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云南师大附中2015届高考适应性月考卷(四)理科数学-答案


云南师大附中 2015 届高考适应性月考卷(四) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1.易得 M ? {x | ?4 ? x ? 1} , M 2. z ? ?2 ?
N ? {?2,? 1, 0} ,故选 C.

1 C

/>
2 D

3 D

4 C

5 C

6 B

7 A

8 A

9 B

10 B

11 A

12 D

2 ? ?1 ? i ,故选 D. 1? i
∴ ?4 ? 2 x ? 0, x ? ?2, ∴ a = (1, ? 2),a ? b = 10 ,故选 D. b,

3.∵a = (1,x),b ? (2,? 4),且a

4 3 4. 由C7 a ? 280 ,得a ? 2 ,故选 C.

1 1 2 5 . 因 为 a2 , a3 , a1成 等 差 数 列 , 所 以 a1 ? a2 ? 2 ? a3 ? a3 , 即 a1 ? a1 q? a 1 q, 所 以 2 2
q2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q ?
3? 5 ,故选 C. 2

a ? a6 (a3 ? a4 )q 2 1? 5 1? 5 ? 0 (舍去),所以 5 ? ? q2 或q ? 2 2 a3 ? a4 a3 ? a4

?

6. i ? 1 ? 50不成立,S = 0 + 2 = 2,i = 2 ? 1 + 2 = 4;
i ? 4 ? 50不成立,S ? 2 ? 2 ? 4,i ? 2 ? 4 ? 4 ? 12; i ? 12 ? 50不成立,S ? 4 ? 2 ? 6,i ? 2 ? 12 ? 6 ? 30; i ? 30 ? 50不成立,S ? 6 ? 2 ? 8,i ? 2 ? 30 ? 8 ? 68 ; i ? 68 ? 50成立,S ? 8 ,故选 B.

7. y? ? a x ln a, y? x ?0 ? ln a,切点为(0,1),切线方程为x ln a ? y ? 1 ? 0, ∴a ? 8.由三视图还原出几何图形如图 1,其中正视图由 SBC 面看入,
SD ? 平面ABCD,AB 与 DC 平行,
AB ? 2,DC ? 4,AD ? 3,SD ? 3,

1 ,故选 A. 2

理科数学参考答案·第 1 页(共 9 页)

1 1 V ? ? ? (2 ? 4) ? 3 ? 3 ? 9 ,故选 A. 3 2
9.作出不等式组表示的区域如图 2 阴影部分所示,由图可知,
z ? ax ? by(a ? 0,b ? 0) 过点 A(1, 1) 时取最大值,
图1

?a?b? 所以 a ? b ? 4 , ab ≤ ? ? ?4, ? 2 ?
∵ a ? 0,b ? 0,∴ ab ? (0, 4] ,故选 B.

2

10.由于 P 为抛物线 y 2 ? ?6 x 上一个动点,
Q 为圆 x2 ? ( y ? 6)2 ?

1 上一个动点, 4

图2

那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到 y 轴距离之和的最小值可结合抛物线的定义, P 到 y 轴 距离为 P 到焦点距离减去 为
3 17 ? 4 ,故选 B. 2

3 3 ,则最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径和 ,即 2 2

11. 取 △ ABC 外接圆圆心 F , 连接 AD 的中点即球心 O 与 F , 由球的性质可知 OF 与平面 ABC
? 6? 6 3 ? 垂直, AB ? BD ? 2 ,在 Rt△ AOF 中, AO ? 1 , AF ? ,故 OF ? 1 ? ? , ? ? ? 3 3 ? 3 ?
2

又 AD ? 2OA ,故 D 到平面 ABC 的距离 h ? 2OF ?
( 2) 2 ? 2 3 1 ? ,故选 A. 3 3

1 3 2 3 ? ,因此 VA? BCD ? VD ? ABC ? ? 3 4 3

12.∵ f ?( x) ? 2ex sin x,∴ x ? (2k ? ? ?, 2k ? ? 2?)时,f ?( x) ? 0,f ( x)递减,x ? (2k ? ? 2?, 2k ?
?3?)时, f ?( x) ? 0,f ( x)递增,故 当 x ? 2k ? ? 2?时, f ( x) 取 极 小 值 , 其 极 小 值 为

f (2k ? ? 2?) ? ?e2k ?? 2? , 又0 ≤ x ≤ 2015 ? , 所 以
S ? ?e 2 ? ? e 4 ? ? ? e2014 ? ? ?

f ( x) 的 各 极 小 值 之 和

e2 π (1 ? e2014 π ) ,故选 D. 1 ? e2 π

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 13 14
理科数学参考答案·第 2 页(共 9 页)

15

16

答案 【解析】 13.∵sin

?

1 9

1 5

(?3, 1)

(1, e)

?
2

?

?? 1 2 ? ,∴ cos( π ? ? ) ? ? cos ? ? ? ?1 ? 2sin 2 ? ? ? . 2? 9 3 ?

14. P ?

3 2 A2 1 2 ? A3 ? A 2 ? . 5 A5 5

s ? ,0则 f ( x) 在 定 义 域 内 为 增 函 数 , 15.∵ f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , f ?( x)? 2? c o x ∴f(mx ? 3 )? f ( x) ? 可变形为 0 f (mx ? 3) ? f (? x) ,∴ mx ? 3 ? ? x ,将其看作关于 m 的一

次函数 g (m) ? x ? m ? 3 ? x,m ? [?2, 2] , 可得当 m ? [?2, 2] 时,g (m) ? 0 恒成立, 若 x≥ 0 ,
g (2) ? 0 ,若 x ? 0 , g (?2) ? 0 ,解得 ?3 ? x ? 1 .

16.令 b ? a e ? 1 ,则 y ? a e ? b x , y ? e log a x ? log 1 x ? logb x ,即这两个函数互为反函数且为
ae

1

x

增函数,故其有两个交点等价于 y ? logb x 与 y ? x 有两个交点,即函数 f ( x) ? logb x ? x 有

1 两个零点.由 f ?( x) ? (logb e ? x) ? f ( x)max ? f (logb e) ? f (logb e) ? 0 ? 1 ? a ? e . x
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由正弦定理,得 sin C sin A ? 3 sin A cos C , 因为 sin A ? 0 , 解得 tan C ? 3,又C ? (0, ?), ∴C ?

? . 3

…………………… (4 分)

(Ⅱ)由 sin C ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A ,得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A , 整理,得 sin B cos A ? 3sin A cos A . 若 cos A ? 0 ,则 A ? ……………………………………………(6 分) ………(7 分)

1 7 3 ? 21 ? c , ? tan ,b ? ,S△ ABC ? bc ? ; 2 6 3 3 2 b

若 cos A ? 0 ,则 sin B ? 3sin A , b ? 3a . 由余弦定理,得 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,解得 a ? 1,b ? 3 .
S△ ABC ? 1 3 3 ab sin C ? . 2 4

…………………(9 分)

…………………………………………… (11 分)

理科数学参考答案·第 3 页(共 9 页)

综上,△ ABC 的面积为 18.(本小题满分 12 分)

7 3 3 3 或 . ……………………………………………(12 分) 6 4

(Ⅰ)证明:由题条件知, PQ ? AD,BQ ? AD, PQ 所以 AD ? 平面PQB ,
∵ AD ? 平面PAD,∴平面PQB ? 平面PAD .

BQ ? Q ,

………………………………… (4 分)

(Ⅱ)解:∵ PA ? PD,Q为AD中点,∴ PQ ? AD .
∵平面PAD ? 平面ABCD,平面PAD 平面ABCD ? AD,∴ PQ ? 平面ABCD .

如图 3 所示,以 Q 为坐标原点, 分别以 QA、QB、QP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, …………………………………………………(5 分) 则 Q(0, 0, 0),A(1 , 0, 0),P(0, 0, 3),

B(0, 3, 0),C(?2, 3, 0) , QB ? (0, 3, 0) ,

图3

设 PM ? ? PC(0 ≤ ? ≤1) , QM ? QP ? PM ? QP ? ? PC ? (?2?, 3?, 3(1 ? ? )) , …………………………………………………………………………………… (6 分) 设 n ? ( x,y,z ) 是平面 MBQ 的一个法向量,
? 3(1 ? ? ) ? z ? , ?QM ? n ? 0, ? x ? 则? 即? 2? ? ? QB ? n ? 0, ? ? y ? 0,

? 3(1 ? ? ) ? 令 z ?1 , 得n ?? ,0, 1? ? ?, 2? ? ?
又 m ? (0, 0, 1) 是平面 BQC 的一个法向量,
∴ cos? m,n? ? m?n m?n ? 1? 1 3(1 ? ? ) 4? 2
2

………………………………………(7 分)

?

1 , 2

∵0 ≤ ? ≤1 ,∴? ?

1 1 , ∴ PM ? PC , 3 3

………………………………………… (9 分)

理科数学参考答案·第 4 页(共 9 页)

∵ PQ ? 3 ,∴M 到平面 ABCD 的距离为

2 3 , 3

1 2 3 2 1 ? . …………………………(12 分) S△BQC ? ? 2 ? 3 ? 3 , VM ? BCQ ? ? 3 ? 3 3 3 2

19.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为 40,公差为 10 的等差数列. 设此数列为 {an } ,则易知 a1 ? 40,an ? 10n ? 30,∴ Sn ?

n(10n ? 70) ? 220, 2

解得 n ? ?11(舍去) 或 n ? 4 ,所以此决赛共比赛了 4 场. 则前 3 场的比分必为 1∶2,且第 4 场比赛为领先的球队获胜,
?1? 3 其概率为 C ? ? ? . ?2? 8
1 3 3

…………………………………………………………… (6 分)

(Ⅱ)随机变量 X 可取的值为 S3,S4,S5 ,即 150,220,300.
3 ?1? 1 ?1? 3 2 ?1? 又 P( X ? 150) ? 2 ? ? ? ? , P( X ? 220) ? C1 3? ? ? ? , P( X ? 300) ? C4 ? ? ? ? . ?2? 4 ?2? 8 ?2? 8
3 3 4

………………………………………………………………………… (9 分) 分布列如下: X P 150 220 300

1 4

3 8

3 8

……………………………………………………………………… (10 分)

1 3 3 所以 X 的数学期望为 E( X )=150 ? +220 ? +300 ? ? 232.5 万元. …………… (12 分) 4 8 8
20.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设椭圆的焦距为 2c ,因为离心率为 又点 ( 3,0) 是抛物线的焦点,∴c2 ? 3 . 所以椭圆 C 的方程为
3 3 ?c? ,∴ ? ? ? ,所以 3a 2 ? 4c 2 , 2 4 ?a?
2

x2 ? y2 ? 1 . 4

…………………………………………… (4 分)

理科数学参考答案·第 5 页(共 9 页)

(Ⅱ)因为 ON ? OA ? OB ,所以四边形 OANB 为平行四边形, 当直线 l 的斜率不存在时,显然不符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 3 ,
? y ? kx ? 3, ? l 与椭圆交于 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) 两点,由 ? x 2 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 24kx ? 32 ? 0 . 2 ? y ? 1 ? ?4

由 ? ? (24k )2 ? 128(1 ? 4k 2 ) ? 0 ? k 2 ? 2 .

………………………………………… (6 分) ………………………………………… (7 分)

x1 ? x2 ? ? ∵ S△OAB ?

24k 32 . ,x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 3 OD x1 ? x2 ? x1 ? x2 , 2 2

∴S

OANB

32 ? ?24k ? ? 2S△OAB ? 3 | x1 ? x2 |? 3 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 3 ? ? 4? 2 ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ?

2

?3

242 k 2 ? 128(1 ? 4k 2 ) k2 ? 2 , ………………………………………… (9 分) ? 24 2 2 (1 ? 4k ) (1 ? 4k 2 )2

令 k 2 ? 2 ? t ,则 k 2 ? t ? 2 (由上式知t ? 0) ,
∴S ? 24 t 1 1 ? 24 ≤ 24 ? 2, 2 81 (4t ? 9) 144 72 ? 16t ? t

OANB

当且仅当 t ?

9 17 ,即 k 2 ? 时取等号, 4 4

∴当k ? ?

17 时,平行四边形 OANB 的面积最大值为 2. 2

此时直线 l 的方程为 y ? ? 21.(本小题满分 12 分)

17 x ?3. 2

…………………………………………… (12 分)

解:(Ⅰ) f ( x) ? ln x ? px ? 1 的定义域为 (0, ? ?) , f ?( x) ?
? 1? ∴ x ? ? 0, ? 时, f ?( x) ? 0,f ( x) 单调递增, p? ?

1 ? px ,∵ p ? 0,x ? 0 , x

理科数学参考答案·第 6 页(共 9 页)

?1 ? x ? ? ,? ? ? 时, f ?( x) ? 0,f ( x) 单调递减, ?p ?
∴ f ( x) 在 x ?

1 处取得极大值 p

?1? 1 f ? ? ? ln ,此极大值也是最大值, p p ? ?

?1? 1 所以要使 f ( x) ≤ 0 恒成立,只需 f ? ? ? ln ≤ 0 ,∴ p ≥ 1 , p ? p?

∴ p 的取值范围为 [1,? ?) .

……………………………………………………… (5 分)

(Ⅱ)令 p ? 1 ,由(Ⅰ)知, ln x ? x ? 1 ≤ 0 ,∴ ln x ≤ x ? 1 ,
g ?( x) ? 3ax ? 1 ? ln x ? (3a ? 1) ? 3a( x ? 1) ? ln x , …………………………………… (6 分)

则 g ?( x) ≥ 3a( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (3a ? 1)( x ? 1) ,

1 当 3a ? 1 ≥ 0 即 a ≥ 时,由 x ? [1,? ?) 得 g ?( x) ≥ 0 恒成立, 3 1 g ( x) 在 [1,? ?) 上单调递增, g ( x) ≥ g (1) ? 0 符合题意,所以 a ≥ ;……………(7 分) 3
当 a ≤ 0 时,由 x ? [1,? ?) 得 g ?( x) ≤ 0 恒成立, g ( x) 在 [1,? ?) 上单调递减,
g ( x) ≤ g (1) ? 0 ,显然不成立, a ≤ 0 舍去;

……………………………………(8 分)

当0? a ?

1 1 1 1 时,由 ln x ≤ x ? 1 ,得 ln ≤ ? 1 ,即 ln x ≥1 ? , 3 x x x

? 1 ? ? x ?1? 则 g ?( x) ≤ 3a( x ? 1) ? ?1 ? ? ? ? ? (3ax ? 1) , x? ? x ? ?

因为 0 ? a ?

1 1 , 所以 ? 1 . 3 3a

…………………………………………… (10 分)

? 1 ? x ? ?1, ? 时, g ?( x) ≤ 0 恒成立, ? 3a ?

1 ? 1 ? g ( x) 在 ?1, ? 上单调递减, g ( x) ≤ g (1) ? 0 ,显然不成立, 0 ? a ? 舍去. 3 ? 3a ?
?1 ? 综上可得:a ? ? ,? ? ? . 3 ? ?

………………………………………………………(12 分)

22.(本小题满分 10 分)【选修 4?1:几何证明选讲】 证明:(Ⅰ)如图 4,连接 BE ,则 BE ? EC ,
理科数学参考答案·第 7 页(共 9 页)

又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD . 又 OE ? OB,OD ? OD ,所以 △ODE≌△ODB , 所以 ?OBD ? ?OED ? 90? . 故 D,E,O,B 四点共圆.
图4

………………………………………………………… (5 分)

(Ⅱ)如图 4,延长 DO 交圆于点 H ,
∵ DE 2 ? DM ? DH ? DM ? (DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH ,
?1 ? ∴ DE 2 ? DM ? ? AC ? ? DM ?2 ? ?1 ? ? ? AB ? ,即 2DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB , ?2 ?

∵ DE ?

BC (10 分) ? DC, ∴ 2 DC 2 ? DM ? AC ? DM ? AB . …………………………… 2

23.(本小题满分 10 分)【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解:(Ⅰ)半圆 C 的普通方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 (0 ≤ y ≤ 1) ,又 x ? ? cos ?,y ? ? sin ? ,
? ?? 所以半圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2 cos ?,? ? ?0, ? . ? 2?

…………………………(5 分)

? ?1 ? 2cos ?1 , ? ?1 ? 1, ? ? (Ⅱ)设 ( ?1,?1 ) 为点 P 的极坐标,则有 ? 解得 ? ? ? ?1 ? , ?1 ? , ? ? 3 3 ? ?
? ? 2 (sin ? 2 ? 3 cos ? 2 ) ? 5 3, ? ?2 ? 5, ? ? 设 ( ?2,?2 ) 为点 Q 的极坐标,则有 ? 解得 ? ? ? ?2 ? , ?? 2 ? , ? 3 ? 3 ?

由于 ?1 ? ?2 ,所以 PQ ? ?1 ? ?2 ? 4 ,所以 PQ 的长为 4. 24.(本小题满分 10 分)【选修 4?5:不等式选讲】
b, c 为正实数, 证明:(Ⅰ)因为 a ,

…………………(10 分)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 由均值不等式可得 3 ? 3 ? 3 ≥3 3 ? 3 ? 3 ,即 3 ? 3 ? 3 ≥ , a b c a b c a b c abc

3

所以

1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? abc≥ ? abc , 3 a b c abc



3 3 1 1 1 ? abc≥2 ? abc ? 2 3 ,所以 3 ? 3 ? 3 ? abc≥2 3 . abc abc a b c

当且仅当 a ? b ? c ? 6 3 时,取等号.

……………………………………………(5 分)

理科数学参考答案·第 8 页(共 9 页)

1 1 1 1 ? (Ⅱ) ? ? ≥3 A B C ABC

3

3
3

ABC



3 9 ? , A? B?C π 3



π π π ? ? ≥9 , A B C π 时,取等号. 3
……………………………………………(10 分)

当且仅当 A ? B ? C ?

理科数学参考答案·第 9 页(共 9 页)


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