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1.1.1集合的表示(教案)


1.1 集



1.1.1 集合的含义与表示 第 2 课时 ●三维目标 1.知识与技能 (1)掌握集合的表示方法——列举法和描述法; (2)能进行自然语言与集合语言间的相互转换. 2.过程与方法 (1) 教学时不仅要关注集合的基本知识的学习,同时还要关注学生抽象概括能力的培 养; (2)教学过程中应努力培养学生的思维能力,提高学生理解掌

握概念的能力,训练学生 分析问题和处理问题的能力. 3.情感、态度与价值观 培养数学的特有文化——简洁精练,体会从感性到理性的思维过程. ●重点难点 重点:集合的两种表示方法——列举法、描述法. 难点:.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合. (1)重点的突破:以教材中的思考为切入点,让学生感知列举法表示集合不足的同时, 顺其自然的引出集合的另一种方法 ——描述法,然后通过具体实例说明描述法的特点及书 写形式,必要时可通过题组训练,让学生充分暴露用描述法表示集合时出现的各种疑点, 教师给予适当点拨,从而化难为易; (2)难点的解决:本节课不仅要让学生学习两种表示法,同时还要让学生体会如何恰当 选择表示法表示集合.为此,可通过实例多角度启发学生关注知识间的联系与区别,并借 助两种方法表示集合的优缺点总结出表示法选择的规律——在元素不太多的情况下,宜采 用列举法;在元素较多时,宜采用描述法表示. ●教学过程 一:课前自主导学(预习区,不看不讲) 阅读教材 P3-5,回答下列问题 ①从上堂课的开始到现在,你们注意到我用了几种方法表示集合吗? ②字母表示法中有哪些专用符号?(常见的数集) ③除了自然语言法和字母表示法之外,课本还为我们提供了几种集合的表示方法?分 集合的表示

别是什么? ④列举法的含义是什么?你能否运用列举法表示一些集合?请举例! ⑤描述法的含义是什么?你能否运用描述法表示一些集合?请举例! . ⑥集合的表示方法共有几种? 讨论结果:①两种,自然语言法和字母表示法. ②非负整数集(或自然数集),记作 N; 除 0 的非负整数集,也称正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z;有理数集,记作 Q;实数集,记作 R. ③两种,列举法与描述法. ④把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列

举法.例如“地球上的四大洋”组成的集合可以用列举法表示为 { 太平洋,大西洋,印度 洋,北冰洋},方程 x2-3x+2=0 的所有实数根组成的集合可以用列举法表示为{1,2}. ⑤用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是:在花括号内 先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这 个集合中元素所具有的共同特征.例如,不等式 x-2>5 的解集可以表示为{x∈R|x>7}; 所有的正方形的集合可以表示为{x|x 是正方形},也可写成{正方形}. ⑥自然语言法、字母表示法、列举法、描 述法. (1) .你能用列举法表示不等式 x-7<3 的解集吗?, 【提示】 不能. (2) .如何用数学式子描述上述集合的元素特征? 【提示】 x<10 (3).上述集合可怎样表示? 如何表示该集合? 【提示】 {x∈R|x<10} 知识梳理:集合的表示方法 (一)自然语言法和字母表示法 (二)列举法:我们把集合中的元素一一列举出来,写在花括号内的方法叫做列举法.注: 1.元素之间用“,”隔开;2.元素不重复不遗漏; (三)描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是:在花括号内先 写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出 这个集合中元素所具有的共同特征. 注: (1)弄清集合中代表元素的含义; (2)不能出现未被说明的字母; (3)代表元素的取值从上下文的关系来看, 二:课堂互动探究(导学区,不动不讲) 探究一:用列举法表示下列集合 例 1、(P3 例 1)用列举法表示下列集合 (1)小于 10 的所有自然数组成的集合;
[来源:学科网]

x ? R, x ? Z
若是明确的,

x ? R, .x ? Z 可以省略

(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合; (3)由 1~20 以内的所有质数组成的集合. (4)一次函数 y=x+3 与 y=-2x +6 的图象的交点组成的集合 活动探究:讲解例 1 的过程中,可以设计如下问题引导学生: 针对例 2(1):①自然数中是否含有 0?②小于 10 的自然数有哪些?③如何用列举法表 示小于 10 的所有自然数组成的集合? 针对例 2(2):①解一元二次方程的方法有哪些?分别是什么?②方程 x2=x 的解是什 么?③如何用列举法表示方程 x2=x 的所有实数根组成的集合? 针对例 2(3):①如何判断一个数是否为质数(即质数的定义是什么)?②1~20 以内的质 数有哪些?③如何用列举法表示由 1~20 以内的所有质数组成的集合? 反思: 例(4)是点集. 2.使用列举法表示集合时应注意以下几点: (1) 在元素个数较少或有 ( 无 ) 限但有规律时用列举法表示集合,如集合: {1,2,3} , {1,2,3,?,100},{1,2,3,?}等. (2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,元素之间用“,”隔开,而不能用“、”; 元素无顺序,满足无序性. 互动探究一:用列举法表示下列集合. (1)我国现有直辖市的全体.
[来源

1.用列举法表示集合,要分清是数集还是点集,如本例(1)(2)是数集,本

(2)绝对值小于 3 的整数集合. y=x-1 ? ? (3)方程组? 2 4 的解集. y=- x+ ? 3 3 ? 【解】 (1){北京,上海,天津,重庆}; (2){-2,-1,0,1,2}; y=x-1, ? ?x=5, ? (3)方程组? 2 4 的解是? 2 ?y=-3x+3 ? ?y=5, 7

所求集合为

?? 7 2 ? ? . ?? , ? ? ?? 5 5 ? ?

探究二、用描述法表示下列集合 例 2、用描述法表示下列集合: (1)不等式 3x-2≥0 的解构成的集合; (2)偶数集; (3)平面直角坐标系中,第一象限内的点的集合. 【思路探究】 找准集合的代表元素→ 说明元素满足的条件→用描述法表示相应集合 2? ? 【自主解答】 (1)A={x|3x-2≥0}或 A=?x|x≥3?;
? ?

(2)B={x|x=2k,k∈Z}; (3){(x,y)|x>0,y>0,且 x,y∈R}. 反思 1.用描述法表示集合,首先应弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类 型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素. 2 .若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明其含义或指出其取值范 围,如本例(2). 互动探究二、有下面六种表示方法:
?x=-1 ? ? ? ①{x=-1,y=2};②??x,y?|? ?; ? ?y=2 ? ?

③{-1,2}; ④(-1,2);

⑤{(-1,2)};⑥{x,y|x=-1 或 y=2}.
? ?2x+y=0, 其中能正确表示方程组? 的解集的是________,(把所有正确的序号都填在 ?x-y+3=0 ?

横线上)
? ? ?2x+y=0, ?x=-1, 【解析】 ∵方程组? 的解为? ?x-y+3=0 ? ? ?y=2,

∴该方程组的解集应为点集,其正确形式是②⑤. 【答案】 ②⑤ 例 3.(P4 例 2) 试分别用列举法和描述法表示下列集合: ①方程 x -2=0 的所有实数根组成的集合; ②由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合. 活动探究:讲解例 3 的过程中,可以设计如下问题引导学生: 针对例 3(1)——列举法 ①方程 x2-2=0 的解是什么? ②如何用列举法表示方程 x2-2=0 的所有实数根组成的集合? 针对例 3(1)——描述法 ①描述法的定义是什么? ②所求集合中元素有几个共同特征?分别是什么? ③如何用描述法表示所求集合? 针对例 3(2)——列举法 ①大于 10 小于 20 的所有整数有哪些? ②由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合用列举法如何表示? 针对例 3(2)——描述法 ①所求集合中元素有几个共同特征?分别是什么? ②如何用描述法表示所求集合? 解: ①用描述法表示为{ x∈R|x -2=0}. 用列举法表示为{ 2 ,- 2 }s ②用描述法表示为{x∈Z|10<x<20}. 用列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}
2 2

通过例 3,让学生发现,用描述法表示集合时,如果从上下文的关系来看,元素的取值范 围是确定的,则可以省略范围,只写其元素. 点评:例 1 和例 3 是通过“问题引导”的方式,使学生逐步逼近答案的过程.在此过 程中,既帮助学生理清了解答问题的基本思路,又使得列举法和描述法在实例中得到进一 步的巩固. 思考:试比较用列举法和描述法表示集合时,各自的特点和适用的对象. 探究三、分类讨论思想在集合表示法中的应用 例 4、集合 A={x|kx2-8x+16=0},若集合 A 只有一个元素,试求实数 k 的值,并用 列举法表示集合 A. 【思路点拨】 讨论关于 x 的方程实数根的情况,从中确定 k 的取值范围,依题意, 方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根.明确集合 A 的含义→对 k 加以讨论→ 求出 k 值→写出集合 A 【规范解答】 (1)当 k=0 时,原方程变为-8x+16=0, x=2. 2 分 此时集合 A={2}. 4分

(2)当 k≠0 时,要使一元二次方程 kx2-8x+16=0 有两个相等实根.6 分 只需 Δ=64-64k=0,即 k=1. 8分 .10 分

此时方程的解为 x1=x2=4,集合 A={4},满足题意

综上所述,实数 k 的值为 0 或 1.当 k=0 时,A={2};当 k=1 时,A={4}.12 分 反思 1 . 解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入 点. 2.本题因 kx2-8x+16=0 是否为一元二次方程而分 k=0 和 k≠0 而展开讨论,从而做 到不重不漏.“k=0”这种情况最容易被忽视,只有在“k≠0”的条件下,方程 kx2-8x+ 16=0 才是一元二次方程,才能用判别式 Δ 解决问题. 3.集合与方程的综合问题,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论, 确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在一元二次方程的实数根个数的 讨论中的作用. 三、课堂小结 1.表示一个集合可以用列举法,也可以用描述法,一般地,若集合元素为有限个,常用列 举法,集合元素为无限个多用描述法. 2.处理描述法给出的集合问题时,首先要明确集合的代表元素,特别要分清数集和点集; 其次要确定元素满足的条件是什么.

四:当堂双基达标 1.使不等式 x>2 成立的实数 x 的集合可表示为( A.{x>2} C.{3,4,5,?} B.{x>2|x∈R} D.{x∈R|x>2} )

【解析】 使不等式 x>2 成立的实数 x 的集合表示为{x|x>2}. 【答案】D 2.直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合为( A.{0,1} B.{(0,1)}
? 1 ? C.?-2,0? ? ?

) 1 ? ?? ? D.?? ?-2,0?
? ?

?y=2x+1 ?x=0 ? ? 【解析】 解方程组? 得? ?x=0 ?y=1 ? ?

故集合为{(0,1)}【答案】 B 3.下面四种说法正确的有________个. ①10 以内的合数构成的集合是{0,2,4,6,8,9}; ②由 1,2,3 组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}; ③方程 x2-2x+1=0 的解集是{1}; ④0 与{0}表示同一个集合. 【解析】 ①不正确,∵0 和 2 不是合数; ②正确,用列举法表示集合,其元素无顺序可言; ③正确,因为方程 x2-2x+1=0 有且只有一个解 x=1; ④不正确,{0}表示一个集合,其元素只有一个 0,故{0}与 0 不同. 【答案】 2 4.分别用描述法和列举法表示下列集合: (1)方程 x2-x-2=0 的解组成的集合; (2)大于 1 且小于 5 的所有整数构成的集合. 【解】 (1)描述法表示集合为{x|x2-x-2=0}; 由于方程 x2-x-2=0 的两解分别是-1,2,故方程的解组成的集合可用列举法表示为 {-1,2}; (2)描述法表示集合为{x|x 是大于 1 且小于 5 的整数};列举法表示为{2,3,4}. 五、课后知能检测: 一、选择题

1.集合{(x,y)|y=3x+1}表示( A .方程 y=3x+1 B.点(x,y)

)

C.平面直角坐标系中所有的点组成的集合 D.函数 y=3x+1 的图象上的所有点组成的集合 【解析】 由集合描述法的定义可知,该集合表示函数 y=3x+1 的图象上的所有点组 成的集合. 【答案】 D 2.集合 A={(0,1),(2,3)}中元素的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

【解析集合 A 中的元素是点,而不是数,故集合 A 中有两个元素【答案】B 3.(2013· 临沂高一检测)已知集合 A={x|x(x-1)=0},那么下列结论正确的是( A.0∈A B.1?A C.-1∈A D.0?A )

【解析】 ∵A={x|x(x-1)=0}={0,1},∴0∈A.【答案】 A 4.下列集合的表示正确的是( A.{1,2,2} C.{3,5} )

B.R={全体实数} D.不等式 x-5>0 的解集为{x-5>0}

【解析】 A 不正确,因为集合中的元素需满足互异性; B 不正确,因为花括号“{ }”本身就有“全体”的意思; C 正确;D 不正确,不等式 x-5>0 的解集为{x|x-5>0}. 【答案】 C 5.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)} )

B.M={3,2},N={2,3}

C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={1,2},N={(1,2)} 【解析】 A 中 M、N 都为点集,元素为点的坐标,顺序不同表示的点不同; C 中

M、N 分别表示点集和数集;D 中 M 为数集,N 为点集,故选 B. 二、填空题 6 .若集合 A = {1,2,3,4} ,集合 B = {y|y = x - 1 , x ∈ A} ,将集合 B 用列举法表示为 ________. 【解析】 x=1 时,y=0;x=2 时,y=1;x=3 时,y=2;x=4 时,y=3.故 B=

{0,1,2,3}. 【答案】 {0,1,2,3} 7.设集合 A={x|x2-3x+a=0},若 4∈A,则集合 A 用列举法表示为________. 【解析】 ∵4∈A,∴16-12+a=0,∴a=-4, ∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}. 【答案】 {-1,4}

8.已知 A={2,4,6},若实数 a∈A 时,6-a∈A,则 a=________. 【解析】 代入验证,若 a=2,则 6-2=4∈A,符合题意;若 a=4,则 6-4=2∈ A,符合题意;若 a=6,则 6-6=0?A,不符合题意,舍去,所以 a=2 或 a=4.【答案】 2或4 三、解答题 9.选择适当的方法表示下列集合: (1)被 5 除,余 1 的正整数组成的集合; (2)24 的所有正因数组成的集合; (3)在直角坐标平面内,两坐标轴上的点组成的集合; (4)三角形的全体组成的集合. (5 方程 x2+y2-4x+6y+13=0 的解集; (6)抛物线 y=-x2 上的所有点组成的集合.
? 6 ? (7)B=?1+x∈Z|x∈Z?. ? ? ? ? 8 ? ? (8)已知集合 A=?x∈N?6-x∈N ?,试用列举法表示集合 A. ? ?

?

? ?

【解】 (1){x|x=5k+1,k∈N}; (2{1,2,3,4,6,8,12,24}; (3){(x,y)|xy=0};(4){x|x 是三角形}或{三角形}. (5)方程 x2+y2-4x+6y+13=0 可化为
? ?x=2, (x-2)2+(y+3)2=0,∴? ∴方程的解集可表示为{(2,-3)}; ?y=-3. ?

(6){(x,y)|y=-x2}. (7)∵ 6 ∈Z,且 x∈N,∴1+x=1,2,3,6. 1+x

6 ∴x=0,1,2,5,即 =6,3,2,1.∴B={6,3,2,1}. 1+x

(8) 解:由题意可知 6-x 是 8 的正约数,当 6-x=1 时,x=5;当 6-x=2 时,x=4;当 6
-x=4 时,x=2;当 6-x=8 时,x=-2;而 x≥0,∴x=2,4,5,即 A={2,4,5}. 点评:考查了两个方面的知识点,一是元素与集合的关系,二是列举法的应用,体现 了对知识综合应用的能力.

10 、下面三个集合 (1){ x ∣ y=x2+1},(2){y∣ y=x2+1},{(x,y) ∣ y=x2+1} 它们是 不是相同的集合?它们各自的含义是什么?

11、当 x∈A 时,若 x-2?A,且 x+2?A,则称 x 为集合 A 的一个“孤立”元素,所 有孤立元素组成的集合称为孤星集,求集合 A={0,1,2,3,6} 中孤立元素组成的 孤星集
拓展提升 问题 1:设集合 P={x-y,x+y,xy},Q={x2+y2,x2-y2,0},若 P=Q,求 x,y 的值 及集合 P,Q. 活动探究: 首先,应让学生思考两个数集相等的条件 —— 集合中的元素分别对应相 等;然后,再引导学生讨论:本题中集合 P ,Q 对应相等时,其元素可能出现的几种情 况,并根据讨论的结果进行计算;最后,应当指导学生自主探究,应用集合中元素的性质 检验所求结果是否符合要求. 解:∵P=Q 且 0∈Q, ∴0∈P. 若 x+y=0 或 x-y=0,则 x2-y2=0,从而 Q={x2+y2,0,0},与集合中元素的互异性矛 盾,∴x+y≠0 且 x-y≠0; 若 xy=0,则 x=0 或 y=0. 当 y=0 时,P={x,x,0},与集合中元素的 互异性矛盾, ∴y≠0; 当 x=0 时,P={-y,y,0},Q={y2,-y2,0}, -y=y , ? ? 2 由 P=Q 得?y=-y , ? ?y≠0,
2



-y=-y , ? ? 2 或?y=y , ? ?y≠0.

2



由①得 y=-1,由②得 y=1,
? ? ?x=0, ?x=0, ∴? 或? ?y=-1 ?y=1, ? ?

此时 P=Q={1,-1,0}. 点评:本题综合性地考查了两数集相等的条件、集合中元素的性质以及学生的运算能 力和分类讨论能力. 问题 2:设 S={x|x=m+ 2n,m,n∈Z}. (1)若 a∈Z,则 a 是否是集合 S 中的元素?

(2)对 S 中的任意两个 x1,x2,则 x1+x2,x1· x2 是否属于 S? 活动探究:针对问题(1)——首先引导学生仔细观察集合 S 中元素的共同特征与构成方 式;然后,再引导学生思考题中所给的元素 a 能否表示成 m+ 2n 的形式;如果能,m 和 n 分别是多少,如果不能,请说明理由;最后小结,判断一个元素是否属于集合时,转化为 判断这个元素是否满足集合元素的特征即可. 针对问题(2)——首先引导学生将 x1,x2 分别表示出来,再引导大家根据正确的表示结 果,推断 x1+x2,x1· x2 是否是集合 S 中的元素.
[来源:Z§ xx§ k.Com]

解:(1)a 是集合 S 中的元素,a=a+ 2×0∈S. (2)不妨设 x1=m+ 2n,x2=p+ 2q,m,n,p,q∈Z. 则 x1+x2=(m+ 2n)+(p+ 2q)=(m+p)+ 2(n+q),m,n,p,q∈Z. ∴x1+x2∈S;x1· x2=(m+ 2n)· (p+ 2q)=(mp+2nq)+ 2(mq+np),m,n,p,q∈Z. ∴x1· x2∈S.综上,x1+x2,x1· x2 都属于 S. 点评:本题考查集合的描述法以及元素与集合间的关系.


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