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北师大版高二数学选修2-1《圆锥曲线》单元试卷及答案


北师大版高二数学选修 2-1《圆锥曲线》 单元试卷及答案
选修 2-1 第三单元
命题人:秦天武
(90 分钟完卷,总分 150 分) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 6 分,共 60 分) 1.对于椭圆 C1:

x2 y2 ? ? 1 ( a?b?0)焦点为顶点,以椭圆 C1 的顶点为焦点的双曲线 C2,下 a2 b2

2

列结论中错误的是( A. C2 的方程为

x y2 ? ?1 a2 ? b2 b2

B. C1、C2 的离心率的和是 1 D.短轴长等于虚轴长 )

C. C1、C2 的离心率的积是 1 2、双曲线

y2 x2 ? ? 1 的渐近线方程是( 3 4

A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ?

2 3 x 3

C. y ? ? ). C. y ?

3 x 4

D. y ? ?

4 x 3

3、抛物线 y ? ? A. x ?

1 2 x 的准线方程是( 8
B. y ? 2

1 32

1 32

D. y ? ?2

4、已知 | AB |? 4 ,点 P 在 A、B 所在的平面内运动且保持 | PA | ? | PB |? 6 ,则 | PA | 的最大 值和最小值分别是 A. 5 、3
2

(

) C.5、1 D.6、4 )

B.10、2

5、抛物线 y ? 12x 上与焦点的距离等于 8 的点的横坐标是( A、2
2

B、3
2

C、4

D、5

6、若双曲线与 x ? 4 y ? 64 有相同的焦点,它的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,则双曲 线的方程是( A. ) C.
0

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 B. ? ?1 36 12 36 12

x2 y2 ? ? ?1 36 12

D.

y2 x2 ? ? ?1 36 12

7.若双曲线的两条渐进线的夹角为 60 ,则该双曲线的离心率为 A.2 B.
2

6 3
2

C.2 或

6 3

D.2 或

2 3 3
).

8、与圆 x +y -4y=0 外切, 又与 x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( 1

A. y =8x 2 C. x =8y (y>0)

2

B. y =8x (x>0) 和 y=0 2 D. x =8y (y>0) 和 x=0 (y<0)

2

x2 x2 2 ? y ? 1 (m ? 1) 与双曲线 ? y 2 ? 1 (n ? 0) 有相同的焦点 F1、F2,P 是两 9、若椭圆 m n 曲线的一个交点,则 ?F1 PF2 的面积是( )
A.4 B.2 C.1 D.
1 2

y2 ? a 2 (a ? 0) 与 A(2,1) 10、已知椭圆 x ? ,B(4,3)为端点的线段没有公共点, 2
2

则 a 的取值范围是( A. 0 ? a ?

) B. 0 ? a ?

3 2 2
1 3

3 2 82 或a ? 2 2

C. 0 ? a ?

D.

3 2 82 ?a? 2 2

二、填空题: (5 分×4=20 分)

11. 与 椭 圆

x2 y2 ? ?1 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程 4 3

是 。 12.双曲线的实轴长为 2a, F1, F2 是它的左、 右两个焦点, 左支上的弦 AB 经过点 F1, 且|AF2|、 |AB|、|BF2|成等差数列,则|AB|= . 13. 设 F1 、F2 是双曲线 x ? y ? 4 的两焦点, Q 是双曲线上任意一点, 从 F1 引 ?FQF 1 2平
2 2

分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹方程是



x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 14.若方程 4 ? t t ?1
①若 C 为椭圆,则 1<t<4; ③曲线 C 不可能是圆; ②若 C 为双曲线,则 t>4 或 t<1; ④若 C 表是椭圆,且长轴在 x 轴上,则 1 ? t ?

3 . 2

其中真命题的序号为 (把所有正确命题的序号都填在横线上) 三 、解答题: (本大题共 4 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题 15 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2, 且 F1 F2 ? 2 13 ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为 4,离心率之比为 3:7。求这两条 曲线的方程。

2

16.(本小题 20 分)设双曲线:

y2 x2 ? ? 1 的焦点为 F1,F2.离心率为 2。 3 a2

(1)求此双曲线渐近线 L1,L2 的方程; (2)若 A,B 分别为 L1,L2 上的动点,且 2 AB ? 5 F1 F2 ,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程,并 说明轨迹是什么曲线。

17. (本小题 15 分)抛物线 y 2 ? 4 x 上有两个定点 A、B 分别在对称轴的上下两侧,F 为抛物 线的焦点,并且|FA|=2,|FB|=5,在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P,使△PAB 的面积最大, 并求这个最大面积.

18. (本小题 20 分)如图:直线 L: y ? mx ? 1 与椭圆 C: ax ? y ? 2(a ? 0) 交于 A、B
2 2

两点,以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB。 (1) 求证:椭圆 C: ax ? y ? 2(a ? 0) 与直线 L: y ? mx ? 1 总有两个交点。
2 2

(2) 当 a ? 2 时,求点 P 的轨迹方程。 (3)是否存在直线 L,使 OAPB 为矩形?若存在,求出此时直线 L 的方程;若不存在,说 明理由。

3

高二数学选修 2—1 圆锥曲线单元测试参考答案: 1---10 BABCD 11、 ADDCB

y2 x2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1或 25 25 8 6 3 4

12、4a 13、 x 2 ? y 2 ? 4 14、 (2)
2 x2 y2 x2 y 15、解:设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 ,双曲线得方程为 2 ? 2 ? 1 ,半焦距 c a 2 b2 a1 b1

= 13 由已知得:a1-a2=4
c c : ? 3 : 7 ,解得:a1=7,a2=3 a1 a 2

所以:b12=36,b22=4,所以两条曲线的方程分别为:
x2 y2 x2 y2 ? ?1 , ? ?1 49 36 9 4

16、解: (1)由已知双曲线的离心率为 2 得:

a2 ? 3 2 ? 2 解得 a =1,所以双曲线 a

的方程为
y2 ?
x x x2 ? 1 ,所以渐近线 L1,L2 的方程为 y ? ?0和y? =0 3 3 3

(2) c2=a2+b2=4, 得 c=2 , 所以 F1 F2 ? 2c ? 4 , 又 2 AB ? 5 F1 F2 所以 AB =10 设 A 在 L1 上,B 在 L2 上,设 A(x1 ,
x1 3 ) ,B(x2,- x2 3 )

所以 ( x1 ? x2 ) 2 ? (

x1 3

?

x2

1 ) 2 ? 10 即 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 10 3 3
x1 ? x 2 x ? x2 ,y= 1 2 2 3

设 AB 的中点 M 的坐标为(x,y) ,则 x=

4

所以 x1+x2=2x , x1-x2=2 3 y
x2 3y 2 1 ? ?1 所以 (2 3 y) 2 ? ? 4 x 2 ? 10 整理得: 75 25 3

所以线段 AB 中点 M 的轨迹方程为:

x2 3y 2 ? ? 1 ,轨迹是椭圆。 75 25

17、解:由已知得 F (1,0) ,不妨设点 A 在 x 轴上方且坐标为 ( x1 , y1 ) , 由 FA ? 2 得 x1 ? 1 ? 2, x1 ? 1 所以 A(1,2),同理 B(4,-4), 所以直线 AB 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 .

设在抛物线 AOB 这段曲线上任一点 P( x0 , y0 ) ,且 1 ? x0 ? 4,?4 ? y0 ? 2 .
2 y0 2? ? y0 ? 4 4

则点 P 到直线 AB 的距离 d=

2 x0 ? y 0 ? 4 1? 4

?

5

1 9 ( y 0 ? 1) 2 ? 2 2 ? 5

所以当 y0 ? ?1 时,d 取最大值

9 5 ,又 AB ? 3 5 10
1 1 9 5 ?3 5 ? ? 27, 此时 P 点坐标为 ( ,?1) . 4 2 10

所以△PAB 的面积最大值为 S ?

5


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