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潍坊市2013-2014高二上学期期末(文科数学)


山东省潍坊市 2013-2014 学年上学期高二年级期末考试数学试卷(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考 试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 命题“ ?x ? R, e x ? x2 ”的否定是 A. ?x ? R ,使得 ex ? x2 C. ?x ? R ,使得 ex ? x2 B. ?x ? R ,使得 ex ? x2 D. 不存在 x ? R ,使得 ex ? x2

2. 命题“若 x=3,则 x2-2x-3=0”的逆否命题是 A. 若 x≠3,则 x2-2x-3≠0 C. 若 x2-2x-3≠0,则 x≠3 3. 抛物线 y ? A. (
1 2 x 的焦点坐标是 4

B. 若 x=3,则 x2-2x-3≠0 D. 若 x2-2x-3≠0,则 x=3

1 , 0) 16

B. (1,0)

C. ( ?

1 , 0) 16

D. (0,1)

1 4. 公比为 的等比数列 ?an ? 的各项都是正数,且 a4a6 ? 16 ,则 a7 ? 2

A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

5. 已知

1 1 ? ? 0 ,则下列结论错误 的是 .. a b

A. a 2 ? b 2 6. “

B. ab ? b2

C.

b a ? ?2 a b

D. lg a 2 ? lg ab

1 1 ? 2 ”是“ x ? ”的 x 2

A. 充分不必要条件 C. 充要条件
1

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 2a cos 2 则△ABC 的形状为 A. 直角三角形 8. 已知数列 an ? A.
20 21

B ? a?c, 2

B. 等腰三角形
1

C. 等边三角形

D. 等腰直角三角形

4n 2 ? 1
18 19

(n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 的前 10 项和为

B.

C.

10 21

D.

9 19

9. 实数 x, y 满足不等式组,则 A. -1 B.
2 7

y?2 的最小值为 x?4
1 7

C.

D. -

5 7

10. 已知 x>0,y>0,且 x ? y ? xy ? 2 ,则 x y 的最大值为 A. 1 ? 3 B.

3 ?1

C. 4 ? 2 3

D. 4 ? 2 3

11. 设数列 ?an ? 满足 a1 ? A.
15 16

a2 a3 ? ? 2 3

an 1 ? 1 ? n ,则 a4 ? n 2

B.

1 16

C.

1 8

D.

1 4

x2 y 2 12. 已知 P 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)右支上一点, F1 、 F2 分别是 a b

双曲线的左、右焦点,I 为△P F1 F2 的内心,若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? 该双曲线的离心率为 A. 4 B.

2 S?IF1F2 成立,则 2

2

C. 2

D. 2 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn,若 S14>0,S15<0,则当 n 为 Sn 取最大值。
2

时,

14. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于双曲 a 2 b2

线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 15. 小明以每分钟 20 6 米的速度向东行走,他在 A 处看到一电视塔 B 在北偏东 30°,行走 1 小时后,到 达 C 处,看到这个电视塔在北偏西 15°,则此时小明 与电视塔的距离为 米。



16. 不等式 x2 ? 2ax ? a 2 ? c 的解集为(t,t+4),则 实数 c 的值为 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 其导函数 f ?( x) ? 2 x ? 8 。 (Ⅰ)求 a , b 的值。 (Ⅱ)设函数 g ( x) ? e x sin x ? f ( x) ,求曲线 g ( x) 在 x ? 0 处的切线方程。

18. (本小题满分 12 分) 已知 m ? R ,设命题 p:关于 x 的不等式 x2 ? (1 ? m) x ? (m ?1) ? 0 ,对任意 实数 x 都成立;命题 q:直线 y ? 2 x ? m 与抛物线 y 2 ? 4x 有两个不同的交点。 若命题“ ? p ? q ”为真命题,求 m 的取值范围。

19. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边, 且 (2a ? b) cos C ? c cos B ? 0 , (Ⅰ)求 ?C ; (Ⅱ)若 a、b、c 成等差数列,b=5,求△ABC 的面积。
3

20. (本小题满分 12 分) 设 ?an ? 是递增等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1 ? 1 ,且 S2 , a4 ?1, S4 成 等比数列,数列 ?bn ? 满足 an ? log3 bn (n ? N? ) 。 (Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ? an ? bn (n ? N? ) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn

21. (本小题满分 12 分) 为保护环境,绿色出行,某市今年年初成 立自行车租赁公司,初期投入为 72 万元,建 成后每年的总收入为 50 万元,该公司第 n 年 需要付出的维护和工人工资等费用为 an 万元, 已知 ?an ? 为等差数列,相关信息如图所示。 (Ⅰ)求 an (Ⅱ)该公司第几年开始盈利?(即总收入减去成本及所有费用之差为正值) (III)该公司经营多少年,其年平均获利最大?最大值是多少?

22. (本小题满分 14 分)
x2 y 2 如图,已知 F1 、 F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 a b

(2,0)与 x 轴垂直的直线交椭圆于点 M,且 MF2 ? 3 。 (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)已知点 P(0,1),问是否存在直线 l 与 椭圆交于不同两点 A、B,且 AB 的垂直平分线恰好 经过 P 点?若存在,求出直线 l 斜率的取值范围; 若不存在,请说明理由。
4

【试题答案】
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) ACDBB BACDC DB

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 7 14. 2 x ? y ? 0 15. 3600 16. 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. 解:(Ⅰ)

f ( x) ? ax2 ? bx ? 3 ,

? f ?( x) ? 2ax ? b ??????????????????????????2 分
又知 f ?( x) ? 2 x ? 8

? a ? 1 ,b ? ? 8 ??????????????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, g ( x) ? ex sin x ? x2 ? 8x ? 3

? g?( x) ? ex sin x ? e x cos x ? 2x ? 8 ??????????????????6 分 ? g?(0) ? e0 sin 0 ? e0 cos0 ? 2 ? 0 ? 8 ? ?7 ???????????????8 分
又知 g (0) ? 3 ????????????????????????????10 分

? g ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 3 ? (?7)( x ? 0)
即 7 x ? y ? 3 ? 0 ???????????????????????????12 分 18. 解:由命题 p 知,关于 x 的不等式 m x ? (1 ? m) x ? (m ?1) ? 0 对任意实数 x 都成
2

立,则 ? ? (1 ? m)2 ? 4(m ?1) ? m2 ? 6m ? 5 ? 0 ?????????????? 2 分 解得: 1 ? m ? 5 , ??????????????????????????4 分 因此,当 1 ? m ? 5 时,命题 p 是真命题,当 m ? 1 或 m ? 5 时, ? p 是真命题,???6 分 ∵直线 y ? 2 x ? m ①与抛物线 y ? 4 x ②有两个不同的交点,
2

联立①②,消去 x 得 y ? 2 y ? 2m ? 0 。 ????????????????7 分
2

令 ? ? 4 ? 8m ? 0 ,解得 m ? 因此,当 m ?

1 。 2

1 时,q 是真命题。??????????????????? 10 分 2

∵“ ? p ? q ”为真命题,∴ ? p 与 q 都为真命题,???????????? 11 分

?m ?

1 1 ,∴实数 m 的取值范围是 ( ??, ) 。 ?????????? ???12 分 2 2
5

19. 解:(Ⅰ)由正弦定理

a b c ? ? ? 2R 得 sin A sin B sin C

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
∴ (2a ? b) cos C ? c ? cos B ? 0 可化为 (2sin A ? sin B) ? cos C ? sin C cos B ? 0 ??????????????????????????????????2 分 即 2sin A cos C ? sin B cos C ? sin C cos B ? 0 , ∴ 2sin A ? cos C ? sin( B ? C ) ? 0 。 即 2sin A cos C ? ? sin( B ? C ) ? ? sin(? ? A) ? ? sin A ,?????????4 分 ∵ sin A ? 0 , ∴ cos C ? ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ?

1 2

???????????????????5 分

2 ? 。 ?????????????????????6 分 3

法二:∵在△ABC 中, c cos B ? b cos C ? a ,????????????? 2 分 ∴由已知 (2a ? b) cos C ? c cos B ? 0 得, 2a cos C ? b cos C ? c cos B ? 0 , 即 2a cos C ? a ? 0 , ????????????????????????4 分 ∴ cos C ? ?

1 ,????????????? ?????????????5 分 2 2 ? 。?????????????????6 分 3 2 3
2

又∵C 为△ABC 的内角,∴ C ?
2 2

2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理得 a ? b ? 2ab cos ? ? c ,即 a ? b ? ab ? c ,???7 分

又 a ? c ? 2b , b ? 5 ,∴ ?

?a 2 ? 25 ? 5a ? c 2 ?a ? c ? 10

, ?????????????9 分

解得 a ? 3 。 ????????????????????????????10 分

1 1 2 15 3 ? S?ABC ? ab sin C ? ? 3 ? 5sin ? ? 。????????????12 分 2 2 3 4
20. 解:(Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d (d ? 0) ,由 S2 , a4 ?1, a3 成等比数列,得

(a4 ?1)2 ? S2 ? a3 ,即 9d 2 ? (2 ? d )(1 ? 2d ) ,???????? ??????2 分
整理,得 7d ? 5d ? 2 ? 0 ,????? ?????????????????3 分
2

6

解得 d ? 1 或 d ? ?

2 (舍去)??????????? ??????????4 分 7

∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? n ????????????????????? ????5 分 ∵ an ? log3 bn ,∴ bn ? 3n ???????????????????????6 分 (Ⅱ)∵ cn ? anbn ? n ? 3n ,?????????????????? ????7 分 ∴ Tn ? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ① ???????????8 分 ? (n ?1) ? 3n?1 ? n ? 3n ,

3Tn ? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ?

? (n ?1) ? 3n ? n ? 3n?1 ,② ??????????9 分 ? 3n ? n ? 3n?1 ?????????????10 分

①-②得 ?2Tn ? 3 ? 32 ? 33 ?

?

3(1 ? 3n ) 3n?1 ? 3 ? n ? 3n ?1 ? ? n ? 3n?1 ???????? ????????11 分 1? 3 2 (2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 ??????????? ????????????12 分 4

∴ Tn ?

21. 解(Ⅰ)由题意知,每年的费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列,求得

an ? a1 ? 4(n ?1) ? 4n ? 8 ,?????????????????????2 分
(Ⅱ)设公司第 n 年后开始盈利,盈利为 y 万元,则

y ? 50n ? [12n ?
2

n(n ? 1) ? 4] ? 72 ? ?2n 2 ? 40n ? 72 。?????????5 分 2

由 y ? 0 ,得 n ? 20n ? 36 ? 0 , 解得 2 ? n ? 18(n ? N ) 。???????????????????????7 分 故 n ? 3 ,即第 3 年开始盈利。?????????????????????8 分 (III)年平均盈利为

y 72 36 36 ? ?2n ? ? 40 ? ?2(n ? ) ? 40 ? ?2 ? 2 n ? ? 40 ? 16 ,?????10 分 n n n n
当且仅当 n ?

36 , 即 n ? 6 时, 年平均盈利最大, 故经过 6 年经营后年平均盈利最大, n

最大值为 96 万元。????????????????????????????12 分

7

22. 解: (1) 连接 MF1 , 在 Rt ?MF1F2 中,F 1F 2 ?4,

MF2 ? 3 ,∴ MF1 ? 5 ??????????1 分
∴由椭圆的定义可知 2a ? MF 1 ? MF 2 ? 8, ∴ a ? 4 。??????????????2 分

c ? 2 ,从而 b ? a ? c ? 12 ,???????????3 分 又 2c ? F 1F 2 ? 4 ,∴
2 2 2

∴椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 。??????????????????? 4 分 16 12

(Ⅱ)由题意知,若 AB 的垂直平分线恰好经过 P 点,则应有 PA ? PB 。 当 l 与 x 轴垂直时,不满足 PA ? PB ,?????????????????5 分

? y ? kx ? m ? 当 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,由 ? x 2 y 2 ,消去 y 得 ? ? 1 ? ?16 12

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ? 48 ? 0 ???????????????????7 分
∵ ? ? 64k 2 m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ? 48) ? 0 ,∴ 16k ? 12 ? m ,① ?????8 分
2 2

令 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,AB 的中点为 C( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ? ∴C(

?8km , 3 ? 4k 2

∴ x0 ?

x1 ? x2 ?4km 3m ? , y0 ? kx0 ? m ? , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

?4km 3m , ), ???????????????????????10 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

∵ PC ? AB ,∴ kPC ? k ? ?1 ,????????????????????11 分

3m ?1 2 3 ? 4 k 即 ? k ? ?1 , ?4km 3 ? 4k 2

化简得 m ? ?(4k ? 3) ,???????????12 分
2

2 2 2 结合①得 16k ? 12 ? (4k ? 3) ,即 16k ? 8k ? 3 ? 0 , 解之得 ?
4 2

1 1 ?k? 。 2 2

综上所述,存在满足条件的直线 l,且其斜率 k 的取值范围为 ( ?

1 1 , ) ????14 分 2 2

8


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