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2015届高考数学(理)第一轮复习达标课时跟踪检测:25 正弦定理和余弦定理的应用 含答案


课时跟踪检测(二十五)
第Ⅰ组:全员必做题

正弦定理和余弦定理的应用

1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等, 灯塔 A 在观察站南 偏西 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° 西 80° 2.如图, 为了解某海域海底构造, 在海平面内一条直线上的 A, B

, C 三点进行测量,已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD= 80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得水深 CF=110 m,则 ∠DEF 的余弦值为( A. 16 65 ) 19 B. 65 16 C. 57 17 D. 57 B.北偏西 10° C.南偏东 80° )

D. 南偏

3.如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m, BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( A.30° D.75° 4.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人 在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达 点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( A.50 m B.100 m C.120 m ) D.150 m B.45° C.60° )

5.(2014·厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,其 中 a 为最大边,如果 sin (B+C)<sin B+sin C,则角 A 的取值范围为(
2 2 2

)

? π? A.?0, ? 2? ?
C.?

B.? D.?

?π ,π ? ? ?4 2? ?π ,π ? ? ?3 2?

?π ,π ? ? ?6 3?

6.(2014·大连联合模拟)如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上 选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60°,再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45°,则塔 AB 的高是 ________. 7.(2013·福建高考)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC, 2 2 sin∠BAC= ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3 8.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成 45°角,树干也倾斜为与地面成 75°角, 树干底部与树尖着地处相距 20 m,则折断点与树干底部的距离是________ m.
-1-

9.在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船;在 A 处北偏西 75°方向,距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走 私船.同时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉私船沿什 么方向能最快追上走私船?最少要花多少时间?

10.(2013·江苏高考)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车 到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 12 C.假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量,cos A= , 13 3 cos C= . 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围 内?

第Ⅱ组:重点选做题 1.如图,一艘船上午 9∶30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°的方 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10∶00 到达 B 处,此时又测得灯塔 它的北偏东 75°的方向,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是______n mile/h. 21 2.(2013·湖北八市联考)如图所示,已知树顶 A 离地面 米,树上 2 11 3 另一点 B 离地面 米,某人在离地面 米的 C 处看此树,则该人离此树 2 2 ________米时,看 A,B 的视角最大. 向, S 在

-2-





第Ⅰ组:全员必做题 1.选 D 由条件及图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以 ∠DBA=10°,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 2.选 A 如图所示,作 DM∥AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M. DF= MF +DM = 30 +170
2 2 2 2

=10 298(m), DE= DN +EN = 50 +120 =130(m), EF=
2 2 2 2 2


2

2

+BC

2

= 90 +120 =150(m). 在△DEF 中,由余弦定理, DE +EF -DF 得 cos ∠DEF= 2DE×EF
2 2 2 2 2 2

130 +150 -10 ×298 16 = = .故选 A. 2×130×150 65 3.选 B 依题意可得 AD=20 10 (m),AC=30 5(m),又 CD=50(m),所以在△ACD 中, AC +AD -CD 由余弦定理得 cos∠CAD= = 2AC·AD
2 2 2

5

2



10

2

-50

2

2×30 5×20 10

6 000 2 = = , 2 6 000 2

又 0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 4.选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h,AB=100, BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h) =h +100 -2·h·100·cos 60°,即 h +50h-5 000 =0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 5.选 D 由题意得 sin A<sin B+sin C, 再由正弦定理得 a <b +c , 即 b +c -a >0. b +c -a 则 cos A= >0, 2bc π ∵0<A<π ,∴0<A< . 2 π 又 a 为最大边,∴A> . 3
-32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

因此得角 A 的取值范围是?

?π ,π ?. ? ?3 2?

6. 解析: 在△BCD 中, CD=10, ∠BDC=45°, ∠BCD=15°+90°=105°, ∠DBC=30°, BC CD CDsin 45° = ,BC= =10 2. sin 45° sin 30° sin 30° AB 在 Rt△ABC 中 tan 60°= , BC AB=BCtan 60°=10 6. 答案:10 6 2 2 7.解析:因为 sin∠BAC= ,且 AD⊥AC, 3

?π ? 2 2, 所以 sin? +∠BAD?= ?2 ? 3
2 2 所以 cos∠BAD= ,在△BAD 中,由余弦定理得, 3 BD= AB +AD -2AB·ADcos∠BAD = 答案: 3 8.解析:如图,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折 断点为 A,则∠ABO=45°, ∠AOB=75°, 所以∠OAB=60°. 由正弦定理知, AO 20 = , sin 45° sin 60° 2
2 2 2

2 2 2 +3 -2×3 2×3× = 3. 3

20 6 解得 AO= m. 3 20 6 答案: 3 9.解:如图,设缉私船 t 小时后在 D 处追上走私船, 则有 CD=10 3t, BD=10t. 在△ABC 中,AB= 3-1,AC=2,∠BAC=120°. 利用余弦定理可得 BC= 6. 由正弦定理,得

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AC 2 3 2 sin∠ABC= sin∠BAC= × = , BC 2 2 6 得∠ABC=45°,即 BC 与正北方向垂直. 于是∠CBD=120°. 在△BCD 中,由正弦定理,得 BDsin∠CBD 10t·sin 120° 1 sin∠BCD= = = ,得∠BCD=30°,∴∠BDC=30°. CD 2 10 3t 又 CD BC 10 3t 6 = , = 6,得 t= . sin 120° sin 30° 10 3 6 小时. 10

所以缉私船沿北偏东 60°的方向能最快追上走私船,最少要花 12 10.解:(1)在△ABC 中,因为 cos A= , 13 3 5 4 cos C= ,所以 sin A= ,sin C= . 5 13 5 从而 sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C) 5 3 12 4 63 =sin Acos C+cos Asin C= × + × = . 13 5 13 5 65 AB AC 由正弦定理 = , sin C sin B AC 1 260 4 得 AB= ·sin C= × =1 040(m). sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m.

(2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t) m,乙距 离 A 处 130t m,所以由余弦定理得 12 2 2 2 2 d =(100+50t) +(130t) -2×130t×(100+50t)× =200(37t -70t+50). 13 1 040 由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= (min)时,甲、乙两游客距离最短. 37 BC AC (3)由正弦定理 = , sin A sin B AC 1 260 5 得 BC= ·sin A= × =500(m). sin B 63 13 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),

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还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ - ≤3,解得 ≤v≤ , v 50 43 14 1 250 625 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min, 乙步行的速度应控制在 , 43 14 (单位:m/min)范围内. 第Ⅱ组:重点选做题 1 1.解析:设航速为 v n mile/h,在△ABS 中 AB= v,BS=8 2,∠BSA=45°, 2 1 v 2 8 2 由正弦定理得 = ,则 v=32. sin 30° sin 45° 答案:32 2.解析:过 C 作 CF⊥AB 于点 F,设∠ACB=α , ∠BCF=β , 21 11 由已知得 AB= - =5(米), 2 2 11 3 21 3 BF= - =4(米),AF= - =9(米). 2 2 2 2 AF 9 则 tan(α +β )= = , FC FC BF 4 tan β = = , FC FC ∴tan α =[(α +β )-β ] 9 4 - FC FC α +β -tan β = α +β β 36 1+ 2 FC 5 5 = . 12 36 FC· FC



1+ 5



≤ 36 FC+ FC 2

36 当且仅当 FC= ,即 FC=6 时, FC tan α 取得最大值,此时 α 取得最大值. 答案:6

-6-


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