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湖南省长沙市长郡中学2016届高三上学期第四次月考数学(理)试题


长郡中学 2016 届高三上学期第四次月考 数学(理)试题
一、选择题(共 60 分) 1.若集合 A={ y | y ? 2 x } ,B={x| x ? 2 x ? 3 ? 0 , x ? R } ,那么 A ? (
2

B)=

A、 [一 1,3] C、 (3,十 ? )

B、 (0,3]

D、 (0,一 1)U(3,+ ? )

2.若复数 z 满足 3 一 i=(z+1)i,则复数 z 的共扼复数 z 的虚部为 A、3 B、3i C、一 3 D、一 3i 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,l) ,且 p(2≤X≤4)=0.6826,则 P(X>4)= A、0.158 8 B、0.1587 C、0.1586 D、0.1585 4.下列说法中,不正确的是 A、已知 a,b,m ? R,命题: “若 am ? bm ,则 a<b”为真命题
2 2

B、命题: “ ?x0 ? R, x02 ? x0 >0”的否定是: “ ?x ? R, x ? x ? 0 ”
2

C、命题“p 或 q”为真命题,则命题 P 和命题 q 均为真命题 D、 “x>3”是“x>2”的充分不必要条件 5.若执行右边的程序框图,输出 S 的值为 4,则判断框中应填入的条件是 A、k<14? B、k<15? C、k<16? D、k<17? 6.若 ( x ? ax ? 1) (a>0)的展开式中 x 的系数是 66,则实数
2 6
2

a 的值为 A、 4 B、3 C、2 D、l 7.如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A,点 C、B 在圆 O 上,且点 C 位于第一象限,点 B 的坐标为(

12 5 ,? ) , 13 13

“∠AOC=α ” ,若|BC|=1,则 3 cos 的值为 A、-

2

?
2

? sin

?
2

cos

?
2

?

3 2

5 13

B、
3x

5 13

C、-

12 13

D、

12 13

8.若 f(x)=ln( e +1)+ax 是偶函数,则 a 的值等于 A、

5 2

B、-

5 2

C、

3 2

D、-

3 2

9、如图是函数 f(x)=Asin(2x+ ? ) ( |? | ?

?
2

)图像的一部分,对不同的 x1,x2

f(xl)=f(x2) ,有 f(xl+x2)= 3 ,则 ? [a ,b ,若 ]

5? ? , )上是减函数 12 12 ? 5? B、f(x)在( , )上是减函数 3 6 5? ? , )上是增函数 C、f(x)在(一 12 12 ? 5? D、f(x)在( , )上是增函数 3 6
A、f(x)在(一 10.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是正三角形,则几何体的外接球的表面积为

11.已知椭圆 C1:

x2 x2 y 2 ? y 2 =1,双曲线 C2: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,若以 C1 的长轴为直 a b 11

径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A、B 两点,且 C1 与该渐近线的两交点将线段 AB 三等分,则 C2 的离心率为 A、 5 B、5 C、 17 、

2 14 7

12.已知定义在 R 上的函数 f(x) ,当 x ? [0,2]时,f(x)=8(l 一|x 一 1|) ,且 对任意的实数 若 g(x)= A、 [2,10] f x) , 都有( = 有且仅有三个零点,则 a 的取值范围为 B、 [ 2 ,1 0 ] C、 (2,10) D、 ( 2, 10 ) ,

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13·已知直线 y=-x+1 是曲线 f(x)=- ?e 的切线,则实数 a=

1 a

x



?x ? y ? 14.设实数 x,y 满足 ? y ? 6 ? 2 x ,向量 a=(2x 一 y,m) ,b=(一 1,1)若 a//b, ?x ? 1 ?

则实数 m 的最小值为 15.过抛物线 C: y 2 ? 2 px( p >0)的焦点且斜率为 2 的直线与 C 交于 A、B 两 点,以 AB 为直径的圆与 C 的准线有公共点 M,若点 M 的纵坐标为 2,则 p 的值为 16. 如图, 在△ ABC 中, 三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a2 ? b2 ? c2 ? bc, a ? 3 , S 为△ABC 的面积,圆 O 是△ABC 的外接圆,P 是圆 O 上一动点,当 S+

??? ? ??? ? 3 cos B cos C 取得最大值时, PA?PB 的最大值为
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每件的利润与 该产品首次出现故障的时间有关某厂家生产甲、乙两种品牌,保修期均 为 2 年现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取 50 件,统计数据 如下:
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

[来源:学科网 ZXXK]

[ 来 源 : 学 .科 .

网 Z.X.X.K]

将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件,求其至少有一件 首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的家电均能售出,记生产一件甲品牌的利润为 Xl,生产 一件乙品牌家电的利润为 X2,如果该厂预计今后这两种品牌家电销 量相当,由 于资金限制,只能生产其中一种品牌的家电.若从经济效 益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的家电?说明理由
[来源:Zxxk.Com]

18. (本小 题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? a6 ? 24, S11 =143.数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 2
an ?1

? ?Tn ? (a1 ?1)(n ? N*) .
? 1 ? ? 的前 n 项和; ? an an ?1 ?

(I)求数列 ?an ? 的通项公式及数列 ?

(II)是否存在非零实数 ? ,使得数 列 ?bn ? 为等比数列?并说明理由.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱柱 ABCD 一 A1B1C1D1 中,底面 AB CD 是梯形,AD//BC,侧面 ABB1A1 为菱形,∠DAB=∠DAA1。 (I)求证:A.1B⊥AD; (II)若 AD=AB=2BC,∠A1AB=600,点 D 在平面 ABB1A1 上的射影恰 为线段 A1B 的中点,求平面 DCC1D1 与平面 ABB1A1 所成锐二面角 的余弦 值.

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 Fl: (x 十 1)2 十 y2=r2 与 F2: (x-1)2 十 y2=(4 一 r)2(0<r<4)的 公共点的轨迹为曲线 E,且曲线 E 与 y 轴的正半轴相交于点 M (I)求 E 的方程; (II)若曲线 E 上相异两点 A、B 满足直线 MA,MB 的斜率之积为

1 . 4

(i)判断直线 AB 是 否恒过定点,如果过定点,求出定点的坐标;如果 不过定点,请说明理由; (ii)求△ABM 的面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=ln(x+l)十 ax2 一 x(a ? R) . (I)当 a ?

1 时,求函数 y=f(x)的单调区间; 4 (II)若对任意实数 b ? (l,2) ,当 x ? (一 1,b)时,函数 f(x)的最大值为
f(b) ,求 a 的取值范围.
[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

选做题(请考生在第 22,23,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的 第一题记分) 22. (本小题满分 10 分) [选修 4 一 1:几何证明选讲】 如图,直线 PQ 与 相切于点 A,AB 是 的弦,∠PAB 的平分线 AC 交 于点 C,连结 CB,并延长与直线 PQ 相交于 Q 点, 2 2 (I)求证:QC?BC=QC 一 QA ; (II)若 AQ=6,AC=5,求弦 AB 的长.

23. (本小题满分 10 分) [选修 4 一 4:坐标系与参数方程】

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程 ? ,以 (t 为参数) 3 ?y ? t ? ? 2
坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为:? ? 4cos ? 。 (I)将直线 l 的参数方程化为极坐标方程; (II)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) .

24. (本小题满分 10 分) [选修 4 一 5:不等式选讲】 已知 a>0,b>0,c>0,函数 f(x)=|x 十 a|+|x 一 b|+c 的最小值为 4. (I)求 a+b+c 的值; (II)求

1 2 1 2 2 a ? b ? c 的 最小值 4 9


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