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湖北省八校2013届高三第一次联考(12月)数学文试题


湖北省八校 2013 届高三第一次联考
数学(文科)参考答案
命题学校:黄石二中 一 、选择题 1-10 CDAAA CCDBC 二、填空题 11. ( ,0) 命题人:王付繁 审题人:黄金龙 张晓华

1 4

12.

? 6
17.③④

13.


5 2 2

14.110

15.3

16.

2? 1 ; 3 2

三、解答题 18、(本小题 12 分) 解:(1) f ( x) ? sin x ? cos x ? 1 ?

2 sin( x ?

?
4

) ?1

……………………………2 分

令 2k? ?

?
2

? x?

?
4

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 得 f (x) 的单调增区间为
……………………………6 分

3? ?? ? ?2k? ? 4 ,2k? ? 4 ?(k ? Z ) ? ?
(2)由 f (x) 在 ?0,2? ? 上的图象分析可知 当x?

?
4

?

?
2
?

即x ?

?
4

时, a ?

2 ? 1 ……………………………9 分

或当 x ?

?
4

3? 5? 即x ? 时, a ? 1? 2 2 4
……………………………12 分

综上 a ? 1? 2 19(本小题 12 分)

(1)证明:设 AC ? BD ? O ,连结 EO ? 底面 ABCD 是正方形,? 点 O 是 AC 的中点 在 ?PAC 中, EO 是中位线,? PA∥EO . 而 EO ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB , 所以 PA∥ 平面 EDB . (2)证明:? 底面 ABCD 是正方形 AC ? BD , ………………5 分 又 PD ? 底面 ABCD ? AC ? PD ,又 PD ? BD ? D ………………7 分 ? AC ? 面 PDB ,而 AC ? PAC 故 PAC ? 面 PDB ………………8 分 (3) VD ? ECB ? VE ? DCB ………………9 分

………………2 分 ………………4 分
P

E

C F D O A

B

故作 EF ? DC 于 F . ? PD ? 底面 ABCD ,? PD ? DC . ? EF∥PD, F 为 DC 的中点.

? EF ? 底面 ABCD 1 1 2 VE ? DCB ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 2 3

………………10 分 ………………12 分

20、 (本小题 13 分)解: (1)a1 ? 200001 ? 15 % ) -20000 ? 15% ? 20%-1500=20900(元) ( ………………………………………2 分

an?1 ? an (1 ? 15 %)- an ? 15% ? 20%-1500=1.12 an -1500( n ? N ? ,1 ? n ? 11)
………………………………………6 分 (2)方法

1:(构造)

令 an?1 ? ? ? 1.12(an ? ? ) ,则 a n ?1 = 1.12an ? 0.12? ,对比得 ? ? ?12500 ………………………………………8 分 则 an ? 12500? (20900? 125001.12n ?1 ,即 an ? 8400?1.12n ?1 ? 12500 ) 则 a12 ? 8400?1.1211 ? 12500? 41732(元) ……………………………11 分

又年底偿还银行本利总计 20000(1+6%)=21200(元)…………………………12 分 故该生还清银行贷款后纯收入 41732-21200=20532(元) ………………………13 分

方法 2:(列举)
a2 ? 1.12a1 ? 1500

a3 ? 1.12a2 ? 1500? 1.12(1.12a1 ? 1500 ? 1500? 1.122 a1 ? 1.12?1500? 1500 )
…… ……

a12 ? 1.1211 a1 ? 1.1210 ?1500? 1.129 ?1500? ? ? ? ? ? ? ?1.12?1500? 1500
? 3.48 ? 20900? 1500? 1.1211 ? 1 ? 41732(元) 1.12 ? 1
…………………………11 分

又年底偿还银行本利总计 20000(1+6%)=21200(元)…………………………12 分 故该生还清银行贷款后纯收入 41732-21200=20532(元) ………………………13 分 21、(本小题 14 分)解:(1)由椭圆的定义知 2a ? 4,? a ? 2 ,……………………3 分 椭圆 C 的方程为

3 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,带入点 M (1, ) ,求得 b 2 ? 3 2 4 b

……………………5 分

故椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1 4 3

…………………6 分

(2)方法

1:

若 O 点为 ?MPQ 的重心,设 PQ 的中点为 N ,则 MO ? 2ON , 则 N ( ? ,? ) ,

1 2

3 4

……………………8 分

显然直线 PQ 的斜率存在,不妨设为 k , 联立

3 1 ? y ? ? k(x ? ) ? 4 2 消去 y 得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? k (4k ? 6) x ? k 2 ? 3k ? 39 ? 0 ? x2 y 2 4 ? ? ?1 3 ? 4
点 N 在椭圆内, ? ? 0 恒成立,设 P( x1, y1 ),Q( x2 , y2 ) ,则 由 (?) 式 x1 ? x2 ?

(?)

………………………9 分

? k (4k ? 6) x ? x2 ? k (4k ? 6) 1 ? ?? ,则 xN ? 1 2 2 3 ? 4k 2 2(3 ? 4k ) 2
……………………11 分

1 ?k ? ? , 2
2 即 (?) 式化简为 x ? x ? 2 ? 0,? x ? ?2 或 x ? 1

不妨 P (?2,0), Q (1,? ) ,由椭圆对称性知 S ?MPQ ? 2 ?

3 2

1 3 9 ? 3? ? . 2 2 2
……………………14 分

(注:若联立方程组但 (?) 式未化简完全正确而后面由两根之和正确计算出 k ? ? 一扣 2 分.) (2)方法

1 时,统 2

2:

另一方面,当 P, Q 在椭圆上时,不妨 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则有

? x12 y12 ? ?1 ? ( x ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 4 3 ?? 1 ,两式相减得 1 ? 2 2 4 3 ? x 2 ? y2 ? 1 ? 4 3 ?


y1 ? y2 3 x ?x 3 2x 1 ?? ? 1 2 ?? ? N ?? x1 ? x2 4 y1 ? y2 4 2 yN 2

即 k PQ ? ?

1 , 2 1 3 1 1 ? ? ( x ? ) 即 y ? ? x ? 1, 2 4 2 2

……………………11 分

? 直线 PQ 的方程为 y ?

1 ? ?y ? ? 2 x ?1 联立 ? 2 消去 y 得 x2 ? x ? 2 ? 0,? x ? ?2 或 x ? 1 2 ? x ? y ?1 3 ? 4 3 1 3 9 不妨 P (?2,0), Q (1,? ) ,由椭圆对称性知 S ?MPQ ? 2 ? ? 3 ? ? . 2 2 2 2
……………………14 分

1 / 22、(本小题 14 分)解:(1)令 f ( x) ? 0 ,得 x ? , e
/ 当 x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? 0 则 f (x) 在 ( 0, ) 递减,

? 1? ? e? ?1 ?e

1 e

/ 当 x ? ? ,?? ? 时, f ( x) ? 0 , f (x) 在 ? ,?? ? 递增

? ?

?1 ?e

? ?

综上 f (x) 在 ( 0, ) 递减,在 ? ,?? ? 递增,

1 e

?1 ?e

? ?

f (x) 的极小值点为 x ?

1 e (注:极值点未正确指出扣 1 分)
(2)方法

………………………3 分

1:
…………………………4 分

问题转化为 ax ? ln x ? 1 , 令 h( x) ? ax ? ln x ? 1 则 h ( x) ? a ?
/

1 ax ? 1 ? x x

/ ⅰ)当 a ? 0 时, h ( x) ? 0 , h(x) 在 x ? 0 单调递减, h(x) 无最小值,舍去;

…………………………5 分
/ ⅱ)当 a ? 0 时,令 h ( x) ? 0 ,得 x ?

1 , a

且0 ? x ?

1 / 时, h ( x) ? 0 , h(x) 递减; a

1 1 / , h ( x) ? 0 , h(x) 递增,故故 h( x ) min ? h( ) ? ln a a a 只须 ln a ? 0 ,即 a ? 1 ………………………8 分 x?

方法 2:

问题转化为 ax ? ln x ? 1 即a ?

ln x 1 ? 对 ?x ? 0 恒成立 x x ln x 1 ? ln x ? ,则 h / ( x) ? 令 h( x ) ? , x x x2

…………………………4 分

当 0 ? x ? 1 时, ln x ? 0 ,则 h / ( x) ? 0 ,故此时 h(x) 单调递增 当 x ? 1 时, h / ( x) ? 0 ,故此时 h(x) 单调递减 故 h( x) max ? h(1) ? 1 故只须 a ? 1 综上 a ? 1 (3)要证明 ln(e ? 1) ? n ?
n

…………………………6 分

………………………8 分

1 en

1 t t ?1 1 1 1 ) ? ,即证 ln(1 ? ) ? 即证明 ln( t t t t 即证 ln x ? x ? 1
令 e ? t ? e ,即证明 ln(t ? 1) ? ln t ?
n
2 而由(2)可知 a ? 1 时, x ln x ? x ? x ,

…………………………12 分

当 x ? 1 时, ln x ? x ? 1 故 ln(e ? 1) ? n ?
n

1 是成立的,证毕。 en

…………………………14 分


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