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2015年高二数学学业水平模拟试卷(5)及答案解析


A. 高中学业水平考试《数学》模拟试卷

1 2

B. -

1 2

C.

3 2

D. -

3 2 )

8. 设 a=0.7-0.1,b=0.7-0.2,c=log30.7,则下列结果正确的是( 一、选择题(

本大题共 25 小题,第 1~15 题每小题 2 分,第 16~25 题每小题 3 分,共 60 分.每小题中只有一个选项是符合题意的,不选、多选、错选均不得分) 1. 设集合 A={0,1,2,4,5,7},集合 B={1,3,6,8,9},集合 C={3,7,9}, 则集合(A∩B)∪C 等于( A. {0,1,2,6,9} ) B. {3,7,9} C. {1,3,7,9} ) A. 4 6 3 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 6 ) D. {3,6,7,9} A. c<b<a B. c<a<b C. a<b<c D. b<a<c )

1 9. 设 a∈R,则“a>1”是“ <1”的(

a

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件 )

10. 在△ABC 中,已知 a=4,∠A=45°,∠B=60°,则 b 等于(

2. 下列各组函数中,表示相同函数的是(

x A. y= 与 y=1 B. y=x 与 y=( x)2 x x -4 C. y=x+2 与 y= D. y=|x|与 y= x2 x-2
3 3. 已知 cos α = ,则 cos 2α 等于( 5 A. 7 25 B. - 7 25 C. 16 25 D. - ) B. 周期为 π 的偶函数 2 16 25 )
2

11. 直线 3x+4y=0 与圆(x+3)2+(y-4)2=9 的位置关系是( A. 相切 B. 相离 D. 相交且通过圆心

C. 相交但不过圆心

12. 已知向量 a=(1,2),b=(-4,x),且 a⊥b,则 x 的值是( A. -8 B. -2 C. 2 D. 8

)

13. 已知正四棱锥的侧棱与底面边长相等,则侧棱与底面所成的角等于( A. 30° B. 45° C. 60° D. 70°

)

4. 函数 y=4sin 2x 是( A. 周期为 π 的奇函数 2

14. 将 y=sin x 的图象上所有点向左平移

π 个单位长度,再把所得图象上个点的横 3 )

C. 周期为π 的奇函数

D. 周期为π 的偶函数 ) B. 垂直于同一直线的两条直线平行

坐标扩大到原来的 2 倍,则得到的图象所对应的函数解析式为( A. y=sin(2x+ π ) 3

5. 在空间下列命题中正确的是(

A. 同平行于同一个平面的两条直线平行 C. 平行于同一直线的两条直线平行

x π x π B. y=sin( - )C. y=sin( - ) 2 3 2 6

x π D. y=sin( + ) 2 3
)

D. 与同一个平面成等角的两条直线平行 )

15. 若偶函数 y=f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列各式成立的是( A. f( 2)>f(- 2) C. f(3)<f(π ) B. f(-2)>f(3)

6. “两条直线 a,b 为异面直线”是“直线 a,b 不相交”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件

D. f(- 2)<f( 3) )

D. 既不充分也不必要条件 )

16. 点 P(2,5)关于直线 x+y+1=0 的对称点的坐标为( A. (6,-3) B. (3,-6) C. (-6,-3) D. (-6,3)

7. cos 300°的值等于(

17. 已知两定点 F1(5,0),F2(-5,0),曲线上的点 P 到 F1,F2 的距离之差的绝对值

是 6,则该曲线的方程为( A.

)

C. SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角

x2
9



y2
16

=1

B.

- =1 C. - =1 16 9 25 36

x2

y2

x2

y2

D.

y2
25



x2
36

=1 )

D. AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 25. A. ) 1 2 若 P 是椭圆 + =1 上一点, F1, F2 为其焦点, 则 cos∠F1PF2 的最小值是( 9 4 B. -1 C. 1 9 D. - 1 9

x2 y2

18. 若经过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值是( A. 4 B. 1 C. 1 或 3 D. 1 或 4

)

19. 若从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为 2,3,6,则它的体积为( A. 6 B. 36 C. 14 D. 2 14

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 26. 45 与 80 的等比中项是________. 27. 已知一个球的半径 R=3 cm,则它的体积是________cm3.

20. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2+a10+a12 为确定的常数,则下列各式中, 也为确定的常数是( A. S13 B. S15 ) C. S17 D. S19 )

28. 函数 y= log0.5(4x-3)的定义域是________. 29. 已知|a|=4,|b|=3,且 a⊥b,则(a+b)?(a-2b)=________.

21. 下列命题正确的是(

A. 过一点作一条直线的平行平面有无数多个 B. 过一点作一直线的平行直线有无数条 C. 过平面外一点,与该平面平行的直线有无数条 D. 过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行 22. A. 80 23. 各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 Sn=2, S3n=14 则 S4n 等于( B. 30 C. 26 D. 16 ) ) 分)

x2 y2 5 30. 已 知 双 曲 线 2 - 2 = 1 离 心 率 e = , 虚 半 轴 长 为 3 , 则 双 曲 线 方 程 为 a b 4
______________. 三、解答题(本大题共 4 小题,第 31,32 题每题 7 分,第 33,34 题每题 8 分,共 30

4 π 31. (本题 7 分)已知 cos α =- ,α ∈( ,π ),试求: 5 2 (1)sin(α - π )的值;(2)cos 2α 的值. 3

过点(1,2),且与原点距离最大的直线方程是( B. 2x+y-4=0 D. x-2y+3=0

A. x+2y-5=0 C. x+3y-7=0

(第 24 题) 24. 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是( ) 32. (本题 7 分,有 A、B 两题,任选其中一题完成,两题都做,以 A 题计分) (A)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面是正方形,边长为 a,PD=a,PA=PC= 2a (1)求证:PD⊥平面 ABCD; (2)求异面直线 PB 与 AC 所成角.

A. AC⊥SB B. AB∥平面 SCD

(第 34 题)

(1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 的中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程. (B)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°, ∠ACB=90°.

(1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)若二面角 D-PC-A 的余弦值为 5 ,求点 A 到平面 PBC 的距离. 5

33. (本题 8 分)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1, (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上 y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 图象的上方,试确定实数 m 的范 围.

34. (本题 8 分),如图,已知点 A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线 y2=2px 上, △ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合.

2014 高中学业水平考试《数学》模拟试卷 1. C 2. D 3. B 4. C 5. C 6. A 7. A 8. B 9. A 10. D 11. C 12. C 13. B 14. D 15. B 16. C 17. A 18. B 19. A 20. B 21. C 22. B 23. A 24. D 25. D [解析:当 P 位于短轴端点时,即 P(0,2),∠F1PF2 最大,则余弦值最小,cos∠F1PF2= 9+9-20 1 =- .] 2?3?3 9 26. ±60 27. 36π 30. 3 28. ( ,1] 29. -2 4

33. 解:(1)由题意得 f(x)=ax +bx+c(a≠0),∵f(0)=1,∴c=1.又∵f(x+1)-f(x)=2x,
? ?2a=2, 2 2 ∴a(x+1) +b(x+1)+c-(ax +bx+c)=2x,∴2ax+a+b=2x,∴? ∴ ?a+b=0, ?
2

2

? ?a=1, ? ∴f(x) ?b=-1, ?

=x -x+1. 2 2 (2)当 x∈[-1,1]时,y=f(x)=x -x+1 的图象恒在 y=2x+m 图象上方,∴x∈[-1,1]时 x 2 2 -x+1>2x+m 恒成立,即 x -3x+1-m>0 恒成立,令 g(x)=x -3x+1-m,x∈[-1,1]时,g(x)min 2 =g(1)=1 -3?1+1-m=-1-m>0,故只要 m<-1 即可,实数 m 的范围为 m<-1. 2 2 2 34. 解:(1)由点 A(2,8)在抛物线 y =2px 上,则 8 =2p?2,解得 p=16,所以抛物线方程为 y =32x,焦点 F 的坐标为(8,0). 2+x1+x2 8+x1+x2 (2)由 F(8,0)是△ABC 的重心,所以 =8, =0,所以 x1+x2=22,y1+y2=-8. 3 3 因为 M 是 BC 的中点,所以点 M 的坐标为(

x2
16

- =1 9

y2

4 π 3 π π π 31. ∵cos α =- ,α ∈( ,π ),∴sin α = ,sin(α - )=(sin α cos -cos α sin ) 5 2 5 3 3 3 = 3+4 3 7 2 cos 2α =2cos α -1= . 10 25
2 2 2 2 2 2

x1+x2 y1+y2
2 , 2

),即为(11,-4).

(3)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴,设 BC 所成直线的方程 为 y+4=k(x-11)(k≠0),由?
? ?y+4=k(x-11), ?y =32x, ?
2

32. (A)(1)证明:∵AD=DC=a,PD=a,PA=PC= 2a,∴AD +PD =PA ,DC +PD =PC ,∴∠PDA =90°,∠PDC=90°,∴PD⊥平面 ABCD. (2)解:连接 AC,BD 交于 O,∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. ∵PD⊥平面 ABCD,∴AC⊥PB,∴异面直线 PB 与 AC 所成角的大小为 90°. (B)(1)证明:∵PA⊥底面 ABCD,BC? 平面 ABCD,∴PA⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,又 PA∩AC =A,∴BC⊥平面 PAC.

消去 x 得 ky -32y-32(11k+4)=0,所以 y1+

2

32 y1+y2 y2= ,由(2)的结论得 =-4, 解得 k=-4,因此 BC 所在直线的方程为 y+4=-4(x-11),即 k 2 4x+y-40=0.

(第 32 题) (2)解:设 AP=h,取 CD 的中点 E,连接 AE,则 AE⊥CD,∴AE⊥AB.又∵PA⊥底面 ABCD,AE? 平

? 3 1 ? , ,0?, ?2 2 ? 1 ? 1 ? 3 ? → ? 3 ? → → ? 3 1 ? → ? 3 1 D? ,- ,0?, B(0, 2, 0), AP=(0, 0, h), AC=? , ,0?, PC=? , ,-h?, PD=? ,- ,-h?, 2 ? 2 ?2 ?2 2 ? ?2 2 ? ?2 ?
面 ABCD,∴PA⊥AE,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),P(0,0,h),C? 易求得 n1=(h, - 3h, 0)为平面 PAC 的一个法向量, n2=(h, 0, 3 )为平面 PDC 的一个法向量. ∵cos 2

n1?n2 5 〈n1,n2〉= = ,∴h= 3.又可求平面 PBC 的一个法向量 n3=(3, 3,2),∴点 A 到平 |n1|?|n2| 5
→ AP?n3 2 3 3 面 PBC 的距离为 d=| |= = . |n3| 4 2


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