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选择题填空题的(解答)方法与策略


数学选择题填空题的解答方法与策略
一.直接法
一、典例精析 例 1. 【答案】 B . 解:依题由图得 a ? 1 ? 1 ,解得 a ? 2 ,故选 B .

y

O a-1 1
x

a

x

例 2.【解析】此类题目多选用筛选法,因为 e ?

0 对任意 x ? R 恒成立,所以 A 选项错误; 因为当 x ? 3 时 2 ? 8,3 ? 9 且 8 ? 9 ,所以选项 B 错误;
3 2

b 无意义,所以选项 C 错误.故选 D . a ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ? 2 ? ? 例 3.【解析】 f ( x) ? ( xa ? b)( xb ? a) ? a ? bx ? (b ? a ) x ? a ? b . ?2 ?2 ? ? ? ? 当 a ? b ,且 b ? a 时,函数 f ( x) 为常函数;当 f ( x) 为一次函数时, a ? b .故选 B .
因为当 a ? b ? 0 时 a ? b ? 0, 而 例 4.【解析】由图知:当 f (a) ? f (b) ? 0 时,函数 g ( x) 在区间 (a, b) 内有最值;当函数 g ( x) 在区间 (a, b) 内 有最值时,可以有 f (a) ? f (b) ? 0 .故选 A .

y sinx a
O

y
cosx x

sinx a
O

cosx b x

b

例 5.【解析】由 a5 ? 5, S5 ? 15 ,得 a1 ? 1, d ? 1 ,所以 an ? 1 ? (n ? 1) ? n .

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ?1? ? .又 . an an?1 n(n ? 1) n n ? 1 a1a2 a100 a101 1 2 100 101 101 101
z B B1

故选 A . 例 6【解析】设 | CB |? a ,则 | CA |?| CC1 |? 2a ,

A(2a,0,0), B(0,0, a), C1 (0,2a,0), B1 (0,2a, a) ,. ???? ???? ? ? AB1 ? (?2a,2a, a), BC1 ? (0,2a, ?a) . ???? ???? ? ???? ???? ? AB1 ? BC1 5 ? ? ? cos ? AB1 , BC1 ?? ???? ???? . .故选 A . | AB1 || BC1 | 5

C O A x A1

C1 y

1

二、练习反馈 1.【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,由图得: S底 ? 10 ,
2 5 2 41 41 4 5

S后 ? 10 , S右 ? 10 , S左 ? 6 5 ,则其表面积为 S ? S底 ? S后 ? S右 ? S左 ? 30 ? 6 5 .
故选 B . (也可用估算法) 2. 【解析】 圆心为 (1,1) , 半径为 1.直线与圆相切, 所以圆心到直线的距离满足

3 4

|(m ? 1) ? (n ? 1) ? 2 | (m ? 1)2 ? (n ? 1)2

? 1,

即 m ? n ? 1 ? mn ? ( 设 m ? n ? z ,即

m?n 2 ) . 2

1 2 z ? z ? 1 ? 0 ,解得 z ? 2 ? 2 2, 或 z ? 2 ? 2 2 .故选 D . 4 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 2 3.【解析】因为 FB ? AB ? 0 ,所以 FB ? AB ,由射影定理得:b ? ac ,即 c ? a ? ac ,
由 e ? e ? 1 ? 0 ,解得双曲线的离心率为 e ?
2

1? 5 1? 5 . 答案: 2 2
3 2

4.【解析】首先分类计算假如甲赢,比分 3:0 是 C3 ? 1 种情况;比分 3:1 共有 C3 ? 3 种情况; 比分是 3:2 共有 C4 ? 6 种情况.甲一共就 1+3+6=10 种情况获胜.所以加上乙获胜情况,共有 10+10=20
2

种情况.故选 C . 5.【解析】第一个因式取 x 2 ,第二个因式取
1 1 (?1) 4 ? 5 ; 得: 1? C5 2 x

第一个因式取 ? ,第二个因式取 (?1)5 得: 2 ? (?1)5 ? ?2 展开式的常数项是 5 ? (?2) ? 3 .故选 D . 6.【解析】方法 1(分母实数化) ( 方法 2(配凑法) ( 7.【答案】B 解:依题由图选 B .

1 ? i 4 (1 ? i ) 2 4 2i ) ?( ) ? ( ) 4 ? 1 .故选 C . 1? i 2 2

1 ? i 4 (1 ? i )i 4 (1 ? i )i 4 ) ?( ) ?( ) ? 1 .故选 C . 1? i (1 ? i )i (1 ? i )
p=2cosθ

O θ= π 2 2=pcosθ

x

三、学习评价 1.答案: y ? x ? 2(0 ? y ? 1)
3 7 3 2.【解析】将参数方程化为普通方程,得 y ? ? x ? ,其斜率 k1 ? ? .由条件易知 k ? 0 ,当 k ? 0 时, 2 2 2
4 3 4 直线 4 x ? ky ? 1 的斜率 k2 ? ? ,由 k1k2 ? (? )(? ) ? ?1 ,得 k ? ?6 . k 2 k

3.答案: 2

2

4. 【 解 析 】 由 题 可 知 y ? x 2 , y ? x3 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为

?

1

0

( x 2 ? x 3 )dx ? (

x3 x 4 1 1 1 1 ? ) ? ? ? . 3 4 0 3 4 12
A O F

C

D
A O F E

C

D

5.【解析】如图连结 BC , BE ,则 ?1 ? ?2 , ?2 ? ?A ,

B CB BF CB CF . ? , ? ??A ? ?1,又 ?B ? ?B .? ?CBF ∽ ?ABC ,? E AB BC AB AC 4 AC AF 4 代入数值得 BC ? 2 ,AC ? 4 , 又由平行线等分线段定理得 ,解得 CD ? . 【答案】 . ? CD FB 3 3

B

C E A D B

6.【解析】在 ?ACB 中, ?ACB ? 90? , CD ? AB 于点 D ,所以 CD2 ? AD ? DB .由切割线定
理的 CD2 ? CE ? CB ,所以 CE· CB ? AD· DB .故选 A .

3

二.筛选法
一、典例精析
1 例 1.【解析】筛选法:由题知 a2 ? a1 ? ln(1 ? ) ? 2 ? ln 2 ,赋值验证 A , B 满足, C , D 不满足,故排除 C , 1 1 3 D .由题知 a3 ? a2 ? ln(1 ? ) ? 2 ? ln 2 ? ln ? 2 ? ln 3 ,赋值验证 A 满足, B 不满足.故选 A . 2 2 【解析】直接法: 1 由 an ?1 ? an ? ln(1 ? ) 得 n n ?1 an ?1 ? an ? ln( ) 则 n
2 a2 ? a1 ? ln( ) 1 3 a3 ? a2 ? ln( ) 2 4 a4 ? a3 ? ln( ) 3 ?????? an ? an ?1 ? ln( n ) n ?1

累加得 an ? a1 ? ln n ,即 an ? 2 ? ln n .

故选 A .
1 ? 4 ? 0 ,排除 D . 4

例 2.【解析】因为当 x ? 2 或 4 时,2 x ? x 2 ? 0 ,所以排除 B 、C ;当 x ? ?2 时,2 x ? x 2 ? 故选 A .

例 3.解析:因为 y ? log a (2 ? ax) 是在 [0,1] 上是减函数,所以 a ? 1 ,排除答案 A, C ;若 a ? 2 ,由 2 ? ax ? 0 得
x ? 1,这与 x ? [0,1] 不符合,排除答案 D .所以选 B .

例 4.【解析】依题得 P 的轨迹是椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,则直线与椭圆有公共点是“ A 型直线”.由图得①④有 4 3
y y=2 y=x+3

? x2 ? y 2 ? 4 x2 y2 ?1? ? 公共点, ②③没有公共点.故选 D .由 ? 得没有公共点.故选或由 4 3 ? y ? ?x ? 3

d?

2 cos ? ? 3 sin ? ? 3 2

?

7 sin(? ? ? ) ? 3 2

? 0 得没有公共点 故选 D .
y=x+1

O

x y=2x+3

4

例 5. 解析: 因为函数 y ? x cos x ? sin x 为奇函数, 所以图像关于原点对称, 所以排除 B.C .当 x ? π 时, y ? ?π , 排除 A ,故选 D

二、练习反馈 1.【解析】 因为函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A ,令得 y ? 0 , cos6x ? 0 ,
π π k π ? kπ , x ? ? π ,函数零点有无穷多个,排除 C ,且 y 轴右侧第一个零点为 ( , 0) , 2 12 6 12 π cos 6 x 又函数 y ? 2 x ? 2? x 为增函数,当 0 ? x ? 时, y ? 2 x ? 2? x ? 0 , cos6x ? 0 ,所以函数 y ? x ?0, 12 2 ? 2? x 排除 B .故选 D .

所以 6 x ?

2.【解析】筛选法:由已知可知轨迹曲线的顶点为 (1, 0) ,开口向右,由此排除 A , C , D .故选 B . 【解析】直接法:设 PQ 的中点 M ( x, y) .(1)当直线 PQ 的斜率不存在时,线段 PQ 中点为 (1, 0) ;
(2)当直线 PQ 的斜率存在时,设 PQ 的方程是 y ? k ( x ? 1) ??? ①. 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x ?
y (x2,y2)

x1 ? x2 y ? y2 . y12 ? 4 x1 ??? ②, ,y? 1 2 2

y2 2 ? 4 x2 ??? ③
O (x1,y1)

(x,y) (1,0) x

y ? y2 4 2 ②-③得: k ? 1 ? ? ??? ④.将④代①得 y 2 ? 2 x ? 2 .故选 B . x1 ? x2 y1 ? y2 y

3.【解析】筛选法:特殊取值,若 x ? 56 , y ? 5 ,排除 C , D ;若 x ? 57 , y ? 6 ,排除 A .故选 B . 【解析】直接法:设 x ? 10m ? ? (0 ? ? ? 9) ,当 0 ? ? ? 6 时, [ 当 6 ? ? ? 9 时, [
x?3 ? ?3 x ] ? [m ? ] ? m ? 1 ? [ ] ? 1 .故选 B . 10 10 10
? 1

x?3 ? ?3 x ] ? [m ? ] ? m ? [ ]; 10 10 10

4.解析:当 x ? ?1 时,函数 f ( x) ? x 2 无意义,故淘汰 C.D ;当 x ? 1 时, f (1) ? 1 ,当 x ? 4 时, f (4) ?

1 , 2

y ? ?π ,淘汰 B ,故选 A .

三、学习评价 1.解析:当 a ? 0 时, x ? ax 化为 x ? 0 ,显然恒成立,由此排除 A, D ;

5

当 a ? 1 时, x ? ax 化为 x ? x ,也显然恒成立,故排除 C .所以选 B .

2.解析: (用排除法)七人并排站成一行,总的排法有 A77 种,其中甲、乙两人相邻的排法有 2× A66 种.因此, 甲、乙两人必需不相邻的排法种数有: A77 -2× A66 =3600,对照后应选 B. (用插空法) A55 × A62 =3600. 3.解析: 考虑由 P0 射到 BC 的中点上, 这样依次反射最终回到 P0, 此时容易求出 tan ? =
1 ,排除 A、B、D,故选 C. 2 (直接法)注意入射角等于反射角,??,所以选 C. 1 , 由题设条件知, 2

1<x4<2,则 tan ? ≠

6

三 .换元法
一、典例精析

1? t 2 1? ( ) 1? x 1? t 2x 2t 1 ? t 例 1.【解析】 【换元法】设 .即. f ( x) ? .故选 C. ? t ,则 ? x ,所以 f (t ) ? ? 2 2 1? t 2 1? t 1? x 1? t 1 ? x 1? ( ) 1? t 2x 【特值法】观察发现,当 x ? 0 时, f (1) ? 1 ,只有 f ( x) ? 满足.故选 C. 1 ? x2 例 2.【解析】一换元法:由柯西不等式得: (a 2 ? b2 ? c 2 )( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? (ax ? by ? cz )2 .等号成立当且仅当
a b c 1 ? ? ? t 则 a ? xt , b ? yt , c ? zt , t 2 ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? 10 . 结合 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 40 得 t ? , x y z 2 a b c a ?b?c a?b?c 1 又由比例性质得 ? ? ? ,所以 ? t ? .故选 C. x y z x? y?z x? y?z 2

二特值法: 经观察发现当 a ? b ? x ? y ? 0 ,且 c ? 10, z ? 40 时恰好满足题意, 所以
a ? b ? c 0 ? 0 ? 10 1 ? ? .故选 C. x ? y ? z 0 ? 0 ? 40 2

例 3.【解析】三角换元:观察发现三角换元解答为易:因为 a 2 ? 2b2 ? 6 ?
a ? b ? 6 cos ? ? 3 sin ? ? 3sin(? ? ? ) .所以 ?3 ? a ? b ? 3 .故选 C.

? a 2 b2 ?a ? 6 cos ? , 所以 ? ?1? ? 6 3 b ? 3 sin ? . ? ?

整体换元:t ? a ? b , 则 t 的最值当直线 t ? a ? b 与椭圆

a 2 b2 ? ? 1 相切时取得,将 a ? b ? t 代入 a 2 ? 2b2 ? 6 6 3

整理得 3b2 ? 2tb ? t 2 ? 6 ? 0 ,由 4t 2 ? 4 ? 3(t 2 ? 6) ? 0 解得 t ? ?3 .故选 C. 例 4.【解析】1.三角换元法:设 ? ? 1 ? x , ? ? x ? 3 ,平方和得 ? 2 ? ? 2 ? 4(? ? 0, ? ? 0) .
π ? π 令 ? ? 2cos ? , ? ? 2sin ? (0 ? ? ? ) ,则 ? ? ? ? 2 2 sin(? ? )(0 ? ? ? ) . 2 4 2 π 当 ? ? 0 或 ? ? 时, (? ? ? ) min ? 2 ; 2 π 当 ? ? 时, (? ? ? ) max ? 2 2 . 4
m 2 ? 所以 .故选 C. M 2
2 2

y 2 2 2

O

x

【解析】2.整体换元:设 ? ? 1 ? x , ? ? x ? 3 ,平方和得 ? ? ? ? 4(? ? 0, ? ? 0) . 令 t ? ? ? ? ,则 t 的几何意义为:直线 t ? ? ? ? 与圆的部分 ? 2 ? ? 2 ? 4(0 ? ? ? 2, 0 ? ? ? 2) 有公共点时,直 线 t ? ? ? ? 在 ? 轴上的 取值范围,由图易得: tmin ? 2, tmax ? 2 2 .所以
m 2 ? .故选 C. M 2

3.直接法: 【解析】由 y ? 1 ? x ? x ? 3 平方得: y 2 ? 1 ? x ? x ? 3 ? 2 (1 ? x)( x ? 3) ? 4 ? 2 (1 ? x)( x ? 3) . 显然当 x ? 1 或 x ? ?3 时, m ? 2 ;当 x ? ?1 时 M ? 2 2 .所以
m 2 ? .故选 C. M 2

三角换元:应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有 某点联系进行换元 . 例 5.解析:由题意知 f ( x) ? 2cos 2 x sin x ? 2(1 ? sin 2 x)sin x .令 t ? sin x , t ?[?1,1] ,

7

则 g (t ) ? 2(1 ? t 2 )t ? 2t ? 2t 3 ,令 g ?(t ) ? 2 ? 6t 2 ? 0 ,得 t ? ?

3 . 3

当 t ? ?1 时,函数值为 0 ;当 t ? ?

3 4 3 3 4 3 时,函数值为 ? ;当 t ? 时,函数值为 , 3 3 9 9

即函数 f ( x) 的最大值为

4 3 ,故选 C. 9

二、练习反馈
b ? ( 2 ?t ) ( 2 ? )t 2 ? ?t 1. 【解析】 令 a ? 2 ? t, b ? 2 ? t , 则a
2

,a 2 ? b2 ? ( 2 ? t )2 ? ( 2 ? t )2 ? 4 ? 2t 2 ? 6 ,

1 1 a 2 ? b2 1 从而 t 2 ? 1 , ab ? 2 ?1 ? 1 .所以 (a ? )(b ? ) ? ab ? ? ? 1 ? 6 ? 1 ? 8 ,故选 D. a b ab ab

2.【解析】依题设 x ? 2 cos ? , y 2 sin ? ,则 k ? 2 cos? ? 2 sin ? ,记 f (? ) ? 2 cos? ? 2 sin ? ,
π 则 k ? f (? ) min 既可,又 f (? ) ? 2sin(? ? ) , f (? )min ? ?2 .故选 B. 4

(直接法,数形转化法略) 3.【解析】设 sin x ? cos x ? t ,则 t ? 2 .由 sin x ? cos x ? t 平方得 sin x cos x ?
1 所以 y ? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 1 ? (t 2 ? 1) ? t ? 1 2 1 1 ? (t 2 ? 2t ? 1) ? (t ? 1)2 . 2 2 1 当 t ? ?1 时, ynim ? (?1 ? 1) ? 0 ; 2 1 当 t ? ?1 时, ymax ? ( 2 ? 1) 2 , 2 1 所以 y 的取值范围是 [0, ( 2 ? 1) 2 ] . 2
t 2 ?1 , 2

三、学习评价
2 1. 【解析】 设x? y ?t, 则 y ?t ? 将 y ?t ? 由 ?? 4k? ? 4 0 解得 k ? 1 x , x 代 x 2 ? 2 xy ? 1 ? 0 得 x 2 ? 2 xt ? 1 ? 0 ,

或 k ? ?1 ,所以 x ? y 的取值范围是 (??, ?1] ? [1, ??) .
1 1 1 1 7 ? t ,cos ? ? ? ? t ,则 (? ? t )2 ? (? ? t )2 ? 1 ,解得 t ? ? . 10 10 10 10 10 1 1 9 7 由 0 ? ? ? π 得 0 ? sin ? ? 1 ,即 0 ? ? t ? 1 解得 ? ? t ? ,所以 t ? . 10 10 10 10 1 7 ? ? sin ? 3 所以 tan ? ? ? 10 10 ? ? .故选 A. 1 7 cos ? ? ? 4 10 10 1 3.解析:设 e x ? t ,则 x ? ln t ,? f (t ) ? ln t ? t .? f ?(t ) ? ? 1, f ?(1) ? 2 t

2.【解析】设 sin ? ? ?

8

四.数形转化法
一、典例精析 例 1.【解析】 A ? ? x a ? 1 ? x ? a ? 1, x ? R? , B ? ? x x ? b ? 2或x ? b ? 2, x ? R? .若 A ? B ,则满足 a ? 1 ? b ? 2 或 a ?1 ? b ? 2 ,因此有 a ? b ? ?3 或 a ? b ? 3 ,即 a ? b ? 3 .故选 D.

a-1

a+1 b-2 b+2 a-1

a+1

例 2.【解析】①数形结合法:观察发现 的斜率,由图得, k ?

f ( x) 的几何意义为坐标原点与函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 上任意一点连线 x
y (b,f(b)) (c,f(c)) (a,f(a))

f ( x) 为减函数.故选 B. x

y

②特值法:取 a ? e3 ? 1 , b ? e2 ? 1 , c ? e ? 1 ,
f (a) 3 f (b) 2 f (c) 1 则 .故选 B. ? 3 ? ? 2 ? ? a e ?1 b e ?1 c e ?1 4 例 3.【解析】依题由图得: tan ? ? ? . 故选 D. 3
O x

sinα cosα O x

例 4.【解析】①数形转化法:依题由图得 S 20 最大.故选 B. ②直接法:? S13 ? S 27 ,
? a1 ? a2 ? ??? ? a13 ? (a1 ? a2 ? ??? ? a13 ) ? a14 ? ??? ? S 20 ? ??? ? a27
O
13 20 27

y S13

S20

S27

? a14 ? ??? ? a20 ? a21 ??? ? a27 ? 0 ,? a20 ? a21 ? 0 .

x

依题? a20 ? 0, a21 ? 0 .故选 B.
1 例 5.【解析】①函数性质法下的数形结合:(I)观察发现函数 g ( x) ? ( ) x , h( x) ? ? log 3 x 在区间 (0, ??) 上 5 1 x 为减函数,所以 f ( x) ? ( ) ? log3 x 在区间 (0, ??) 上为减函数,所以 f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? 0 . 故选 A. 5 1 1 1 1 y ②常规解法:由 f ( x) ? ( ) x ? log3 x 得, f ?( x) ? ( ) x ln ? ?0, y 1 5 5 5 x ln 3 ( )x 5 1 x f(x1) f(x0)=0 所以 f ( x) ? ( ) ? log3 x 在区间 (0, ??) 上为减函数, 5

所以 f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? 0 . 故选 A.

O x1

x0 log3x

x

O

f(x0) x1 x 0

x

③数形结合法:由图得: f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? 0 .故选 A.
sin x 例 6.【解析】 具有两个向量夹角余弦的几何意义,构造向量 5 ? 4 cos x
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? (cos x ? 2,sin x), OB ? (0,1) ,则 f ( x) 为 OA, OB 夹角余弦值,其中点 A 在圆

y (0,1) 60° 120° O x

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? O1 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 上运动,显然 OA 与 ? O1 相切时, OA 与 OB 有最值.当点 A 在 A1 处时, ? OA, OB ? 最

??? ? ??? ? π 1 , f ( x)max ? cos ? OA, OB ?? ; 3 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2π 1 当点 A 在 A2 处时, ? OA, OB ? 最大值为 , f ( x)min ? cos ? OA, OB ?? ? .故选 C. 3 2

小值为

9

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 7.【解析】数形转化 1:由 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,得 (a ? c) ? (b ? c) .又 a ? b ,则 a, b , a ? c, b ? c 构成的
? ? ? 四边形是圆内接四边形,且 c 恰好是四边形的对角线,当 c 为直径时, c 取得最大值,此时圆内接四边
? ? ? 形是以 a, b 为相邻两边的正方形,所以 ( c ) max ? 2 .故选 C.
a-c

y
(1,1)

? ? ? ? ? ? ? 【解析】数形转化 2:设 a ? (1, 0), b ? (0,1), c ? ( x, y ) .由 (a ? c) ? (b ? c) ? 0

c a c b-c
c 1 1 ( , ) 2 2

得 (1 ? x) ? (? x) ? (? y)(1 ? y) ? 0
? 1 1 1 1 1 即 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? .所以 c 的起点为坐标原点,终点在以 ( , ) 为圆心, 2 2 2 2 2

b

O

x

? 2 为半径的圆上,故 c ? 2. max 2
??? ? ??? ? ???? ???? 例 8.【解析】由相交弦定理得: AE ? AF ? AG ? AH ? ?3 ?1 ? ?3 .故选 D.
G -2

y F O E A 1H 2 x

二、练习反馈
3 3 1.【解析】数形结合:由图得, k 的取值范围是 ( ,1) .答案: ( ,1) 4 4
y

2. 【解析】 曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4(1 ? y ? 3) , 即表示圆心为 (2,3) 半径为 2 的半圆,
1
3

依据数形结合,当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足圆心 (2,3) 到直线 y ? x ? b 距离等于 2 ,解 得 b ? 1 ? 2 2 或 b ? 1 ? 2 2 ,因为是下半圆故可得 b ? 1 ? 2 2 (舍) ,当直线过 (0,3) 时,解 得 b ? 3 ,所以 1 ? 2 2 ? b ? 3 .故选 C. 3.解析:直线: y ? x tan ? ,圆: ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 ,如图, sin ? ? 答案:C.
2 1 π 5π . ? ,?? ? 或 4 2 6 6
O y

4

O

x

(0,3)

(2,3)

x

4.解析:在同一直角坐标中分别作出两个函的图形,可知有两个交点.

三、学习评价 1.
8 3
2.(0,-2); 2 3 3. 18

4.解析:

f ( x1 ) f ( x1 ) ? 0 ? 表示点 ( x1, f ( x1 )) 与原点 O(0,0) 连线的斜率. x1 x1 ? 0

y

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) (2 f , x ( 2 )) ??? xn ( f , xn( 与原 )) ? ?? ? 表示点 ( x1 , f (x1 )), x x1 x2 xn

点 O(0,0) 连线的斜率 , 又点 ( x1, f ( x1 )),( x2 , f ( x2 )) ??? ( xn , f ( xn )) 在曲线的图像
O x

上,故只考虑过原点的直线与曲线的交点有几个,很显然有 3 个,故选 B.

10

五.配凑方法
一、典例精析 例 1.【解析】因为
3 ? 2i (3 ? 2i)i (3 ? 2i)i ? ? ? i .故选 A. 2 ? 3i (2 ? 3i)i 3 ? 2i

例 2. 【解析】 a 2 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? a 2 ? ab ? ab ? ? ? a ( a ? b) ? ? ab ? ? 2?2 ? 4 ab a(a ? b) ab a(a ? b) a ( a ? b) ab
2 满足条件.故选 D. 2

当且仅当 ab ? 1 , a(a ? b) ? 1 时等号成立. 如取 a ? 2 , a ? 例 3.【解析】 f ( x) ?

2 x ? sin x 2 x ? sin x ( x ? 1)2 ? sin x x 2 ? 1 ? 2 x ? sin x .令 g ( x) ? 2 , ? ?1? 2 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

则 g ( x) 为奇函数,对于一个奇函数来说,其最大值与最小值之和为 0,即 g ( x)max ? g ( x)min ? 0 , 而 f ( x)max ? 1 ? g ( x)max , f ( x)min ? 1 ? g ( x)min , 所以 f ( x)max ? f ( x)min ? 2 .答案: 2 例 4. 【解析】
sin 47? ? sin17? cos 30? sin(30? ? 17? ) ? sin17? cos 30? sin 30? cos17? ? cos 30? sin17? ? sin17? cos 30? ? cos17? cos17? cos17? sin 30? cos17? 1 ? ? sin 30? ? . 故选 C. ? cos17 2

例 5.解析:

xy xy 1 1 ? 2 ? ? ?1. 2 x 4 y z x ? 3xy ? 4 y x 4 y ? ?3 2 ? ?3 y x y x

当且仅当 x ? 2 y 时成立.此时 z ? x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? 2 y ,
2 1 1 2 1 1 所以 ? ? ? ? 2 ? ?( ? 1) 2 ? 1 . 故选 B. x y z y y y

二、练习反馈 1.【解析】 1 ?
1?

1 1 1 3 1 1 1 1 1 5 ? 1? ? 1 ? 1 ? ? .1 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? ? 2? ? . 2 2 1? 2 2 2 2 3 1.2 2.3 3 3

1 1 1 2n ? 1 1 1 1 1 7 ? 2? ? . ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ?? 1 ? 2 ? ??? ? ? 2 2 2 (n ? 1) n ?1 n ?1 2 3 4 4 4 1 1 2n ? 1 ? ??? ? ? ? . 2 2 2 (n ? 1) n ?1

答案: 1 ?

a1 ? a17 17(a1 ? a17 ) a1 ? a17 b1 ? b17 a9 S 37 2 ?17 ? 3 37 2 2 2.【解析】? a9 ? , b9 ? .答案: ? ? ? ? 17 ? ? 2 2 50 b9 b1 ? b17 17(b1 ? b17 ) T17 3 ?17 ? 1 50 2 2
3.【解析】①配凑法:观察发现 x ? (1 ? x) ? 1 ,
1 4 x ? (1 ? x) 4 x ? 4(1 ? x) ? ? ? x 1? x x 1? x 1? x 4x ? 1? 4 ? ? ? 9. x 1? x f ( x) ?
11

1 1 当 x ? 时, f ( x) 取得最小值 f ( ) ? 9 .故选 D. 3 3

【解析】②直接法:

f ?( x) ? ?

1 1 1 4 ,由 1 4 ? f ?( x) ? ? 2 ? ? 0 解得 x ? .当 x ? 时, 2 2 2 3 3 x ( x ? 1) x ( x ? 1)

1 f ( x) 取得最小值 f ( ) ? 9 .故选 D. 3

三、学习评价 1.【解析】①配凑法:观察发现 x ? (1 ? x) ? 1 ,则有 f ( x) ?
a 2 (1 ? x) b 2 x ? a 2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b)2 . ? x 1? x a 2 [ x ? (1 ? x)] b 2 [ x ? (1 ? x)] ? x 1? x

? a 2 ? b2 ?

故选 B.

【解析】②直接法:由 f ?( x) ? ?
f( a ) ? ( a ? b) 2 . a?b

a2 b2 1 1 ? ? 0 解得: x ? .当 x ? 函数 f ( x) 取得最小值: 2 2 x (1 ? x) a?b a?b

故选 B.

3 (?1)2 (1 ? x)3 ? 10(1 ? x)3 . 2.【解析】①配凑法:观察发现 x ? ?1 ? (1 ? x) .? x5 ? [?1 ? (1 ? x)]5 ? C5

【解析】②直接法:对等式: f ? x ? ? x5 ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? 2 ? ? ? a5 ?1 ? x ?5 两边连续对 x 求导三次得:
60 x2 ? 6a3 ? 24a4 (1 ? x) ? 60a5 (1 ? x)2 ,

再运用赋值法,令 x ? ?1 得: 60 ? 6a3 ,即 a3 ? 10 .答案: 10
π π π 2π π 4 π 3 ,所以 ? ? ? ? .因为 cos(? ? ) ? ,所以 sin(? ? ) ? . 2 6 6 3 6 5 6 5 π π π 3 4 24 所以 sin(2? ? ) ? 2sin(? ? ) cos(? ? ) ? 2 ? ? ? . 3 6 6 5 5 25 π 7 π π π π π π π 所以 cos(2? ? ) ? . 所以 sin(2? ? ) ? sin[(2? ? ) ? ] ? sin(2? ? ) cos ? cos(2? ? )sin 3 25 12 3 4 3 4 3 4

3.【解析】因为 ? 为锐角,即 0 ? ? ?

?

24 2 7 2 17 2 17 2 ? ? ? ? .答案: . 25 2 25 2 50 50
? ? ?

sin 40? 4.解析: 4cos50 ? tan 40 ? 4sin 40 ? cos 40? ? 4sin 40? cos 40? ? sin 40? 2sin80? ? sin 40? ? cos 40? cos 40? 2cos(40? ? 30? ) ? sin 40? 2cos 40? cos30? ? 2sin 40? sin 30? ? sin 40? ? cos 40? cos 40?
3 cos 40? ? 3. 故选 C. cos 40?

?

?

12

六.估算法
一、典例精析 例 1.【解析】估算法:取 x ?
π 1 3 , y ? 3( ? ) ? 2 .故选 A . 3 2 2

【解析】直接法: y ? 2sin x(sin x ? cos x) ? 2sin 2 x ? 2sin x ? cos x
π ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? 2 .故选 A . 4 x 例 2.【解析】因为函数 y ? ? sin x 为奇函数,排除 A ;当 x ? 10π 时, y ? 5π>0 排除排除 D ; 2 π π 当 x ? 时, y ? +1>0 排除 B .故选 C . 2 4
y
y

y

y

O A



x
B

O



x

O C



x

O D



x

1 例 3.【解析】估算法:因为 VF ? ABCD ? ? 3 ? 3 ? 2 ? 6 .所有多面体 ABCDEF 的体积大于 6 .故选 D . 3 1 1 1 15 【解析】割补法:多面体 ABCDEF 的体积为: ? 3 ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 3 ? 2 ? .故选 D . 2 3 2 2
E
C

E D

F C

E D

F

F C

D

A

B

A

B

A

B

1 3 例 4.【解析】估算法:因为 V ? S?ABC ? 2 R ? 排除 B, C , D . 故选 A . 3 6

【解析】直接法: ?ABC 的外接圆的半径 r ?
6 , SC 为球 O 3

3 ,点 O 到面 ABC 的距离 3
S O A C B

d ? R2 ? r 2 ?

2 6 的直径 ? 点 S 到面 ABC 的距离为 2d ? .此棱锥的体积为 3
1 1 3 2 6 2 .故选 A . V ? S?ABC ? 2d ? ? ? ? 3 3 4 3 6

例 5.【解析】估算法:因为 F (?2, 0) 是已知双曲线的左焦点,所以 a 2 ? 1 ? 4 ,即 a 2 ? 3 ,所以双曲线方程 为
x2 ? y 2 ? 1. 3

y

P3

【解析】估算法:
??? ? ??? ? ①当点 P 在点 P1 位置时, OP ? FP ? ( 3, 0) ? (2 ? 3, 0) ? 3 ? 2 3 ;
13
F(-2,0)

P2

O

P1 A(1,0)

x

??? ? ??? ? 3 3 1 ②当点 P 在点 P2 位置时, OP ? FP ? (2, ) ? (4, ) ? 8 ? ; 3 3 3 ??? ? ??? ? 1 ③当点 P 在点 P3 位置时, OP ? FP ? 8 ? , 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? P ? P P ( 3, 0) 因此点 P 在双曲线从 P 运动时 为增函数,所有当 时, 取得最小值,最 OP ? FP OP ? FP 1 2 3

小值为 3 ? 2 3 .故选 C . 【解析】直接法:因为 F (?2, 0) 是已知双曲线的左焦点,所以 a 2 ? 1 ? 4 ,即 a 2 ? 3 ,所以双曲线方程为
x2 ? y 2 ? 1, 3

设点 P( x0 , y0 ) , 则有

??? ? ??? ? x0 2 x2 ? y0 2 ? 1( x0 ? 3) ,解得 y0 2 ? 0 ? 1( x0 ? 3) ,因为 FP ? ( x0 ? 2, y0 ) ,OP ? ( x0 , y0 ) , 3 3

??? ? ??? ? x2 4 x2 2 所 以 OP ? FP ? x0 ( x0 ? 2) ? y0 ? x0 ( x0 ? 2) ? 0 ? 1 ? 0 ? 2 x0 ? 1 . 此 二 次 函 数 对 应 的 抛 物 线 的 对 称 轴 为 3 3 ??? ? ??? ? 3 4 x0 ? ? . 因为 x0 ? 3 ,所以当 x0 ? 3 时, OP ? FP 取得最小值为: ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 , 4 3 ??? ? ??? ? 故 OP ? FP 的取值范围是 [3 ? 2 3, ??) .故选 B .

二、练习反馈 1.【解析】曲线 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 为圆 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,
C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 为 l1 : y ? 0 或 l2 : y ? m( x ? 1) .当 m ? 0 时,直线与圆有两个交点,排除 A ,C ;当 m ? 10

时,直线与圆相离,排除 D .故选 B . 2. 【解析】 由已知, 构造四面体 ABCD ,AC ? 2, BD ? a ,AB ? AD ? BC ? CD ? 1 , 此题可以视为求 ?BAC 绕 AC 旋转时, 求 BD 的取值范围问题. 考虑旋转是连续的, 可以采用极限法研究其极限位置的取值.当 B ? D 时 a ? 0 ; 当 B ? M ( M 为正方形 AMCD 的顶点, 即 ?BAC 与 ?DAC 共面) 时,a ? 2 , 故选 A .
B

故0 ? a ? 2 .

A 2 C

1 1

B D
B

A 1 1 2 C

1

D 1

1 1 A 2 C 1 1

a D

【旋转法】这是一个特殊的四面体模型,即“有公共底边的两个等腰三角形”——不妨称为“共底等腰三 角形” ,这是一个以一棱为轴旋转的四面体,运动的特征明显,是一个函数问题,常用的
B

E D ? E 处理方法是: 取底边 AC 中点 E , 连接 BE , DE , 得 ?BED , 则B

?

2 ,设 ?BED ? ? , 2
A 2

1 1 θ C 1 1

a D

则由余弦定理得 a ? f (? ) ? 1 ? cos ? ( 0 ? ? ? π ) , 不难得出 0 ? a ? 2 .当然,既然是选 择题,我们只需找到运动变化过程中的极限位置即可求解.
14

【估算法】当 a ? 1 时,长为 a 的棱与长为 2 的棱异面垂直,符合题意,淘汰 C , D . 当a ?

2 时,长为 a 的棱与长为 2 的棱相交,不符合题意,故选故选 A .

三、学习评价 1.【解析】直接法:设 ?AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 BF ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ?1的距离为 3 ,
1 2 3 得, 3 ? 2 ? 3cos ? ? cos ? ? ,又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ? ? , 3 1 ? cos ? 2
1 1 3 2 2 3 2 ? . ?AOB 的面积为 S ? ? OF ? AB ? sin ? ? ?1? (3 ? ) ? 2 2 2 3 2

【解析】估算法:不妨设 A 在 x 的上方,由点 A 的坐标为 (2,2 2) 可知

S?ABC ?

1 1 OF y A ? ? 1? 2 2 ? 2 ,因为 S?AOB ? S?AOF ,所以排除 A , B . 2 2

又很显然 S?BOF ? S?AOF ,所以 S ?AOB ? S ?AOF ? S ?BOF ? S ?AOF ? S ?AOF ? 2S ?AOF ? 2 2 , 所以排除 D . 故选 C . 2.【解析】 (估算法)从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数的取法分为三类;
2 ? 60 种方法;5+60=65 第一类是取四个偶数,即 C54 ? 5 种方法;第一类是取两个奇数,两个偶数,即 C52C4

结合选项估算共 66 种方法.故选 D. 【解析】 (直接法)从 1,2,3,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数的取法分为三类;第
2 ? 60 种方法;第三类是 一类是取四个偶数,即 C54 ? 5 种方法;第一类是取两个奇数,两个偶数,即 C52C4

4 ? 1 故有 5+60+1=66 种方法.故选 D. 取四个奇数,即 C4

15

七.特殊化法
一、典例精析 例 1.【解析】依题将直角三角形放入直角坐标系中,如图,设 A(4,0) , B(0, 4) , 则 D(2, 2) , P(1,1) ,
P

y
B(0,4) D

所以 PC ? 12 ? 12 ? 2 , PB ? 12 ? (1 ? 4) 2 ? 10 , PA ? (1 ? 4) 2 ? 12 ? 10 所以 PA ? PB ? 20 ,所以
2 2

2

2

2

C

A(4,0)

x

PA ? PB PC
2

2

2

?

20 ? 10 .故选 D . 2

例 2. 【解析】 由于对于任意的满足 a ? b ? 1 , c ? 0 的 a , b , c ①,②,③的大小关系是唯一确定的, 故取 a ? 4 , b ? 2 , c ? ?2 求解. c ?2 1 c ?2 c c 因为 ? ?? , ? ? ?1 ,所以 ? .①正确; a 4 2 b 2 a b 1 1 因为 a c ? 4?2 ? , bc ? 2?2 ? ,所以 ac ? bc .②正确; 16 4 因为 logb (a ? c) ? log 2 (4 ? 2) ? log 2 6 ? 1 , log a (b ? c) ? log 4 (2 ? 2) ? 1 ,所以 logb (a ? c) ? log a (b ? c) .③正确. 故选 D . 例 3.【解析】依题取等比数列 1, 2 , 4 ,令 n ? 1 得 X ? 1 , Y ? 3 , Z ? 7 代入验算,只有选项 D 满足.故 选D. 【感悟】用一般方法解答计算量较大,用等比中项(整体思想)求解计算量适中 .由于此题除最特殊不为 0 的常数列外,其他的等比数量均成立,故取 n ? 1 ,特殊的等比数列 1 , 2 , 4 求解. 直接法:依题得 X , Y ? X , Z ? Y 成等比数列,则 (Y ? X )2 ? X ( Z ? Y ) .整理得 Y (Y ? X ) ? X (Z ? X ) .故选 D .
4π . 3 ? ? ?3 ? ? ?3 ? ? ? 2 ? ?3 ? ? ? 2 ? ?3 ? ? 1 因为 cos 1 cos 2 , 所以 cos 1 ? sin 1 sin 2 ? cos 1 ?? . 3 3 3 3 3 3 2

例 4.【解析】本题为定值问题,故可取特殊图求解,由图得 ?1 ? ? 2 ? ? 3 ?

1 答案: ? . 2

α3 α1 P α2

P

例 5.【解析】依题意知,点 P 在椭圆内部.画出图形,由数形结合可得,当 P 在原点处时 PF1 ? PF2 ? 2 , 当 P 在椭圆顶点处时,取到 PF1 ? PF2 ? 2 2 .故范围为 [2, 2 2) . 答案: [2, 2 2) . 因为 P( x0 , y0 ) 在椭圆 C :
x2 x ? y 2 ? 1 的内部, 故取特殊点 F2 (1, 0) 则直线方程为: ? 1 , 即 x ? 2, 2 2

B

显然此直线与椭圆没有交点,故交点数为 0 个. 答案: 0 .

O

例 6.【解析】由于本题对任意三角形结论成立,故可取特殊的等腰直角三角形 ABC 求解,设 A H ??? ? ??? ? ? ???? ??? ? π 则 H 与 A 重合, O 是 BC 边的中点,此时 OB ? OC ? 0 ,所以 OH ? mOA , ?BAC ? , AB ? AC , 2 所以 m ? 1.答案:1 . ??? ? ??? ? ??? ? ? ???? ? [注意]本题中的△ ABC 不能取成等边三角形,否则有 OA ? OB ? OC ? 0 , OH ? 0 ,此时 m 取任意实数, 值不唯一解.
16

C

二、练习反馈 1.【解析】依题得
1 1 ? ? 值与直线 l 的位置无关,故取直线为 x 轴,由图得: p q 1 1 1 4 ? ? ? 1 ? .故选 C .(特殊位置) p q 3 3
P F1 y P O F2 Q Q

FP ? p ? 3, FQ ? q ? 1 ,所以

x

2.【解析】依题得 f ?(t ), f ?(t ? 1) 的几何意义为函数 f ( x) 函数的图象在 t , t ? 1 处切 线的斜率,而 f (t ? 1) ? f (t ) 的几何意义为 f ( x) 函数的图象上两大
(t , f (t )),((t ? 1), f (t ? 1)) 连线的斜率.由几何意义得 0 ? f ?(t ? 1) ? f (t ? 1) ? f (t ) ? f ?(t ) 正确.
y

故选 B.
1 2 x

O

t

t+1

x

【解析】取特殊的函数 f ( x) ? x , t ? 1.又 f ?( x) ?
1 2 2

.分别赋值

得: f ?(t ? 1) ?

, f (t ? 1) ? f (t ) ? 2 ? 1 , f ?(t ) ?

1 , 0 ? f ?(t ? 1) ? f (t ? 1) ? f (t ) ? f ?(t ) 正确. 故选 B. 2

(特殊函数) 3.【解析】经观察发现:当 a ? b ? x ? y ? 0 ,且 c ? 10, z ? 40 时恰好满足题意, 所以
a ? b ? c 0 ? 0 ? 10 1 ? ? . 故选 C. x ? y ? z 0 ? 0 ? 40 2

4.解析:代值法. 对 A,设 x ? ?1.8 ,则 ?1.8? ? 1 , ? ? ?1.8? ? 2 ,所以 A 选项为假. 对 B,设 x ? ?1.4 ,则 ? 2 x ? ? ? ?2.8? ? ?3 , 2 ? x ? ? 2 ? ?1.4? ? ?4 ,所以 B 选项为假. 对 C,设 x ? y ? 1.8 ,则 ? x ? y ? ? ?3.6? ? 3 , ? x ? ? ? y ? ? ?1.8? ? ?1.8? ? 2 ,所以 C 选项为假. 故 D 选项为真.所以选 D.

三、学习评价 1.解析:因为函数 y ?
x ? sin x 为奇函数,排除 A ; 2

当 x ? 10π 时, y ? 5π>0 排除排除 D ; 当x?
π π 时, y ? +1>0 排除 B . 故选 C . 2 4
y
y

y

y

O A



x
B

O



x

O C



x

O D



x

17

D1

C1 B1 F

2.解析: 使用特殊点的位置进行求解,不失一般性令 E 点在 A 点处, F 点在 C 点处,则
VD1 ? EDF ? VD1 ? ADC 1 1 1 1 ? ? S?ADC ? DD1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? . 3 3 2 6

A1 E D A

C B

3.解析:将函数特殊化如图,考虑特殊情况 a ? b ? 0 ,此时不等式 f ( x) ? c 解集关于关 于 y 对称,即 m ? 3 ,所以 f ( x) 过点 (3, c) ,故 c ? f (3) ? 32 ? 9 .

y y=c x

-3

O

3

18

八.极限法
一、典例精析
AC ? 2, BD ? a , 例 1. 【解析】 由已知, 构造四面体 ABCD , 此题可以视为求 ?BAC AB ? AD ? BC ? CD ? 1 ,

绕 AC 旋转时, 求 BD 的取值范围问题. 考虑旋转是连续的, 可以采用极限法研究其极限位置的取值.当 B ? D 时 a ? 0 ; 当 B ? M( M 为正方形 AMCD 的顶点, 即 ?BAC 与 ?DAC 共面) 时,a ? 2 , 故 0 ? a ? 2 . 故选 A .

A 2 C

1 1

B D
B

A 1 1 2 C

1

B
D 1

1 1 A 2 C 1 1

a D

【旋转法】这是一个特殊的四面体模型,即“有公共底边的两个等腰三角形”——不妨称为“共底等腰三 角形” ,这是一个以一棱为轴旋转的四面体,运动的特征明显,是一个函数问题,常用的处理方法是:取 底边 AC 中点 E ,连接 BE , DE ,得 ?BED ,则 BE ? DE ?
2 ,设 ?BED ? ? ,则由余弦 2
1 1 A 2 C θ B a 1 1 D

定理得 a ? f (? ) ? 1 ? cos ? ( 0 ? ? ? π ) , 不难得出 0 ? a ? 2 .当然,既然是选择题, 我们只需找到运动变化过程中的极限位置即可求解. 例 2.【解析】①外心;试想把此三棱锥压扁,得到 ?ABC 中,点 P? 满足 P?A ? P?B ? P?C , 则 P? 为 ?ABC 的外心.

②垂心;试想把此三棱锥压扁,得到 ?ABC 中,点 P? 满足 P?A ? BC , PB ? AC ,则 P? 为 ?ABC 的垂心.

P

P

A P1
A C

C
A C

A P1 B
B

C

B
B

例 3.【解析】由已知, lg a ? lg b ,所以 lg a ? lg b 或 lg a ? ? lg b ,故 a ? b 或 ab ? 1 ,其中 a ? 0, b ? 0 ,因为 所以 a ? a ? b,
1 .不妨设 a ? b , 则 0 ? a ?1? b . 若 a ? 0 , 则 b ?? 得 a ? b ? ?? ; 若 a ?1 , 则 b ?1, ? , b
y

得 a ? b ? 2 ,考虑 a, b 不同时为 1. 故选 C .

1 【感悟】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做 b b 1 本小题时极易忽视 a 的取值范围, 而利用均值不等式求得 a ? b ? a ? ? 2 ,从而错 a O (1,0) 选 D ,这也是命题者的用苦良心之处. 1 另解 1 令 f (a) ? a ? ,其中 0 ? a ? 1,由“对勾”函数的性质知函数 f (a) 在 a ? (0,1) 上为减函数,所以 a

x

f (a) ? f (1) ? 2 ,即 a ? b 的取值范围是 ? 2, ?? ? .

19

?0 ? a ? 1 ? 另解 2 (利用线性规划知识求得)由已知得: ? 1 ? b ,化为求 z ? a ? b 的 取值范围问题. ? ab ? 1 ?

例 4.【解析】此题直接比较大小牵涉三角公式较多,如果我们利用极限思想可直接排除选项求解.令

? ? 0, ? ? 0 则 sin ?? ? ? ? ? 0 , cos ?? ? ? ? ? 1 , sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? 2 ,可排除 B , C ,
π π 再令 ? ? , ? ? 则 sin ?? ? ? ? ? 0 , sin ? ? sin ? ? 2 ,排除 A . 故选 D . 2 2

二、练习反馈 1.【解析】曲线 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 为圆 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,
C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 为 l1 : y ? 0 l2 : y ? m( x ? 1) .

直线 l1 与圆 C1 的两个交点为 (0, 0), (2, 0). 当过定点 (?1, 0) 的动直线 l 2 在极端位置 x 轴上时两个与 (0, 0), (2, 0) 点重合,此时 m 的值为 0;当过定点 (?1,0) 的动直线 l 2 在
(-1,0)

y

l4

30°

O

l1 (1,0) l2 l3

x

极端位置 l3 或 l 4 时,由几何意义得此 时 m ? ?
3 ) 两者之间. 3

3 3 3 , 0) 或m ? .因为 m 介于 (? 3 3 3

或 (0,

故选 B .
y
A O N B

2.【解析】由图得:当 AB ? x 轴时, ?NAB 的周长 l ? 4 ;当 A ? B 时, 10 ?NAB 的周长 l ? . 3
? y 2 ? 4 x, 2 2 10 由? 2 得 x ? ,所以 ?NAB 的周长 l ? 2(1 ? ) ? . 2 3 3 3 ?3 x ? 4 y ? 12

x

10 所以 l ? ( , 4) .故选 B. 3

椭圆

3. 【解析】 极限法: 由题意, 椭圆上存在点 P , 使得线段 AP 的垂直平分线过点 F , 即 PF ? FA ?

a2 b2 ?c ? , c c

b2 可以理解为点 P 是以 F 为圆心,以 为半径的圆与椭圆的交点,如图,故此题转化为圆与椭圆有交点时 c

满足的条件. 观察知道,其极限位置是图中点 P 位于椭圆的左顶点处,极限值为 由极限位置求得的 e ?
1 应为边界值. 故选 D . 2

b2 1 ? a ? c ,求得 e ? , c 2

直接法:当然,由 PF 的几何意义:椭圆上一点 P 到焦点 F 的距离,从而得 a ? c ? PF ? a ? c ,列不等
b2 a2 ? c2 1 ? a?c,a?c ? ? a ? c 得 ? e ? 1 .故选 D 式a?c ? c c 2
y
y

P
P O F A x

O

F

A

x

20

三、学习评价 1.【解析】极限法: x1 ? x2 时,
f ( x1 ) ? f ( x1 ) x1 ? x2

的几何意义是函数 f ( x) 在点 ( x1 , f ( x)) 处切线的斜率的绝对

值,所以 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ;又 g ?( x) ?

1 ? 3 ,所以 g ( x) ? S 且 h( x) ? S . 故选 C . ( x ? 1) 2
f ( x1 ) ? f ( x1 ) x1 ? x2 ? 3 .则
3 x13 ? x2 2 ? x12 ? x1 x2 ? x2 ?3, 所以 g ( x) ? S ;

直接法: 由 f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? 3 x1 ? x2 , 得,
1 1 ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? x2

x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x1 ) x1 ? x2

?

?

1 ? 3 所以 h( x) ? S . 故选 C . ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

2.解析:易知函数的定义域为 ? x x ? 0? ,可排除 A ;当 x ? 0 时, 3x ? 1 ? 0 ,所以 y ?

x3 ? 0 ,可排除 B ; 3x ? 1

当 x ? ?? 时,指数函数 y ? 3x 比幂函数 y ? x3 的增长速度快得多,所以函数的分母比分子大得多,于是

x ? ?? 时, y ? 0 ,排除 D ,故选 C .

21

九.创新问题 一、典例精析 例1.【解析】本题是与集合知识有关的信息迁移题. 新定义了集合的孤立元,重点需要理解“集合含有 孤立元”,并迁移转化为“集合不含有孤立元”的表达,从中看出满足条件的集合元素,必须是相邻的三 个数即可解决问题.本题答案为6. 例2.【解析】若实数 a, b 满足 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 0 ,则 a 与 b 至少有一个为0, 不妨设 b ? 0 ,则 ? (a, b) ? a 2 ? a ? a ? a ? 0 ; 反之,若 ? (a, b) ? a 2 ? b 2 ? a ? b ? 0 ,则 a 2 ? b 2 ? a ? b ,两边平方得 ab ? 0 , 所以 a 与 b 互补. 故选 C .
? p ? 2q ? 5, ? p ? 1, 例3.【解析】由 (1,2) ? ( p, q) ? (5,0) ,得 ? 解得 ? 所以 (1,2) ? (1, ?2) ? (1,2) ? (1, ?2) ? (2,0) . ?2 p ? q ? 0, ? q ? ?2.

故选 B . 例4. 【解析】 通过审题,提取关健信息( : 1) 若点 P( x, y) 、P?( x?, y?) 满足: x ? x? 且 y ? y? , 则称 P 优于 P? ,即横小纵大; (2)不存在 ? 中的其它点优于 Q ;由题可知点 Q 组成的集合是劣弧,因此可采用
O C x y A

D

B

特殊点法,依据定义不难看出,点 A 要优于 B ,故点 B 不合题意.排除答案 A, B ,又 点 D 要优于 C ,点 C 不合题义,故排除 C . 故选 D 例 5.解析:取 x ?
5 ? 5? , ? ? x ? ? ? ? ? ? ?3 , ? ? x ? ? ? ? 2.5? ? ?2 ,所以 A 项错误; 2 ? 2?

1? ? ?5? x ? ? ? ?3? ? 3 ? ? ? ? 2 ,所以 B 项错误; ? 2? ? ?2?

? 2 x? ? ?5? ? 5 ? 2 ? ?

5? ? 4 ,所以 C 项错误; ?2? ?

1? ? ?5? ?5 1? x ? ? ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ? ?5? ,所以 D 项正确. ? 2? ? ?2? ?2 2?

二、学习反馈
? a?b | a | 2 ? cos? ? cos? ? 1.【解析】因为 a ? b ? , 2 b?b |b|
? b?a |b| b ?a ? ? cos? ? cos? ? 1 , a?a |a|

? ? 1 |b| 1 |b| n ? cos? ? , 且 a ? b 和 b ? a 都在集合 { | n ? Z } 中,所以 b ? a ? ,所以 2 | a | 2 cos? 2 |a|
? |a| ? a ?b ? cos? ? 2 cos2 ? ? 2 ,因为 ? ? (0, ) ,所以 1 ? a ? b ? 2 , 4 |b| ? 3 故有 a ? b ? .故选 C . 2
2 2 2 2 2 2.【解析】等比数列性质, an an ? 2 ? an ?1 ,① f ?an ? f ?an ? 2 ? ? an an ? 2 ? ?an ?1 ? ? f ?an ?1 ? ; 2

22

② f ?an ? f ?an ? 2 ? ? 2an 2an?2 ? 2an ? an?2 ? 22 an?1 ? f 2 ?an ?1 ? ;③ f ?an ? f ?an ? 2 ? ? ④ f ?an ? f ?an ? 2 ? ? ln an ln an ? 2 ? ?ln an ?1 ? ? f 2 ?an ?1 ? . 选 C
2

an an ? 2 ?

an ?1 ? f 2 ?an ?1 ?;
2

3.【解析】若函数 f ( x) 在 x ? 3 时是孤立的点,如图,则①可以排除;函数 f ( x) ? ? x 具有性质 P ,而函数
f ( x 2 ) ? ? x 2 不具有性质 P ,所以②可以排除;设

x1 ? x2 ? 2, x1 , x2 ? [1,3] ,则 2

y 3 2 1 O 1 2 3 x

1 1 f (2) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ f ( x1 ) ? f (2)] , 2 2

即 f ( x1 ) ? f (2) ? 1 ,又 f ( x1 ) ? 1 ,所以 f ( x1 ) ? 1 ,因此③正确;
x ?x ?x ?x x ?x 1 x ?x 1 f ( 1 2 3 4 ) ? [ f ( 1 2 ) ? f ( 3 4 )] ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] 4 2 2 2 4 所以④正确. 故选 D .

三、学习评价
?(2 x ? 1) 2 ? (2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x 2 ? x, x ? 0 ?? 2 1.【解析】由新定义 f ( x) ? ? , 2 ? ( x ? 1) ? (2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ?? x ? x, x ? 0

所以可以画出草图,若方程 f ( x) ? m 有三个根,则 0 ? m ? 易知 x2 x3 ? m ;当 x ? 0 时方程可化为 2 x 2 ? x ? m ? 0 , 可解得 x1 ?
1 ? 1 ? 8m 1 ? 1 ? 8m ,所以 x1 x2 x3 ? m ? , 4 4

1 ,且当 x ? 0 时方程可化为 ? x 2 ? x ? m ? 0 , 4
y
2

1

1 ? 1 ? 8m 1 又易知当 m ? 时 m ? 有最小值,所以 4 4 1? 3 1 1? 3 1 ? 1 ? 8m ? x1 x2 x3 ? 0 . ? ? m? ? 0 ,即 16 4 4 4

x1
-1

x2 O
-1

x3
1

x

5 5 3?[ ] 5 ? 3, x ? [ 3 ] ? 2 ,故①正确; 2.【解析】当 a ? 5 时, x1 ? a ? 5 x2 ? 3 2 2 同样验证可得③④正确,②错误. 【答案】①③④ 5?

y
1

3.【解析】由图可得看成,要使 f ( x) ? min ? x , x ? t ?
1 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 t ? 1. 故选 D . 2
a b c b ? c a?

y=x+t -2 -1 x=1 2

y=x

O

1

2

x

? ? ? 4.【解析】若△ ABC 为等边三角形时,即 a ? b ? c ,则 max ? ? , , ? ? 1 ? min ? , , ? 则 t ? 1 ;若△ ABC 为 a b c b ? c a?

? ? 等腰三角形,如 a ? 2, b ? 2, c ? 2 时,则 max ? , , ? ? ? , min ? , , ? ? ,此时 t ? 1 仍成立但△ ABC 不为等 b c a 2 b c a ? ? ? 3 ? 3 a b c 2

?a b c

边三角形,所以 B 正确.

23


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