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《高中数学》必会基础题型5—《平面向量》


《高中数学》基础题型——《平面向量》
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 ??? ? ? 1.向量:既有大小又有方向的量。记作: AB 或 a 。

??? ? ? 2.向量的模:向量的大小(或长度) ,记作: | AB | 或 | a | 。
? ? 3.单位向量:长度为 1 的向量。若 e 是单位向量,则 | e |? 1 。 ? ? 4.零向量:长度为 0 的向量。记作: 0 。 【 0 方向是任意的,且与任意向量平行】
5.平行向量(共线向量) :方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 ??? ? ??? ? 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。 AB ? ? BA 。 8.三角形法则: ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? AC ; AB ? BC ? CD ? DE ? AE ; AB ? AC ? CB (指向被减数) 9.平行四边形法则: ? ? ? ? ? ? 以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a ? b , a ? b 。

? ? ? ? ? ? ? ? 10.共线定理: a ? ? b ? a / /b 。当 ? ? 0 时, a与b 同向;当 ? ? 0 时, a与b 反向。
11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 ? ? ? ? ? ? ?2 ? 12.向量的模:若 a ? ( x, y) ,则 | a |? x 2 ? y 2 , a ?| a |2 , | a ? b |? (a ? b ) 2

? ? ? ? 13.数量积与夹角公式: a ? b ?| a | ? | b | cos? ;

? ? a ?b cos ? ? ? ? | a |?| b |

? ? ? ? ? ? ? ? 14.平行与垂直: a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ; a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
题型 1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 ??? ? ??? ? (4)四边形 ABCD 是平行四边形的条件是 AB ? CD 。

??? ? ??? ? (5)若 AB ? CD ,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。
(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。 ? ? ? ? ? ? (7)若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线。

? ? ? ? (8)若 ma ? mb ,则 a ? b 。

? ? (9)若 ma ? na ,则 m ? n 。

? ? ? ? (10)若 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都不是零向量。
1

? ? ? ? ? ? (11)若 a ? b ?| a | ? | b | ,则 a / / b 。

? ? ? ? ? ? (12)若 | a ? b |?| a ? b | ,则 a ? b 。

题型 2.向量的加减运算 ? ? ? ? 1.设 a 表示“向东走 8km”, b 表示“向北走 6km”,则 | a ? b |?



??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ? 2.化简 ( AB ? MB) ? (BO ? BC) ? OM ?

。 、 。
???? , AD ?

??? ? ??? ? ??? ? 3.已知 | OA |? 5 , | OB |? 3 ,则 | AB | 的最大值和最小值分别为
??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? ??? ? ? 4.已知 AC为AB与AD 的和向量,且 AC ? a, BD ? b ,则 AB ?



???? 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 5.已知点 C 在线段 AB 上,且 AC ? AB ,则 AC ? BC , AB ? BC 。 5 题型 3.向量的数乘运算 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.计算: (1) 3(a ? b) ? 2(a ? b) ? (2) 2(2a ? 5b ? 3c ) ? 3(?2a ? 3b ? 2c ) ?

? ? 1? ? 2.已知 a ? (1, ?4), b ? (?3,8) ,则 3a ? b ? 。 2 题型 4.作图法球向量的和 ? 1? ? 3? ? ? 已知向量 a, b ,如下图,请做出向量 3a ? b 和 2a ? b 。 2 2 ? a
? b
题型 5.根据图形由已知向量求未知向量

??? ? ??? ? ???? 1.已知在 ?ABC 中, D 是 BC 的中点,请用向量 AB, AC 表示 AD 。 ??? ? ???? ??? ? ? ??? ? ? 2.在平行四边形 ABCD 中,已知 AC ? a, BD ? b ,求 AB和AD 。

题型 6.向量的坐标运算 ??? ? 1.已知 AB ? (4,5) , A(2,3) ,则点 B 的坐标是

。 。 。

??? ? 2.已知 PQ ? (?3, ?5) , P(3, 7) ,则点 Q 的坐标是

? ? ? 3.若物体受三个力 F1 ? (1,2) , F2 ? (?2,3) , F3 ? (?1, ?4) ,则合力的坐标为
? ? ? ? ? ? ? ? 4.已知 a ? (?3, 4) , b ? (5, 2) ,求 a ? b , a ? b , 3a ? 2b 。
??? ? ? 5.已知 A(1, 2), B(3, 2) ,向量 a ? ( x ? 2, x ? 3 y ? 2) 与 AB 相等,求 x, y 的值。 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6.已知 AB ? (2,3) , BC ? (m, n) , CD ? (?1, 4) ,则 DA ?


2

??? ? ??? ? ? ???? 7.已知 O 是坐标原点, A(2, ?1), B(?4,8) ,且 AB ? 3BC ? 0 ,求 OC 的坐标。

题型 7.判断两个向量能否作为一组基底 ?? ?? ? 1.已知 e1 , e2 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A. e1 ? e2和e1 ? e2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 3e1 ? 2e2和4e2 ? 6e1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. e1 ? 3e2和e2 ? 3e1


?? ? ?? ? ? ? D. e2和e2 ? e1

? ? 2.已知 a ? (3, 4) ,能与 a 构成基底的是(

3 4 4 3 3 4 A. ( , ) B. ( , ) C. (? , ? ) 5 5 5 5 5 5 题型 8.结合三角函数求向量坐标

4 D. ( ?1, ? ) 3

??? ? ??? ? 1.已知 O 是坐标原点,点 A 在第二象限, | OA |? 2 , ?xOA ? 150? ,求 OA 的坐标。 ??? ? ??? ? 2.已知 O 是原点,点 A 在第一象限, | OA |? 4 3 , ?xOA ? 60? ,求 OA 的坐标。

题型 9.求数量积 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 的夹角为 60? ,求(1) a ? b , (2) a ? (a ? b ) ,
? 1? ? ? ? ? ? (3) (a ? b ) ? b , (4) (2a ? b ) ? (a ? 3b ) 。 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.已知 a ? (2, ?6), b ? (?8,10) ,求(1) | a |,| b | , (2) a ? b , (3) a ? (2a ? b ) , ? ? ? ? (4) (2a ? b ) ? (a ? 3b ) 。

3

题型 10.求向量的夹角 ? ? ? ? ? ? 1.已知 | a |? 8,| b |? 3 , a ? b ? 12 ,求 a 与 b 的夹角。

? ? ? ? 2.已知 a ? ( 3,1), b ? (?2 3, 2) ,求 a 与 b 的夹角。

3.已知 A(1, 0) , B(0,1) , C (2,5) ,求 cos ?BAC 。

题型 11.求向量的模 ? ? ? ? ? ? ? ? 1.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 的夹角为 60? ,求(1) | a ? b | , (2) | 2a ? 3b | 。

? ? 1? ? ? ? ? ? 2.已知 a ? (2, ?6), b ? (?8,10) ,求(1) | a |,| b | , (2) | a ? b | , (3) | a ? b | 。 2

? ? ? ? ? ? 3.已知 | a |? 1, | b |? 2 , | 3a ? 2b |? 3 ,求 | 3a ? b | 。

题型 12.求单位向量
? 1.与 a ? (12,5) 平行的单位向量是

? ? ? a 【与 a 平行的单位向量: e ? ? ? 】 |a|

1 ? 2.与 m ? (?1, ) 平行的单位向量是 2



4

题型 13.向量的平行与垂直 ? ? ? ? ? ? 1.已知 a ? (6, 2) , b ? (?3, m) ,当 m 为何值时, (1) a / / b ?(2) a ? b ?

? ? ? ? ? ? 2.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3, 2) , (1) k 为何值时,向量 ka ? b 与 a ? 3b 垂直?
? ? ? ? (2) k 为何值时,向量 ka ? b 与 a ? 3b 平行?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知 a 是非零向量, a ? b ? a ? c ,且 b ? c ,求证: a ? (b ? c ) 。

题型 14.三点共线问题 1.已知 A(0, ?2) , B(2, 2) , C (3, 4) ,求证: A, B, C 三点共线。

??? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 ? ? ??? 2.设 AB ? (a ? 5b), BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) ,求证: A、B、D 三点共线。 2

??? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? 3.已知 AB ? a ? 2b, BC ? ?5a ? 6b, CD ? 7a ? 2b ,则一定共线的三点是
4.已知 A(1, ?3) , B(8, ?1) ,若点 C (2a ? 1, a ? 2) 在直线 AB 上,求 a 的值。



??? ? ??? ? ??? ? 5.已知四个点的坐标 O(0, 0) , A(3, 4) , B(?1, 2) , C (1,1) ,是否存在常数 t ,使 OA ? tOB ? OC 成立?

5

题型 15.判断多边形的形状 ??? ? ? ??? ? ? ???? ??? ? 1.若 AB ? 3e , CD ? ?5e ,且 | AD |?| BC | ,则四边形的形状是 2.已知 A(1, 0) , B(4,3) , C (2, 4) , D(0, 2) ,证明四边形 ABCD 是梯形。



3.已知 A(?2,1) , B(6, ?3) , C (0,5) ,求证: ?ABC 是直角三角形。

??? ? ??? ? ??? ? 4.在平面直角坐标系内, OA ? (?1,8), OB ? (?4,1), OC ? (1,3) ,求证: ?ABC 是等腰直角三角形。

题型 16.平面向量的综合应用 ? ? ? ? ? ? 1.已知 a ? (1, 0) , b ? (2,1) ,当 k 为何值时,向量 ka ? b 与 a ? 3b 平行?

? ? ? ? ? 2.已知 a ? ( 3, 5) ,且 a ? b , | b |? 2 ,求 b 的坐标。 ? ? ? ? ? ? 3.已知 a与b 同向, b ? (1, 2) ,则 a ? b ? 10 ,求 a 的坐标。

? ? ? ? 3.已知 a ? (1, 2) , b ? (3,1) , c ? (5, 4) ,则 c ?

? a?

? b。

? ? ? ? ? ? 4.已知 a ? (5,10) , b ? (?3, ?4) , c ? (5, 0) ,请将用向量 a, b 表示向量 c 。
6

? ? ? ? 5.已知 a ? (m,3) , b ? (2, ?1) , (1)若 a 与 b 的夹角为钝角,求 m 的范围; ? ? (2)若 a 与 b 的夹角为锐角,求 m 的范围。
? ? ? ? ? ? 6.已知 a ? (6, 2) ,b ? (?3, m) ,当 m 为何值时, (1)a 与 b 的夹角为钝角?(2)a 与 b 的夹角为锐角?

7.已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(?1, 2) , B(3, 4) , D(2,1) ,且 AB / / DC , AB ? 2CD ,求点 C 的 坐标。 8.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1) , B(?1,3) , C (3, 4) ,求第四个顶点 D 的坐 标。

9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成 30? 角,求水流速 度与船的实际速度。

7

10.【2007 年广东卷】已知 ?ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3, 4) , B(0, 0) , C (c, 0) ,

??? ? ??? ? (1)若 AB ? AC ? 0 ,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求 sin A 的值。

【备用】 ? ? ? ? ? ? ? ? 1.已知 | a |? 3,| b |? 4,| a ? b |? 5 ,求 | a ? b | 和向量 a, b 的夹角。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.已知 x ? a ? b , y ? 2a ? b ,且 | a |?| b |? 1 , a ? b ,求 x, y 的夹角的余弦。

? ? ? ? ? ? 1.已知 a ? (1,3), b ? (?2, ?1) ,则 (3a ? 2b) ? (2a ? 5b) ?



? ? ? ? ? ? 4.已知两向量 a ? (3, 4), b ? (2, ?1) ,求当 a ? xb与a ? b 垂直时的 x 的值。 ? ? ? ? 5.已知两向量 a ? (1,3), b ? (2, ? ) , a与b 的夹角 ? 为锐角,求 ? 的范围。 ? ? ? ? 变式:若 a ? (?, 2), b ? (?3,5) , a与b 的夹角 ? 为钝角,求 ? 的取值范围。

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