 支上. (Ⅰ)若当点 P 的坐标为 (

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右两个焦点分别为 F1、F2 ,点 P 在双曲线右 a2 b2

3 41 16 , ) 时, PF1 ? PF2 ,求双曲线的方程; 5 5

(Ⅱ)若 | PF1 |? 3 | PF2 | ,求双曲线离心率 e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程: 解: (Ⅰ)(法一)由题意知, PF1 ? (?c ?

3 41 16 3 41 16 ,? ) , PF2 ? (c ? ,? ) , 5 5 5 5 3 41 3 41 16 ) (c ? ) ? (? ) 2 ? 0 (1 分) ? PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? 0, ? (?c ? 5 5 5
解得 c 2 ? 25,? c ? 5 . 由双曲线定义得: | PF1 | ? | PF2 | ? 2a,

? 2a ? (?5 ?

3 41 2 16 3 41 2 16 ) ? (? ) 2 ? (5 ? ) ? (? ) 2 5 5 5 5

? ( 41 ? 3) 2 ? ( 41 ? 3) 2 ? 6 ,?a ? 3, b ? 4

?所求双曲线的方程为:

x2 y2 ? ?1 9 16

(法二) 因 PF1 ? PF2 ,由斜率之积为 ? 1 ,可得解. (Ⅱ)设 | PF1 |? r1 , | PF2 |? r2 , ( 法 一 ) 设 P 的 坐 标 为

( x? , y ? )

,

由 焦 半 径 公 式 得 ,

r1 ?| a ? ex? |? a ? ex? , r2 ?| a ? ex? |? ex? ? a

? r1 ? 3r2 ,? a ? ex? ? 3(ex? ? a),? x? ?

2a 2 2a 2 ,? x? ? a,? ? a, ? 2a ? c , c c

?e 的最大值为 2,无最小值. 此时

c b c2 ? a2 ? 2, ? ? e2 ?1 ? 3 , a a a

?此时双曲线的渐进线方程为 y ? ? 3 x
(法二)设 ?F1 PF2 ? ? , ? ? (0, ? ] . (1)当 ? ? ? 时, ? r1 ? r2 ? 2c, 且r1 ? 3r2, ? 2c ? 4r2 , 2a ? r1 ? r2 ? 2r2 此时 e ?

2c 4r2 ? ?2. 2a 2r2

(2)当 ? ? ,由余弦定理得: (0,?)
2 (2c) ? r1 ? r2 ? 2r1 r2 cos ? ? 10r2 ? 6r2 cos ? 2 2 2 2

?

e?

2c r2 ? 10 ? 6 cos ? 10 ? 6 cos ? ? ? , 2a 2r2 2

? cos ? ? (?1,1) ,?e ? (1,2) ,综上, e 的最大值为 2,但 e 无最小值. (以下法一)


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