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圆锥曲线与三角形面积


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圆锥曲线与三角形面积
错误!未指定书签。 . (2013 年高考山东卷(文) )在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦

点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率为 (I)求椭圆 C 的方程

2 2

(II)A,B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为 P,设 OP ? tOE ,求实数 t 的值.

6 的任意两点,E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 与点 4

错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(文) )如图,已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O ,长轴均为 MN

且在 x 轴上,短轴长分别为 2m , 2n (m ? n) ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵 坐标从 大到小依次为 A,B,C,D.记 ? ?

m ,△ BDM 和△ ABN 的面积分别为 S1 和 S 2 . n

(Ⅰ)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (Ⅱ)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合 的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由.

y
A B

M

O
C
D
第 22 题图

N x

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错误!未指定书签。 . (2013 年高考重庆卷(文) )如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率

e?

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A 、 A? 两点, AA? ? 4 . 2
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx (Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? ,过 P 、 P? 作圆心为 Q 的圆,使椭圆上的其 余点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方程.

x2 y2 3 [2011· 湖南卷] 如图 1-9,椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,x 轴被曲线 C2:y=x2-b 截得 a b 2 的线段长等于 C1 的长半轴长. (1)求 C1,C2 的方程; (2)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交于点 D,E. ①证明:MD⊥ME; S1 17 ②记△MAB,△MDE 的面积分别为 S1,S2.问:是否存在直线 l,使得 = ?请说明理由. S2 32

图 1-10

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2 2

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x y 6 课标文数 19.H8[2011· 北京卷] 已知椭圆 G: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0), a b 3 斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.

24.【2102 高考北京文 19】(本小题共 14 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 2 + 2 =1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0) ,离心率为 , 直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交 2 a b 2

与不同的两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为

10 时,求 k 的值 3

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34.【2012 高考江西文 20】 (本小题满分 13 分) 已知三点 O (0,0) , A (-2,1) , B (2,1) , 曲线 C 上任意一点 M (x,y) 满足 (1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线 C 上动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l,点 P 的坐标是(0,-1) ,l 与 PA,PB 分别交于点 D,E,求△QAB 与△PDE 的面积之比。

36.【2012 高考重庆文 21】本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分) 已知椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,上顶点为 A ,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 OF1 , OF2 中点分别为 B1 , B2 ,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形。 (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 作直线交椭圆于 P, Q , PB2 ? QB2 ,求△ PB2Q 的面积 的

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29. 【2012 高考浙江文 22】 本题满分 14 分) 如图, 在直角坐标系 xOy 中, 点P (1, ) 到抛物线 C:y 2 =2px (P>0)的准线的距离为 OM 平分。

1 2

5 。点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 4

(1)求 p,t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。

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错误!未指定书签。 . (2013 年高考山东卷(文) ) 【答案】

将 x ? m 代入椭圆方程 x ?
2

y2 ? 1 ,得 2

错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(文) ) 【答案】依题意可设椭圆 C1 和 C2 的方程 分别为

m x2 y 2 x2 y 2 C , : ? ? 1 ? 2 ? 1 . 其中 a ? m ? n ? 0 , ? ? ? 1. 2 2 2 2 n a m a n (Ⅰ)解法 1:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合,即直线 l 的方程为 x ? 0 ,则 S | BD | 1 1 1 1 . S1 ? | BD | ? | OM | ? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON | ? a | AB | ,所以 1 ? 2 2 2 2 S2 | AB |
C1 :

在 C1 和 C2 的方程中分别令 x ? 0 ,可得 y A ? m , yB ? n , yD ? ?m ,

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于是 若

| BD | | yB ? yD | m ? n ? ? 1 ? ? ? . | AB | | y A ? yB | m ? n ? ? 1

S1 ? ?1 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . ? ? ,则 ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 . 解法 2:如图 1,若直线 l 与 y 轴重合 ,则 | BD | ? | OB | ? | OD | ? m ? n , | AB | ? | OA | ? | OB | ? m ? n ;

1 1 1 1 | BD | ? | OM |? a | BD | , S2 ? | AB | ? | ON |? a | AB | . 2 2 2 2 S1 | BD | m ? n ? ? 1 ? ? 所以 ? . S2 | AB | m ? n ? ? 1 S1 ?


S1 ? ?1 ? ? ,化简得 ? 2 ? 2? ? 1 ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得 ? ? 2 ? 1 . ? ? ,则 ? ?1 S2

故当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,则 ? ? 2 ? 1 .

y

A B

y
A

M

O C
D 第 22 题解答图 1

N x

M

O
C
D

B

N x

第 22 题解答图 2

(Ⅱ)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? ,所以 d1 ? d2 . 1? k 1? k 1? k2 S | BD | 1 1 又 S1 ? | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? ? ? ,即 | BD |? ? | AB | . 2 2 S2 | AB | 由对称性可知 | AB | ?| CD | ,所以 | BC | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,
1? k
2 2 2

| ? ak ? 0 |

?

ak

, d2 ?

| ak ? 0 |

?

ak

| AD | ? | BD | ? | AB | ? (? ? 1) | AB | ,于是

| AD | ? ? 1 . ? | BC | ? ? 1
将 l 的方程分别与 C1,C2 的方程联立,可求得 am an xA ? , xB ? . a 2 k 2 ? m2 a 2 k 2 ? n2 根据对称性可知 xC ? ? xB , xD ? ? xA ,于是



1 ? k 2 | xA ? xD | 2 xA m a2 k 2 ? n2 | AD | . ? ? ? 2 2 2 | BC | 1 ? k 2 | xB ? xC | 2 xB n a k ? m
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从而由①和②式可得
a 2 k 2 ? n2 ? ?1 ? . a 2 k 2 ? m2 ? (? ? 1)



n 2 (? 2 t 2 ? 1) ? ?1 ,则由 m ? n ,可得 t ? 1,于是由③可解得 k 2 ? 2 . a (1 ? t 2 ) ? (? ? 1) n 2 (? 2 t 2 ? 1) ?0, 因为 k ? 0 ,所以 k 2 ? 0 . 于是③式关于 k 有解,当且仅当 2 2

令t ?

a (1 ? t )

等价于 (t 2 ? 1)(t 2 ? 即

1

?

2

) ? 0 . 由 ? ? 1 ,可解得

1

?

? t ?1,

1

?

?

? ?1 ? 1 ,由 ? ? 1 ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? (? ? 1)

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 . 解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 . 根据对称性, 不妨设直线 l : y ? kx (k ? 0) , 点 M (?a, 0) , N (a, 0) 到直线 l 的距离分别为 d 1 , d 2 ,则 因为 d1 ? ,所以 d1 ? d2 . 1? k 1? k 1? k2 S | BD | 1 1 又 S1 ? | BD | d1 , S2 ? | AB | d2 ,所以 1 ? ?? . 2 2 S2 | AB |
1? k
2 2 2

| ? ak ? 0 |

?

ak

, d2 ?

| ak ? 0 |

?

ak

因为

x 1 ? k 2 | xB ? xD | xA ? xB ? ?1 | BD | . ? ? ? ? ,所以 A ? 2 | AB | xB ? ? 1 1 ? k | xA ? xB | xA ? xB

由点 A( xA , kxA ) , B( xB , kxB ) 分别在 C1,C2 上,可得
x A 2 ? xB 2 k 2 ( x A 2 ? ? 2 x B 2 ) xA 2 k 2 x A 2 xB 2 k 2 xB 2 ? ?0, , , 两式相减可得 ? ? 1 ? ? 1 a2 m2 a2 m2 a2 n2

依题意 xA ? xB ? 0 ,所以 xA2 ? xB 2 . 所以由上式解得 k 2 ?

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) . a 2 ( ? 2 xB 2 ? x A 2 )

因为 k 2 ? 0 ,所以由

m 2 ( x A 2 ? xB 2 ) x ? 0 ,可解得 1 ? A ? ? . 2 2 2 2 a (? xB ? x A ) xB

从而 1 ?

? ?1 ? ? ,解得 ? ? 1 ? 2 ,所以 ? ?1

当 1 ? ? ? 1 ? 2 时,不存在与坐标 轴不重合的直线 l,使得 S1 ? ? S2 ; 当 ? ? 1 ? 2 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S1 ? ? S2 .
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错误!未指定书签。 . (2013 年高考重庆卷(文) )

c 3 课标理数 21.H5,H7,H8[2011· 湖南卷] 【解答】 (1)由题意知,e= = ,从而 a=2b.又 2 b=a, a 2 解得 a=2,b=1. x2 故 C1,C2 的方程分别为 +y2=1,y=x2-1. 4 (2)①由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx. ?y=kx, ? 由? 得 x2-kx-1=0. 2 ?y=x -1 ?
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设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1,x2 是上述方程的两个实根, 于是 x1+x2=k,x1x2=-1. 又点 M 的坐标为(0,-1),所以 y1+1 y2+1 ?kx1+1??kx2+1? kMA· kMB= · = x1 x2 x1x2 2 k x1x2+k?x1+x2?+1 = x1x2 -k2+k2+1 = =-1. -1 故 MA⊥MB,即 MD⊥ME. ②设直线 MA 的斜率为 k1,则直线 MA 的方程为 ? ?y=k1x-1, y=k1x-1,由? 解得 2 ?y=x -1 ?
?x=0, ?x=k1, ? ? ? 或? 2 ? ? ?y=-1 ?y=k1-1.

则点 A 的坐标为(k1,k2 1-1). 1 1 1 - , 2-1?. 又直线 MB 的斜率为- ,同理可得点 B 的坐标为? k ? 1 k1 ? k1 2 1 1 1 ? 1 ? 1+k1 - = 于是 S1= |MA|· |MB|= 1+k2 |k1|· 1+ 2· . 1· 2 2 k1 ? k1? 2|k1| ? ?y=k1x-1, 2 2 由? 2 得(1+4k1 )x -8k1x=0. 2 ?x +4y -4=0 ?
?x=0, ? 解得? ?y=-1 ?

? ?x=1+4k , 或? 4k -1 ?y=1+4k . ?
2 1 2 1 2 1 2

8k1

? 8k1 ,4k1-1?. 则点 D 的坐标为? 2? ?1+4k2 1 1+4k1?

2 1 ?-8k1,4-k1?. 又直线 ME 的斜率为- ,同理可得点 E 的坐标为? ? 2 k1 ?4+k1 4+k2 1? 32?1+k2 |k1| 1 1?· 于是 S2= |MD|· |ME|= . 2 2 ?1+4k2 ?? k + 4? 1 1 4 S1 1 4k2+ 2+17?. 因此 = ? ? S2 64? 1 k1 1? 2 4 17 由题意知, ?4k1+k2+17? = , ? 64 32 1 1 2 解得 k2 1=4,或 k1= . 4 1 k2 1- 2 k1 1 又由点 A,B 的坐标可知,k= =k1- , 1 k1 k1+ k1 3 所以 k=± . 2 3 3 故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为 y= x 和 y=- x. 2 2 c 6 课标文数 19.H8[2011· 北京卷] 【解答】 (1)由已知得,c=2 2, = . a 3

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解得 a=2 3. 又 b2=a2-c2=4,

x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m. y=x+m, ? ? 由? x2 y2 得 + =1 ? ?12 4 4x2+6mx+3m2-12=0.① 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0),则 x1+x2 3m x0= =- . 2 4 m y0=x0+m= . 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB. m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 解得 m=2. 此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0.所以 y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2. |-3-2+2| 3 2 此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· d= . 2 2 28. 【2012 高考新课标文 20】 (本小题满分 12 分)

? a?2 ? x2 y 2 2 ? c ? ? 1. ? 解: (1)由题意得 ? 解得 b ? 2 .所以椭圆 C 的方程为 4 2 a 2 ? 2 ?a ? b 2 ? c 2 ? ? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 (2)由 ? x 2 y 2 得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k ? 4 ? 0 . ?1 ? ? ?4 2
设 点 M,N 的坐标 分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? k ( x2 ?1) , x1 ? x2 ?

4k 2 , 1 ? 2k 2

2k 2 ? 4 x1 x2 ? . 1 ? 2k 2
2 2 2 2 所以|MN|= ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) = (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] =

2 (1 ? k 2 )(4 ? 6k 2 ) . 1 ? 2k 2

) 由因为点 A(2,0)到直线 y ? k ( x ? 1 的距离 d ?

|k| 1 ? 2k 2



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所以△AMN 的面积为 S ?

| k | 4 ? 6k 2 10 1 | k | 4 ? 6k 2 . 由 ,解得 k ? ?1 . ? | MN | ?d ? 2 2 1 ? 2k 3 2 1 ? 2k

34.【2012 高考江西文 20】 (本小题满分 13 分) 【解析】 (1) MA ? (?2 ? x,1 ? y) , MB ? (2 ? x,1 ? y) , OM ? ( x, y) , OA ? OB ? (0, 2)
2 2 代入式子可得 4 x ? 4(1 ? y ) ? 2 y ? 2 整理得 x2 ? 4 y

2 2 x0 x0 (2)设 Q( x0 , ) ;则 S?QAB ? 2(1 ? ) , kl ? y ? 4 4

x ? x0

?

x0 2

得: l : y ?

2 x0 x x2 x2 ? 0 ( x ? x0 ) 交 y 轴于点 M (0, ? 0 ) ? PM ? 1 ? 0 4 2 4 4 2 x0 x ? 0 ( x ? x0 ) 联立: 4 2

lPA : x ? y ? 1 ? 0, lPB : x ? y ?1 ? 0 与 l : y ?
可求 xD ?

x0 ? 2 x ?2 , xE ? 0 ? xD ? xE ? 2 2 2 2 x0 1 ? S?PDE ? ? xD ? xE ? PM ? 1 ? 2 4 ? SQAB : S?PDE ? 2

x2 y2 16 10 【答案】 : (Ⅰ) + =1(Ⅱ) 20 4 9

, OA ? B1B2 |

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(* ) 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ),
y1 ? y2 ?

则 y1 , y2 是上面方程的两根,因此 y1 ? y2 ?

4m , m2 ? 5

?16 又 B1P ? ( x1 ? 2, y1 ), B2 P ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 B1P ? B2 P ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) m2 ? 5

? y1 y2 ? (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ?4m( y1 ? y2 ) ? 16 ?
?? 16m 2 ? 64 由 PB2 ? QB2 m2 ? 5

?16(m2 ? 1) 16m2 ? 2 ? 16 m2 ? 5 m ?5

,知 B2 P ? B2Q ? 0 ,即16m2 ? 64 ? 0

,解得 m ? ?2

当 m ? 2 时,方程(*)化为: 9 y2 ? 8 y ?16 ? 0 故 y1 ?
8 10 4 ? 4 10 4 ? 4 10 , | y1 ? y2 |? , y2 ? 9 9 9

PB2Q 的面积 S ?

1 16 10 | B1B2 || y1 ? y2 |? 2 9

当 m ? ?2

时,同理可得(或由对称性可

得) PB2Q 的面积 S ?
【解析】

16 10 16 10 综上所述, PB2Q 的面积为 。 9 9

1 ? 2 pt ? 1 ? ? ?p ? (1)由题意得 ? 2. p 5 ,得 ? 1? ? ? ? ? 2 4 ?t ? 1
(2)设 A( x1, y1 ), B ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点坐标为 Q(m, m) 由题意得,设直线 AB 的斜率为 k(k ? 0 ).

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由?

? y12 ? 2px1 ? ,得 ( y2 ? y1 )( y1 ? y2 ) ? k ( x2 ? x1 ) ,得 k ? 2m ? 1 2 y ? 2px ? ? 2 2
1 ( x ? m) ,即 x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 . 2m

所以直线的方程为 y ? m ?

2 ? ? x ? 2my ? 2m ? m ? 0 由? 2 ,整理得 y 2 ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 , ? ?y ? x

所以 ? 4m ? 4m2 , y1 ? y2 ? 2m , y1 y2 ? 2m2 ? m .从而得

AB ? 1 ?

1 y1 ? y2 ? 1 ? 4m2 4m ? 4m2 , 2 k

设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则

d?

1 ? 2m ? 2m 2 1 ? 4m 2

,设 ? ABP 的面积为 S,则 S ?

1 AB ? d ? 1 ? 2(m ? m 2 ) ? m ? m 2 . 2

2 由 ? ? 4m ? 4m ? 0 ,得 0 ? m ? 1 .

1 ,则 S ? t (1 ? 2t 2 ) . 2 1 2 设 S ? t (1 ? 2t 2 ) , 0 ? t ? ,则 S ? ? 1 ? 6t . 2
2 令t ? m?m ,0 ? t ?
2 由 S ? ? 1 ? 6t ? 0 ,得 t ?

6 ? 1? 6 6 ,故 ? ABP 的面积的最大值为 . ? ? 0, ? ,所以 S max ? 9 9 6 ? 2?

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