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高三一轮复习平面向量的概念


高三一轮复习平面向量的概念、线性运算、基本定理

平面向量的概念、线性常见题型与结论

一、同步知识梳理
1.向量的有关概念 (1)向量的定义:既有_____又有_____的量叫做向量. (2)表示方法:用______来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向 → → 量的方向.用字母 a,b,…或用AB,BC

,…表示. (3)模:向量的________叫向量的长度或模,记作______或________. (4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作 0;零向量的方向是________. (5)单位向量:长度为________单位长度的向量叫做单位向量.与 a 平行的单位向量 e= ____________. (6)平行向量:方向________或________的________向量;平行向量又叫________,任一组平行 向量都可以移到同一直线上.规定:0 与任一向量________. (7)相等向量:长度________且方向________的向量. 2.向量的加法运算及其几何意义 → → → (1)已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 O,作OA=a,AB=b,则向量OB叫做 a 与 b 的____, → → 记作________,即_____=OA+AB=________,这种求向量和的方法叫做向量加法的_______. → (2)以同一点 O 为起点的两个已知向量 a,b 为邻边作□OACB,则以 O 为起点的对角线OC就是 a 与 b 的和,这种作两个向量和的方法叫做向量加法的______. (3)加法运算律 a+b=________ (交换律); (a+b)+c=________(结合律). 3.向量的减法及其几何意义 (1)相反向量 与 a________、________的向量,叫做 a 的相反向量,记作____. (2)向量的减法 ① 定义 a-b=a+____,即减去一个向量相当于加上这个向量的________. → → → → ② 如图,AB=a,AD=b,则AC=______,DB=______. 4.向量数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作______,它的长度与方向规定如下: ① |λa|=________; ② λ>0 时,λa 与 a 的方向_____;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向_____;当 a=0 时,λa=____;当 当 λ=0 时,λa=____.

(2)运算律 设 λ,μ 是两个实数,则 ① λ(μa)=________.(结合律) ② (λ+μ)a=________.(第一分配律) ③ λ(a+b)=________.(第二分配律) (3)向量共线定理:向量 b 与 a (a≠0)共线的 充要条件是存在唯一一个实数 λ,使 b=λa. 5.重要结论 → 1 → → → (1)PG=3(PA+PB+PC)?G 为△ABC 的_______; → +PB+PC=0?P 为△ABC 的________. (2)PA → →

二、同步题型分析
题型 1:考察平面向量的概念辨析 例 1:① 有向线段就是向量,向量就是有向线段; ② 向量 a 与向量 b 平行, 则 a 与 b 的方向相同或相反; → → ③ 向量AB与向量CD共线,则 A、B、C、D 四点共线; ④ 如果 a∥ b,b∥ c,那么 a∥ c. 以上命题中正确的个数为________. 分析:① 不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段; ② 不正确,若 a 与 b 中有一个为零向量时也互相平行,但零向量的方向是不确定的,故两向量 方向不一定相同或相反; ③ 不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行; ④ 不正确,如果 b=0 时,则 a 与 c 不一定平行. ∴正确的个数为 0 题型 2:考察平面向量的线性运算。 例 1:若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是________(填上正确的序号). → → → → ①→ =OF+OE; ②→ =OF-OE; ③→ =-OF+OE; ④→ =-OF-OE. EF → → EF → → EF EF 分析:根据平面向量的加法减法法则,可知②正确

→ → +2OC=3OB,则|BC|的值为 ( → → 例 2:已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.若OA ). → |AB| 1 1 1 1 A.2 B.3 C.4 D.6 → |BC| 1 → → → → → → → → → 分析:由OA+2OC=3OB,得OA-OB=2OB-2OC,即BA=2CB,所以 → =2.选 A. |AB| → → → 1→ → 1 → 例 3:如图,在平行四边形 OADB 中,设OA=a,OB=b,BM=3BC,CN=3CD. → → → 试用 a,b 表示OM,ON及MN. 1 → 1→ 1→ 1 → → 分析:由题意知,在平行四边形 OADB 中,BM=3BC=6BA=6(OA-OB)=6(a-b)

1 1 =6a-6b, 1 1 1 5 → → → 则OM=OB+BM=b+6a-6b=6a+6b. 2 2 2 → 2→ 2 → → ON=3OD=3(OA+OB)=3(a+b)=3a+3b,

1 5 1 1 → → → 2 MN=ON-OM=3(a+b)-6a-6b=2a-6b. 题型 3:考察向量共线的充要条件 例 1:设两个非零向量 e1 和 e2 不共线. → → → (1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,求证:A、C、D 三点共线; → → → (2)如果AB=e +e ,BC=2e -3e ,CD=2e -ke ,且 A、C、D 三点共线,求 k 的值.
1 2 1 2 1 2

→ → → → → → 分析:∵ =e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,∴ =AB+BC=e1-e2+3e1+2e2=4e1 AB AC 1 1→ +e2=-2(-8e1-2e2)=-2CD. ∴→ 与CD共线. 又∵→ 与CD有公共点 C, AC → AC → ∴ A、C、D 三点共线. → → → (2)解 AC=AB+BC=(e +e )+(2e -3e )=3e -2e ,
1 2 1 2 1 2

∵ A、C、D 三点共线,∴→ 与CD共线, AC → → → 从而存在实数 λ 使得AC=λCD,即 3e1-2e2=λ(2e1-ke2). ?λ=3, ? 2 ?3=2λ, 4 由平面向量的基本定理得? 解之,得? ∴ 的值为3. k 4 ?-2=-λk. ?k=3. ? → → → → → 例 2:设 a,b 为不共线向量,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则使AD=λBC成立 的 λ 值为________. → → → → → 分析: AD=AB+BC+CD=a+2b+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC.∴ ? =2

变式:1.设 a,b 是任意的两个向量,λ∈ R,给出下面四个结论: ① a 与 b 共线,则 b=λa; 若 ② b=-λa,则 a 与 b 共线; 若 ③ a=λb,则 a 与 b 共线; 若 ④ b≠0 时,a 与 b 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ=λ1,使得 a=λ1b. 当 其中正确的结论有________(填上正确的序号). 分析:题目考查两向量共线的充要条件,此定理应把握好两点:(1)与 λ 相乘的向量为非零向 量,(2)λ 存在且唯一.故②③④正确. 2.如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交直 → → → → 线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值 为________. → 1 → → 又∵AB=mAM,→ =nAN, → → AC → 分析: ∵O 是 BC 的中点, ∴AO=2(AB+AC). → m → n→ ∴AO= 2 AM+2AN. m n ∵M,O,N 三点共线,∴ 2 +2=1,则 m+n=2. 备注:此题也可以用特殊位置的情况来考虑,M 与 B 重合,N 与 C 重合,∴m=n=1,m+n=2


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