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北京市各区2012届高三上学期期中、期末考试分类解析(6):数列


六、数列 (2012 1. 2012 年海淀区高三期末考试理 3)若数列 {an } 满足: a1 = 19 , an +1 = an ? 3( n ∈ N*) , ( 则数列 {an } 的前 n 项和数值最大时, n 的值是( B ) A.6 B.7 C.8 D.9

(2012 2. 2012 年朝阳区高三期末考试理 3) 设数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列, a1 = 1 且 (

a1 , a3 , a6 成等比数列,则 {an } 的前 n 项和 Sn 等于( A )
A.

n 2 7n + 8 8

B.

n 2 7n + 4 4

C.

n 2 3n + 2 4

D. n + n
2

(2012 “直接推算法”使 3. 2012 年丰台区高三期末考试理 5) 预测人口的变化趋势有多种方法, ( 用的公式是 Pn = P0 (1 + k ) ( k > ?1) ,其中 Pn 为预测人口数,P0 为初期人口数,k 为预测年
n

内增长率,n 为预测期间隔年数.如果在某一时期有-1<k<0,那么这期间人口数( B ) A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 C.摆动变化 D.不变 (2012 4. 2012 年海淀区高三期末考试文 3) 已知数列 {an } 满足: (
2 2 a1 = 1, an > 0, an +1 ? an = 1(n ∈ N*) ,那么使 an < 5 成立的 n 的最大值为( C )

A.4

B.5

C.24

D.25

a a ( 已知等差数列 {a n } 中, 1 = 1 , 3 = ?3 , 5. 2011 年海淀区高三年级第一学期期中练习理 3)
则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 = ( B ) A.15 B.17 C.-15 D.16

(2011 6. 2011 年海淀区高三年级第一学期期中练习文 3)已知等差数列 {an } 中,a1 = 1 ,a3 = ?5 , 则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 = ( D ) A. - 14 B. - 9 C.11 D.16

(2011 7. 2011 年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理 4) 在各项均为正数的数列 {an } 中, ( 对任意 m, n ∈ N? 都有 am + n = a m ?an .若 a6 = 64 ,则 a9 等于( C ) A.256 B.510 C.512 D. 1024

8. 顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示 5)等差数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ,若 (

S 5 = 20 ,则 a1 + 2a4 = ( B )
A. 9 B.12 C.15 D.18

(2011 年东城区高三示范校高三综合练习( 9. 2011 年东城区高三示范校高三综合练习(一)文 3)等差数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,若 (

a1 + a2 = 5 , a3 + a4 = 9 ,则 S10 的值为( C )
A. 55 B. 60 C.65 D.70

10. (2012 若 10. 2012 年东城区高三期末考试理 1)在等差数列 {a n } 中, a5 + a 7 = 4 ,a 6 + a8 = ?2 , ( 则数列 {a n } 的公差等于 答案: 答案: ? 3 ;57。 11. (2012 11. 2012 年丰台区高三期末考试理 9) 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S5= a8+5,S6= ( a7+ a9-5,则公差 d 等于 . 答案: 答案:5. 12. (2012 13) 12. 2012 年丰台区高三期末考试文 13) 设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,若 S1,2S2,3S3 ( 成等差数列,则公比 q 等于 答案: 答案: . ; 其前 n 项和 S n 的最大值为 .

1 。 3

13. (2012 12) 13. 2012 年西城区高三期末考试理 12)已知 {an } 是公比为 2 的等比数列,若 a3 ? a1 = 6 , ( 则 a1 = ;

1 1 1 + 2 + L + 2 = ______. 2 a1 a2 an
?n

答案: 答案: 2 , (1 ? 4 ) 。 14. (2011 10) a 14. 2011 年海淀区高三年级第一学期期中练习理 10)在各项均为正数的等比数列 { n }中, 若 a2 = 2 ,则 a1 + 2a3 的最小值是 答案: 答案: 4 2 。 15. (2011 10) 15. 2011 年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理 10) 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和 ( 为 S n .若 a2 = 2 , a1 + a5 = 8 ,则 S6 = _ 答案: 答案: 30 。 16. (2011 14) 16. 2011 年海淀区高三年级第一学期期中练习理 14) 已知数列 A : a1 , a2 ,L , an ( n > 2) , 令 T A = x | x = a i + a j ,1 ≤ i < j ≤ n , card(TA ) 表 示 集 合 TA 中 元 素 的 个 数 . ① 若 A : _. 。

1 3

{

}

2, 4,8,16 ,则 card(TA ) =

;②若 ai + 1 - ai = c ( c 为常数, 1 ≤ i ≤ n ? 1 ) ,则

card(TA ) = ?1, c = 0



答案: 6 ; ?2n ? 3, c ≠ 0 。 答案: ? 17. ( 12) 17. 顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示 12)设

a n = (1 ?

1 22

)(1 ?

1 32

) L (1 ?

1 n2

) ( n = 2,3, L) ,则 a 4 =

; a10 =

.

答案:

5 11 ; 8 20 。

18. ( 18. 顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示文 9)等差数列 {a n } 的前 n 项的和为 S n ,若

S 5 = 20 ,则 a1 + 2a4 =
答案: 答案:12。



19. (2011 年东城区高三示范校高三综合练习( 14) 19. 2011 年东城区高三示范校高三综合练习(一)理 14)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若数 ( 列 {an } 的各项按如下规律排列: 有如下运算和结论:① a24 =

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 n ?1 , , , , , , , , , ,L , , ,L , ,L 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 n n n

3 ; ②数列 a1 , a2 + a3 , a4 + a5 + a6 , a7 + a8 + a9 + a10 ,L 是等比 8 n2 + n ; ④若 4
.(将你认

数列;③数列 a1 , a2 + a3 , a4 + a5 + a6 , a7 + a8 + a9 + a10 ,L 的前 n 项和为 Tn = 存在正整数 k ,使 S k < 10, S k +1 ≥ 10, 则ak = 为正确的结论序号都填上) 答案: 答案:①③④。

5 . 其中正确的结论有 7

20 . 2011 年 东 城 区 高 三 示 范 校 高 三 综 合 练 习 ( 一 ) 文 3 ) 已 知 等 比 数 列 (

{an } 满 足

2a1 + a3 = 3a2 ,且 a3 + 2 是 a2 , a4 的等差中项.(Ⅰ)求数列 {an }的通项公式;
(Ⅱ)若 bn = an + log 2 数 n 的最小值. 解:(Ⅰ)设等比数列

1 , S n = b1 + b2 + ? ? ? + bn ,求使 S n ? 2 n +1 + 47<0 成立的正整 an

{an }的首项为 a1 ,公比为 q ,[来源:

http://wx.jtyjy.com/]

依题意,有 ?

? a1 (2 + q 2 ) = 3a1 q, (1) ? 2a1 + a3 = 3a 2 , 即? 3 2 ?a 2 + a 4 = 2(a3 + 2). ?a1 (q + q ) = 2a1 q + 4. (2)



(1) 得 q 2 ? 3q + 2 = 0 ,解得 q = 1 或 q = 2 .

当 q = 1 时,不合题意舍; 当 q = 2 时,代入(2)得 a1 (Ⅱ) bn = an + log 2
2

= 2 ,所以, an = 2 ? 2n?1 = 2n

.

……………….……6 分 ……………….…………7 分

1 1 = 2 n + log 2 n = 2n -n . an 2
3 n

所以 S n = 2 ? 1 + 2 ? 2 + 2 ? 3 + L + 2 ? n

= (2 + 22 + 23 + L + 2n ) ? (1 + 2 + 3 + L + n) = 2(1 ? 2 n ) n(1 + n) 1 1 ? = 2 n +1 ? 2 ? n ? n 2 1? 2 2 2 2
n +1

………………10 分

因为 S n ? 2 即n
2

+ 47 < 0 ,所以 2 n +1 ? 2 ?

1 1 n ? n 2 ? 2 n +1 + 47 < 0 , 2 2
……………………12 分

+ n ? 90 > 0 ,解得 n > 9 或 n < ?10 .
?

因为 n ∈ N ,故使 S n ? 2 n +1 + 47<0 成立的正整数 n 的最小值为 10 . …………….13 分

a 21. (2011 16) 21. 2011 年海淀区高三年级第一学期期中练习理 16) 已知数列 { n }是公差不为零的等差
数列, a2 = 3 ,且 a5 是 a4 , a8 的等比中项.(Ⅰ)求数列 { n }的通项公式; a (Ⅱ)设 Sn 为数 列 { n }的前 n 项和,求使 an = S n 成立的所有 n 的值. a (Ⅰ)因为 a5 是 a4 , a8 的等比中项, 解: 所以 a5 = a4 a8 . 设等差数列 { n }的公差为 d ,则 a
2

……………2 分

(a2 + 3d ) 2 = (a2 + 2d )(a2 + 6d ) .
因为 a2 = 3 , 所以 d + 2d = 0 . 因为 d ? 0 , 所以 d = - 2 . 所以 an = - 2n + 7 .
2

…4 分

…………6 分 ………………7 分

(Ⅱ)由 an = - 2n + 7 可知: a1 = 5 . 所以 S n =

(a1 + an )n 2 (5 + 7 - 2n)n = = 6n - n 2 . 2
2

…………………9 分 …………………11 分

由 an = S n 可得: - 2n + 7 = 6n - n . 所以 n = 1 或 n = 7 . ……………13 分

22. (2011 18) 22. 2011 年海淀区高三年级第一学期期中练习文 18) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满 足 Sn = 2an ? 1 ( n ∈ N * ) . ( Ⅰ ) 求 证 : 数 列 {an } 是 等 比 数 列 ; Ⅱ ) 数 列 {bn } 满 足 (
bn +1 = an + bn (n ∈ N*) ,且 b1 = 3 .若不等式 log 2 (bn ? 2) <

3 2 n + t 对任意 n ∈ N * 恒成立,求实 16

数 t 的取值范围. 解: (Ⅰ)因为 Sn = 2an ? 1 , 所以 Sn ?1 = 2an ?1 ? 1(n ≥ 2) . ……1 分

所以 an = Sn ? Sn ?1 = 2an ? 2an ?1 (n ≥ 2) ,即 an = 2an ?1 .…………3 分 因为 a1 = 2a1 ? 1 ,即 a1 = 1 . 所以 an ≠ 0(n ∈ N*) . 所以
an = 2(n ≥ 2) . an ?1

………4 分

所以,数列 {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得: an = 2
n ?1

………6 分

.

………7 分

因为 bn +1 = an + bn , ( n = 1, 2,3,L) ,且 b1 = 3 , 所以 bn = an ?1 + bn ?1 = an ?1 + an ? 2 + bn ? 2 = L = an ?1 + an ? 2 + L + a1 + b1

= 2 n ? 2 + 2 n ?3 + L + 1 + 3 = 2 n ?1 + 2 . ……………10 分
因为不等式 log 2 (bn ? 2) < 所以 t > ? 因为 ?
3 2 n + t 对任意 n ∈ N* 恒成立, 16

3 2 n + n ? 1 对任意 n ∈ N* 恒成立. ……………11 分 16

3 2 5 3 5 n + n ? 1 ≤ ,且 n = 3 时, ? n 2 + n ? 1 取得最大值 , 16 16 16 16

所以 t >

5 . 16

所以 t 的取值范围是 (

5 ,+∞) . 16

………13 分

23. (2011 19) 23 . 2011 年海淀区高三年级第一学期期中练习理 19 ) 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,
2 S n = λ an ? 1 ( λ 为常数, n = 1, 2, 3,L ).(Ⅰ)若 a3 = a2 ,求 λ 的值; (Ⅱ)是否存在

实数 λ ,使得数列 {an } 是等差数列?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由; (Ⅲ)当

λ = 2 时,若数列 {bn } 满足 bn +1 = an + bn , (n = 1, 2,3,L) ,且 b1 = ,令 cn =
求 数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . (Ⅰ)因为 S n = λ an ? 1 , 解: 所以 a1 = 由 a1 =

3 2

an . (an + 1)bn

λ a1 - 1 , a2 + a1 = λ a2 ? 1 , a3 + a2 + a1 = λ a3 ? 1 .………1 分

λ a1 - 1 可知: λ ? 1 .
1 λ λ2 , a2 = , a3 = . λ- 1 (λ - 1) 2 (λ - 1)3
2

所以 a1 =

因为 a3 = a2 ,

所以

λ2
(λ - 1)3

=

λ2
(λ - 1) 4

.

所以 λ = 0 或 λ = 2 .

……3 分

(Ⅱ)假设存在实数 λ ,使得数列 {an } 是等差数列,则 2a2 = a1 + a3 .………4 分 由(Ⅰ)可得:

2λ 1 λ2 = + . (λ - 1) 2 λ - 1 (λ - 1)3

所以

2λ 2λ 2 - 2λ + 1 = ,即 1 = 0 ,矛盾. (λ - 1) 2 (λ - 1)3

所以不存在实数 λ ,使得数列 {an } 是等差数列.………6 分 (Ⅲ)当 λ = 2 时, S n = 2an ? 1 . 所以 S n ?1 = 2an ?1 ? 1( n ≥ 2) ,且 a1 = 1 . 所以 an = 2an ? 2an ?1 ,即 an = 2an ?1 ( n ≥ 2) .

所以 an ≠ 0(n ∈ N*) ,且

an = 2(n ≥ 2) . an ?1

所以,数列 {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 所以 an = 2
n ?1

(n ∈ N*) .

……………8 分

因为 bn +1 = an + bn , ( n = 1, 2,3,L) ,且 b1 =

3 , 2

所以 bn = an ?1 + bn ?1 = an ?1 + an ? 2 + bn ? 2 = L = an ?1 + an ? 2 + L + a1 + b1

= 2 n ? 2 + 2 n ?3 + L + 1 +

3 2n + 1 = (n ≥ 2) . 2 2

当 n = 1 时,上式仍然成立. 所以 bn =

2n + 1 (n ∈ N*) . 2

……10 分

因为 cn =

an , (an + 1)bn
2 n- 1 = 2 ×2n- 1 .……11 分 (2n- 1 + 1)(2n + 1)

所以 cn =

(2
因为

n- 1

2n + 1 + 1)  2

2 n- 1 1 1 = n- 1 - n , ……………12 分 n- 1 n (2 + 1)(2 + 1) 2 + 1 2 + 1

所以 Tn = c1 + c2 + L + cn

1 1 1 1 1 1 2 2n - 1 = 2( + - 2 + L + n- 1 - n ) = 1- n = n 2 2+ 1 2+ 1 2 + 1 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1


.14

24. (2011 17) 24. 2011 年朝阳区高三年级第一学期期中统一考试理 17) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , ( 且 2an = S n + 2n + 1 (n ∈ N ? ) .(Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求证:数列 {an + 2} 是等比数 列; (Ⅲ)求数列 {n ? an } 的前 n 项和 Tn . (I)由题意,当 n = 1 时,得 2a1 = a1 + 3 ,解得 a1 = 3 . 解: 当 n = 2 时,得 2a2 = ( a1 + a2 ) + 5 ,解得 a2 = 8 . 当 n = 3 时,得 2a3 = ( a1 + a2 + a3 ) + 7 ,解得 a3 = 18 .

所以 a1 = 3 , a2 = 8 , a3 = 18 为所求.

…3 分

(Ⅱ) 因为 2an = S n + 2n + 1 ,所以有 2an +1 = S n +1 + 2n + 3 成立. 两式相减得: 2an +1 ? 2an = an +1 + 2 . 所以 an +1 = 2an + 2 (n ∈ N ) ,即 an +1 + 2 = 2( an + 2) .
?

……5 分

所以数列 {an + 2} 是以 a1 + 2 = 5 为首项,公比为 2 的等比数列. ………7 分 (Ⅲ)由(Ⅱ) 得: an + 2 = 5 × 2 则 nan = 5n ? 2
n ?1 n ?1

,即 an = 5 × 2

n ?1

? 2 (n ∈ N ? ) .

? 2n ( n ∈ N ? ) .

……8 分

设数列 5n ? 2 n ?1 的前 n 项和为 Pn , 则 Pn = 5 × 1× 2 + 5 × 2 × 2 + 5 × 3 × 2 + ... + 5 × ( n ? 1) ? 2
0 1 2 1 2 3 n?2

{

}

+ 5 × n ? 2n ?1 , + 5n ? 2 n ,

所以 2 Pn = 5 × 1× 2 + 5 × 2 × 2 + 5 × 3 × 2 + ... + 5( n ? 1) ? 2 所以 ? Pn = 5(1 + 2 + 2 + ... + 2
1 2 n n ?1

n ?1

) ? 5n ? 2 n ,
…11 分
n

即 Pn = (5n ? 5) ? 2 + 5 (n ∈ N ? ) .

所以数列 {n ? an } 的前 n 项和 Tn = (5n ? 5) ? 2 + 5 ? 2 × 整理得, Tn = (5n ? 5) ? 2 ? n ? n + 5 (n ∈ N ? ) .
n
2

n(n + 1) , 2
……13 分

25. ( 16) 25. 顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示文 16)等比数列 {an } 中, a1 = 2, a4 = 16 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 4 项和第 16 项,试求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . (Ⅰ)设 {an } 的公比为 q , 解: 由已知得 16 = 2q 3 ,解得 q = 2 . 又 a1 = 2 ,所以 an = a1q
n ?1

……………………3 分

= 2× 2

n ?1

= 2 . …………………………………………6 分
n

(Ⅱ)由(I)得 a2 = 8 , a5 = 32 ,则 b4 = 8 , b16 = 32 .

?b1 = 2, ?b1 + 3d = 8, 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ? 解得 ? …………………10 分 ?d = 2. ?b1 + 15d = 32,
则数列 {bn } 的前 n 项和 Sn = nb1 +

n(n ? 1) n(n ? 1) d = 2n + × 2 = n 2 + n. 2 2

…… 13 分

已知 a1 = 1 , 26. ( 17) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 26.顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示 17)

S n = na n ? n(n ? 1) ( n ∈ N + ) (Ⅰ)求 a n 的表达式; (Ⅱ)若数列 {
Tn ,问:满足 Tn >
100 的最小正整数 n 是多少? 209

1 } 的前 n 项和为 a n a n +1

(Ⅰ)当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = nan ? ( n ? 1) an ?1 ? 2( n ? 1) 解:

……2 分

?

an ? an ?1 = 2 ( n ≥ 2)

? 数列 {an } 是以 a1 = 1 为首项,以 2 为公差的等差数列
∴ an = 2 n ? 1 (Ⅱ)数列 { …6 分

1 } 的前 n 项和为 Tn an an +1

Tn =

1 1 1 1 1 1 + + ?????? + = + + ?????? + a1a2 a2 a3 an an +1 1× 3 3 × 5 (2n ? 1) × (2n + 1)
……10 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 )] = [( ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ?????? + ( ? 2 1 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n + 1 1 1 n )= = (1 ? 2 2 n + 1 2n + 1

?

n 100 > 2n + 1 209

? n>

100 100 ? 满足 Tn > 的最小正整数 n 是 12. …13 分 9 209
1 , 4

27. (2011 年东城区高三示范校高三综合练习( 19) 27 . 2011 年东城区高三示范校高三综合练习 ( 一 ) 理 19 ) 已知数列 {a n } 满足 a1 = (

an =

(? 1)

a n ?1
n

a n ?1 ? 2

( n ≥ 2, n ∈ N) .

(Ⅰ)试判断数列 ?

?1 n? + (? 1) ? 是否为等比数列,并说明理由; ? an ?
( 2n ? 1) π ? ,数列 {c n } 的前 n 项和为 Tn .求证:对任意的 n ∈ N , 2

(Ⅱ)设 c n = a n sin

Tn <

2 . 3

(1)由已知a n = 解:

(? 1)n an?1 ? 2

a n ?1



1 (? 1) a n ?1 ? 2 2 n = = (? 1) ? , an a n ?1 a n ?1
n

1 2 1 1 3 n n n ?1 + (? 1) = 2 ? (? 1) ? = ?2[ + (? 1) ] .又 ? 1 = ? ≠ 0 , an a n?1 a n ?1 a1 4

故?

?1 n? + (? 1) ? 为公比为-2 的等比数列. ? an ?
1 n + (? 1) = (4 ? 1) ? (?2) n ?1 = 3 ? (?2) n ?1 . an

…………7 分

(2)由(1)得

所以

1 1 n = 3 ? (?2) n ?1 ? (? 1) , an = , n n ?1 an 3 ? (?2) ? (? 1)

c n = a n sin

(2n ? 1)π 1 1 1 = ? (?1) n?1 = < . n n ?1 n ?1 2 3 ? 2 + 1 3 ? 2 n ?1 3 ? (?2) ? (? 1)
……14 分

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 1 2 2 所以 Tn < 3 = [1 ? ( ) n ] < . 1 3 2 3 1? 2

28. ( 年东城区高三示范校高三综合练习( 已知函数 F ( x ) = 28. 2011 年东城区高三示范校高三综合练习(一)文 3)

3x ? 2 ? 1? , x ≠ ?. ? 2x ?1 ? 2?

(Ⅰ)求 F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2010 ? ( ?+F? ? +L + F ? ? ; Ⅱ ) 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 2 , ? 2011 ? ? 2011 ? ? 2011 ?

an+1 = F ( an ) ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求证: a1a2 a3 ...an > 2n + 1 .
(Ⅰ)因为 F ( x ) + F (1 ? x ) = 解:

3 x ? 2 3 (1 ? x ) ? 2 + = 3. 2 x ? 1 2 (1 ? x ) ? 1

………….…2 分

? 设 S =F ? 1 ? + F ? 2 ? + L + F ? 2010 ? ① ? ? ? ? ? ? 2011 ? ? 2011 ? ? 2011 ?

? 2010 ? ? 2009 ? ? 1 ?② S =F ? ?+ F ? ? +L + F ? ? ? 2011 ? ? 2011 ? ? 2011 ?
①+②得:

? ? 1 ? ? ? 2010 ? ? 2010 ? ? ? ? 2 ? ? 2009 ? ? ? 1 ?? 2S = ? F ? ?+ F? ?? + ?F ? ?+ F? ? ? + ... + ? F ? ?+ F ? ?? ? 2011 ? ? ? ? 2011 ? ? 2011 ? ? ? 2011 ? ? ? ? 2011 ? ? ? 2011 ?
= 3 × 2010 = 6030 , 所以 S =3015.…….…………….…………….…………….4 分
(Ⅱ)由 an +1 = F ( an ) 两边同减去 1,得 an +1 ? 1 =

3an ? 2 a ?1 ?1 = n , 2 an ? 1 2an ? 1

所以

1 an +1 ? 1

=

2an ? 1 2 ( an ? 1) + 1 1 1 1 = = 2+ ,所以 ? = 2. an ? 1 an ? 1 an ? 1 an +1 ? 1 an ? 1

? 1 ? ? ? 是以 2 为公差以 1 为首项的等差数列 . ? an ? 1 ?
所以

…….…………….…6 分

1 1 2n = 1 + ( n ? 1) × 2 = 2n ? 1 ? an = 1 + = .…….…………….8 分 an ? 1 2n ? 1 2 n ? 1
2 2

(Ⅲ) ∵ ( 2n ) > ( 2n ) ? 1 = ( 2n ? 1)( 2n + 1) ,∴

2n 2n + 1 > , 2n ? 1 2n 2 2n 2n + 1 2n + 1 2n 2n + 1 ? 2n ? ∴? ? = ,则 an = > ,…….………12 分 ? > 2n ? 1 2n ? 1 2 n 2 n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1 ?
所以 a1a2 a3 L an >

3 5 7 2n + 1 ? ? ?L ? = 2n + 1 . …….…………….…………14 分 1 3 5 2n ? 1

29. (2012 16) 29. 2012 年昌平区高三期末考试文 16) 已知数列 {a n } 是等差数列, a 3 = 10 , a 6 = 22 ,数 ( 列 {bn } 的前 n 项和是 S n ,且 S n + 列 {bn } 是等比数列; 解: (1)由已知 ?

1 bn = 1 .(I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)求证:数 3

?a1 + 2d = 10, ?a1 + 5d = 22.

解得 a1 = 2, d = 4.

∴ a n = 2 + (n ? 1) × 4 = 4n ? 2. ………………6 分 1 bn , ① 3 1 3 1 令 n =1,得 b1 = 1 ? b1 . 解得 b1 = ,当 n ≥ 2 时, S n ?1 = 1 ? bn ?1 ② 3 4 3 1 1 1 ① -②得 bn = bn ?1 ? bn , ∴ bn = bn ?1 3 3 4
(2)由于 S n = 1 ? 又 b1 =

b 3 1 ≠ 0, ∴ n = . 4 bn ?1 4
3 1 为首项, 为公比的等比数列.… …13 分 4 4

∴数列 {bn } 是以

30. (2012 16) 30. 2012 年东城区高三期末考试文 16) 在等差数列 {a n } 中, a1 = 3 ,其前 n 项和为 S n , ( 等比数列 {bn } 的各项均为正数,b1 = 1 ,公比为 q ,且 b2 + S 2 = 12 , q =

S2 . (Ⅰ)求 a n b2

与 bn ; (Ⅱ)设数列 {cn } 满足 c n = (Ⅰ)设 {a n } 的公差为 d , 解:

1 ,求 {c n } 的前 n 项和 Tn . Sn

?b2 + S 2 = 12, ?q + 6 + d = 12, ? ? S2 6+d 因为 ? 所以 ? q= . q= , ? ? q b2 ? ?
解得 q = 3 或 q = ?4 (舍) d = 3 . , 故 an = 3 + 3( n ? 1) = 3n (Ⅱ)因为 S n = 所以 c n = , bn = 3
n ?1



……8 分

n(3 + 3n) , 2 1 2 2 1 1 = = ( ? ). S n n(3 + 3n) 3 n n + 1
…11 分

故 Tn =

2? 1 1 1 1 1 ? 2 1 2n ?(1 ? 2 ) + ( 2 ? 3 ) + L + ( n ? n + 1) ? = 3 (1 ? n + 1) = 3(n + 1) . 13 分 3? ?

31. 2012 年昌平区高三期末考试理 18) 已知数列 {a n } 是等差数列, a 3 = 10 , a 6 = 22 ,数 31. (2012 ( 18) 列 {bn } 的前 n 项和是 Tn ,且 Tn +

1 bn = 1 .(I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)求证:数 3

列 {bn } 是等比数列; (III)记 c n = a n ? bn ,求证: c n +1 < c n . (1)由已知 ? 解:

?a1 + 2d = 10, ?a1 + 5d = 22.

解得 a1 = 2, d = 4.

∴ a n = 2 + (n ? 1) × 4 = 4n ? 2. ………………4 分 1 bn , ① 3 1 3 1 令 n =1,得 b1 = 1 ? b1 . 解得 b1 = ,当 n ≥ 2 时, Tn ?1 = 1 ? bn ?1 ② 3 4 3 1 1 1 ② -②得 bn = bn ?1 ? bn , ∴ bn = bn ?1 3 3 4
(2)由于 Tn = 1 ? 又 b1 =

b 3 1 ≠ 0, ∴ n = . 4 bn ?1 4
3 1 为首项, 为公比的等比数列.………9 分 4 4

∴数列 {bn } 是以

3 3(4n ? 2) . ……9 分 ……10 分 c n = a n ? bn = n 4 4n 3[4(n + 1) ? 2] 3(4n ? 2) 30 ? 36n c n +1 ? c n = ? = . 4 n +1 4n 4 n +1 Q n ≥ 1 ,故 c n +1 ? c n < 0. ∴ c n+1 < c n . ……………………13 分
(3)由(2)可得 bn = 32. (2012 16) 32. 2012 年东城区高三期末考试理 16) 在等差数列 {a n } 中, a1 = 3 ,其前 n 项和为 S n , ( 等比数列 {bn } 的各项均为正数, b1 = 1 ,公比为 q ,且 b2 + S 2 = 12 , q =

S2 . b2

(Ⅰ)求 a n 与 bn ; (Ⅱ)证明: (Ⅰ)设 {a n } 的公差为 d , 解:

1 1 1 1 2 ≤ + +L+ < . 3 S1 S 2 Sn 3

?b2 + S 2 = 12, ?q + 6 + d = 12, ? ? S2 6+d 因为 ? 所以 ? q= . q= , ? ? q b2 ? ?
解得 q = 3 或 q = ?4 (舍) d = 3 . , 故 an = 3 + 3( n ? 1) = 3n (Ⅱ)因为 S n = 所以 , bn = 3
n ?1



……6 分

n(3 + 3n) , 2
…9 分

1 2 2 1 1 = = ( ? ). S n n(3 + 3n) 3 n n + 1



1 1 1 2? 1 1 1 1 1 1 1 ? + +L + = ?(1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) S1 S 2 Sn 3 ? 2 2 3 3 4 n n +1 ? ? 2 1 (1 ? ). 3 n +1
………11 分

=

因为 n ≥ 1 ,所以 0 <

1 1 1 1 ≤ ,于是 ≤ 1 ? < 1, n +1 2 2 n +1 1 2 1 2 所以 ≤ (1 ? )< . 3 3 n +1 3 1 1 1 1 2 ≤ + +L+ < . 3 S1 S 2 Sn 3
……13 分



( 20) 函数 f ( x ) 的定义域为 R, 数列 {an } 满足 an =f ( an ?1 ) 33. 2012 年丰台区高三期末考试文 20) (n∈ N 且n ≥ 2 ) .
*

(Ⅰ)若数列 {an } 是等差数列, a1 ≠ a2 ,且 f ( an ) ? f ( an ?1 ) = k ( an ? an ?1 ) (k 为非零常 数, n ∈ N 且 n ≥ 2 ),求 k 的值;
*

(Ⅱ)若 f ( x ) = kx ( k > 1) , a1 = 2 , bn = ln an ( n ∈ N ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,对
*

于给定的正整数 m ,如果 (Ⅰ)当 n ≥ 2 时, 解:

S( m +1) n S mn

的值与 n 无关,求 k 的值.

因为 an = f ( an ?1 ) , f ( an ) ? f ( an ?1 ) = k ( an ? an ?1 ) , 所以 an +1 ? an = f ( a n ) ? f ( an ?1 ) = k ( an ? an ?1 ) . 因为数列 {an } 是等差数列,所以 an +1 ? an = an ? an ?1 . 因为 an +1 ? an = k ( an ? an ?1 ) , 所以 k = 1 . (Ⅱ)因为 f ( x ) = kx ( k > 1) , a1 = 2 ,且 an +1 = f ( an ) , 所以 an +1 = kan . 所以数列 {an } 是首项为 2,公比为 k 的等比数列, 所以 an = 2k
n ?1

…6 分



所以 bn = ln an = ln 2 + ( n ? 1) ln k . 因为 bn ? bn ?1 = ln k , 所以 {bn } 是首项为 ln 2 ,公差为 ln k 的等差数列. 所以 Sn = 因为

(b1 + bn )n (n ? 1) = n[ln 2 + ln k ] . 2 2 [(m + 1)n ? 1] ln k} (m + 1)[(m + 1)n ln k + 2 ln 2 ? ln k ] 2 = (mn ? 1) m[mn ln k + 2 ln 2 ? ln k ] mn[ln 2 + ln k ] 2

S( m +1) n S mn
, 又因为

=

(m + 1)n{ln 2 +

S( m +1) n S mn

的值是一个与 n 无关的量,

所以

2 ln 2 ? ln k 2 ln 2 ? ln k = , mn ln k (m + 1)n ln k
…13 分

解得 k = 4 .

34.( 20) (1)首项 a1=1,末项 am=k, 34.(2012 年丰台区高三期末考试理 20) 若有穷数列{an}满足: (2)an+1= an+1 或 an+1=2an ,(n=1,2,…,m-1),则称数列{an}为 k 的 m 阶数列. (Ⅰ)请写出一个 10 的 6 阶数列; (Ⅱ)设数列{bn}是各项为自然数的递增数列,若 k = 2 1 + 2 2 + 2 3 + L +2 l (l ∈ N ,且
b b b b

l ≥ 2) ,求 m 的最小值.
(Ⅰ)1,2,3,4,5,10 或 1,2,4,8,9,10. 解: (Ⅱ)由已知在数列{an}中 an+1= an+1 或 an+1=2an, 当 am 为偶数时, am ?1 = 因为 2分

am (am ≥ 2) ,或 am ?1 = am ? 1 . 2

am ≤ am ? 1 ( am ≥ 2) , 2 a 所以在数列{an}中 1 ≤ ai ≤ m 中 i 的个数不多于 1 ≤ a j ≤ am ? 1 中 j 的个数, 2 a 要使项数 m 最小,只需 am ?1 = m ( am ≥ 2) . ……5 分 2
当 am 为奇数时,必然有 am ?1 = am ? 1 (am ≥ 2) , am ?1 是偶数,可继续重复上面的操作. 所以要使项数 m 最小,只需遇到偶数除以 2,遇到奇数则减 1. 因为 am = k = 2 1 + 2 2 + 2 3 +L +2 l ,且 0 ≤ b1 < b2 < b3 < L < bl ,
b b b b

只 需 除 以 b1 次 2 , 得 到 1 + 2

b2 ? b1

+ 2b3 ?b1 +L +2bl ?b1 为 奇 数 ; 减 1 , 得 到

2b2 ?b1 + 2b3 ?b1 +L +2bl ?b1 为偶数,
再除以 b2 ? b1 次 2,得到 1 + 2 3 再减 1,得到 2 3 最后得到 2 l
b ? bl ?1 b ?b2 b ?b2

+ L + 2bl ?b2 ;

+ L + 2bl ?b2 为偶数,…………,

为偶数,

除以 bl ? bl ?1 次 2,得到 1,即为 a1 . 所以 m = b1 + (b2 ? b1 ) + (b3 ? b2 ) + L +(bl ? bl ?1 ) + (l ? 1) + 1 = bl + l . …13 分 20) 35. (2012 年朝阳区高三期末考试理 20) 数列 {an } , {bn } ( n = 1, 2, 3,L )由下列条件确

定 : ① a1 < 0, b1 > 0 ; ② 当 k ≥ 2 时 , a k 与 bk 满 足 : 当 a k ?1 + bk ?1 ≥ 0 时 ,

a k = a k ?1 , bk =

a k ?1 + bk ?1 a + bk ?1 ;当 a k ?1 + bk ?1 < 0 时, a k = k ?1 , bk = bk ?1 . 2 2

(Ⅰ)若 a1 = ?1 , b1 = 1 ,写出 a2 , a3 , a4 ,并求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 {bn } 中,若 b1 > b2 > L > bs ( s ≥ 3 ,且 s ∈ N * ),试用 a1 ,b1 表示

bk k ∈ {1,2,L, s} ;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设数列 {c n } ( n ∈ N*) 满足 c1 =

1 , cn ≠ 0 , 2

cn +1 = ?

22 ? m 2 cn + cn (其中 m 为给定的不小于 2 的整数), 求证: n ≤ m 时, 当 恒有 c n < 1 . mam

(Ⅰ)解:因为 a1 + b1 = 0 ,所以 a 2 = a1 = ?1 , b2 = 解

a1 + b1 = 0. 2

因为 a 2 + b2 = ?1 < 0 ,所以 a 3 = 因为 a3 + b3 = ?

a 2 + b2 1 = ? , b3 = b2 = 0 . 2 2

a +b 1 1 < 0 ,所以 a4 = 3 3 = ? , b4 = b3 = 0 . 2 2 4 1 1 所以 a1 = ?1, a2 = ?1, a3 = ? , a4 = ? . ……………… 2 分 2 4
由此猜想,当 k ≥ 2 时, a k ?1 + bk ?1 < 0 ,则 a k = 分 下面用数学归纳法证明: ①当 k = 2 时,已证成立. ②假设当 k = l ( l ∈ N ,且 l ≥ 2 )猜想成立, 即 al ?1 + bl ?1 < 0 , bl = bl ?1 = 0 , al = 当 k = l + 1 时 , 由 al =
?

a k ?1 + bk ?1 a k ?1 = , bk = bk ?1 = 0 . 3 2 2

al ?1 <0. 2

al +1 =

al + b l al = <0. 2 2

al ?1 < 0 , bl = bl ?1 = 0 得 al + bl < 0 , 则 bl = bl +1 = 0 , 2

综上所述,猜想成立. 所以 an = a2 × ?

?1? ? ?2?

n?2

?1? = ?1 ? ? ? ?2?

n?2

=?

1 2
n?2

(n ≥ 2) .

? ?1 ? 故 an = ? 1 ?? 2n ? 2 ?

n = 1, n ≥ 2.
. …………………… 6 分

(Ⅱ)解:当 2 ≤ k ≤ s 时,假设 ak ?1 + bk ?1 < 0 ,根据已知条件则有 bk = bk ?1 , 与 b1 > b2 > L > bs 矛盾,因此 ak ?1 + bk ?1 < 0 不成立, 所以有 ak ?1 + bk ?1 ≥ 0 ,从而有 ak = ak ?1 ,所以 ak = a1 . 当 a k ?1 + bk ?1 ≥ 0 时, a k = a k ?1 , bk = 所以 bk ? ak = … 7分

a k ?1 + bk ?1 , 2
……… 8 分

ak ?1 + bk ?1 1 ? ak ?1 = (bk ?1 ? ak ?1 ) ; 2 2 1 当 2 ≤ k ≤ s 时,总有 bk ? ak = (bk ?1 ? ak ?1 ) 成立. 2
又 b1 ? a1 ≠ 0 ,

所 以 数 列 {bk ? ak } ( k = 1,2,L, s ) 是 首 项 为 b1 ? a1 , 公 比 为

1 的等比数列, 2

?1? bk ? ak = (b1 ? a1 )? ? ?2?

k ?1

, k = 1, 2,L , s ,
k ?1

?1? 又因为 ak = a1 ,所以 bk = (b1 ? a1 )? ? ?2?
(Ⅲ)证明:由题意得 cn +1 = ?

+ a1 .

…………… 10 分

22 ? m 2 cn + cn mam

=
因为 cn +1 =

1 2 cn + cn . m

1 2 1 cn + cn ,所以 cn +1 ? cn = cn 2 > 0 . m m
………………… 11 分

所以数列 {cn } 是单调递增数列. 因此要证 c n < 1( n ≤ m) ,只须证 c m < 1 . 由 m ≥ 2 ,则 c n +1 =

1 2 1 1 1 1 c n + c n < c n c n +1 + c n ,即 ? > ? .…… 12 分 m m cn +1 cn m

因此

1 1 1 1 1 1 1 1 =( ? )+( ? ) +L+ ( ? ) + cm c m c m?1 c m ?1 c m ? 2 c 2 c1 c1

m ?1 m +1 +2= . m m m <1. 所以 cm < m +1 >?
故当 n ≤ m ,恒有 c n < 1 . ……………………………14 分


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