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四川省南充高中2013届高三上学期第六次月考数学试题文科


四川省南充高中 2013 届高三上学期第六次月考数学试题 (文科)
命、审题人:郭登攀 1.设全集 李思建

U ? ?1,2,3,4,5,6?, 设集合P ? ?1,2,3,4?,集合Q ? ?3,4, ,P ? (CU Q) ? ( 5?
A. ?1,2,3,4,6? B. ?1,2,3,4,5? C. ?1, 2,5? D. ?1, 2?

)

2.命题“设 a, b, c ? R , 若ac2 ? bc2 , 则a ? b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共 有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

4? ?? ? ? i 是纯虚数,则 tan ? ? ? ? 的值为( ) 5? 4? ? 1 1 A.-7 B. ? C.7 D. ?7 或 ? 7 7 x y 4 .函数 y ? a x?3 ? 2(a ? 0, a ? 1) 的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 ? ? ?1 上,且 m n
3.若复数 z ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ?

? ?

3? ? 5? ?

m, n ? 0 ,则 3m ? n 的最小值为
A. 13 B. 16



) C. 11? 6 2 . D. 28.

5.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 4, S2 ? 6 ,则

Sn ? 64 的最小值是 an
D

A7

B

15 2

C8

17 2

6.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 ( ) A.

?4 ? ? ?
3

3

B. ?4 ? ? ? 3

C.

?8 ? ? ?
2

3

D.

?8 ? ? ?
6

3

7 . 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x ) 对 任 意 x 都 有 f ( x) ? f ( 4? x ) 且 其 导 函 数 f '(x ) 满 足 ,

( x ? 2) f '(x ) 0 ? ,则当 2 ? a ? 4 时,有 (
(A). f (2 ) ? f (2) ? f (log2 a)
a



(B). f (2) ? f (log2 a) ? f (2a )

1

(C). f (2) ? f (2a ) ? f (log2 a)

(D). f (log2 a) ? f (2a ) ? f (2)

8.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S15 ? 0, S16 ? 0, 则 项为

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大的 a1 a2 a15
( )

A.

S6 a6

B.

S7 a7

C.

S8 a8

D.

S9 a9

9.已知函数 y ? sin ax ? b ( a ? 0) 的图象如图所示,则函数 y ? loga ( x ? b) 的图象可能是
( )

A.

B.

C.

D.

10、直线 l 与函数 y ? sin x x ? ? 0, ? ? 的图象相切于点 A ,且 l // OP ,其中 O 为坐标原点,

?

?

P 为图象的极大值点,则点 A 的纵坐标是(
A、

) C、

2

?

B、

1 2

?2 ?4
2

D、

?2 ?4 ?

11.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7n ? 45 ,则使得 ? Bn n?3

an 为整数的正整数 n 的个数是( bn
A.2 B.3



C.4

D.5

12.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? 2bx ? c(a, b, c ? R) 在区间 ? 0,1? 内取得极大值,在区 3 2

2 2 间 ?1, 2 ? 内取得极小值,则 ( a ? 3) ? b 的取值范围为

2

A. ?

? 2 ? ? 2 ,2? ? ? ?

B. ?

?1 ? ,4? ?2 ?

C. (1,2)

D. (1,4)

13. Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项和, S1, 2, 3 成等差数列, 设 若 2S 3S 则公比 q 等于 14.已知函数 f ( x) ? ex ? 2x ? a 有零点,则实数 a 的取值范围是___________.



15.已知三个平面向量 AB, AC BC 满足 | AB |? 1 , | AC |? 2,| BC |? 3 ,点 E 是 BC 的 中点,若点 D 满足 BD ? 2 AE ,则 AC ? AD ? 定义 ?x? ? x ? ? x? .给出如下命题:

??? ??? ??? ? ? ?
??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ????

.

16.已知 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数 ? x ? R? ,如: ??1.3? ? ?2,

?0.8? ? 0, ?3.4? ? 3 .

x 1? 成立的 x 的取值范围是 4 ? x ? 5 ; ① 使 [ ?] 3
② 函数 y ? ?x? 的定义域为 R ,值域为 0,1 ; ③ ?
2 3 ? 20122012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? 1006; 2013 ? ? 2013 ? ? 2013 ? ? 2013 ? ?

? ?

④ 设函数 f ? x ? ? ?

?? x? x ? 0 1 1 ? ,则函数 y ? f ? x ? ? x ? 的不同零点有 3 个. 4 4 ? f ? x ? 1? x ? 0 ?


其中正确的命题的序号是

C 17 (本小题满分 12 分) ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c , ? 在 角
的面积为 10 3 . (1) 求 a, c 的值; (2)求 sin( A ?

?
3

, b ? 5 ,?ABC

?
6

) 的值. ks5u
*

18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? n ? 4 ( n ? N ) (1)求证:数列 {an ? 1} 为等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? an log 2 (an ?1) ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn 。 19.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,
A1 A

AB ? BC , D 为 AC 的中点, A1 A ? AB ? 2 , BC ? 3 .
D

(1)求证: AB1 / / 平面 BC1D ;
B1

(2) 求四棱锥 B ? AAC1D 的体积. 1
C1 C

B

3

20. (本小题满分 12 分) 今年的中秋国庆假期是实施免收小型客车高速通行费政策后的第一 个重大节假日,10 月 3 日南充有一个群名为“天狼星”的自驾游车队,组织车友前往重庆 游玩。该车队是由 31 辆车身长都约为 5m(以 5m 计算)的同一车型组成的,行程中经过一 个长为 2725m 的隧道(通过该隧道的车速不能超过 25m/s), 匀速通过该隧道,设车队的速 度为 x m/s ,根据安全和车流的需要,当 0 ? x ? 12 时,相邻两车之间保持 20m 的距离;

1 6 31 辆车车尾离开隧道所用的时间为 y (s) .
(1)将 y 表示为 x 的函数;

( x2 ? 当 12 ? x ? 25 时,相邻两车之间保持

1 x ) m 的距离.自第 1 辆车车头进入隧道至第 3

(2)求该车队通过隧道时间 y 的最小值及此时车队的速度.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? 3x ? a, b ? R ? 在点 1, f ?1? 处的切线
3 2

?

?

方程为 y ? 2 ? 0 (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2) 若过点 M ? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) Sn 是正项数列 设 (1)求数列

?an ? 的前 n 项和,且 Sn ?

?an ? 的通项公式; n ?1 ? 2 对一切 (2)是否存在等比数列 ?bn ? ,使 a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? ? 2n ? 1? ? 2
正整数都成立?并证明你的结论. (3)设

1 2 1 3 an ? an ? . 4 2 4

cn ?

1 ?n ?N * ? ,且数列?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,试比较 Tn 与 1 的大小. 1 ? an 6

南充高中 2010 高三(上)第六次月考 数学试题(文科)答案
4

DBABDD

BCCDDA

13.

17. 解: (1)? S ?ABC ?

1 1 ? ab sin C ? ? a ? 5 ? sin ? 10 3 2 2 3

1 3

14. (-∞,2ln2-2〕

15.6

16. ①③④ 3分

?a ? 8,

2 2 2 2 2 又由余弦定理知 c ? a ? b ? 2ab cos C ? 8 ? 5 ? 2 ? 8 ? 5 ? cos

?
3

? 49 ,5 分
6分

?c ? 7
(2)由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c 2 ? a 2 1 4 3 ? ,? sin A ? 1 ? cos 2 A ? 2bc 7 7

10 分

? ? ? 4 3 3 1 1 13 ?sin( A ? ) ? sin A cos ? cos A sin ? ? ? ? ? . 6 6 6 7 2 7 2 14
18.

12 分

a n =2 + 1

n

-------------------6 分

(2) Cn ? (2n ? 1)n ? n ? 2n ? n

An ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n

2 An ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ?? An ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1
? 2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? ?2 ? (1 ? n) ? 2n ?1 1? 2
Tn ? (n ? 1)2
n ?1

? An ? (n ?1)2n?1 ? 2 ? 10 分
2

n(n ? 1) n ?n?4 ? 12 分 ?2? ? (n ? 1)2n?1 ? 2 2
A1 A

19.(1)证明:连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1B1 是平行四边形, ∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点,∴ OD 为△ AB1C 的中位线,
E
D

B1

B

5
C1

O C

∴ OD / / AB1 .

????????? 3 分

∵ OD ? 平面 BC1D , AB1 ? 平面 BC1D , ∴ AB1 / / 平面 BC1D . ?????????????? 6 分

(2) ∵ AA1 ? 平面 ABC , AA1 ? 平面 AAC1C , 1 ∴ 平面 ABC ? 平面 AAC1C ,且平面 ABC ? 平面 AAC1C ? AC . 1 1 作 BE ? AC ,垂足为 E ,则 BE ? 平面 AAC1C , 1 ∵ AB ? BB1 ? 2 , BC ? 3 , 在 Rt△ ABC 中, AC ? ????? 8 分

AB2 ? BC 2 ? 4 ? 9 ? 13 , BE ?

AB?BC 6 ? , 10 分 AC 13

∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积 V ? 1

1 1 ? ? A1C1 ? AD ??AA1 ?BE 3 2
∴四棱锥 B ? AAC1D 的体积为 3 . 1 ? 12 分

1 3 6 ? 3. ? ? 13 ? 2 ? 6 2 13
20.(1)解:当 0 ? x ? 12 时, y ? 当 12 ? x ? 25 时,

2725 ? 5 ? 31 ? 20 ? (31 ? 1) 3480 ? ----2 分 x x

1 1 2725 ? 5 ? 31 ? ( x 2 ? x) ? (31 ? 1) 5 x 2 ? 10 x ? 2880 2880 6 3 ? ? 5x ? ? 10 ---4 分 y? x x x 3480 ? (0 ? x ? 12) ? x 所以, y ? ? -----------------------------6 分 2880 ?5 x ? ? 10 (12 ? x ? 25) x ? 3480 ? 290 ( s ) -------8 分 (2)当 0 ? x ? 12 时,在 x ? 12 (m/s)时, ymin ? 12
当 12 ? x ? 25 时, y ? 5 x ? 当且仅当 5 x ?

2880 2880 ? 10 ? 2 5x ? ? 10 ? 250( s) x x

2880 ,即: x ? 24 (m/s)时取等号。----------------------10 分 x 因为 x ? 24 ? (12,25] ,所以 当 x ? 24 (m/s)时, ymin ? 250(s)
因为 290 ? 250 ,所以当 x ? 24 (m/s)时, ymin ? 250(s) -------------------11 分 答:该车队通过隧道时间 y 的最小值为 250s 及此时该车队的速度为 24m/s.--12 分 21.解:⑴ f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? 3 .
2

………………1 分

6

根据题意,得 ?
3

? f ?1? ? ?2, ?a ? b ? 3 ? ?2, ?a ? 1 ? 即? 解得 ? ……………………3 分 ?b ? 0 ?3a ? 2b ? 3 ? 0, ? f ? ?1? ? 0, ?

所以 f ? x ? ? x ? 3x .………………………………………………………………4 分 (2)因为点 M ? 2, m?? m ? 2? 不在曲线 y ? f ? x ? 上,所以可设切点为 ? x0 , y0 ? .
3 则 y0 ? x0 ? 3x0 .
2 因为 f ? ? x0 ? ? 3x0 ? 3 ,所以切线的斜率为 3x0 ? 3 .

2

2 则 3x0 ? 3 =

3 x0 ? 3x0 ? m ,……………………………6 分 x0 ? 2

3 2 即 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 .

因为过点 M ? 2, m?? m ? 2? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,
3 2 所以方程 2x0 ? 6x0 ? 6 ? m ? 0 有三个不同的实数解.

所以函数 g ? x ? ? 2x ? 6x ? 6 ? m 有三个不同的零点.……………8 分
3 2

则 g? ? x ? ? 6x ?12x .令 g? ? x ? ? 0 ,则 x ? 0 或 x ? 2 .…………9 分
2

0 + 增 0 极大值 减

2 0 极小值 + 增

则?

? g ? 0? ? 0 ?6 ? m ? 0 ? ,即 ? ,……………………11 分 ??2 ? m ? 0 ? g ? 2? ? 0 ?

解得 ?6 ? m ? 2 .…………………………………12 分

1 1 3 ? an 2 ? an ? 得 4 2 4 1 1 3 Sn?1 ? a 2n?1 ? an?1 ? ,相减并整理为 ? an?1 ? an ?? an?1 ? an ? 2? ? 0 4 2 4 又由于 an?1 ? an ? 0 ,则 an?1 ? an ? 2 ,故 ?an ? 是等差数列. 1 1 3 ? a1 ? S1 ? a12 ? a1 ? ? 0 ,? a1 ? 3 ,故 an ? 2n ? 1 …………4 分 4 2 4 2 3 (2)当 n ? 1 2 时, a1b1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1? ? 2 ? 6,1b1 ? a2b2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1? ? 2 ? 26 , a
22. 解: (1) Sn
7

可解得, b1

n ,猜想 bn ? 2 使 ? 2,2 ? 4, b a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 2n?1 ? 2n ? 1? ? 2 成立
2

下面证明 3 ? 2 ? 5 ? 2 令S

? 7 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? 2 n ? 2 n?1 ? 2n ? 1? ? 2 恒成立
② ②-①可得 ……………8 分

? 3 ? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ? ? ? 2n ? 1? 2n ①

2 S ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? 7 ? 24 ? ? ? ? 2n ? 1? 2 n?1

? S ? ? 2n ? 1? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2 ? ? 2n ? 1? 2n?1 ? 2
(3) Cn

?

1

? 2n ? 2 ?

2

?

1? 1 1 ? ? ? ? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ? 1

则 Tn

1?1 1 1 1 1 1 ? ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 ? 1?1 1 ? 1 1 ? ? ? ……………14 分 ? ? ,故 Tn ? 2 ? 3 2n ? 3 ? 6 6

8


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