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2.1.2异面直线的有关概念和原理


2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系

问题提出

1.同一平面内的两条直线有哪几种位 1.同一平面内的两条直线有哪几种位 置关系? 置关系?

2.空间中的两条不同直线除了平行和 2.空间中的两条不同直线除了平行和 相交这两种位置关系外, 相交这两种位置关系外,还有什么位 置关系呢? 置关系呢?

知识探究( ):异面直线的概念 知识探究(一):异面直线的概念

思考1 思考1:教室内的日光灯管所在的直线与 黑板的左右两侧所在的直线,既不相交, 黑板的左右两侧所在的直线,既不相交, 也不平行;天安门广场上, 也不平行;天安门广场上,旗杆所在的 直线与长安街所在的直线, 直线与长安街所在的直线,它们既不相 也不平行.你还能举出这样的例子吗 你还能举出这样的例子吗? 交,也不平行 你还能举出这样的例子吗?

思考2:如图, 长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD思考2:如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中, 2:如图 线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线, A′B所在直线分别与线段CD′所在直线 线段A′B所在直线分别与线段CD′所在直线, 线段BC所在直线,线段CD BC所在直线 CD所在直线的位置关 线段BC所在直线,线段CD所在直线的位置关 系如何? D' 系如何? C'
A' D A B B' C

思考3:我们把上图中直线A′B与直线CD A′B与直线CD叫做 思考3:我们把上图中直线A′B与直线CD叫做
异面直线,一般地, 异面直线,一般地,从字面上怎样理解异面 直线? 直线?

思考4:为了表示异面直线a 思考4:为了表示异面直线a,b不共面的 4:为了表示异面直线 特点,作图时, 特点,作图时,通常用一个或两个平面 衬托,如图. 衬托,如图.
a
b

a

b

a a
b b

关于异面直线的定义, 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适? 最合适? 空间中既不平行又不相交的两条直线; A. 空间中既不平行又不相交的两条直线; B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直 线; 分别在不同平面内的两条直线; C. 分别在不同平面内的两条直线; D. 不在同一个平面内的两条直线; 不在同一个平面内的两条直线; 不同在任何一个平面内的两条直线. E. 不同在任何一个平面内的两条直线.

思考5:空间中的直线与直线之间有几种 思考5:空间中的直线与直线之间有几种 5: 位置关系?它们各有什么特点? 位置关系?它们各有什么特点?
相交直线: 相交直线 共面直线 同一平面内,没有 同一平面内, 平行直线: 平行直线 公共点; 公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内, 异面直线 不同在任何一个平面内,没有 公共点 同一平面内, 同一平面内,有且 只有一个公共点; 只有一个公共点;

知识探究( ):三线平行公理 知识探究(二):三线平行公理

思考1:设直线a//b,将直线a在空间中作 思考1:设直线a//b,将直线a 1:设直线a//b 平行移动,在平移过程中a与b仍保持平 平行移动,在平移过程中a 行吗 ?

思考2:如图, 在长方体ABCD ABCD— 思考2:如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′ 2:如图 ,BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′ BB′与 中,BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与 DD′平行吗 DD′平行吗 ?
D' A' D A B B' C C'

思考3 取一块长方形纸板ABCD, 思考3:取一块长方形纸板ABCD,E,F分 ABCD 别为AB CD的中点 将纸板沿EF折起, AB, 的中点, EF折起 别为AB,CD的中点,将纸板沿EF折起, 在空间中直线AD BC的位置关系如何 AD与 在空间中直线AD与BC的位置关系如何 ?
D C F D A B E A B E C F

思考4:通过上述实验可以得到什么结论? 思考4:通过上述实验可以得到什么结论? 4:通过上述实验可以得到什么结论

公理4 公理4 平行于同一直线的两条直线互 相平行. 相平行. 思考5:公理4叫做三线平行公理, 思考5:公理4叫做三线平行公理,它说明 5:公理 三线平行公理 空间平行直线具有传递性, 空间平行直线具有传递性,在逻辑推理 中公理4有何理论作用? 中公理4有何理论作用?

知识探究( ):等角定理 知识探究(三):等角定理

思考1:在平面上, 思考1:在平面上,如果一个角的两边与 1:在平面上 另一个角的两边分别平行, 另一个角的两边分别平行,那么这两个 角的大小有什么关系? 角的大小有什么关系?

思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′ ABCD-思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′
的底面是平行四边形, ADC与 的底面是平行四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与 B′A′D′的两边分别对应平行 的两边分别对应平行, ∠ADC与∠B′A′D′的两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何 ?
C' D' C D A A' B D' C D A B' C' A' B B'

思考3:如图,在空间中AB// A′B′, 思考3:如图,在空间中AB// A′B′, 3:如图 A′C′,你能证明∠BAC与 AC// A′C′,你能证明∠BAC与 相等吗? ∠B′A′C′ 相等吗? C? ?
E? A? B? D? C E A B D

思考4:综上分析我们可以得到什么定理? 思考4:综上分析我们可以得到什么定理? 4:综上分析我们可以得到什么定理 定理 空间中如果两个角的两边分别 对应平行,那么这两个角相等或互补. 对应平行,那么这两个角相等或互补 思考5:上面的定理称为等角定理,在等 思考5:上面的定理称为等角定理, 5:上面的定理称为等角定理 角定理中, 角定理中,你能进一步指出两个角相等 的条件吗? 的条件吗? 角的方向相同或相反

理论迁移 如图是一个正方体的表面展开图, 例1 如图是一个正方体的表面展开图, 如果将它还原为正方体,那么AB CD, AB, 如果将它还原为正方体,那么AB,CD, A EF,GH这四条线段所在直线是异面直线 EF,GH这四条线段所在直线是异面直线 的有多少对? 的有多少对?
C G D H E F E A B H G C A B F D

如图,空间四边形ABCD中 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G, ABCD 分别是AB BC,CD,DA的中点 AB, 的中点. H分别是AB,BC,CD,DA的中点. (1) 求证:四边形EFGH是平行四边形. 求证:四边形EFGH是平行四边形. EFGH是平行四边形 AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形? EFGH是什么图形 (2) 若AC=BD,那么四边形EFGH是什么图形?
A H E D B F G C

例2

问题提出

1.什么叫异面直线? 1.什么叫异面直线?三线平行公理和 什么叫异面直线 等角定理分别说明什么问题? 等角定理分别说明什么问题?

2.不同的异面直线有不同的相对位置 2.不同的异面直线有不同的相对位置 关系, 关系,用什么几何量反映异面直线之间 的相对位置关系, 的相对位置关系,是我们需要探讨的问 题 .

知识探究( ):异面直线所成的角 知识探究(一):异面直线所成的角 思考1:两条相交直线、 思考1:两条相交直线、平行直线的相对 1:两条相交直线 位置关系, 位置关系,分别是通过什么几何量来反 映的? 映的? 思考2: 2:两条异面直线之间有一个相对倾 思考2:两条异面直线之间有一个相对倾 斜度,若将两异面直线分别平行移动, 斜度,若将两异面直线分别平行移动, 它们的相对倾斜度是否发生变化? 它们的相对倾斜度是否发生变化? 思考3:设想用一个角反映异面直线的相 思考3:设想用一个角反映异面直线的相 3: 对倾斜度,但不能直接度量, 对倾斜度,但不能直接度量,你有什么 办法解决这个矛盾? 办法解决这个矛盾?

思考4 把两条异面直线分别平移, 思考4:把两条异面直线分别平移,使之 在某处相交得到两条相交直线, 在某处相交得到两条相交直线,我们用 这两条相交直线所夹的锐角 或直角)来 锐角(或直角 这两条相交直线所夹的锐角 或直角 来 反映异面直线的相对倾斜程度, 反映异面直线的相对倾斜程度,并称之 异面直线所成的角.你能给 你能给“ 为异面直线所成的角 你能给“异面直线 所成的角”下个定义吗? 所成的角”下个定义吗?
b bˊ a

α

o

b a α

b' a' o

对于两条异面直线a 对于两条异面直线a,b,经过空间 任一点O作直线a′∥a a′∥a, b′∥b, 任一点O作直线a′∥a, b′∥b,则 a′与b′所成的锐角 或直角) 所成的锐角( a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异 面直线a 所成的角(或夹角) 面直线a与b所成的角(或夹角)

思考5:若点O的位置不同,则直线a′与 思考5:若点O的位置不同,则直线a′与 5:若点 a′ b′的夹角大小发生变化吗 为什么? 的夹角大小发生变化吗? b′的夹角大小发生变化吗?为什么?为 了作图方便, 宜选在何处? 了作图方便,点O宜选在何处? b
b'

O
α

a b'

a' o

a' o'

知识探究( ):两条直线垂直 知识探究(二):两条直线垂直 思考1:我们规定两条平行直线的夹角为 思考1:我们规定两条平行直线的夹角为 1: 0°,那么两条异面直线所成的角的取值 范围是什么? 范围是什么?

(0,

π
2

]

思考2:如果两条异面直线所成的角是 思考2:如果两条异面直线所成的角是 2: 90° 则称这两条直线互相垂直 两条直线互相垂直. 90°,则称这两条直线互相垂直.两条互 相垂直的异面直线a 记作a⊥b. 相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b. 在 长方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD长方体ABCD-A′B′C′D′中,有没有两 条棱所在的直线是互相垂直的异面直线? 条棱所在的直线是互相垂直的异面直线
C' B' C B A A' D D'

思考3 在平面几何中, 思考3:在平面几何中,垂直于同一条直 线的两直线互相平行 平行, 线的两直线互相平行,在空间中这个结 论还成立吗 ?

思考4 思考4:如果两条平行直线中有一条与某 一条直线垂直,那么另一条是否也与这条 一条直线垂直 那么另一条是否也与这条 直线垂直?为什么? 直线垂直?为什么?

理论迁移
如图, 正方体ABCD A′B′C′D′中 ABCD例1 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中. 直线A′B CC′的夹角是多少 A′B和 的夹角是多少? (1)直线A′B和CC′的夹角是多少? 哪些棱所在的直线与直线AA′垂直? AA′垂直 (2)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直? 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直? A′B垂直 哪些棱所在的直线与直线A′B垂直?
D′ A′ D A B B′ C C′

如图,在四面体ABCD ABCD中 例2 如图,在四面体ABCD中,E,F分 AE BF 1 别是棱AD BC上的点 AD, 上的点, 别是棱AD,BC上的点,且 ED = FC = 2 已知AB=CD=3 EF AB=CD=3, 求异面直线AB AB和 已知AB=CD=3, = 3 ,求异面直线AB和 CD所成的角 所成的角. CD所成的角 A
E M

D B F C

思考题: 思考题: 已知异面直线a 所成的角为60 60° 已知异面直线a,b所成的角为60°,直 所成的角都为θ 那么θ 线l与a,b所成的角都为θ,那么θ的 与 取值范围是什么? 取值范围是什么?

作业: 作业:
P48练习: P48练习:2. 练习 P52习题2.1B组 习题2.1B P52习题2.1B组:1.


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