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专题考案(3)三角板块 第1课 三角函数公式


专题考案(3)三角板块 第 1 课 三角函数公式
(时间:90 分钟 满分:100 分) 题型示例 若 A-B= 解
? 6

,tanA-tanB=

2 3 3

,则 cosA?cosB=
? 3 3 ?

.
3 3
3 4

tan(A-B)=

tan A ? tan B 1 ? tan A ? tan B

(1+tanA?tanB)?
1 2

?

2 3 3

?

1+

sin A ? sin B cos A ? cos B

?2?

cosA?cosB+sinA?sinB=2cosA?cosBcosA?cosB= 答案 点评
s i n ?s i n A B c o s ?c o s A B

cos(A-B)=

.

3 4
sin A ? sin B cos A ? cos B

“ 化 切 为 弦 ” 是 三 角 变 换 的 常 用 方 法 . 若 把 1+ =1 ? cosA·cosB=sinA·sinB,解题便陷入困境,不易求解.

=2 化 为

一、选择题 (9?3′=27′) 1.tan 15°+? cot 15°等于 A.2 2.当 x≠
k? 2

( C.4 D. 的值是
4 3 3

)

B.2+ 3 (k∈Z)时,

sin x ? tan x cos x ? cot x

(

)

A.恒正 B.恒负 C.非负 D.无法确定 2 2 3.若 cotα =2,则 sin α +sin α 的值是 A.1 B.-1 C.2 D.以上都不对 4.若△ABC 为锐角三角形,则下列不等式中一定能成立的是 A. logcosC cos A >0
sin B

( (

) )

B.logcosC D.logsinC
1

cos A cos B sin A cos B

>0 >0 ( )

C.logsinC sin A >0
sin B

5.设 tanα = A.
? 4

1 7

,tanβ = ,α 、β 均为锐角,则α +2β 的值是
3

B.

3 4

π

C.

5 4

π

D.

? 4



3 4

π ( )

6.如果角θ 满足条件,则θ 是 A.第二象限角 B.第二或第四象限角 C.第四象限角 D.第一或第三角限角 7.若 cotθ =3,则 cos2θ A.5 6

1 2

sin2θ 的值是 C.
3 5

( D.
? sin ? 2
4 5

)

B.-

4 5

8.若α ∈[0,2π ],且

1 ? cos ? 2

?

1 ? cos ? 2

? cos

? 2

,

则α 的取值范围是

(

)

1

A.[0,2π ]

B.[
? 4

? 2

,π ]

C.[0,π ]
3 4

D.[π ,2π ] ( )

9.在△ABC 中,若 sin(

+A)cos(A+C-

π )=1,则△ABC 为

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 二、填空题 (5?3′=15′) 10.化简
1 ? cos 1 ? cos
6 4

? ? sin ? ? sin

6 4

? ?

=

. .
? 3

11.tan20°+tan40°+ 3 tan20°tan40°的值是 12.若 sinα +sinβ = 13.已知α =
? 8 , 求得

1 2

,cosα +cosβ =
cos cot ? 2
2

3 2

,则 sin(α +

)的值为 .

.

,

? ? 2

的值为

? tan

14.若 a≠0,且 sinx+siny=a,cosx+cosy=a,则 sinx+cosx= 三、解答题(2?10′+6′+10′=36′)

.
7 2

15.已知 tanα 、cotα 是关于 x 的方程 x2-kx+k2-3=0 的两实根,且 3π <α < 求 cos(3π +α )+sin(π +α )的值. 16.已知 tan ?
?? ? 1 ? ?? ? ?4 ? 2

π,

.

(1)求? tan ?α 的值; (2)求
sin 2 ? ? cos
2

?

1 ? cos 2 ?

的值.
1 2

17.已知 sinα +cosβ =

,求 cosα +sinβ 的取值范围.
? 2

18.已知 6sin2α +sinα cosα -2cos2α =0,α ∈ ? 四、思考与讨论(12′+10′=22′)

,π ),求 sin(2α +

? 3

)的值.

19.已知关于 x 的方程 2x2-( 3 +1)x+m=0 的两根为 sinθ 和 cosθ ,θ ∈(0,2π ),求: (1)
sin ? 1 ? cot ? ? cos ? 1 ? tan ?

的值;

(2)m 的值; (3)方程的两根及此时θ 的值. 20.设α 、β 、γ 是锐角,且 tan
a 2 ? tan
3

? 2

,tanβ =

1 2

tanγ ,求证:α 、β 、γ 成等差数列.

2

参考答案
1.C tan 15°+cot 15°=tan 15°+
? 2? 1 ? tan 15 ?
2

1 tan 15 ? ? 4.

?

1 ? tan 15 ?
2

tan 15 ?

2 tan 15 ?

? 2 csc 30 ? ?

2 sin 30 ?

2. A

x≠

k? 2

,k∈Z,

sin x ? tan x cos x ? cot x

?

sin x cos x

1? ? 1?

1

1 ? cos x
2

cos x cos x ? tan x ? ? tan 1 1 ? sin x sin x sin x

x?

1 ? cos x 1 ? sin x

?0

.

3.A

cotα =2 ? sinα =

?1 1? 2
2

??

5 5

, ? cos ? ? ?

2 5 5

.

又由 cotα =2>0 知 sinα 、cosα 同号. ∴sin2α +sin α =2?
? 2
2

5 5
? 2

?

2 5

? 5? ? 5 ?? ? 5 ? ? ?

2

=1.
? 2
cos A sin B

4.A ∵A+B> ∴logcosC

,∴A> >0.

-B,cosA<cos(

-B)=sinB,∴0<

<1,又 0<cosC<1,

cos A sin B

5.A

tanβ =

1 3

?

tan2β =

3 3 ? 1 2 4 1? ( ) 3
? 4

2?

1



1 7

<1,

1 3

<1,则 0<α <
1 ? 1 7

,0<β <

? 4

,∴0<α +2β <

3 4

π,

3 4 ? 3 4

又 tan(α +2β )=

1 7

+

7 1?

=1,∴α +2β =

? 4

.

6.B ∵sin2θ +cos2θ =1,∴ ?

? k ?3? ? 4 ? 2k ? ? ?? ? ?1? ?k ?5? ? k ?5 ?
5 13

2

2

k=0 或 8.k=0 时,sinθ =- ,cosθ =
5

3

4 5

,θ

在第四象限;k=8 时,sinθ =

,cosθ =

? 12 13
1 3
2

,θ 在第二象限.
?1? 1? ? ? ?3? ?1? 1? ? ? ?3?
2

7. C

cotθ =3,则 tanθ = ,∴sin2θ =
3

1

2?

?

3 5

?1? 1? ? ? ?3?

,cos2θ =

2

?

4 5

.

cos θ - sin 2 ? ?
2

2

1

1 ? cos 2 ? 2

?

1 2

1? sin 2 ? ? 2

4 5 ? 1 2 ? 3 5 ? 3 5 .

3

8.D α ∈[0,2π ],则
? 2

? 2

∈[0,π ].
? 2 3 4 ? 2

1 ? cos ? 2

?

1 ? cos ? 2

?

cos

2

? 2

?

sin

2

? 2

? cos

? 2

? sin

? 2

,

由已知得 sin 9.C sin( 10.
3 2 ? 4

≥0,cos

≤0,∴

∈[

? 2

,π ],∴α ∈[π ,2π ].
? 4

+A)cos (A+C-

π )=1 ? sin(

+A)=1,cos (A+C-

3 4

π )=1 ? A=

? 4

,A+C=

3 4

π.

原式 ? ?

1 ? ( c o s ? ? s i n ? ) ( c o s? ? s i n ? c o s ? ? s i n ? )
2 2 4 2 2 4

? 1 ? ?( c o s ? ? s i n ? )
2 2 2 2

1 ? ( c o s ? ? s i n ?) ? 3 s i n ? c o s ?
2 2 2 2 2 2

? ? 3s i n ? c o s ? ? 3 . 2 ? 2 s i n ? c o s ?? 2 s i n ? c o s ?
2 2 2 2

1? c o s a ? s i n ?
4 4

?

1 ? ( c o s ? ? s i n ? ? s i n ? c o s ?)
4 4 2 2

1 ? ( c o s ? ? s i n ?)
4 4

11. 3 12.
1 2
? 3

3

=tan60°=

tan 20 ? ? tan 40 ? 1 ? tan 20 ? tan 40 ?

?

tan20°+tan40°+ 3 tan20°tan40°= 3 . -cosα ,两式平方相加得 1=2-sinα - 3 cosα =2-2sin(α

由已知 sinβ = ),∴sin(α +
cos ?
2

1 2

-sinα ,cosβ =
1 2

3 2

+

? 3

)=
?

.
cos ?
2

13.

2 8

? ? cot ?tan 2 2

? ? cos sin 2 2 ? ? ? sin cos 2 2

? cos
2

cos ?
2

?

?si n

2

?

?

cos ?
2

c o s? 1 2 sin ?

2 2 ? ? sin cos 2 2

?

s i n c o s? ? 2
2

?

1 4

sin?? 2

1

? 2 sin ? . 4 4 8

14.a ∵sin y+cos2y=1,∴(a-sinx)2+(a-cosx)2=1,得 2a2-2a(sinx+cosx)+1=1,∴sinx+cosx=a. 15.解 ?
? tan ? ? cot ? ? k ? tan ? cot ? ? k
2

,得 ?3?1

k=±2,tanα =±1,又 3π <α <

7 2

π ,∴tanα =1,α =

13 4

π.

cos(3π +α )+sin(π +α )=-cosα -sinα = 2 . 16.分析 (1)将已知用两角和的正切公式展开即可. (2)将所求式子化简成只含 tanα 的形式,再代入数便可求解. 解
? tan ? tan ? 1 ? tan ? ?? ? 4 ? . (1)tan ? ? ? ? ? ? 4 1 ? tan ? ? ? 1 ? tan tan ? 4
?? 1 ? tan ? 1 1 ? 1 ? ?? ? ,有 ? , 解得 tan ? ? ? . 1 ? tan ? 2 3 ?4 ? 2

由 tan ?

4

(2)方法 1

sin 2 ? ? cos

2

?

1 ? cos 2 ?
1

?

2 sin ? cos ? ? cos 1 ? 2 cos
1
2

2

?

? ?1

?

2 sin ? ? cos ? 2 cos ?

? tan ? ?

1 2

??

1 3

?

1 2

??

5 6

.

方法 2 由(1),tanα =- ,得 sinα =- cosα .
3 3

∴sin2α = ∴cos2α =

1 9 9

cos2α ,1-cos2α =

1 9

cos2α .
4 5

10

,于是 cos2α =2cos2α -1=
? ? 3 5 1? ? 9 5 10 ?? . 4 6 5

,sin2α =2sinα cosα =-

2 3

cos2α =- .
5

3

代入得

sin 2 ? ? cos

2

?

1 ? cos 2 ?

点评 本题考查了两角和的正切公式,倍角的正余弦公式等一些基本三角公式,进而考查了 学生灵活运用公式的能力及运算能力. 设 cosα +sinβ =t,则 ?
1 ? ? sin ? ? cos ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? t ?

17.解

① ②
1 7 8 2

①2+②2,得:2+2sin(α +β )=

1 4

+t2,∴sin(α +β )= t 2 ?
1 7 8

由 sin(α +β )∈[-1,1]得-1≤ t 2 ?
2

≤1
? ? ? 15 2 15 ? ?. 2 ? ?

即?

15 2

?t?

15 2

,从而 cosα +sinβ 的取值范围是 ? ?

,

点评

如果已知 sinα+cosβ=m,cosα+sinβ=n,则两边平方出现 sin2α+cos2α=1,sin2β+cos2β=1,

可以求出 sin(α+β)的值,同样已知 sinα+sinβ=m,cosα+cosβ=n 平方可求出 cos(α-β)的值. 18. 解 方法 1 由已知得(3sinα +2cosα )(2sinα -cosα )=0 ? 3sinα +2cosα =0 或 2sinα -cosα =0. 由已知条件可知 cosα ≠0,所以α ≠ 于是 tanα <0,∴tanα =sin(2α + =
? 3 2 3

? 2

,即α ∈ (

? 2

,π ).

.
? 3

)=sin2α cos
? 3 2 ?

? 3

+cos2α sin
2 2

=sinα cosα +
? tan ? 1 ? tan
2

3 2

(cos2α -sin2α )
1 ? tan 1 ? tan
2 2

sin ? cos ? cos
2

cos cos

? ? sin ? ? sin

2 2

? ?

? ? sin

2

?

?

?

3 2

?

? ?
2

,

将 tanα =-

2 3

代入上式得 sin ? 2 ? ?
?

?

?? ?? 3?

?

2 3
2

?

3 2

?

? 2? 1? ?? ? ? 3? ? 2? 1? ?? ? ? 3?

? 2? 1? ?? ? ? 3?

2

??

6 13

?

5 26

3.

5

方法 2 由已知条件可知 cosα ≠0,则α ≠ 即(3tanα +2)(2tan-1)=0. 又∵α ∈ ? , ? ? ,∴tanα <0.∴tanα =?2 ? ?? ?
2 3

? 2

,所以原式可化为 6tan2α +tanα -2=0.

.

下同方法 1.
? 3 ?1 ? sin ? ? cos ? ? ? 2 (1)由根与系数的关系,知 ? m ? sin ? cos ? ? ? 2 ?

19.解

① ②
3 ?1 2
2? 2 3

原式=

sin

2

?

sin ? ? cos ?

?

cos

2

?

cos ? ? sin ?

?

sin

2

? ? cos

2

?

sin ? ? cos ?
2? 2 3

? sin ? ? cos ? ?

.

(2)由①式平方,得(sinθ +cosθ )2= ∴sinθ cosθ = (3)当 m=
3 2 3 4

,即 1+2sinθ cosθ =
3 2 3 2



.由②,得

m 2

=

3 4

,∴m=

.
3 2
? 6

时,原方程为 2x2-( 3 +1)x+

=0,解得 x1=

,x2=

1 2

.

? 3 ? sin ? ? 1 ? sin ? ? ? 2 ? 2 或? .又 ∴? ? 1 ? cos ? ? ? cos ? ? 3 ? ? 2 2 ? ?

x∈(0,2π ),∴θ = 或 ? ?
3

?

.

20.解

tanβ =

1 2

tan tan ? ? 1 ? tan
??? 2

? 2
2

tan ? 2 ? (1 ? tan

? 2
2

(1 ? tan ? 2

2

? 2

) ? 2 ? )

tan

? 2

? tan ? 2

a 2 a 2 ? tan ??? 2 .

)(1 ? tan

2

1 ? tan

? tan

再分析范围得β =

,故α 、β 、γ 成等差数列.

6


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