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课时跟踪检测(二十一) 函数y=sin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用


课时跟踪检测(二十一) 函数 y=sin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

π 1.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x) 2 的解析式应为( A.-sin x ) B.sin x C.-cos x D.cos x

π 2.(2012· 潍坊模拟)将函数 y=cos 2x 的图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=f(x)· sin 4 x 的图象,则 f(x)的表达式可以是( A.f(x)=-2cos x C.f(x)= 2 sin 2x 2 ) B.f(x)=2cos x D.f(x)= 2 (sin 2x+cos 2x) 2

π 3.(2012· 天津高考)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位长度,所得图 4 3π 象经过点? 4 ,0?,则 ω 的最小值是( ? ? 1 A. 3 B.1 5 C. 3 ) D.2

4.(2012· 广东期末练习)函数 f(x)=Asin(2x+φ)(A>0, φ∈R)的部分图象如图所示, 那么 f(0) =( )

1 A.- 2 C.-1

B.-

3 2

D.- 3

5.(2012· 福州质检)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则函数 f(x)的 一个单调递增区间是( )

7π 5π A.?-12,12? ? ? π 7π C.?-12,12? ? ?

7π π B.?-12,-12? ? ? π 5π D.?-12,12? ? ?

6.(2012· 潍坊模拟)如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设

秒针尖位置 P(x,y).若初始位置为 P0?

3 1? ,当秒针从 P0(注:此时 t=0)正常开始走时, 2 2? ? , )

那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为(

π π A.y=sin?30t+6? ? ? π π C.y=sin?-30t+6? ? ?

π π B.y=sin?-60t-6? ? ? π π D.y=sin?-30t-3? ? ?

π 7.(2012· 深圳模拟)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)ω>0,|φ|< ,y=f(x)的部分图象如图,则 2 π f?24?=________. ? ?

8.(2012· 成都模拟)如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s(cm)和时 π 间 t(s)的关系式为 s=6sin?2πt+6?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为______s. ? ?

9.(2012· 广州名校统测)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)

( 其中 A>0,

π |φ|< ?的图象如图所示,为 2?

了得到函数 g(x)=cos 2x 的图象,则只要将函数 f(x)的图象________.

10.(2012· 苏州模拟)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+n 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周 π π π 期为 ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,若 A>0,ω>0,0<φ< ,求函数的解析式. 2 3 2

π π 11.(2012· 深圳调研)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R?其中A>0,ω>0,-2<φ<2?,其 ? ? 部分图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知横坐标分别为-1、1、5 的三点 M、N、P 都在函数 f(x)的图象上,求 sin∠MNP 的值. x π x π 12.已知函数 f(x)=2 3sin?2+4?cos?2+4?-sin (x+π). ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π] 6 上的最大值和最小值.

π 1.(2012· 广州联考)已知 A,B,C,D 是函数 y=sin(ωx+φ)?ω>0,0<φ<2?一个周期 ? ? π 内的图象上的四个点,如图所示,A?-6,0?,B 为 y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E ? ?

??? ? π 为该函数图象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称, CD 在 x 轴上的投影为 ,则 ω,φ 12
的值为( )

π A.ω=2,φ= 3 1 π C.ω= ,φ= 2 3

π B.ω=2,φ= 6 1 π D.ω= ,φ= 2 6

π π 2.已知 f(x)=sin?x+2?,g(x)=cos?x-2?,则下列结论中正确的是( ? ? ? ? A.函数 y=f(x)· g(x)的周期为 2 B.函数 y=f(x)· g(x)的最大值为 1 π C.将 f(x)的图象向左平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 π D.将 f(x)的图象向右平移 个单位后得到 g(x)的图象 2

)

3.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺 庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少, 浪费很严重, 为了控制经营成 本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月 份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在 2 月份最少,在 8 月份最多,相差约 400 人; ③2 月份入住客栈的游客约为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系; (2)请问哪几个月份要准备 400 份以上的食物?





课时跟踪检测(二十一) A级 π 1.选 A 由图象的平移得 g(x)=cos?x+2?=-sin x. ? ? 2.选 B π 平移后的函数解析式是 y=cos 2?x-4?=sin 2x=2sin xcos x,故函数 f(x)的表 ? ?

达式可以是 f(x)=2cos x. π 3.选 D 将函数 f(x)=sin ωx 的图象向右平移 个单位长度,得到的图象对应的函数解 4 π ωπ 3π 3ωπ ωπ 析式为 f(x)=sin ω?x-4?=sin?ωx- 4 ?.又因为函数图象过点? 4 ,0?, 所以 sin? 4 - 4 ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ωπ ωπ sin =0,所以 =kπ,即 ω=2k(k∈Z),因为 ω>0,所以 ω 的最小值为 2. 2 2 π 4.选 C 由图可知,A=2,f?3?=2, ? ? 2π 2π ∴2sin? 3 +φ?=2,sin? 3 +φ?=1, ? ? ? ? ∴ 2π π π +φ= +2kπ(k∈Z),φ=- +2kπ(k∈Z), 3 2 6

π 1 ∴f(0)=2sin φ=2sin?-6+2kπ?=2×?-2?=-1. ? ? ? ? 1 2π 5π 5.选 D 由函数的图象可得 T= - ,∴T=π, 4 3 12 5π 则 ω=2,又图象过点?12,2?, ? ? 5π ∴2sin?2×12+φ?=2, ? ? π ∴φ=- +2kπ,k∈Z, 3 π π 5π ∴f(x)=2sin?2x-3?,其单调递增区间为?kπ-12,kπ+12?,k∈Z,取 k=0,即得选项 ? ? ? ? D. π 6.选 C 由题意可得,函数的初相位是 ,排除 B、D.又函数周期是 60(秒)且秒针按顺 6 2π π π 时针旋转,即 T= =60,所以|ω|= ,即 ω=- . |ω| 30 30 7.解析: 由题中图象可知,此正切函数的半周期等于 3π π 2π π π - = = ,即周期为 ,所以, 8 8 8 4 2

3π 3π 3π ω=2.由题意可知,图象过定点? 8 ,0?,所以 0=Atan?2× 8 +φ?,即 +φ=kπ(k∈Z),所 ? ? ? ? 4 3π π π 以,φ=kπ- (k∈Z),又|φ|< ,所以,φ= .再由图象过定点(0,1),得 A=1.综上可知,f(x) 4 2 4 π π π π π =tan?2x+4?.故有 f?24?=tan?2×24+4?=tan = 3. ? ? ? ? ? ? 3 答案: 3 2π 8.解析:单摆来回摆动一次所需的时间即为一个周期 T= =1. 2π 答案:1 π 7π 3π π 9.解析:显然 A=1,又 ω× +φ=π,ω× +φ= ,解得 ω=2,φ= ,故函数 f(x) 3 12 2 3 π π =Asin(ωx+φ)的解析式为 f(x)=sin?2x+3?,又 g(x)=cos 2x=sin?2x+2?,设需平移的单位 ? ? ? ? π π π 长度为 φ1, 则由 2(x+φ1)+ =2x+ 得 φ1= .故要把函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 3 2 12 π 个单位长度. 12 π 答案:向左平移 个单位长度 12
?A+n=4, ?A=2, ? ? 10.解:由题意可得? 解得? ? ? ?-A+n=0, ?n=2.

π 又因为函数的最小正周期为 , 2 2π 所以 ω= =4. π 2 π 由直线 x= 是一条对称轴可得 3 π π 4× +φ=kπ+ (k∈Z), 3 2 5π π 故 φ=kπ- (k∈Z),又 0<φ< , 6 2 π 所以 φ= . 6 π 综上可得 y=2sin?4x+6?+2. ? ? 11.解:(1)由图可知,A=1, 最小正周期 T=4×2=8, 2π π 所以 Τ= =8,ω= . ω 4 π π π 又 f(1)=sin?4+φ?=1,且- <φ< , ? ? 2 2 π π 3π π π π 所以- < +φ< ,所以 +φ= ,φ= . 4 4 4 4 2 4 π π 所以 f(x)=sin?4x+4?. ? ? π π (2)因为 f(-1)=sin (-1+1)=0,f(1)=sin (1+1)=1, 4 4 π f(5)=sin (5+1)=-1, 4 所以 M(-1,0),N(1,1),P(5,-1), 所以|MN|= 5,|MP|= 37,|PN|= 20, 5+20-37 3 从而 cos∠MNP= =- , 5 2 5× 20 4 由∠MNP∈(0,π),得 sin∠MNP= 1-cos2∠MNP= . 5 π 3 1 12.解:(1)因为 f(x)= 3sin ?x+2? +sin x= 3cos x+sin x=2 cos x+ sin x= ? ? 2 2 π 2sin?x+3?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π. π (2)∵将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6

π π π π ∴g(x)=f?x-6?=2sinx- + =2sin?x+6?. ? ? ? ? 6 3 π π 7π ∵x∈[0,π],∴x+ ∈?6, 6 ?, ? 6 ? π π π ∴当 x+ = ,即 x= 时, 6 2 3 π sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? π 7π 当 x+ = ,即 x=π 时, 6 6 π 1 sin?x+6?=- ,g(x)取得最小值-1. ? ? 2 B级 π π 1.选 A 由 CD― →在 x 轴上的投影为 ,知 OF= , 12 12

π T π π 又 A?-6,0?,所以 AF= = = ,所以 ω=2. ? ? 4 2ω 4 φ φ π π 同时函数图象可以看做是由 y=sin x 的图象向左平移而来,故可知 = = ,即 φ= . ω 2 6 3 π 2.选 D ∵f(x)=sin?x+2?=cos x, ? ? π π g(x)=cos?x-2?=cos?2-x?=sin x, ? ? ? ? ∴y=f(x)· g(x)=cos x· x sin 1 = sin 2 2x.

2π 1 T= =π,最大值为 , 2 2 ∴选项 A、B 错误. 又∵f(x)=cos x错误! π g(x)=cos?x-2? ? ? ∴选项 C 错误,D 正确. 3.解:(1)设该函数为 f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知 这个函数的周期是 12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且 f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅 为 200;由③可知,f(x)在[2,8]上单调递增,且 f(2)=100,

所以 f(8)=500.
?-A+B=100, ?A=200, ? ? 2π π 根据上述分析可得, =12,故 ω= ,且? 解得? ω 6 ? ? ?A+B=500, ?B=300.

根据分析可知,当 x=2 时 f(x)最小, 当 x=8 时 f(x)最大, π π 故 sin?2×6+φ?=-1,且 sin8× +φ=1. ? ? 6 5π 又因为 0<|φ|<π,故 φ=- . 6 所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为 π 5π f(x)=200sin?6x- 6 ?+300. ? ? π 5π (2)由条件可知,200sin?6x- 6 ?+300≥400,化简,得 ? ? π 5π 1 π π 5π 5π sin?6x- 6 ?≥ ?2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ ,k∈Z, ? ? 2 6 6 6 6 解得 12k+6≤x≤12k+10,k∈Z. 因为 x∈N*,且 1≤x≤12,故 x=6,7,8,9,10. 即只有 6,7,8,9,10 五个月份要准备 400 份以上的食物.


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