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上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:平面向量


上海市 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练 平面向量
一、填空、选择题 1、(2016 年上海高考)在平面直角坐标系中,已知 A(1,0),B(0,-1),P 是曲线 y ? 1 ? x 2 上一个动点,则 BP ? BA 的取值范围是 .

2、 (2016 年上海高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, O 为正八边形 A1 A2 ? A8 的中心, A1 ?1,0? . 任取不同的两点 Ai , Aj ,点 P 满足 OP ? OAi ? OAj=0 ,则点 P 落在第一象限的概率是

??? ? ???? ???? ? ?

.

1 ,D 为边 BC 上的点,△ A BD 与△ ACD 的 2 ??? ? ??? ? 面积分别为 2 和 4.过 D 作 D E⊥A B 于 E,DF⊥AC 于 F,则 DE ? DF = .
3、 (2015 年上海高考)在锐角三角形 A BC 中,tanA= 4 、( 2014 年上海高考)如图,四个棱长为 1 的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱,

??? ? ??? ? P i (i ? 1, 2 , ? , 8) 是上底面上其余的八个点,则 AB ? AP i (i ? 1, 2, ?, 8) 的不同值的个数为
( )
P2 P1 B P3 P4 P6 P5 P7 P8

A

(A) 1 . (C) 4 .

(B) 2 . (D) 8 .

? ? ? ? ? ? ? 5、(浦东新区 2016 届高三三模)已知 a ? 2 , b ? 3 ,且 a , b 的夹角为 ,则 3a ? 2b ?

3

6、(杨浦区 2016 届高三三模)如图,已知 AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 3 ,圆 A 是以 A 为圆心、 半径为 1 的圆,圆 B 是以 B 为圆心、半径为 2 的圆,设点 P 、 Q 分别为圆 A 、圆 B 上的动点,且

??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? AP ? BQ ,则 CP ? CQ 的取值范围是 2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 7、 (虹口区 2016 届高三三模)在锐角 ?ABC 中, B ? 60?, AB ? AC ? 2, 则 AB ? AC 的取值范围
为 (
)

(A)(0, 12)

? 1 ? (B) ? ? , 12 ? 4 ? ?

(C) ? 0, 4

?

(D) ? 0, 2

?

8、(崇明县 2016 届高三二模)矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 ,P 为矩形内部一点,且 AP ? 1 .若

??? ? ??? ? ???? AP ? ? AB ? ? AD (? , ? ? R) ,则 2? ? 3? 的最大值是



9、(奉贤区 2016 届高三二模)已知△ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? AC ? 0 ,且△ ABC 的面积为

??? ?

????

??? ? ??? ?

3 , 则 ?BAC ? _______. 2

10、(黄浦区 2016 届高三二模)已知菱形 ABCD ,若 | AB | ? 1 , A ?

??? ?

?
3

,则向量 AC 在 AB 上的

????

??? ?

投影为 ??? ? ???? ???? 11、(静安区 2016 届高三二模)已知△ABC 外接圆的半径为 2 ,圆心为 O ,且 AB ? AC ? 2AO , ??? ? ???? ??? ? ??? ? . AB ? AO ,则 CA ? CB ? 12 、 ( 闵 行 区 2016 届 高 三 二 模 ) 平 面 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 60 ? , a ? 1 , b ? (3,0) , 则

?

?

?

?

? ? 2a ? b ?

.
2 2

13、(闵行区 2016 届高三二模)若 AB 是圆 x ? ( y ? 3) ? 1的任意一条直径, O 为坐标原点,则

??? ? ??? ? OA ? OB 的值为
14、(长宁、青浦、宝山、嘉定四区 2016 届高三二模)已知 a , b 是平面内两个互相垂直的单位向 量,若向量 c 满足 (c ? a ) ? (c ? b ) ? 0 ,则 | c | 的最大值是( (A) 1 (B) 2 (C) 2

r

r

r

r

r

r

r

r

). (D)

2 2 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 15 、(青浦区 2016 届高三上学期期末)已知平面向量 OA 、 OB 、 OC 满足 OA ? OB ? 0 ,且 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OC ? 1 , OB ? 3 ,则 CA ? CB 的最大值是

16、 (松江区 2016 届高三上学期期末)已知抛物线 C : y ? 4x 的准线为 l ,过 M ( 1 ,0) 且斜率为 k 的
2

直线与 l 相交于点 A ,与抛物线 C 的一个交点为 B .若 AM ? 2MB ,则 k ?

???? ?

????





17、(杨浦区 2016 届高三上学期期末)如图,在矩形 OABC 中,点 E、F 分别在线段 AB、BC 上,

??? ? ??? ? ??? ? 且满足 AB=3AE,BC=3CF,若 OB ? ? OE ? ? OF (? , ? ? R) ,
则 ? ? ? ? ____________. 18 、(闸北区 2016 届高三上学期期末)在菱形 ABCD 中, AB ? 1 ,

C

F

B E A

O

??? ? ??? ? ?DAB ? 60? , E 为 CD 的中点,则 AB ? AE 的值是
19、 (宝山区2016届高三上学期期末) P是 ?ABC 所在平面内一点, 若 CB ? ? PA ? PB , 其中 ? ? R , 则P点一定在……( (A) ?ABC 内部 (C)AB 边所在直线上 ) (B)AC边所在直线上 (D)BC 边所在直线上

20、 (金山区 2016 届高三上学期期末) 已知 a , b 是单位向量,a ? b ? 0 , 且向量 c 满足 | c ? a ? b | =1, 则| c |的取值范围是( ). (B) [ 2 ?1,

(A) [ 2 ?1, 2 ? 1] (C) [ 2 ,

2]

2 ? 1]

(D) [2 ? 2 , 2 ? 2 ]

二、解答题 1、(虹口区 2016 届高三二模)在锐角 ?ABC 中, sin A ? sin 2 B ? sin( (1) 求角 A 的值; (2) 若 AB ? AC ? 12, 求 ?ABC 的面积.

?
4

? B) sin(

?
4

? B).

??? ? ??? ?

2、(宝山区 2016 届高三上学期期末)已知角 A、B、C 是 ?ABC 的三个内角, a、b、c 是各角的 对边,若向量 m ? ?1 ? cos(A ? B), cos (1)求 tan A ? tan B 的值; (2)求

? ?

9 A? B? A? B? ?5 ? , n ? ? , cos ? ,且 m ? n ? . 8 2 ? 2 ? ?8

ab sin C 的最大值. a ? b2 ? c2
2

s,si n x?c o x s) , 3. ( 嘉 定 区 2016 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 x ? R , 设 m ? (2 c o x

?

? ? ? n ? ( 3 sin x , sin x ? cos x) ,记函数 f ( x) ? m ? n .
(1)求函数 f ( x) 取最小值时 x 的取值范围; (2) 设△ ABC 的角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 若 f (C ) ? 2 ,c ? 3 , 求△ ABC 的面积 S 的最大值.

4、(浦东新区 2016 届高三上学期期末)已知两个向量 a ? ?1 ? log 2 x, log 2 x ? , b ? ? log 2 x,1? (1)若 a ? b ,求实数 x 的值; (2)求函数 f ( x) ? a ? b, x ? ? , 2 ? 的值域。 4

r

r

r

r

r r

?1 ?

? ?

5、 (金山区 2015 届高三上期末) a、 b、 c 分别是锐角△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边, 向量 p =(2–2sinA, cosA+sinA), q =(sinA–cosA,1+sinA),且 p ∥ q .已知 a= 7 ,△ABC 面积为 小.

3 3 ,求 b、c 的大 2

6、 (浦东区 2015 届高三上期末)在 △ABC 中,角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,且 b ? c ,

? A 的平分线为 AD ,若 AB ? AD ? mAB ? AC. (1)当 m ? 2 时,求 cos A 的值;
(2) 当

uu u r uuu r

uu u r uuu r

a 2 3 ? (1, ) 时,求实数 m 的取值范围. b 3

参考答案 一、填空、选择题 1、【答案】 [0,1 ? 2]

2、【答案】

5 28

2 2 【解析】共有 C8 ? 28 种基本事件,其中使点 P 落在第一象限共有 C3 ? 2 ? 5 种基本事件,故概率为

5 . 28
3、解:如图,

4、 【解析】 : 根据向量数量积的几何意义,AB ? AP 而 AP i 等于 AB 乘以 AP i 在 AB 方向上的投影, i

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 在 AB 方向上的投影是定值, AB 也是定值,∴ AB ? AP i 为定值 ,∴选 A
5、【答案】6

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

【解析】 3a ? 2b ? 9a ? 4b ? 12ab ? 36 ? 36 ? 12 ? 6 ? cos 6、[-1,11] 8、-1 14、C 9、

?

?

?2

?2

??

?
3

? ? ? 72 ? 36 ? 36 ,所以 3a ? 2b ? 6

5? 6

7、A 10、

3 2

11、12

12、 19

13、8

15、3 17、

16、 ?2 2

3 2

18、1

19、B

20、A

二、解答题 1、

解: ?1?因 sin A ? sin 2 B ? sin(

?
4

4 1 ? 1 1 ? sin 2 B ? sin( ? 2 B) ? sin 2 B ? cos 2 B ? 2 2 2 2

? B) sin(

?
4

? B) ? sin 2 B ? sin(

?

? B) cos(

?
4

? B)

?? 4分
……6 分

故由 ?ABC 为锐角三角形,得 A ?

?
6

.

(2)由(1)知 cos A ? 故 bc ? 8 3. 从而 S ?ABC ?

??? ? ??? ? 3 3 , 由已知,有 12 ? AB ? AC ? cb ? cos A ? bc, 2 2
……9 分

2、解:(1)由 m ? (1 ? cos( A ? B ), cos 即 [1 ? cos( A ? B)] ? cos

u r

1 1 1 bc ? sin A ? ? 8 3 ? ? 2 3. 2 2 2

……12 分

5 8

2

A? B 9 ? .-----------------------------------------------------2 分 2 8

u r r 9 A? B r 5 A? B ) , n ? ( , cos ) ,且 m ? n ? , 2 8 2 8

∴ 4cos( A ? B) ? 5cos( A ? B) ,--------------------------------------------------------------------4 分

1 .----------------6 分 9 ab sin C ab sin C 1 ? ? tan C ,-----------------8 分 (2)由余弦定理得 2 2 2 a ?b ?c 2ab cos C 2 tan A ? tan B 9 ? (tan A ? tan B) ------------------------------------------10 分 而∵ tan( A ? B ) ? 1 ? tan A tan B 8 1 由 tan A tan B ? 知: tan A, tan B ? 0 ------------------------------------------11 分 9 9 3 tan( A ? B) ? ? 2 tan A tan B ? , 8 4 1 当且仅当 tan A ? tan B ? 时取等号,-------------------------------------------------------------12 分 3 3 又 tan C ? ? tan( A ? B) ,∴ tan C 有最大值 ? , 4
即 cos A cos B ? 9sin A sin B ,∴ tan A tan B ?

所以

ab sin C 3 的最大值为 ? .---------------------------------14 分 2 2 a ?b ?c 8
2

3、(1) f ( x) ? m ? n ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ? cos2 x ? 3 sin 2x ? cos2x

? ?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 6? ?
? ?

………………………………………………………(3 分)

当 f ( x) 取最小值时, sin ? 2 x ?

??

? ? ? ? ?1 , 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,……(6 分) 6 2 6?

所以,所求 x 的取值集合是 ? x x ? k? ?

? ?

?

? , k ? Z? . …………………(7 分) 6 ?
…………………………(1 分)

(2)由 f (C ) ? 2 ,得 sin? 2C ? 因为 0 ? C ? ? ,所以 ? 所以 2C ?

? ?

??

? ?1, 6?

?
6

? 2C ?

2 2

?
6

?

?
6

?

?
2

,C ?

?
3

11? , 6
……………………………………(3 分)

在△ ABC 中,由余弦定理 c ? a ? b ? 2abcosC ,
2

………………(4 分)

得 3 ? a ? b ? ab ? ab ,即 ab ? 3 ,
2 2

…………………………(5 分)

所以△ ABC 的面积 S ?

1 1 3 3 3 absin C ? ? 3 ? ? , ……………(6 分) 2 2 2 4 3 3 . 4
……………………(7 分)

因此△ ABC 的面积 S 的最大值为

4、解:(1) Q a ? b,? ?1 ? log 2 x ? ? log 2 x ? log 2 x ? 0

r

r

? log2 x ? (log2 x ? 2) ? 0 ?log2 x ? 0或 log2 x ? ?2
经检验 x ? 1或x ?

1 为所求的解;………………………………………………4 分 4
2

(2)由条件知 f ( x) ? log 2 x ? (log 2 x ? 2) ? ? log 2 x ? 1? ? 1

?1 ? Q x ? ? , 2? ,? log 2 x ? ? ?2,1? ?4 ?

? log 2 x ? 1 ? ? ?1, 2? ? ? log 2 x ? 1? ? ? 0, 4?
2

所以值域为 ? ?1,3? 。………………………………………………………………8 分

5、解: p ? ?2 ? 2 sin A, cos A ? sin A? , q ? ?sin A ? cos A,1 ? sin A? ,又 p ‖ q (2–2sinA)(1+sinA)–(cosA+sinA)(sinA–cosA)=0, 即: 4 sin A ? 3 ? 0
2

又 ? A 为锐角,则 sin A ?

3 ,所以∠A=60?…………………………………………6 分 2

因为△ABC 面积为

1 3 3 3 3 ,所以 bcsinA= ,即 bc=6, 2 2 2

又 a= 7 ,所以 7=b2+c2–2bccosA,b2+c2=13, 解之得: ?

?b ? 3 ?b ? 2 或? ………………………………………………………………12 分 c ? 2 c ? 3 ? ?
uu u r uuu r uu u r uuu r
A A ) cos ? 2bc ? cos A ………2 分 2 2

6、解:(1)由 b ? c. 又 AB ? AD ? 2 AB ? AC. 得 b ? (b cos

A ? 2 cos A …………………………………………………………………4 分 2 1 ? cos A 1 ? 2 cos A. ? cos A ? . ……………………………………………6 分 2 3 uu u r uuu r uu u r uuu r 1 (2)由 AB ? AD ? mAB ? AC. 得 cos A ? ;…………………………………8 分 2m ? 1 ? cos 2

1 1 b2 ? c 2 ? a 2 2b2 ? a 2 1?a? = ? 1 ? ? ? ? ( , ) ,…………………10 分 2 3 2 2bc 2b 2?b? 1 1 1 3 ? ( , ) ,? m ? ( , 2) .……………………………………………12 分 所以 2m ? 1 3 2 2
又 cos A ?

2


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