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概率讲义第1章


《概率统计》讲稿
作者:邵吉光

第一章概率论的基本概念
自然界和人类社会客观存在着各种各样的现象,但总结起来大致可 以概括为确定性现象和随机现象两大类。为了能够运用数学方法定量的 研究随机现象,我们需依次引入下述概念: 第 1 节 随机试验 1.随机试验 (trial)对客观事物进行“调查”“观察”或“实验” 、 ,也 即一定的综合条件的实现。假定这种综合条件可以在相同条件下重复实 现,大量现象就是很多次试验的结果。 2.试验的特点(1)相同条件下可重复进行; (2)试验结果可能不止一 个, 事先明确所有可能结果; 试验之前不能确定哪一个结果出现。 (3) 第 2 节 样本空间、随机事件 3.样本空间(sample space)随机试验的所有可能结果组成的集合称为 样本空间(S) 。每个结果称为样本点(e) 。 4. (随机)事件(event) 在试验的结果中,所发生的现象叫做事件。事 件是样本点的集合;是样本空间的子集。单个样本点构成基本事件。 5.结论 事件和集合有着等价关系,事件的运算就是集合的运算。 6.事件发生 当且仅当事件中一个样本点出现时称事件发生。由此可知 S 是必然事件,空集 ? 是不可能事件。 7.事件的关系 (1)若 A ? B 则 A 发生必然导致 B 发生。
1

(2)若 A ? B 且 A ? B 则称事件 A 与 B 相等。 8.事件的运算 (1)交集(通集,乘集) A ? B (2)并集(和集) A ? B (3)补集(对立事件) A ? S ? A (4)差集 A ? B ? A ? B (5)对称差集 A?B ? ( A ? B) ? ( B ? A) (6)互不相容(互斥) AB ? ? ,基本事件是互不相容的。 (7)交换律 A ? B ? B ? A , A ? B ? B ? A (8)结合律 ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) , ( AB)C ? A( BC) (9)分配律 ( A ? B) ? C ? AC ? BC , ( A ? B) ? C ? ( A ? C ) ? ( B ? C ) (10)摩根律 ( A ? B) c ? Ac B c , ( AB) c ? Ac ? B c
c c (? An ) c ? ? An , (? An ) c ? ? An n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 ? ? ? ?

第 3 节 概率 9.称三元组( ?,?, P )为概率空间,其中 ? 为 ? ? 代数。概率 P(?) 是集 合函数,满足: (1)非负性 P( A) ? 0 (2)规范性(归一性) P( S ) ? 1 (3)可列可加性(完全可加性, ? 加性,加法公式) 10.概率性质 (1) P(?) ? 0
2

( 2 ) 有 限 可 加 性 : 若 A1 , A2 ,?, An 是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 , 则
P(? Ak ) ? ? P( Ak )
k ?1 k ?1 n n

(3) A ? B ? P( B ? A) ? P( B) ? P( A) , P( B) ? P( A) (单调性) (4)0 ? P( A) ? 1 (有界性) (5) P( A) ? 1 ? P( A) (6) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) (加法公式)

P( A1 ? A2 ? A3 ) 的推导。
(7) P( A) ? P( B) ? P( A ? B) ? P( A ? B) (强可加性) (8) P( A ? B) ? P( A) ? P( B) (9) P( A) ? P( B) ? 1 ? P( AB) (10)布尔不等式(半 ? 加性) P(? An ) ? ? P( An ) :
n ?1 n ?1 ? ?

习题: 1.若 A, B, C 是三个事件,表示下列事件 (1) A 发生而 B 与 C 都不发生; (2) A 与 B 都发生而 C 不发生; (3)三个事件都发生; (4)三个事件恰有一个发生; (5)三个事件恰有两个发生; (6)三个事件至少一个发生。 2.试把 A1 ? A2 ? ? ? An 表示成 n 个两两互不相容事件的和。
3

c c c 解:令 B1 ? A1 , B2 ? A2 A1c , B3 ? A3 A1c A2 ,?, Bn ? An A1c A2 ? An?1 则

A1 ? A2 ? ? ? An = B1 ? B2 ? ? ? Bn ,显然有 Bi B j ? ? (i ? j ) 。
3.给定 p ? P(A) , q ? P(B) , r ? P( A ? B) ,求 P( ABc ) , P( Ac B c ) 4.已知 P( AB) ? P( A) P( B) , C ? AB , C c ? Ac B c ,证明
P( AC) ? P( A) P(C )

证:由题义知 C ? ACBc ? BCAc ? AB ,则

P(C) ? P( ACBc ) ? P( BCAc ) ? P( AB)
= P( AC) ? P( ABC) + P( BC) ? P( ABC) + P( AB) = P( AC) ? P( BC) ? P( AB) ,故有
P( AC) ? P(C ) ? P( AB) ? P( BC) ,则 P( AC) ? P( A) P(C ) = [ P(C ) ? P( BC)] ? P( A)[P(C ) ? P( B)] ? 0 证完。

5.记 C ? (? Ai ) ? (? B j ) ,求 C 解: C ? (? Ai ) ? (? B j ) = (? Ai ) ? (? B j ) = (? Aic ) ? (? B c ) j
i ?1 j ?1 i ?1 j ?1

m

n

i ?1 m

j ?1 n

m

n

m

n

i ?1

j ?1

6.求 ( A ? B) ? ( A ? B) = ( A ? B) ? AB = ( A ? B) ? ( AB )
c

c c

= ( A ? B) ? ( Ac ? B) = [( A ? B) Ac ] ? [( A ? B) B] = A c B ? B = B 7.对任意的随机事件 A, B, C ,证明 P( AB) ? P( AC) ? P( BC) ? P( A) 证明: A ? A ? [ B ? (C \ B)] = AB ? ACB c ,则

P( A) ? P( AB ? CB c ) = P( AB) ? P( ACBc ) = P( AB) ? P( AC) ? P( ABC)
P( AB) ? P( AC) ? P( BC)

4

8.若 {En , n ? 1} 是递增的事件列,则 lim P ( E n ) ? P ( lim E n )
n ?? n ??

证明:定义事件 F1 ? E1 , F2 ? E2 ? E1 = E 2 E1c , ?, Fn ? E n ? (? E k )
k ?1

n ?1

= En ? En?1 = Ec E ,? ,则 {Fn } 为互斥事件列,且有
c n ?1
n

? Fk ? ? Ek , ? Fk ? ? Ek ,于是
k ?1

?

?

n

P(? E k ) ? P(? Fk ) =(可列可加性)= ? P( Fk ) = lim ? P( Fk )
k ?1

?

k ?1

?

k ?1

k ?1

?

n

= lim P(? Fk ) = lim P(? Ek ) = lim P ( E n ) 而 ? Ek ? lim En ,因此有 lim P ( E n ) ? P ( lim E n ) ,证完。
k ?1 n??
n ?? n ??

n

k ?1

n

k ?1

n??

k ?1

n?? ?

k ?1

n??

k ?1

n ??

第 4 节 等可能概型(古典概型) 11.古典概型(Laplace,1812 年提出)若试验 T 满足: (1)实验的样本 空间只包含有限个元素; (2)试验中每个基本事件发生的可能性相同。 这样的试验称为等可能概型即古典概型。 12.古典概型的计算公式
P( A) ? k A包含的基本事件数 ? n S中基本事件总数

13. 乘法原理

完成某项工作需要 N 个步骤, i 第 (i=1,2,?N) 步有 mi

种方法,则完成此项工作共有 m1m2 ?mN 种方法。 14.加法原理 完成某项工作有 N 类途径,第 i 类途径里有 mi 种具体方

法,则完成此项工作共有 m1 ? m2 ? ? ? mN 种方法。 15 . 排 列 组 合 知 识
m Cn ?

n! m , An ? n(n ? 1)?(n ? m ? 1) , m!(n ? m)!

m n 0 n Cn ? Cn ?m , Cn ? 1 , 0!? 1!? 1 , An ? n!? n(n ? 1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1

16.从 n 个元素中有重复的取 r 个,不计顺序,则不同的取法有
5

r Cn?r ?1 种。

习题 1.袋中有白球 5 只, 黑球 6 只, 陆续取出 3 只, 求顺序为黑白黑的概率。 解: P(黑白黑) ?
1 1 1 C 6 C5 C5 3 A11

2.10 个白球 10 个黑球被随机的分为 10 组,每组两球,求每组中恰有 一白球一黑球的概率。
1 1 C10 C10 (10!) 2 .210 解: P ? 2 2 ? 2 20! C20 C18 ?C2

3.箱子中共有 N 个球,编号依次为 1,2, ?, N 。有放回的取 n 次(每次一 个)(1)试求这些号码按严格上升次序排列的概率; , (2)这些号码 上升(不一定严格)次序排列的概率。 解: (1) P ?
n CN Nn

(2) P ?

n C N ? n ?1 Nn

4.在明湖里捕了 80 条鱼,在它们身上做了记号后都放回湖中。后来又 捕了 100 条并发现其中有 2 条是带有记号的。如果湖中有 N 条鱼,问出 现这样一个事件的概率是多少?(你对 N 的真值的猜测是多少?) 5.袋中有 a 只黑球 b 只白球,仅颜色不同。现在随机的一只只摸出来, 求第 k 次摸出的是黑球的概率。 解: P ?
1 a ?b ?1 Ca Aa ?b?1 a (抽签机会均等,与顺序无关) ? a ?b a?b Aa ?b

6. (德梅尔问题)一颗色子投 4 次至少得到一个六点与两颗色子投 24 次 至少得到一个双六,这两个事件哪一个有更多的机会遇到?
54 解: p1 ? 1 ? 4 ? 0.5177, 6 3524 p 2 ? 1 ? 24 ? 0.4914 36
6

7.袋中装有 N ? 1 只黑球 1 只白球,每次从袋中随机摸出一球,并换入 一只黑球,这样继续下去,问第 k 次摸球时摸到黑球的概率是多少? 解:设 A ? 第 k 次摸到黑球,则 A ? 第 k 次摸到白球
( N ? 1) k ?1 .1 1 1 P( A) ? ? (1 ? ) k ?1 ? k N N N

从而 P( A) ? 1 ? P( A)

8.某城市有 N 辆卡车,车牌号从 1 到 N ,有一个外地人到该城去,把 遇到的 n 辆车的牌号抄下(可能重复抄到某些车牌号) ,求抄到的最 大车牌号正好为 k 的概率( 1 ? k ? N ) 。 解:记 Ak =最大号码恰为 k , Bk ? 最大号码不超过 k ,则

Ak ? Bk ? Bk ?1 ,且 Bk ? Bk ?1 ,因此
k n ? (k ? 1) n P( Ak ) ? P( Bk ? Bk ?1 ) = P( Bk ) ? P( Bk ?1 ) = Nn

9. (匹配问题)某人写好 n 封信,又写好 n 只信封,然后在黑暗中把每封 信放入一只信封里,求至少有一封信放对的概率。 解:设 Ai ? 第 i 封信与信封匹配,则所求事件为 ? Ai ,易求得
i ?1 n

P( Ai ) ?

(n ? 1)! 1 1 (n ? 2)! 1 ? , P( Ai A j ) ? ? , P( A1 A2 ? An ) ? ? n! n n! n! n(n ? 1)

1 P( A1 ? A2 ? ? ? An ) = C n

1 1 1 2 ? Cn ? ? ? (?1) n ?1 n n(n ? 1) n!

= ? ?1 ( )
k ?1

n

k ?1

1 k!

7

第 5 节 条件概率 16.条件概率 事件 A 已发生的条件下 B 发生的概率记为 P(B A) 且有

P(B A) ? P( AB) P( A)
17.条件概率 P(? A) 满足 (1) 非负性 P(B A) ? 0 (2) 规范性 P(S A) ? 1 (3) 可列可加性 (4) P( B1 ? B2 A) = P(B1 A) ? P(B2 A) ? P(B1 B2 A) 17.乘法定理 (1) P( AB ) ? P( B A) P( A) ? P( A B) P( B) (2) P( ABC) ? P(C AB)P(B A)P( A) 18.全概公式(熟练掌握) P( A) ? ? P( A Bk ) P( Bk )
k ?1 n

其中 B1, B2 ?Bn 为

样本空间 S 的一个划分,即 B1 ? B2 ??? Bn ? S , Bi ? B j ? ?(i ? j) 。 19.Bayes 逆概公式

P( Bi A) =

P( A Bi ) P( Bi )

? P( A B ) P( B )
n 1 j j

第 6 节 独立性 20. 独立性概念 设 A, B 是两事件, 如果满足 P( AB) ? P( A) P( B) 则称 A, B 相互独立。 21. A, B 相互独立 ? A与B , A 与B, A 与B 亦相互独立。 独立性是一个非常重要的概念。在实际应用中,对事件的独立性往 往不是根据定义而是依照实际意义来判断的;依照实际背景判断事件独
8

立性一般并不困难。 习题 1.一工人看管三台机床,在一小时内机床不需要照管的概率:第一台等 于 0 .9 ,第二台等于 0.8 ,第三台等于 0.8 。求在一小时内三台机床中最多 有一台需要照管的概率。 解:设 Ak ? 第 k 台机床不要照管
c c c c P( A1 A2 A3 ? A1c A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) = P( A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ) c c = P( A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) c c = P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )

= 0.8 ? 0.8 + 0.9 ? 0.2 ? 0.8 + 0.9 ? 0.8 ? 0.2 = 0.928 2. 电路由元件 A 和两个并联的元件 B 与 C 串联而成。 已知元件 A, B, C 损 坏的概率分别是 0.3 , 0 .2 , 0 .2 ,求该电路失效的概率。 解: P( A ? BC) = P ( A) + P(BC) ? P( ABC) = P ( A) + P( B) P(C ) ? P( A) P( B) P(C ) = 0.3 + 0.2 ? 0.2 - 0.3 ? 0.2 ? 0.2 = 0.328 3.50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上,其中有 3 只强度太弱。每个 部件用 3 只铆钉,若将 3 只太弱的铆钉用在一个部件上,则该部件的强 度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少?
3 3 3 3 10C3 C 47 C 44 ?C 23 10 解法 1: P ? = 3 3 3 3 C50 C50 C 47 ?C 23

解法 2:设 A ? 从 50 个铆钉取出的 30 个中含 3 个强度太弱的
B ? 3 个强度太弱的铆钉被用在一个部件上

P( AB) ? P(B A)P( A) =

3 27 3 3 3 3 C3 C47 10C3 C27 C24 ?C3 10 = 3 30 3 3 3 C50 C50 C30 C27 ?C3

9

4.掷五枚分币,问,在至少出现两个正面的条件下,正面数刚好是三个 的概率是多少? 解:设 A =至少出现两个正面
B =正面数刚好是三个

P(B A) =

P( AB) P( B) 5 = = P( A) P( A) 13

5.盒子中有 12 个乒乓球,其中 9 个是新的。第一次比赛时从中任取 3 个来用,比赛后放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取 3 个,求第二 次取出的球都是新球的概率。又:如第二次取出的都是新球,求第一 次取到的球都是新球的概率。 解:设 Ak ? 第一次取到 k 个新球( k ? 0,1,2,3 )
B ? 第二次取到的都是新球
3 3 C9k C3 ?k C9?k 21 = ( )2 P (B ) = ? P( B Ak )P( Ak ) ? 3 3 55 C12 C12 k ?0 k ?0 P( B A3 ) P( A3 ) 5 = P( A3 B) = 21 P( B)
3

3

6.某种灯泡使用时数在 1500 小时以上的概率为 0 .2 , 求三个这样的灯泡 在使用 1500 后最多只有一个坏的概率。 (此题同第 1 题) 7.甲乙比赛,每局获胜者得一分,累计多于另一人 2 分者取胜。已知在 每局比赛中甲获胜的概率为 p (乙获胜的概率为 q ? 1 ? p ) ,求甲取 胜的概率。 解:设 An =甲胜第 n 局 (n ? 1,2,?) 最终按照规则甲取胜的可能方式为

10

(1) A1 A2 = B1
c (2.1) A1 A2 A3 A4 = B2

(2.2) A1c A2 A3 A4 = B3
c c (3.1) A1 A2 A3 A4 A5 A6 = B4

c c (3.2) A1 A2 A3 A4 A5 A6 c (3.3) A1c A2 A3 A4 A5 A6
c (3.4) A1c A2 A3 A4 A5 A6 ,??

规律:每一个第 n 类事件都对应着两个第 n ? 1 类事件,因此第 n ? 1 类事 件是第 n 类事件的 2 倍。上述事件为互相排斥事件。
P = P( B1 ? B2 ? B3 ? ?) = p 2 ? 2qp3 ? 2 2 q 2 p 4 ? ? =

p2 p2 ? q2

8.袋子中有 2 个红球,3 个黄球,5 个白球,现有放回地抽取 8 次(每 次一个) 。问:恰抽到 3 红 3 黄 2 白的概率是多少?
3 3 2 2 解: P ? C8 C5 C2 ?10 ? 3 3 5 ?10 ?3 ?10 ?2

9.设某昆虫生产 k 个卵的概率是 p k ? 下一代有 m 条的概率是多少?

?k

k! 化成昆虫的概率为 p 。若卵能否孵化为虫是相互独立的。问此昆虫的

e ?? (? ? 0) ; 又设一个虫卵能孵

解:设 Ak ? 产 k 个卵。 (k ? 0,1,2,?, m,?) ; B ? 下一代有 m 条昆虫
( ? p ) m ? ?p e P(B) ? ? P( B Ak )P( Ak ) = ? P( B Ak )P( Ak ) = m! k ?0 k ?m
? ?

10.

设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为 1 3 ,击伤的概率为 1 2 ,

击不中的概率为 1 6 。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放 4 枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。

11

解:设 Ak =第 k 枚炸弹击不中; Bk =第 k 枚击伤潜水艇。 则潜水艇不被击沉的概率为

P( A1 A2 A3 A4 ? B1 A2 A3 A4 ? A1 B2 A3 A4 ? A1 A2 B3 A4 ? A1 A2 A3 B4 )
= ( 1 ) 4 ? ( 1 )3 1 4 = 6 6 2
13 64 13 64

被击沉的概率为 P = 1 ?

11.A, B 二人轮流射击, 每次各人射击一枪, 射击的次序为 A, B, A, B, A,? 射击直到击中两枪为止。设各人命中率均为 p ,且各次击中与否相互独 立。求击中的两枪是由同一个人射击的概率。 解:设 E甲 ? 击中的两枪是由甲命中; A =甲命中; B =乙命中。

E乙 ? 击中的两枪是由乙命中。则 E甲 为下列互斥事件之并: AB c A ; AB c Ac B c A , Ac B c AB c A ;
AB c Ac B c Ac B c A , Ac B c AB c Ac B c A , Ac B c Ac B c AB c A ;等等。因此

p2q 2 = P( E甲 ) = p(q ? 2q 3 ? 3q 5 ? 4q 7 ? ?) 2 ( ? q 2) 1
E乙 为下列互斥事件之并: A c BA c B ; A c BA c B c A c B , A c B c A c BA c B ;
Ac BA c B c Ac B c Ac B , Ac B c Ac BA c B c Ac B , Ac B c Ac B c Ac BA c B ;等等。

p2q2 = 2 = ,则 P(E乙) p(q 2 ? 2q 4 ? 3q 6 ? ?) 2 ( ? q 2) 1 1? p P(两枪由同一人命中)P(E甲) P(E乙) = = ? 2? p
12.甲乙两人轮流向同一目标射击,第一次甲射击,第二次乙射击,依 次循环。设甲击中目标的概率为 p1 ,乙击中目标的概率为 p 2 。求个人先 击中目标的概率。

12

解:设 Ak =甲第 k 次击中; Bk =乙第 k 次击中
A =甲先击中目标; B =乙先击中目标,则
c c A = A1 ? A1c B1c A2 ? A1c B1c A2 B2 A3 ??

P ( A) = p1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 ) p1 ? (1 ? p1 ) 2 (1 ? p2 ) 2 p1 ? ?

p1 1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 ) (1 ? p1 ) p 2 = P (B ) (1 ? p1 )(1 ? p 2 )
= 13.某人有两盒火柴,每盒中各有 r 根火柴。吸烟时从任意一盒中取一 根火柴。经过若干时间后,发现一盒火柴已经用完,求这时另一盒中还 有 r 根的概率。
n 解: P = C2n?r ?1 ? 2 n 1 n ?r 2

??

思考题和作业
1. 设 A、B、C 表示三个随机事件,试将下列事件用 A、B、C 表示出来: (1) 仅 A 发生; (2)A、B、C 都发生; (3)A、B、C 都不发生; (4)A、B、C 不都发生; (5)A、B、C 恰有一个发生; 答案: 1)AB C(2)ABC (3) A B C (4) ABC (5) AB C ? A BC ? A CB ( 2.设 A、B 互不相容,且 P( A) ? p , P( B) ? q ,则(1) P( AB) ? _____ (2) P( A ? B ) ? _____ (答案: (1)0 (2) 1 ? p ? q ) 3.已知 A ? B , P( A) ? 0.2, P( B) ? 0.3 ,则 P( BA) ? ______(答案:0.1) 4.已知 A、B 两个事件满足 P( AB) ? P( A B ), 且 P( A) ? p, 则 P( B) ? ______

13

(答案: 1 ? p ) 5. 设 A 、 B 、 C 是 三 个 事 件 , 且 P( A) ? P( B) ? P(C ) ?
1 4

1 P( AB ) ? P( BC ) ? 0, P( AC ) ? ,则 P( A ? B ? C ) ? _______ (答案:5 8 ) 8

6.甲再能活 20 年的概率是 0.7,乙再能活 20 年的概率是 0.9,求二人均 无法活 20 年的概率。 (答案:0.03) 7.一袋中装有 6 个黑球,4 个白球。有放回地从中随机抽取 3 个球,求 3 个球同色的概率。 (提示:3 个球同色分为两种情况:3 个球皆为黑色与 3 个球皆为白色,这两种情况是互不相容的。答案:0.28) 8.掷一枚钱币,反复掷 4 次,求恰有 3 次出现正面的概率。 (提示:这是 贝努利概型问题。答案 0.25) 9.某仓库有同样规格的产品 6 箱,甲、乙、丙各生产 3 箱、2 箱、1 箱,
1 1 1 甲、乙、丙 3 个厂的次品率分别为 10 , 15 , 20 . 现从 6 箱中任取 1 箱,再从取

得的 1 箱中任取 1 件, 求取得次品的概率。 (提示: 全概模型问题,答案:
29 360



10.有 50 件产品,其中有 45 件正品,5 件次品,今从中任取 3 件,求其
1 2 3 中恰有 1 件次品的概率。 (提示: p ? C5C45 C50 )

11.一批零件共 100 个,次品有 10 个,每次从其中任取 1 个零件,共取 3 次,取出后不放回,求第三次才取得合格品的概率(提示:

A1 ? {第一次取得次品 A2 ? {第二次取得次品 A3 ? {第三次取得合格品 , } } }

p ? P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) )
12.某种动物由出生算起活 15 年以上的概率为 0.8,活 25 年以上的概率 为 0.5,问现年 15 岁的动物活到 25 岁的概率是多少?(提示:

A ? {这种动物活 年以上 B ? {这种动物活 年以上 15 } 25 }
14

P( B | A) ? P( AB) P( A) ? 0.625)
13.设甲箱中有 a 个白球,b 个红球,乙箱中有 c 个白球,d 个红球。从 甲箱中任取 1 个球放入乙箱中,然后再从乙箱中任取 1 个球。求从乙箱 中取到的球为白球的概率。 14.设某人每次射击的命中率为 0.2,问必须进行多少次独立射击,才能 使其至少击中 1 次的概率不小于 0.9? 15. 设 离 散 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 P{X ? i} ? a N , (i ? 1,2,?, N ) , 则
a ? ______

16.某射手每次射击击中目标的概率为 0.8,他连续射击,直至击中目标 1 次为止,设 X 是直至射击击中时的射击次数,则 P{X ? i} ? _____(答 案: 0.2i?10.8 ) 17.接连 2 次对目标进行射击,每次击中目标的概率为 0.4,设 X 为击中 目标的次数,求 X 的分布列。 18.一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5。在袋中一次性取出 3 只,
X 表示取出 3 只球的最大号码,求 X 的分布列。

19.进行独立重复试验,设每次试验成功的概率为 p ,将试验进行到出现

r 次成功为止,以 X 表示所需试验的次数,求 X 的分布列。
20.设 K 服从均匀分布 U (0,5) ,求方程 4 x 2 ? 4Kx ? K ? 2 ? 0 有实根的概 率。 21.设随机变量 X 服从均匀分布 U (?1,1) ,求 Y ? X 2 的概率密度。 22.设一只昆虫所生的虫卵数 X 服从泊松分布 P(? ) ,而每个虫卵发育为 幼虫的概率等于 p ,并且各个虫卵能否发育为幼虫是相互独立的,求一 只昆虫所生幼虫数 Y 的概率分布。
15

23. 设随机向量 ( X , Y ) 的概率密度为:
? A( R ? x 2 ? y 2 ), x 2 ? y 2 ? R 2 ? f ( x, y ) ? ? ,求(1)常数 A; ? 0, 其它 ?

(2) ( X , Y ) 落

在圆域 G : x 2 ? y 2 ? r 2 (r ? R) 中的概率。

? 1 ( x ? y )e ? ( x ? y ) , x ? 0, y ? 0, 24. 设随机向量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) ? ? 2 0, 其它 ?
问: (1) X 和 Y 是否相互独立?(2) Z ? X ? Y 的概率密度。 25.假设一电路有三个同种电气元件,其工作状态相互独立,无故障工作 时间服从指数分布 e(? ) 。当 3 个元件都无故障时,电路正常工作,否则 整个电路不能正常工作,求电路正常工作的时间 T 的分布函数。 26.一民航送客车载有 20 位旅客自机场开出, 旅客有 10 个车站可以下车, 如到达一个车站没有旅客下车就不停车。 X 表示停车的次数, E (X ) 以 求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独 立) 。 27.某店有 7 台电视机,其中 2 台为次品,今从中随机取 3 台,设 X 为 其中的次品数,则 E( X ) ? ______(答案: 6 7 ) 28.设随机变量 X 服从几何分布,其分布率为:

P( X ? k ) ? p(1 ? p) k ?1 , k ? 1,2,?, 求 E ( X ), D( X ).
? 32 3 , x ? 0 29.连续随机向量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? ( x ? 4 ) ,设 Y ? X ? 4, ? 0, 其它

求 EY 30.某车间生产的圆盘其直径在区间(a,b)服从均匀分布,试求圆盘面

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积的数学期望。 31.把 4 个球随机地投入 4 个盒中去,设 X 表示空盒子的个数,求 EX 32.设离散随机变量 X 的分布列为
X
p

-1
1 3

0
1 6 1 6

1 2

1
1 12

2
1 4

则 D( X ) ? ______(答案: 67 ) 72 33.设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为 1 ,击伤的概率为 1 ,击不中 3 2 的概率为 1 ,并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放 4 枚深水炸弹 6 能击沉潜水艇的概率。 (提示:先求击不沉的概率) 34.袋中有 a 个白球,b 个黑球,每次从袋中任取 1 球,取后不放回。求 第 1 次取出的球与第 2 次取出的球颜色相同的概率。 35.一袋中装有 N-1 个黑球以及 1 个白球,每次从袋中随机地模出 1 球, 并换入 1 个黑球,如此进行下次。求: (1)第 k 次摸球时,摸到白球的 概率; (2)第 k 次摸球时,摸到黑球的概率。 36.设事件 A、B 相互独立,证明 A 与 B 也相互独立。

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