当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市海淀区2015届高三第一学期期中考试数学(理)试题


北京市海淀区 2015 届高三第一学期期中考试 数学(理)试题
2014.11 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)设集合 A ? {x ? R | x

? 1} , B ? {x ? R | ?1≤x≤2} ,则 A (A) [?1, ??) (B) (1, ??) (C) (1, 2] ) (D) 3 ) (D) 25 )

B ?(



(D) [?1,1)

(2)已知向量 a ? (2, ?1) , b ? (3, x) . 若 a ? b ? 3 ,则 x ? ( (A) 6 (B) 5 (C) 4

(3)若等比数列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 5 ,且公比 q ? 2 ,则 a3 ? a5 ? ( (A) 10 (B) 13 (C) 20

(4)要得到函数 y ? sin(2 x ? (A)向左平移

π ) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( 3
(B)向左平移

? 个单位 3
? 个单位 3

? 个单位 6
? 个单位 6

(C)向右平移

(D)向右平移

(5)设 a ? ( ) 3 , b ? log 2 (A) a ? b ? c

1 2

1

1 , c ? log 2 3 ,则( 3

) (D) c ? b ? a

(B) c ? a ? b

(C) a ? c ? b

(6) 设 a, b ? R ,则“ ab ? 0 且 a ? b ”是“ (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

1 1 ? ”的( a b



(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(7) 已知函数 f ( x) ? ?

? ?? x, x ? 0, 若关于 x 的方程 f ( x) ? a ( x ? 1) 有三个不 恒谦 相等的实数 ? ? x , x ≥ 0.
) (C) (0,1)
an(Sn)

根,则实数 a 的取值范围是( (A) [ , ??)

1 2

(B) (0, ??)

(D) (0, )

1 2

( 8 )设等差数列 {an } 的前 n 项和为

S n .在同一个坐标系中, an ? f (n) 及 S n ? g (n) 的部分图象如图所示,则
( )

0.7 7 -0.4 -0.8 O 8 n

(A)当 n ? 4 时, S n 取得最大值 (C)当 n ? 4 时, S n 取得最小值

(B)当 n ? 3 时, S n 取得最大值 (D)当 n ? 3 时, S n 取得最小值

A

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)设复数 z ?

i ,则 z ? ______. 1? i
x?a

B

D

C

( 10 ) 已知函数 y ? 2 (11)

的图象关于 y 轴对称,则实数 a 的值



.

?

π



( x ? sin x)dx ? ________.

(12)为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 C (单位: mg / L )随时间 (单位: h )的变化关系为 C ?

20t ,则经过_______ h 后池水中药品的浓度达到最大. t ?4
2

(13)如图所示,在△ ABC 中, D 为 BC 边上的一点, 且 BD ? 2 DC .若 AC ? m AB ? n AD (m, n ? R ) ,则

m ? n ? ____ .

(14)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 是常数, A ? 0, ? ? 0 )的最小正周期为 π ,设集合 M ? {直线 l l 为曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线, x0 ? [0, π) }. 若集合 M 中有且只有两条直线互相垂直,则

?=

; A=

.

A D

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演 (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (Ⅰ )求 f ( ) 的值; (Ⅱ )求 f ( x) 的单调递增区间. (16) (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, a1 ? (Ⅰ )求 {an } 的通项公式; (Ⅱ )求数列 {an ? n} 的前 n 项和 S n .

算步骤或证明过程。

π ). 3

π 2

B

C

1 ,且 a1 , a3 , ?a2 成等差数列. 2

(17) (本小题满分 13 分) 如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D ? 2?B ,且 AD ? 1, CD ? 3, cos B ? (Ⅰ )求△ ACD 的面积; (Ⅱ )若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

3 . 3

(18) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2a ln x ? x 2 ? 1 . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值; (Ⅲ)若 f ( x) ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立,求 a 的最大值. (19) (本小题满分 13 分)

已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a1 的值;

n(1 ? an ) (n ? 1, 2,3, ) . 2

(Ⅱ)求证: ( n ? 2)an ? 1 ? ( n ? 1)an ?1 ( n ? 2) ; (Ⅲ)判断数列 {an } 是否为等差数列,并说明理由.

(20) (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?
1 1 , L 为曲线 C : y ? f ( x) 在点 (?1, ) 处的切线. 5 x ? 16 x ? 23 12
2

(Ⅰ)求 L 的方程;
1 1 (Ⅱ)当 x ? ? 时,证明:除切点 (?1, ) 之外,曲线 C 在直线 L 的下方; 5 12

(Ⅲ)设 x1 , x2 , x3 ? R ,且满足 x1 ? x2 ? x3 ? ?3 ,求 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 的最大值.

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学(理)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)B (2)D (6)A (3)C (7)D (4)B (8)A

2014.11

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9)

2 2

(10) 0 (13) ?2

(11) 0 (14)2;

(12) 2

1 2

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( ) ? sin

π π π 1 1 ? sin( ? ) ? 1 ? ? . 2 2 3 2 2 π (Ⅱ) f ( x) ? sin x ? sin( x ? ) 3 π π ? sin x ? (sin x cos ? cos x sin ) 3 3

π 2

?????? 3 分

?????? 5 分

1 3 1 3 π ? sin x ? ( sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) . 2 2 2 2 3
?????? 9 分 函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [2kπ ? 由 2kπ ?

π π , 2kπ ? ](k ? Z) , 2 2

π π π ?????? 11 分 ≤x ? ≤2kπ ? ( k ? Z) , 2 3 2 π 5π 得 2kπ ? ≤x≤2kπ ? (k ? Z) . 6 6 π 5π 所以 f ( x) 的单调递增区间为 [2kπ ? , 2kπ ? ](k ? Z) . ?????? 13 分 6 6

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ )因为 a1 , a3 , ?a2 成等差数列, 所以 2a3 ? a1 ? a2 . 设数列 {an } 的公比为 q (q ? 0) ,由 a1 ? ?????? 2 分

1 可得 2
?????? 4 分

1 1 1 2 ? q2 ? ? q , 2 2 2
即 2q ? q ? 1 ? 0 .
2

1 或 q ? ?1 (舍). 2 1 1 1 所以 an ? ? ( ) n ?1 ? n . 2 2 2 1 (Ⅱ )由(Ⅰ )得: an ? n ? n ? n . 2 1 1 1 1 所以 S n ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? n ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 ? ? 2 ? 3 ? ? n ?1? 2 ? 3 ? ? n 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n(n ? 1) ? 1 ? 1 ? n(n ? 1) . ?2 1 2 2n 2 1? 2
解得: q ?

?????? 5 分 ??????7 分

??????8 分 ??????9 分

?????? 13 分

(17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为 ?D ? 2?B , cos B ?

3 , 3

所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? ? 因为 ?D ? (0, π) ,

1 . 3

?????? 3 分

所以 sin D ? 1 ? cos 2 D ? 因为 AD ? 1, CD ? 3 ,

2 2 . 3

?????? 5 分

所以 △ ACD 的面积 S ?

1 1 2 2 AD ? CD ? sin D ? ? 1? 3 ? ? 2. 2 2 3

?????? 7 分 (Ⅱ)在△ ACD 中, AC 2 ? AD 2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 . 所以 AC ? 2 3 . 因为 BC ? 2 3 , ?????? 9 分

AC AB , ? sin B sin ?ACB

?????? 11 分

所以

2 3 AB AB AB AB . ? ? ? ? sin B sin(? ? 2 B) sin 2 B 2sin B cos B 2 3 sin B 3
?????? 13 分

所以 AB ? 4 . (18) (共 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 ln x ? x ? 1 .
2

f ?( x) ?

2 ?2( x 2 ? 1) ,x ?0. ? 2x ? x x ?2( x 2 ? 1) ? 0. x

?????? 2 分

令 f ?( x) ?

因为 x ? 0 , 所以 x ? 1 . 所以 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (1, ??) . (Ⅱ) f ?( x) ? ?????? 3 分 ?????? 4 分

2a ? 2( x 2 ? a ) , x ? 0. ? 2x ? x x
?????? 5 分

令 f '( x) ? 0 ,由 a ? 0 ,解得 x1 ? a , x2 ? ? a (舍去).

① 当 a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [1, ??) 上 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数. 所以 函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ; ?????? 7 分

② 当 a ? 1 ,即 a ? 1 时, x 在 [1, ??) 上变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表

x

(1, a )
+

a

( a,+
-

)

f '( x)

0

f ( x)

0



a ln a - a + 1



所以 函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f ( a ) ? a ln a ? a ? 1 . ?????? 10 分 综上所述:当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f ( a ) ? a ln a ? a ? 1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知:当 0 ? a ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立; ?????? 11 分 当 a ? 1 时,由于 f ( x) 在区间 [1, a ] 上是增函数, 所以 f ( a ) ? f (1) ? 0 ,即在区间 [1,??) 上存在 x ?

a 使得 f ( x) ? 0 .
?????? 13 分

综上所述, a 的最大值为.

?????? 14 分

(19) (共 13 分) (Ⅰ)解:由题意知: S1 ? 解得: a1 ? 1 . (Ⅱ)证明:因为 S n ?

1 ? a1 1 ? a1 ,即 a1 ? . 2 2
?????? 2 分

n(1 ? an ) (n ? 1, 2,3, ) , 2 (n ? 1)(1 ? an ?1 ) 所以 S n ?1 ? ( n ≥ 2 ). 2
因为 an ? S n ? S n ?1 ( n ≥ 2 ). 所以 an ?

?????? 4 分 ?????? 6 分

nan ? 1 ? (n ? 1)an ?1 ,即 ( n ? 2)an ? 1 ? ( n ? 1)an ?1 ( n ? 2) . 2
?????? 7 分

(Ⅲ)数列 {an } 是等差数列.理由如下: 又 Sn?2 ?

?????? 8 分

(n ? 2)(1 ? an ? 2 ) (n≥3) ,由(Ⅱ)可得: 2 (n ? 1)an ?1 ? 1 ? (n ? 2)an ? 2 an ?1 ? S n ?1 ? S n ? 2 ? ( n ≥ 3 ). 2

?????? 9 分

所以 an ? an ?1 ?

nan ? 2(n ? 1)an ?1 ? (n ? 2)an ? 2 , 2
?????? 11 分

即 (n ? 2)an ? 2(n ? 2)an ?1 ? (n ? 2)an ? 2 ? 0 . 因为 n ≥ 3 , 所以 an ? 2an ?1 ? an ? 2 ? 0 ,即 an ? an ?1 ? an ?1 ? an ? 2 ( n ≥ 3 ). 所以 数列 {an } 是以 1 为首项, a2 ? 1 为公差的等差数列.

?????? 13 分

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? 所以 f ?(?1) ? ?
1 . 24

10 x ? 16 . (5 x 2 ? 16 x ? 23) 2

1 1 所以 L 的方程为 y ? 1 ? ? 1 ( x ? 1) ,即 y ? ? x ? . ?????? 3 分 24 24 12 24 1 1 (Ⅱ)要证除切点 (?1, ) 之外,曲线 C 在直线 L 的下方,只需证明 ?x ? (??, ?1) (?1, ? ) , 12 5
1 1 1 恒成立. ?? x? 5 x ? 16 x ? 23 24 24
2

因为 5 x 2 ? 16 x ? 23 ? 0 , 所以 只需证明 ?x ? (??, ?1)

1 3 2 (?1, ? ) , 5 x ? 11x ? 7 x ? 1 ? 0 恒成立即可. 5 ?????? 5 分

1 设 g ( x) ? 5 x3 ? 11x 2 ? 7 x ? 1 ( x ≤ ? ). 5

则 g ?( x) ? 15 x 2 ? 22 x ? 7 ? ( x ? 1)(15 x ? 7) . 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1 , x2 ? ?
7 . 15

?????? 6 分

1 当 x 在 (??, ? ] 上变化时, g '( x), g ? x ? 的变化情况如下表 5
x

(??, ?1)
+ ↗

?1

(?1, ?

7 ) 15

-

7 15

(-

7 1 ,- ) 15 5
+ ↗

?

1 5

g '( x)

0 0



0

g ( x)

0

所以 ?x ? (??, ?1)

1 3 2 (?1, ? ) , 5 x ? 11x ? 7 x ? 1 ? 0 恒成立. 5

?????? 8 分

1 1 1 (Ⅲ) (ⅰ)当 x1 ? ? , x2 ? ? , 且 x3 ? ? 时, 5 5 5 1 1 1 ≤ ? x1 ? 由(Ⅱ)可知: f ( x1 ) ? 2 , 5 x1 ? 16 x1 ? 23 24 24 1 1 1 1 1 1 f ( x2 ) ? ≤ ? x2 ? , f ( x3 ) ? 2 . ≤? x3 ? 2 5 x2 ? 16 x2 ? 23 24 24 5 x3 ? 16 x3 ? 23 24 24

三式相加,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? ? 因为 x1 ? x2 ? x3 ? ?3 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ≤

1 1 ( x1 ? x2 ? x3 ) ? . 24 8

1 ,且当 x1 ? x2 ? x3 ? ?1 时取等号. ?????? 11 分 4

1 (ⅱ)当 x1 , x2 , x3 中至少有一个大于等于 ? 时, 5 1 8 51 1 8 51 不妨设 x1 ≥ ? ,则 5 x12 ? 16 x1 ? 23 ? 5( x1 ? )2 ? ≥ 5(? ? ) 2 ? ? 20 , 5 5 5 5 5 5 8 51 51 8 51 51 因为 5 x2 2 ? 16 x2 ? 23 ? 5( x2 ? ) 2 ? ≥ , 5 x32 ? 16 x3 ? 23 ? 5( x3 ? ) 2 ? ≥ , 5 5 5 5 5 5

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )≤

1 5 5 1 ? ? ? . 20 51 51 4 1 .?????? 14 分 4

综上所述,当 x1 ? x2 ? x3 ? ?1 时 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 取到最大值


相关文章:
2015届海淀区高三第一学期期中数学理科试题
2015届海淀区高三第一学期期中数学理科试题_数学_高中教育_教育专区。北京海淀 高考海淀区高三年级第一学期期中练习 数求的一项。 学(理) 2014.11 一、选择题共...
北京市海淀区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题解析版
北京市海淀区2015届高三上学期期末考试数学(理)试题解析版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。各各都有解析,图文并茂解释答案海淀区高三年级第一学期期末练习 2015....
北京市海淀区2017届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)
北京市海淀区2017届高三学期期中考试数学理试题(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科)作答无效。考试结束后,将...
北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学试题及参考答案(理)
北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学试题及参考答案(理)_数学_高中教育_...海淀区高三年级第一学期期中试卷 数学(理科) 2015.11 本试卷共4页,150分....
北京市海淀区2015届高三第一学期期中练习 数学理
北京市海淀区2015届高三第一学期期中练习 数学理_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学(理) 2014.11 本试卷共 4 页,150 分。考试时...
北京市海淀区2015届高三上学期期中考试理科数学
北京市海淀区2015届高三学期期中考试理科数学_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学(理) 2014.11 本 试卷共 4 页,150 分。考试时...
海淀区2015-2016高三期中数学理科含答案详解
海淀区2015-2016高三期中数学理科含答案详解_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学 海淀区高三年级第一学期期中练习 数学(理科) 2015.11 本试卷共 4 页,...
北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学(理)试题
北京市海淀区2016届高三学期期中考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。...海淀区高三年级第一学期期中练习 数学 (理科) 2015.11 本试卷共4页,150分....
北京市海淀区2015-2016学年度高三年级第一学期期中数学理科试题
北京市海淀区2015-2016学年度高三年级第一学期期中数学理科试题_高三数学_数学_...所 ---3 分根据正 以 弦 定 理 , 有 B D ? s ?Ai ? n A A , ...
更多相关标签:
2016海淀区高三期中 | 2017海淀区高三期中 | 海淀区高三期中考试 | 2017年海淀区高三期中 | 海淀区高三期中排名 | 海淀区高三期中语文 | 海淀区高三期中物理 | 海淀区高三期中数学 |