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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第7讲 解三角形的实际应用举例


第7讲
一、选择题

解三角形的实际应用举例

1.有一长为 1 的斜坡,它的倾斜角为 20° ,现高不变,将倾斜角改为 10° ,则斜 坡长为 ( A.1 C.2cos 10° 解析 ). B.2sin 10° D.cos 20°

如图,∠ABC=20° ,AB=1,∠ADC=10° ,∴

∠ABD=160° . 在△ABD 中,由正弦定理得 AD AB =sin 10° , sin 160° sin 160° sin 20° ∴AD=AB· =2cos 10° . sin 10°=sin 10° 答案 C 2.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3 km,结果他离 出发点恰好是 3 km,那么 x 的值为 ( A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 ). D.3

解析 如图所示,设此人从 A 出发,则 AB=x,BC=3, AC = 3 ,∠ ABC = 30° ,由余弦定理得 ( 3)2 = x2 +32 - 2x· 3· cos 30° , 整理得 x2-3 3x+6=0, 解得 x= 3或 2 3. 答案 C 3.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60° ,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩 托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始几小 时后,两车的距离最小( 69 A.43 70 C.43 解析 ) B.1 D.2 如图所示, 设过 x h 后两车距离为 y, 则 BD=200-80x,

BE=50x, ∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)· 50x· cos 60° , 整理得 y2=12 900x2-42 000x+40 000(0≤x≤2.5), 70 ∴当 x=43时 y2 最小,即 y 最小. 答案 C

4. 如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分 别为 20 m、50 m,BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 ( A.30° B.45° C.60° ). D.75°

解析 依题意可得 AD=20 10(m), AC=30 5(m), AC2+AD2-CD2 又 CD=50(m), 所以在△ACD 中, 由余弦定理得 cos∠CAD= 2AC· AD ?30 5?2+?20 10?2-502 6 000 2 = = = 2 ,又 0° <∠CAD<180° ,所以∠CAD 2×30 5×20 10 6 000 2 =45° ,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45° . 答案 B 5.如图所示,为测一树的高度,在地面上选取 A、B 两点,从 A、B 两点分别测 得树尖的仰角为 30° , 45° , 且 A、 B 两点间的距离为 60 m, 则树的高度为( )

A.(30+30 3)m C.(15+30 3)m 解析

B.(30+15 3)m D.(15+15 3)m

在△PAB 中,∠PAB=30° ,∠APB=15° ,AB=60 m,

sin 15° =sin(45° -30° )=sin 45° cos 30° -cos 45° sin 30° 6- 2 2 3 2 1 = 2 × 2 - 2 ×2= 4 , PB AB 由正弦定理得:sin 30° =sin 15° ,

1 2×60 ∴PB= =30( 6+ 2), 6- 2 4 2 ∴树的高度为 PBsin 45° =30( 6+ 2)× 2 =(30+30 3)m. 答案 A

6. 如图,在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角 为 30° ,测得湖中之影的俯角为 45° ,则云距湖面的高 度为(精确到 0.1 m) ( A.2.7 m C.37.3 m 解析 在△ACE 中, CM-10 CE CM-10 tan 30° =AE = AE .∴AE= tan 30°(m). DE CM+10 在△AED 中,tan 45° = AE = AE , CM+10 CM-10 CM+10 ∴AE= tan 45°(m),∴ tan 30°= tan 45°, ∴CM= 10? 3+1? =10(2+ 3)≈37.3(m). 3-1 ). B.17.3 m D.373 m

答案 C 二、填空题 7.在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75° ,∠CBA=60° , 则 A,C 两点之间的距离为________千米. 解析 得 由已知条件∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,得∠ACB=45° .结合正弦定理

AB AC 2 AC = ,即sin 45° =sin 60° ,解得 AC= 6(千米). sin∠ACB sin∠CBA 6

答案

8. 如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 处,之后它继 续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的 北偏东 75° 处,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是________ n mile/h.

解析 设航速为 v n mile/h, 1 在△ABS 中,AB=2v,BS=8 2 n mile, ∠BSA=45° , 1 2v 8 2 由正弦定理得:sin 30° =sin 45° ,∴v=32 n mile/h. 答案 32 9.某人站在 60 米高的楼顶 A 处测量不可到达的电视塔高,测得塔顶 C 的仰角 为 30° , 塔底 B 的俯角为 15° , 已知楼底部 D 和电视塔的底部 B 在同一水平面上, 则电视塔的高为________米. 解析:如图,用 AD 表示楼高,AE 与水平面平行,E 在线 段 BC 上,设塔高为 h,因为∠CAE=30° ,∠BAE=15° ,AD= BE 60 BE=60,则 AE=tan 15° = =120+60 3,在 Rt△AEC 中, 2- 3 3 CE=AE· tan 30° =(120+60 3)× 3 =60+40 3,所 以塔高为 60+40 3+60= (120+40 3)米. 答案:120+40 3 10. 如图,一船在海上自西向东航行,在 A 处测得某 岛 M 的方位角为北偏东 α 角,前进 m 海里后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 β 角, 已知该岛周围 n 海里范围内(包括边界)有暗礁, 现该船继续东行, 当 α 与 β 满足条件________时, 该船没有触礁危险. 解析 由题可知,在△ABM 中,根据正弦定理得 BM m = ,解 sin?90° -α? sin?α-β?

得 BM=

mcos α mcos αcos β , 要使该船没有触礁危险需满足 BMsin(90° -β)= sin?α-β? sin?α-β?

>n,所以当 α 与 β 的关系满足 mcos αcos β>nsin(α-β)时,该船没有触礁危 险. 答案 mcos αcos β>nsin(α-β) 三、解答题

11.如图所示,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有 一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° 、 相距 20 海里的 C 处的乙船, 现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救 援,求 cos θ 的值. 解 如题图所示,在△ ABC 中, AB= 40

海里,AC=20 海里,∠BAC=120° ,由余 弦定理知, BC2 = AB2 + AC2 - 2AB· AC· cos 120° =2 800,故 BC=20 7(海里). 由正弦定理得 AB BC = , sin∠ACB sin∠BAC

AB 21 所以 sin∠ACB=BCsin∠BAC= 7 . 2 7 由∠BAC=120° ,知∠ACB 为锐角,则 cos∠ACB= 7 . 易知 θ=∠ACB+30° ,故 cos θ=cos(∠ACB+30° ) =cos∠ACBcos 30° -sin∠ACBsin 30° = 21 . 14

12.如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点 A,B 之间的距离,她 在西江南岸找到一个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观察到点 A, C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C; 并测量得到数据:∠ACD=90° ,∠ADC=60° , ∠ACB=15° ,∠BCE=105° ,∠CEB=45° ,DC =CE=1 百米. (1)求△CDE 的面积; (2)求 A,B 之间的距离. 解 1 (1) 在△ CDE 中 ,∠ DCE = 360° - 90° - 15° - 105° = 150° , S △ CDE = 2

1 1 1 1 DC· CE· sin 150° =2×sin 30° =2×2=4(平方百米). (2)连接 AB,依题意知,在 Rt△ACD 中,

AC=DC· tan∠ADC=1×tan 60° = 3(百米), 在△BCE 中,∠CBE=180° -∠BCE-∠CEB=180° -105° -45° =30° , 由正弦定理 BC= BC CE = ,得 sin∠CEB sin∠CBE

CE 1 · sin∠CEB=sin 30° ×sin 45° = 2(百米). sin∠CBE

∵cos 15° =cos(60° -45° )=cos 60° cos 45° +sin 60° sin 45° 6+ 2 1 2 3 2 =2× 2 + 2 × 2 = 4 , 在△ABC 中,由余弦定理 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠ACB, 可得 AB2=( 3)2+( 2)2-2 3× 2× ∴AB= 2- 3百米. 13.某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出 发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里 /时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时,试设计航行方案(即确定航 行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇. 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos?90° -30° ? = 900t2-600t+400= ? 1? 900?t-3?2+300. ? ? 6+ 2 4 =2- 3,

1 故当 t= 时,Smin=10 3(海里), 3 10 3 此时 v= 1 =30 3(海里/时). 3 即小艇以 30 3海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在 B 处相遇,则 v2t2=400+900t2-2· 20· 30t· cos(90° -30° ), 600 400 故 v2=900- t + t2 ,∵0<v≤30,

600 400 2 3 2 ∴900- t + t2 ≤900,即t2- t ≤0,解得 t≥3. 2 又 t=3时,v=30 海里/时. 2 故 v=30 海里/时时,t 取得最小值,且最小值等于3. 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20 海里,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° ,航行速度为 30 海里/时,小艇能以最短时间与轮船相 遇. 14. 如图, 某人在塔的 正东方向上的 C 处在与塔垂直的水平 面内沿南偏西 60°

的方向以每小时 6 千米的速度步行了 1 分钟以后,在点 D 处望见塔的底端 B 在东北方向上,已知沿途塔的仰角∠AEB=α,α 的最大值为 60° . (1)求该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了几分钟; (2)求塔的高 AB 解 (1)依题意知:在△DBC 中,∠BCD=30° ,

∠DBC=180° -45° =135° , 1 CD=6 000×60=100(m),∠D=180° -135° -30° =15° , 由正弦定理得 ∴BC= CD BC = , sin∠DBC sin∠D

CD· sin∠D 100×sin 15° = sin 135° sin∠DBC 6- 2 4 50? 6- 2? = =50( 3-1)(m). 2 2 2

100× =

AB 在 Rt△ABE 中,tan α= .[来源:学*科*网 Z*X*X*K] BE ∵AB 为定长, ∴当 BE 的长最小时,α 取最大值 60° ,这时 BE⊥CD,当 BE⊥CD 时,在 Rt△BEC 中, 3 EC=BC· cos∠BCE=50( 3-1)·2 =25(3- 3)(m), 设该人沿南偏西 60° 的方向走到仰角 α 最大时,走了 t 分钟,

25?3- 3? 3- 3 EC 则 t=6 000×60= 6 000 ×60= 4 (分钟). (2)由(1)知当 α 取得最大值 60° 时,BE⊥CD, 在 Rt△BEC 中,BE=BC· sin∠BCE, 1 ∴ AB=BE· tan 60° =BC· sin∠BCE· tan 60° =50( 3-1)· 2· 3=25(3- 3)(m), 即所求塔高为 25(3- 3)m.


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