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2015届(文科数学)二轮复习课件大题冲关专题七


第2讲 圆锥曲线的综合问题 高考导航 热点透析 思想方法 高考导航 高考体验 研真题 明备考 1.(2014 高考安徽卷,文 21)设 F1,F2 分别是椭圆 E: x y ? 2 =1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 2 a b A,B 两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; 3 (2)若 cos∠AF2B= ,求椭圆 E 的离心率. 5 2 2 解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k. 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理可得 |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|?|BF2|cos ∠AF2B, 6 即(4k) =(2a-3k) +(2a-k) - (2a-3k)?(2a-k), 5 2 2 2 化简可得(a+k)(a-3k)=0, 而 a+k>0, 故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 2 2 2 因此|BF2| =|AF2| +|AB| , 可得 F1A⊥F2A, 故△AF1F2 为等腰直角三角形. 2 从而 c= a. 2 c 2 所以椭圆 E 的离心率 e= = . a 2 2.(2013年福建卷,文20)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线 l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作 圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N. (1)若点C的纵坐标为2,求|MN|; (2)若|AF|2=|AM|?|AN|,求圆C的半径. 解: (1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1. 由点C的纵坐标为2,点C在抛物线E上, 得点C的坐标为(1,2), 所以点C到准线l的距离d=2, 又|CN|=|CO|= 5 , 所以|MN|=2 CN ? d 2 =2 5 ? 4 =2. 2 2 y0 (2)设 C( ,y0), 4 2 4 y0 y 2 则圆 C 的方程为(x)2+(y-y0)2= 0 + y0 , 4 16 2 y 2 2 即 x - 0 x+y -2y0y=0. 2 2 y0 由 x=-1,得 y -2y0y+1+ =0, 2 2 2 ? ? ? y 2 2 0 ? ? 4 y ? 4 1 ? ? 2 y ? ? ? 0 0 ? 4 ? 0, 2 ? ? ? 设 M(-1,y1),N(-1,y2),则 ? 2 y0 ? y1 y2 ? ? 1. ? ? 2 由|AF| =|AM|?|AN|,得|y1y2|=4, 2 y0 所以 +1=4, 2 2 解得 y0=± 6 ,此时Δ>0. 所以圆心 C 的坐标为( 从而|CO|2= 33 , 4 3 3 , 6 )或( ,- 6 ), 2 2 33 |CO|= , 2 33 即圆 C 的半径为 . 2 感悟备考 圆锥曲线的综合问题,包括直线与圆锥曲线的位置关系问 题,圆锥曲线与圆以及圆锥曲线间的综合问题等,在近几 年的高考中不仅有利用直线、圆及圆锥曲线的方程求弦 长及参数的计算问题,还经常考查点或直线的存在性问题, 利用解析法证明问题. 预测20

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