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2013年江门一模文科数学


2013 年文科数学江门一模卷

江门市 2013 年高考模拟考试

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
⒈已知 ( x ? y ? 3) ? ( y ? 4) i ? 0 ,其中 x , y ? R , i 是虚数单位,则 x ? A. 1 B. ? 1 C. 7 D. ? 7 ⒉函数 f ( x) ? lg?1 ? x ? 的定义域是 A. (?? , 0) B. (0 , ? ?) C. (?? , 1)
频率/组距 0.26 0.22 0.18 0.12 0.10

D. (1 , ? ?)

⒊如图是根据某城市部分居民 2012 年 月平均用水量(单位:吨)绘制的样本 频率分布直方图,样本数据的分组为 [1,2) ,[2,3) ,[3,4) ,??,[6,7]. 已知样本中月均用水量低于 4 吨的户数为 102,则样本中月均用水量不低于 4 吨的户数为 A.168 B.178

1

2

3

4

5

6

7 月均用水量/吨

C.188

D.198

⒋以 ( 1 , 0 ) 为圆心,且与直线 x ? y ? 3 ? 0 相切的圆的方程是 A. ( x ? 1) ? y ? 8
2 2

B. ( x ? 1) ? y ? 8
2 2

C. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16

D. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 16

⒌设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面。给出下列四个命题: ①若 m ? ? , ? // ? ,则 m // ? ②若 m 、 n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ④若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ?
开始 输入 n

③若 m ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 n ? ? 其中,正确命题的个数是 A.1 B.2

C.3

D.4

k ? 1, p ? 1 p ? p?k
k?n k ? k ?1


⒍已知 ABCD 是边长为 2 的正方形, E 、 F 分别是 BC 、 CD 的中点,则 AE ? AF ? A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

⒎执行程序框图,如果输入 n ? 5 ,那么输出的 p ?
输出



p

A.24

B.120

C.720

D.1440
结束 -1-/6

2013 年文科数学江门一模卷 ⒏已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 , 其中 a ? ( 0 , 2 ] ,b ? ( 0 , 2 ] , 在其取值范围内任取实数 a 、b , 则函数 f (x)
2

在区间 [ 1 , ? ? ) 上为增函数的概率为 A.

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4

⒐等轴双曲线 ? 的中心在原点,焦点在 x 轴上, ? 与抛物线

y?

1 2 x 的准线交于 P 、 Q 两点,若 | PQ |? 4 ,则 ? 的实轴长为 4
B. 3 C. 2 D. 3

A. 2 3

⒑设命题 p :函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象向左平移

? 单位得到的曲线关于 y 轴对称; 6
D. p ? q 为真

命题 q :函数 y ?| 3 x ? 1 | 在 [ ? 1 , ? ? ) 上是增函数.则下列判断错误的是 .. A. p 为假 B. ? q 为真 一、选择题 BCDAB CBDAD C. p ? q 为假

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)
⒒某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x (万元) 销售额 y (万元) 2 20 3 33 4 43 5 48

根据上表数据用最小二乘法求得 y 关于 x 的线性回归方程 y ? b x ? a 中, b ? 9.4 ,则据此模型预测,广告 费用为 6 万元时,销售额约为 .
0 ⒓已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边 a 、 b 、 c 满足 (a ? b) 2 ? c 2 ? 6 且 C ? 60 ,则 ?ABC 的面积

?

?

?

S?


2 2 2 2 ?

⒔观察下列各式: 5 ? 1 ? 24 , 7 ? 1 ? 48 , 11 ? 1 ? 120 , 13 ? 1 ? 168??,所得结果都是 24 的倍数。 依此类推: ?n ? N , 是 24 的倍数. (本题填写一个适当的关于 n 的代数式即可)

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ? x ? 1 ? cos? ⒕(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程是 ? ( ? 为参数, y ? sin ? ?
0 ? ? ? 2? ) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ⒖(几何证明选讲选做题)如图, AB 为圆 O 的直径, .

D

C

C 为圆 O 上一点, CD 为圆 O 的切线, AD ? CD 。
若 AB ? 5 , AC ? 4 ,则 AD ? .

A

O

?

B

二、填空题

⒒ 59 .5 万元(无单位或单位错误扣 1 分) ⒕ ? ? 2 cos? ⒖



3 2

⒔ (6n ? 1) ? 1、(6n ? 1) ? 1或
2 2

其他等价代数式

16 5
-2-/6

2013 年文科数学江门一模卷 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? cos x ? 2 cos2 x ? 1 , x ? R . ⑴求 f (x) 的最大值; ⑵若点 P(?3 , 4) 在角 ? 的终边上,求 f (? ? :⑴ f ( x) ? sin 2 x ? cos2 x ??2 分

?
8

) 的值.

? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ??5 分(其中, 2 ”1 分, “ “

? ”2 分) 4

所以 f (x) 的最大值为 2 ??6 分。 ⑵由⑴得 f (? ?

?
8

) ? 2 sin[ 2(? ?

?
8

)?

?
4

] ? 2 sin( 2? ?

?
2

) ??7 分

? 2 cos 2? ??8 分
3 P(?3 , 4) 在角 ? 的终边上, cos ? ? ? ??10 分(这 2 分与上面 2 分相互独立) 5
所以 f (? ?

?
8

) ? 2 2 cos 2 ? ? 2 ??11 分

??

7 2 ??12 分. 25

⒘(本小题满分 14 分) 甲、乙两药厂生产同一型号药品,在某次质量检测中,两厂各有 5 份样品送检,检测的平均得分相等(检测 满分为 100 分,得分高低反映该样品综合质量的高低) 。成绩统计用茎叶图表示如下: 甲 9 8 2 1 0 ⑴求 a ; ⑵某医院计划采购一批该型号药品,从质量的稳定性角度考虑,你认为采购哪个药厂的产品比较合适? ⑶检测单位从甲厂送检的样品中任取两份作进一步分析,在抽取的两份样品中,求至少有一份得分在(90, 100] 之间的概率. ⑴依题意, 8 9 4 乙 8 9 6

a

88 ? 89 ? 90 ? 91 ? 92 84 ? 88 ? 89 ? (90 ? a) ? 96 ? ??2 分 5 5 解得 a ? 3 ??3 分。 1 2 2 2 2 2 2 ⑵ s甲 ? [(88 ? 90) ? (89 ? 90) ? (90 ? 90) ? (91 ? 90) ? (92 ? 90) ] ? 2 5 1 2 s乙 ? [(84 ? 90) 2 ? (88 ? 90) 2 ? (89 ? 90) 2 ? (93 ? 90) 2 ? (96 ? 90) 2 ] ? 17.2 5

??5 分, (列式 1 分,求值 1 分)

??7 分, (列式 1 分,求值 1 分)
2 2 s甲 ? s乙 ,从质量的稳定性角度考虑,采购甲药厂的产品比较合适??8 分。

⑶从甲厂的样品中任取两份的所有结果有: (88,89)(88,90)(88,91)(88,92)(89,90)(89,91)(89,92) , , , , , , , (90,91)(90,92)(91,92)??10 分,共 10 种??11 分,其中至少有一份得分在(90,100]之间的所有结果有: , , (88,91)(88,92)(89,91)(89,92)(90,91)(90,92)(91,92)??12 分,共 7 种??13 分,所以在抽取 , , , , , , 的样品中,至少有一份分数在(90,100]之间的概率 P ?

7 ??14 分. 10

-3-/6

2013 年文科数学江门一模卷 ⒙(本小题满分 14 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上除 A 、 B 外的一点, ?AED 在平面 ABC 的投影恰好是 ?ABC .已 知 CD ? BE , AB ? 4 , tan ?EAB ?

1 . 4

D

⑴证明:平面 ADE ? 平面 ACD ; ⑵当三棱锥 C ? ADE 体积最大时,求三棱锥 C ? ADE 的高. 证明与求解:⑴因为 AB 是直径,所以 BC ? AC ??1 分,因为 ?ABC 是 ?AED 的投影,所以 CD ? 平面 ABC , CD ? BC ??2 分, 因为 CD ? AC ? C ,所以 BC ? 平面 ACD ??3 分
A

C

E

O

?

B

因为 CD ? 平面 ABC , BE ? 平面 ABC ,所以 CD // BE ??4 分,又因为 CD ? BE ,所以 BCDE 是平 行四边形, BC // DE , DE ? 平面 ACD ??5 分,因为 DE ? 平面 ADE ,所以平面 ADE ? 平面 ACD ??6 分

1 ? 1 ??7 分, 4 1 1 1 由⑴知 VC ? ADE ? VE ? ACD ? ? S ?ACD ? DE ? ? ? AC ? CD ? DE ??8 分, 3 3 2 1 1 1 4 ? ? AC ? BC ??9 分,? ? ( AC 2 ? BC 2 ) ? ? AB 2 ? ,等号当且仅当 AC ? BC ? 2 2 时成立?? 6 12 12 3
⑵依题意, EB ? AB ? tan ?EAB ? 4 ? 11 分, 此时, AD ? 1 ? (2 2 ) ? 3 , S ?ADE ?
2 2

VC ? ADE ?

1 ? S ?ADE 3

1 ? AD ? DE ? 3 2 ??12 分,设三棱锥 C ? ADE 的高为 h ,则 2 4 2 2 ? h ? ??13 分, h ? ??14 分. 3 3

⒚(本小题满分 12 分) 如图, 椭圆 ? : 的面积 S ? 4 . ⑴求椭圆的方程; ⑵设直线 2 2 x ? y ? 0 与椭圆 ? 相交于 M 、 N 两点, 在椭圆是是否存在点 P 、 Q ,使四边形 PMQN 为菱形? 若存在,求 PQ 的长;若不存在,简要说明理由. ⑴依题意 e ?

x2 y2 3 ? 2 ?1 a ? b ? 0) ( 的离心率 e ? , 椭圆的顶点 A 、B 、C 、D 围成的菱形 ABCD 2 2 a b
y D A

C O
B

x

a ?b 3 c 3 ??1 分,从而 , a ? 2b ??2 分 ? ? a 2 a 2 1 1 S ? ? AC ? BD ? ? (2a) ? (2b) ,即 ab ? 2 ??3 分,解得 a ? 2 ,b ? 1 ??4 分,椭圆的标准方程为 2 2
2 2

x2 ? y 2 ? 1 ??5 分 4
-4-/6

2013 年文科数学江门一模卷 ⑵存在??6 分

k MN ? ?2 2 , 根 据 椭 圆 的 对 称 性 , 当 直 线 PQ 是 线 段 MN 的 垂 直 平 分 线 时 , PMQN 为 菱 形 ,
k PQ ? ? 1 k MN ? 1 2 2
??8 分, PQ 所在直线的方程为 y ?

1 2 2

x ??9 分

? ? x2 2 6 ? 2 6 ? y 2 ? 1 ?x ? ?x ? ? ? ?4 ? 3 ,? 3 ??11 分 解? 得? ? ?y ? 1 x ?y ? 3 ?y ? ? 3 ? ? ? 2 2 ? 3 3 ? ?
所以, P(

2 6 3 2 6 3 , ? ) , PQ ? 2 3 ??12 分。 , ) , Q(? 3 3 3 3

⒛(本小题满分 14 分) 广东某企业转型升级生产某款新产品,每天生产的固定成本为 10000 元,每生产 1 吨,成本增加 240 元。已 知 该 产 品 日 产 量 不 超 过 600 吨 , 销 售 量 f (x) ( 单 位 : 吨 ) 与 产 量 x ( 单 位 : 吨 ) 之 间 的 关 系 为

1 ? 2 ? x ? 1600 x ? f ( x) ? ? ?7 x ?10 ?

0 ? x ? 480
,每吨产品售价为 400 元。

480 ? x ? 600

⑴写出该企业日销售利润 g (x) (单位:元)与产量 x 之间的关系式; ⑵求该企业日销售利润的最大值. :⑴ 0 ? x ? 480 时, g ( x) ? 400 ? ( x ?

1 x 2 ) ? (10000 ? 240 x) ??1 分 1600

1 ? ? x 2 ? 160 x ? 10000 ??2 分 4
480 ? x ? 600 时, g ( x) ? 400 ?

7 x ? (10000 ? 240 x) ? 40 x ? 10000 10

? 1 2 0 ? x ? 480; ?? x ? 160x ? 10000, ??4 分,所以 g ( x) ? ? 4 ??6 分 ?40x ? 10000, 480 ? x ? 600. ? 1 2 1 1 2 ⑵ 0 ? x ? 480 时, g ( x) ? ? x ? 160x ? 10000 ? ? ( x ? 320) ? 15600??8 分,因为 ? ? 0 , 4 4 4 320? [0 , 480] , 所 以 当 x ? 320 时 , g (x) 取 得 最 大 值 1 5 6 0 0 ? ? 10 分 ; 4 8 0? x ? 6 0 0时 , 元
g ( x) ? 40x ? 1 0 0 0 0 ,因为 40 ? 0 ,所以当 x ? 600 时, g (x) 取得最大值 40 ? 600 ? 10000 ? 14000 元??12
分。 因为 15600 ? 14000 ,所以该企业日销售利润最大为 15600 元??13 分。 答:??14 分

-5-/6

2013 年文科数学江门一模卷 21(本小题满分 14 分) ⑴证明:对 ?x ? 0 , ln x ? x ? 1 ;
? ? ⑵数列 ?an ? , 若存在常数 M ? 0 , n ? N , 都有 an ? M , 则称数列 ?an ? 有上界。 已知 bn ? 1 ?

试判断数列 ?bn ? 是否有上界.
/ .证明与求解:⑴设 g ( x) ? ln x ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 , ?x ? 0 。 g ( x ) ?

1 1 ??? , 2 n

1 ? 1 ??1 分,解 g / ( x) ? 0 得 x

x ? 1 ??2 分。

1 1 ? 1 ? 0 , g (x) 单调递增??3 分;当 x ? 1 时, g / ( x) ? ? 1 ? 0 , g (x) 单调 x x 递减??4 分,所以 g (x) 在 x ? 1 处取最大值,即 ?x ? 0 , g ( x) ? g (1) ? ln1 ? 1 ? 1 ? 0 , ln x ? x ? 1 ??6 分
/ 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ?

⑵数列 ?bn ? 无上界??7 分

1 1 1 1 1 n ?1 ?? 8 分 , x ? 1 ? ,由 ⑴得 ln(1 ? ) ? , ? ln ?? 10 分, 所以 n n n n n n 1 1 2 3 n ?1 bn ? 1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln ??12 分, ? ln(n ? 1) ??13 分, ?M ? 0 ,取 n 为任意一个 2 n 1 2 n

?n ? N ? , 设 x ? 1 ?

不小于 e 的自然数,则 bn ? ln(n ? 1) ? ln e M ? M ,数列 ?bn ? 无上界??14 分。
M

-6-/6


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